第四单元 第三节 特殊三角形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

! 众相原创 赋能中考!陕西数学 !4#$hi4Ne !"# $%&'()* !" " Z¬§o}%BC4f… !重点" 名称 等腰三角形 等边三角形 性质 ""#两腰 ! !相等!(如图(#$*#($ "##两个底角 # !相等!!简记为'等 边对等角("(如图( 0 $* 0 ($ "$#顶角平分线&底边上的中线&底边 上的高 $ !相互重合!!简记为'三线 合一("$ "-#是轴对称图形(有 % !" !条对称轴(对称轴 是底边上的高所在直线 ""#三条边 & !相等!(如 图(#$*#(*$($ "##三个内角 ' !相等!(并 且每个内角都等于 ( !-(5 ! ( 如图( 0 #* 0 $* 0 (*()"$ "$#是 ) !轴!对称图形(有 * !% !条对 称轴(对称轴是三边上的高所在直线 判定 ""#有两边相等的三角形是等腰三角形!定义"$ "##有两个角相等的三角形是等腰三角形!简记 为'等角对等边(" ""#三条边都相等的三角形是等边三角形 !定义"% "##三个角都相等的三角形是等边三角形$ "$#有一个角是 + !-(5 !的等腰三角形是 等边三角形 面积 公式 8 * " # %C!其中 % 为底边长#C 为底边上的 高" 8 * " # %C * ,-. !!! ! !其中 % 为三角形的边长#C 为任意一边 上的高" !技巧点拨"等腰三角形的'三线合一(是一条重要性质#在证明和计算中#往往作为辅助线#需灵活添加! !特别提醒"等腰三角形中的分类讨论$ !""遇角需讨论*顶角和底角+# 已知等腰三角形的一个角为 # #求顶角或底角的度数时$ 若 # 为钝角#则 # 为顶角#底角的度数为 ,-/ !!!! ! % 若 # 为直角#则 # 为顶角#该三角形为等腰直角三角形#底角的度数为 ,-0 !! ! % 若 # 为锐角#则应分两种情况讨论$ 情况一$当 # 为顶角时#底角的度数为 ,-1 !!!! ! % 情况二$当 # 为底角时#顶角的度数为 ,-2 !!!! !! !#"遇边需讨论*腰和底+# 已知等腰三角形的两边长分别为 %#&!% $ &"#求周长时#分两种情况$ 情况一$当 %为腰长时 若 #% 4&#则周长为 ,-3 !!!!# 若 #% % &#则不能构成三角形{ % 情况二$当&为腰长时 若 #&4%#则周长为 ,-4 !!!!# 若 #& % %#则不能构成三角形{ ! && ! 第四单元!三角形 !" # no§o}%BC4f… !重点" "!直角三角形 性质 ""#两锐角之和等于 ,-5 !2(5 ! (如图( 0 #2 0 $* ,-6 !2(5 ! $ "##斜边上的中线等于斜边的 ,78 !一半!(如图(若 ()是斜边上的中线(则 ()* ,7. !! ! #$$ "$#$)"角所对的直角边等于斜边的 ,7/ !一半!(如图(若 0 #*$)"(则$(* ,70 !! ! #$$ "-#勾股定理!如果直角三角形的两条直角边长分别为 %(&(斜边长为,(那么 ,71 !! # 5" # )& # ! ! !知识拓展"在直角三角形中#若一条直角边等于斜边的一半#则这条直角边所对的角等于 $)" 判定 ""#有一个角等于 ,72 !2(5 !的三角形是直角三角形"定义#$ "##有两个角 ,73 !互余!的三角形是直角三角形$ "$#勾股定理的逆定理!如果三角形的三边长分别为 %(&(,"% 0&0,#(且满足 ,74 !!!!& # ! ( 那么这个三角形是直角三角形! !知识拓展"某边上的中线等于该边的一半的三角形是直角三角形 面积 公式 8 * " # %&* " # ,C"其中 %#&为两直角边长#,为斜边长#C为斜边上的高#! !技巧点拨"通常用等面积法求直角三角形的边长或高 !特别提醒"!""已知直角三角形的两边长#求第三边长#若没有明确直角边和斜边时#要分类讨论% !#"已知三角形为直角三角形#当未明确直角顶点时#需分类讨论! #!等腰直角三角形 性质 ""#两条直角边 ,75 !相等!(如图(#(*$($ "##两个底角 ,76 !相等!(且都等于 ,:8 !+.5 ! (如图( 0 #* 0 $*-." 判定 ""#有一个角等于 ,:. !2(5 !的等腰三角形是等腰直角三角形$ "##有两个角等于 ,:/ !+.5 !的三角形是等腰直角三角形$ "$#有一个角等于 ,:0 !+.5 !的直角三角形是等腰直角三角形$ "-#有 ,:1 !两边或两角!相等的直角三角形是等腰直角三角形 面积公式 8 * " # % # * " # ,C * ,:2 !! ! %C"其中 %为腰长#,为底边长#C为底边上的高# '& ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 +"# ,-./012 !!!!!!!!!!!!!!!! !" " Z¬§o}%BC4f… !6年 :考" "! "#)#" 陕西 : 题 $ 分#如图(#$($((()( )*是四根长度均为 . +7的火柴棒(点#(((* 共线!若#(*( +7(() . $((则线段(*的长 度是 " 6 # =9( +7 >9: +7 ?9(槡# +7@96 +7 #! "人教八上 ;8$<"$ 改编#如图( / #$( 是等边三角形($)是中线(延长 $(至点 *( 使(**()(连接)*()> . $*(垂足为>! ""#求证!)$*)*$ "##若(>*-(求 / #$(的周长! %"&证明#? / +*1为等边三角形!*,是中线! < 0 +1*)-(5! 0 1*,) " # 0 +*1)%(5$ ?12)1,! < 0 1,2) 0 2) " # 0 +1*)%(5! < 0 1*,) 0 2)%(5!<,*),2$ %#&解#?,. . *2! < 0 ,.1)2(5!< 0 .,1)2(5$ 0 ,1.)%(5$ ?1.)+! <,1)#1.)/$ ? / +*1为等边三角形!*,是中线! <+*)*1)+1)#,1)"-! < / +*1的周长)+*5+15*1)% 1"- )+/$ !" # no§o}%BC4f… !6年 :考" %! "#)#- 陕西 . 题 $ 分#如图(在 / #$( 中( 0 $#(*8)"(#)是$(边上的高(*是$( 的中点(连接#*(则图中的直角三角形有 " 0 # =9# 个 >9$ 个 ?9- 个 @9. 个 第 $ 题图 !!! 第 - 题图 +! "#)": 陕西 ( 题 $ 分#如图(将两个大 小&形状完全相同的 / #$(和 / #:$:(:拼在一 起(其中点#:与点#重合(点(:落在边#$上( 连接 $:(!若 0 #($* 0 #(:$:*8)"(#(* $(*$(则$:(的长为 " : # =9$槡$ >9( ?9$槡# @9槡#" .! "人教八下 ;#8<"- 改编#如图( / #($ 和 / *()都是等腰直角三角形((#*($( (**()( / #($的顶点 #在 / *()的斜边 )*上!写出线段 #)(#*(#(满足的数量关 系(并说明理由! < 0 ,12$ 0 +12) 0 +1*$ 0 +12! 即 0 +1,) 0 *12$ ?+1)*1!+1 # 5*1 # )+* # !<#+1 # )+* # $ 在 / +,1和 / *21中! +1)*1! 0 +1,) 0 *12! 1,)12 { ! < / +,1 2/ *21%K:K&! <+,)*2! 0 ,) 0 *21)+.5! < 0 *2+) 0 *215 0 +21)2(5$ 在LI / +*2中!由勾股定理得+2# 5*2# )+*#! <+2 # 5+, # )#+1 # & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & $ (& ! 第四单元!三角形 3"# 456789: ‰Š"‹ Z¬§o}%)L­®^¯: 图 " -!如图 "(在 / #$(中(#$* #(()为 $(边上一动点(* 为#(上一点(连接)*! ""#若 0 #$(*(."( 0 $#)* $."(#)*#*(则 0 #)*的度 数为! /#$.5 !! "##若 0 $#(*.)"( / )*(为等腰三角形(求 0 *)(的度数$ 解#? 0 *+1).(5!+*)+1! < 0 1) " # 1%"/(5$.(5& )-.5$ ? / ,21为等腰三角形! <分三种情况讨论# ! 当2,)21时! 0 2,1) 0 1)-.5$ " 当,1),2时! 0 ,21) 0 1)-.5! < 0 2,1)"/(5$# 1-.5).(5$ ( 当21),1时! 0 1,2) 0 12,) " # 1%"/(5 $-.5& ).,$.5$ 综上所述!当 / ,21为等腰三角形时! 0 2,1的 度数为 -.5或 .(5或 .,$.5$ "$#若 #)为 $(边上的中线(#$*"$($(* ")(求点)到#(边的距离! 解#?+*)+1!+,为*1边上的中线! <+, . *1!*,)1,) " # *1).! <在LI / +,1中!+,) +1# $1,槡 # ) "% # $.槡 # )"#$ "-#如图 #(以 #)为一边在 #)的左侧作 / #)@(使 #)*#@( 0 )#@* 0 $#((连接 $@!过点@作$(的平行线(交#$于点A! 求证! / $@A是等腰三角形! 图 # 证明#?+*)+1! < 0 1) 0 +*1$ ? 0 *+1) 0 ,+7! < 0 *+1$ 0 *+,) 0 ,+7$ 0 *+,! 即 0 1+,) 0 *+7$ 在 / +*7和 / +1,中! +*)+1! 0 *+7) 0 1+,! +7)+, { ! < / +*7 2/ +1,%K:K&! < 0 +*7) 0 1! < 0 +*7) 0 +*1$ ?78 - *1! < 0 78*) 0 +*1! < 0 78*) 0 +*7! < / *78是等腰三角形 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & $ !!!!!! 请完成分层进阶练习册3%- 93%/ 习题 )& 1或乙3 180*2/3 ②乙4 ②相等 ②乙5 $ CN=2x4=8(cm). 2/6 7 228 8 /5 5 /8 一 垂线段 ③垂线段的长度 ③一/ 相等 相等 互补 ③距离 相等 1.(1)两点确定一条直线 (2)③ 两点之间,线段最短 2.(1)证明::△ABC为等边三角形,BD是中线 2.(1)2或4(2)1.5 1或2 .ACB=60” CBD=乙ABC=30°. 3. B 4.(1)60{*(2)2 5. B 6. (1)乙2 5 (2)乙5 7 (3)①② .CEF=CD.: CDE= F- ACB=30° (4)①70 110②55③24*66。 7. D '. CBD= E=30$DB=DE$ (2)解:·DF1BE. 第二节 三角形及其基本性质 DFC=90*$$ FDC=90*- DCF=30$$$ ①等边 1 ②直角 ③90④90” 大于 小于 ·CF=4.:DC=2CF-8. 180{⑧等于 不相邻 和 大于 = .△ABC为等边三角形,BD是中线. = 90。} 内部 直角 内部 外部 .AB=BC=AC=2 DC=16 内部 . △ABC的周长=AB+AC+BC=3x16=48$ ### 3. C 4. A【解】 ACB=$ AC'B'=90$AC=B$C=3$ 1. B .AB=AC+BC=32,CAB=45△ABC和 2.(1)1<AC<5 (2)①85 ②45 ③15 65 △A'B'C'大小、形状完全相同..乙C'AB'=CAB= (2)19(3)①内心 ②115 $$ *°$$AB'$=AB =3 2. $ CAB'$=90$$B'$C= ③25# CA+B'A=3/3 5. 解:AD+AF}=2AC} 理由如下; 如解图,连接BE. 小专题培优3“等面积法”的应用 ·△ACB和△ECD都是等腰直角 1. A 2. D 3. C 4. A 5. B 6. D 7. C 8. B 三角形, 第三节 特殊三角形 '. DCE= ACB=90*$ D= ①相等 ②相等 ③相互重合 ④1 相等 相等 乙AFC=45o. . DCE -2ACE=2ACB- 600 ⑧轴 3 60°(180-a) 乙ACE, #(180-a) 180”-2a 2a+6 即乙ACD=乙BCE 45。 ·AC=BCAC^{}+BC$}=AB$ AC^$}=AB}$$ 2b+a 90902一半 ②②一半 在△ADC和△BEC中. AC=BC. +b=②90{ 2余 ②^}+6}=^} LACD=LBCE.:. △ADC△BEC(SAS) ICD=CE. ②相等 ②相等 45③90{45{③45· $.AD=BE. D=$ BEC=45$$$ # ③两边或两角 '. 乙BEA= BEC+AEC=90” 在Rt△ABE中,由勾股定理得AE}+BE}=AB^{}.$ 1. D 【解析】由题意知,AB=BC=CD=DE=5cm.AC= .AE+AD=2AC 6.em.如解图,过点B作BM1AC于点M,过点D作6.(1)82.5。 DN1CE于点 N.则 BMC= CND=9O*$AM=CM= (2)解:: BAC=50*,AB=AC. .2C=2xi(180°-50°)=650. . BCD=90* BCM+ CBM= BCM+ DCN= ·△DEC为等腰三角形. 90.乙CBM=乙DCN,在△BCM和△CDN中. ·.分三种情况讨论: 乙CBM=乙DCN. ①当ED=EC时, EDC= C=6 5*; 乙BMC=CND..△BCM△CDN(AAS)..BM= ②当DC=DE时, DEC= C=65*$ BC=DC. '. EDC=180*-265*=50$ CN.在 Rt△BCM中.'BC=5cm.CM=3cm..BM= BC-CM=-3=4(em)CN-4 cmCE= 57.50. 陕西数学 综上所述,当△DEC为等腰三角形时,乙EDC的度数 .BOC=180*-(0BC+ 0[CB)=90-$ 为65或50或57.50 (3)解:AB=AC,AD为BC边上的中线 4. 2m 5.C 6.C 7. 证明:如解图,延长CD交AB于点E. $.在Rt△ADC中$AD=AC-CD=13-$=2$$$ 在△EAD和△CAD中. 过点D作DF1AC于点F. 乙EAD=ZCAD. AD-AD. 'Sn=AD·cD=AC·DF, I乙ADE= ADC. .△EAD△CAD(ASA). 13 '.AF=AC.ED=CD 又: BH=HC. DH-BE, (4)证明::AB=AC.乙C=乙ABC .DH(AB-AE)-(AB-AC). .乙BAC=乙DAM .BAC- BAD= DAM- BAD.即 CAD= BAM 8. 解:如解图,在BC边上取一点E,使EC=AC,连接DE. 在△ABM和△ACD中. .CD平分乙ACB. AB=AC. :.乙ACD=乙ECD. _BAM-/CAD. 在△ACD和△ECD中. AM=AD. AC=EC. .△ABM△ACD(SAS)..LABM=乙C LACD=乙ECD. .. 乙ABM=/ABC. ICD-CD. .MN/BC..乙MNB= ABC . △ACD△ECD(SAS).:.AD=ED. A= DEC $.乙MNB=乙ABM..△BMV是等腰三角形 A=2 B DEC=2 B. 小专题培优4 与中点有关的三大几何模型 'DEC= B+ EDB.: B= EDB$ . △BDE是等腰三角形..AD=DE=BE=2. 6.3 7.1<AD<4 EC=AC=3$BC=BE+CE=2+3= $$$ 8. 证明:如解图,延长AD至点G.使DG=AD,连接BG. 9. 证明:如解图,在BC上截取BF=AB,连接DF ·D为BC的中点. ·BD是乙ABC的平分线. .BD=CD. '. /ABD=乙FBD 在△BDG和△CDA中. 在△ABD和△FBD中. AB=FB. BD=CD. _BDG= CDA. ABD= FBD. BD=BD. DG=DA. '.△BDG△CDA(SAS). . △ABD△FBD(SAS). $.BG=CA.G= CAD. :. DF=DA=DE, DFB= A G 又.AF=EF. ' A=100*$ ABC=40*BD平分 ABC$$$ '. 乙CAD=ZAEF . DFB= 100$$,$ ABBD= 20^$,$ ACB=4 0$$$$$ 又:LBEG= AEF. CAD= BEG. . 乙FDC=60°. ' G= BFG $BG=BE $AC=B$E$$ ' EDC= ADB= 18 0^$}- ABBD- A=6 $$ 小专题培优5 与角平分线有关的两大几间模型 ..乙FDC=/EDC. 又:DC=DC.:.△DCE△DCF(SAS), 1. 60 2.15{* $. CE=CF .BC=BF+CF=AB+CE 3. 证明:如解图. 10. A ABC+ ACB=180*- A=180*-m 11. 证明:(1):AD//BC. . DBC +BCE=360* '._ABC+/BAD=180 (乙ABC+乙ACB)=180*+m. ·AE平分乙BAD.BE平分乙ABC 又:△ABC的两个外角的平分 . ABE=/ ABC, BAE=BAD, 线相交于点0. 乙AEB =180*-(乙ABE + BAE) =180*- 2(2ABC+2BAD)-90, .AE1BE; 10 众相原创 赋能中考