小专题培优7 五大常见相似模型-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

6. 解:如解图,过点C作CH1AB于点H AB-BC. 则CH=BD BH=CD=0. 5 米 LABD= BCE. 在Rt△ACH中,ACH=45. BD-CE. $.AH-CH=BD. .△ABD△BCE(SAS). '. _BAD=乙 CBE. '.AB=AH+BH=BD+0.5$ ( . BDA= FDB. · EF 1FB.AB1 FB. 解图2 '. EFG= ABG=90 .△ABD△BFD. 由反射角等于入射角得/EGF=乙AGB 甲B6.5-5BD' 1.6 2 .BD=2/2(负值已舍去). 解得BD=17.5米. ·' ABD=60$$$ BDH=30$$ 经检验,BD=17.5是分式方程的解. .BHBD=.. DH=BD-Bf=6 $.AB=17.5+0.5=18(米). .这棵古树的高度AB为18米 $.AH=AD-DH=58 7. 解::CB1AD.ED1AD . BC// DE. AB .△ABC△ADE.BC A 1.5AB+8.5' BC AB. 1 $AB=BH+AH=2+5$$$$$ 即△ABC的边长为/②+/58 :.AB=17m. 9. D 小专题培优7 经检验:AB=17是分式方程的解; 五大常见相以模型 答:河宽AB为17m. 1. 证明略。2. 证明略 3. B【解析】:四边形ABCD为正方形,AB=6..AB= AD=CD=6.四边形CEFG为正方形.CE=2.:.CE= .乙AEF=乙BEA.△AEF△BEA GF=CG=2..DG=CD-$CG=4.由题意得AD/GF (2)证明::AB=AD.:乙ABD=乙ADB 由(1)知.△AEF△BEA..乙EAF=乙EBA ABD= EBA+ CBE. ADB= EAF+ C DH=3. . 乙CBE=乙C.·BE=EC; 4. C 【解析】:DE是△ABC的中位线..DE/BC.DE= (3)解:如解图1,过点A作 1 AM1BD于点M.交BE于点 G.连接GD. 2BF 3 B .AB=AD.AM1BD 27 解图1 .BM=MD,即AM为BD的 5. 证明略. 垂直平分线, 6. 解::△ADE为等腰直角三角形且乙B-45^*. $ GB=GD. GBC= GDB '. 乙B=乙ADE=45*。 由(2)知乙CBE=/C. B+ BAD= ADE+ EDF . BAD= EDF . 乙GDB=乙C.:GD/EC. B= EFD=45*$.. △ABD△DFE.$ .△BCD△BECECBC GD BD GDBD4 # .BD:CD=4:3... Em4 ·△ADE是等腰直角三角形. GD4 AB=2②:DF=4. ·BD:CD=4:3.BM=MD. MD2 7. 证明略. . MD:DC=2:3.M3 8. 证明:': BAD= CAE,乙ABD=乙ACE. 00 GD MD .△ABD△ACE.. ·GD/EC..△MGD△MAC.. AC"MC' 又:乙BAD=乙CAE. . BAD+ DAC= CAE+ DAC 即乙BAC=乙DAE.:△ABC△ADE (4)解:如解图2.过点D作DH1AB于点H 9. 解:如解图,作PO1AB于点O.PR1BC于点R ·△ABC是等边三角形. .POB= 0BR= BRP=90$$ $.AB=BC, ABD= BCE. .四边形POBR是矩形. 在△ABD和△BCE中. '. 乙0PR=90*=MPN '.乙OPE=乙RPF. 陕西数学 13 . △OPE△RPF. :AB=10m.-10,解得x=90. P0 PE 2 :0.9 &.山项C点处的海拔高度为1600+90=1690(m) :PQ=2PR-2B0 在R△ABC中,乙ABC= 90.AB-3.BC-4. '.AC=AB+BC-5 观景台A · PO//BC.:.AO:0P:AP=AB: BC:AC=3:4:5. 设P0=4x.则A0=3tAP=5t.B0=2x 7. 解:如解图,作BD1MN.CE1MN,垂足分别为D.E. 设AN-x米,则BD=CE=x米, 在Rt△MBD中,MD=x·tan23*. 第六节 锐角三角函数及其应用 在Rt△MCE中,ME=x·tan24*. # ②③④ #+#→ . ME-MD-DE=BC. .x·tan24*-x·tan23*=1.7-1. ⑧ 790 北偏东30* 南偏东60* 0.7 = tan24*-tan230,解得x~34. # 北偏西45*上方 下方 答:“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为 34米. .}2. 3. C 【解析】·AD1 BC.乙ADC=乙ADB=90. 在 4/②. 在Rt△ADB中.AD=4/②. ABD=60BD=$ 8. 解:(1)25 60(2)矩 750 2.BE平分乙ABC..乙EBD=30*。在 (3)由题意,得 CAD=25^{*。乙EBF=60*.四边形$$ 3 CEFD是矩形.:.DF=CE=750m. Rt△EBD中,BD-4、6 在Rt△ACD中,AD- CD 7 3 tan250~0.5=14(m). _~_7~_1.1(). 4.2/5 :AB=AD+DF-BF~14+750-4.1-760(m). 5. 解:(1)如解图,在Rt△PCA中. 答:A.B两点之间的距离约为760m; (4)小汽车从点A行驶到点B没有超速.理由; 小汽车的速度为760+38=20(m/s). -·20 m/s=72km/h<80 km/h. .小汽车从点A行驶到点B没有超速 (5)由题意,得DN=CD-1=6(m).NMD=45^*. . △DMN是等腰直角三角形..DM=DV=6m. ' CPA=6 0*$PA=6 60海甲.' A=30. .AM=AD+DM=14+6-20(m). 答:小汽车与大货车之间的距离约为20m. 9. 解:如解图,连接AC.过点D作DF1AB于点F,延长 在Rt△BCP中,2CPB=45*. CD交AE于点B 2.BC=PC=30海里..PB=30/2海里 2.海轮位于点B处时与灯塔P之间的距离为30/2 -0.5m 海里; (2):*AC=30/3海里.BC=30海里 28{& '.AB=AC+BC=(303+30)海里. # 2.航程AB为(30/3+30)海里 在Bt△ABC中.乙A=28*,AC=10m, 6. 解:如解图,过点C作CD1AE交AE的延长线于点D. . BC=AC·tan28*-10x0. 53=5.3(m). 设CD=xm,在Rt△CBD中, CBD=45*= BCD. .BD=BC-CD=5.3-0.5=4.8(m). .BD-CD=xm. 在Rt△BBDF中. BDF= A=2 8*BBD=4. 8(m). 在Rt△CAD中,CAD=42”:. AD . DF=BD·cos28*-4. 8x0. 88=4. 224-4. 2(m). tan420.9 答:坡道口的限高约为4.2m. 14 众相原创 赋能中考! 第四单元!三角形 , ÃF¹º)6±† !6 年 ") 考" !!!!!!!!!!!!!!!! ±† " : ˆ† !#)#-9:##)#-9#-##)#-9#(##)#$9 #"##)#$9#-##)##9"$##)##9#-##)#"9#-##)"69#)" 模型 展示 =型 !! 反=共角型 ! 反=共角共边型 !! 双垂直共角共边型 模型 特点 两个三角形有一个公共角 解题 策略 已知一组等角(找另一组等角或这组等角的 两条邻边对应成比例证明相似!若题中未明 确相似三角形的对应顶点时(则需分类讨论 "!如图(在 / #$(中( 0 (*8)"(*是 $(上一 点(*) . #$(垂足为)!求证! / #$( 1/ *$)! 证明#?2, . +*! < 0 2,*)2(5$ ? 0 1)2(5! < 0 2,*) 0 1$ ? 0 *) 0 *! < / +*1 1/ 2*,$ #!如图(点)在 / #$(的边#$上()*交#(于点 *( 0 #)** 0 $(点>在#)上(且#)# *#>*#$! 求证!""# #) #$ * #* #( $ "## / #*> 1/ #()! 证明#%"&? 0 +,2) 0 *! <,2 - *1!< +, +* ) +2 +1 $ %#&?+, # )+."+*! < +, +* ) +. +, $ 由%"&得 +, +* ) +2 +1 !< +2 +1 ) +. +, $ ? 0 +) 0 +!< / +2. 1/ +1,$ ±† # 6 ˆ† !#)#$!(" 模型 展示 !!! 模型 特点 有一组隐含的等角!对顶角" 解题 策略 图形中已经有一组对顶角(找另一组等角或 这组对顶角的两条邻边对应成比例证明相 似!若题中未明确相似三角形的对应顶点时( 则需分类讨论 %!"#)#- 陕西 : 题 $ 分#如图(正方形 (*>?的 顶点?在正方形#$()的边()上(#>与)( 交于点H(若#$*(((**#(则)H的长为 " 7 # =9# >9$ ?9 . # @9 6 $ +!"#)#$ 陕西 ( 题 $ 分#如图()*是 / #$(的中 位线(点>在)$上()>*#$>(连接 *>并延 长(与($的延长线相交于点@!若$(*((则 线段(@的长为 " 0 # =9 "$ # >9: ?9 ". # & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & @96 )( ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 ±† % [˜§Zo)6±† 模型 展示 两三角形在直线同侧 两三角形在直线异侧 模型 特点 一线!经过三个等角顶点的直线"#$# 三等角! 0 " * 0 # * 0 $ 解题 策略 图中已经有一组角相等(根据三角形的内外 角关系&内角和以及余角和补角的性质得到 另一组等角证明相似 !对比学习"一线三等角模型包含一线三等角全等 模型!见本册;6""和一线三等角相似模型#可对比 学习! .!如图(在矩形#$()中(点*(9(>分别在边#)( #$($(上( 0 *9>*8)"!求证! / #9* 1/ $>9! 证明#?四边形+*1,为矩形! < 0 +) 0 *)2(5! < 0 +425 0 +24)2(5$ ? 0 24.)2(5!< 0 +425 0 *4.)2(5! < 0 +24) 0 *4.!< / +42 1/ *.4$ -!如图(在 / #$(中(#$*#槡#(0$*-."(以点 #为直角顶点作等腰直角三角形#)*(点)在 $(上(点*在#(上(点>在$(上(且 0 *>)* -."(求)>的长! 解#? / +,2为等腰直角三角形且 0 *)+.5! < 0 *) 0 +,2)+.5$ ? 0 *5 0 *+,) 0 +,25 0 2,.! < 0 *+,) 0 2,.$ ? 0 *) 0 2.,)+.5! < / +*, 1/ ,.2! < +* ,. ) +, ,2 $ ? / +,2是等腰直角三角形! < +, ,2 ) 槡# # !< +* ,. ) 槡# # ! ?+*)#槡#!<,.)+$ ±† + ½¾`ÄÅÄb)6±† 模 型 展 示 模 型 特 点 ""#等角的顶点重合且等角的两邻边对应成 比例$ "##旋转过程中(旋转任意角度都有 #( #$ * #* #> ( 0 (#$* 0 *#>(则 / #($ 1/ #*> !对比学习"旋转模型包含旋转全等模型!见本册 ;6""和旋转相似模型#可对比学习 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ! *) ! 第四单元!三角形 ,!如图(将 / #$(绕点 #顺时针旋转 # ! # 为锐 角"得到 / #)*(点 )与点 $对应(连接 $)( (*!求证! / #$) 1/ #(*! 证明# ? / +*1绕点 +顺时针旋转 # 得到 / +,2!! <+*)+,!+1)+2! 0 *+,) 0 2+1) # ! < +* +1 ) +, +2 !< / +*, 1/ +12$ /!如图(在 / #$)和 / #(*中( 0 $#)* 0 (#*( 0 #$)* 0 #(*!求证! / #$( 1/ #)*! 证明#? 0 *+,) 0 1+2! 0 +*,) 0 +12! < / +*, 1/ +12! < +* +1 ) +, +2 !即 +* +, ) +1 +2 $ 又? 0 *+,) 0 1+2! < 0 *+,5 0 ,+1) 0 1+25 0 ,+1! 即 0 *+1) 0 ,+2!< / +*1 1/ +,2$ ±† . -o¿À)6±† 模型特点 在四边形中(存在一组对角互补 解题策略 ""#过顶点作双垂线(构造相似三角形$ "##进行旋转构造手拉手相似模型! !对比学习"对角互补模型包含对角互补全等模型 !见本册;6#"和对角互补相似模型#可对比学习! 2!如图(在 PC / #$(中( 0 #$(*8)"(#$*$( $(*-(在PC / @9A中( 0 @9A*8)"(点9在 #(上(9@交#$于点*(9A交$(于点>(当 9**#9>时(求#9的长! 解#如解图!作4A . +*于点A!4B . *1于点B$ ? 0 4A*) 0 A*B) 0 *B4)2(5! <四边形4A*B是矩形! < 0 A4B)2(5) 0 748! < 0 A42) 0 B4.! < / A42 1/ B4.! < 4A 4B ) 42 4. )#! <4A)#4B)#*A$ 在LI / +*1中! 0 +*1)2(5!+*)%!*1)+! <+1) +* # 5*1槡 # ).$ ?4A - *1! <+AHA4H+4)+*H*1H+1)%H+H.$ 设4A)+%!则+A)%%!+4).%!*A)#%! <#% 5%% )%! <% ) % . ! <+4).% )% & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & $ !)