第四单元 第一节 线段、角、相交线与平行线(含命题)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

!!!! ! 第四单元!三角形 ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 !"#$^_`N`)a^RKb^=>cdB !"# $%&'()* !" " n˜¢˜£ 两个基本事实 两点确定一条直线 两点之间( ! !线段!最短 两点间的距离 连接两点间的 # !线段的长度! 线段的和$差 如图(在线段#(上有一点$! 则#$2 $ !*1 ! *#($#$* % !+1 ! / & !*1 ! $$(* ' !+1 ! / ( !+* ! 线段的中点 如图(点@把线段#$分为相等的线段#@和@$(则点@是线段#$的中点(#@*$@* " # #$! !链接"利用尺规作一条线段等于已知线段见本册;"$#! !" # o¢o7&˜ !重点" 角的 分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 )"0 # 08)" # * ) !2(5 ! 8)"0 # 0"6)" # * * !"/(5 ! # *$()" 余角 定义 0 " 2 0 # *8)" !0 " 和 0 # 互为余角 性质 同角或等角的余角 + !相等! 补角 定义 0 " 2 0 # * ,-. !"/(5 ! !0 " 和 0 # 互为补角 性质 同角或等角的补角 ,-/ !相等! 角平 分线 定义 从一个角的顶点出发(把这个角分成两个相等的角 的射线 性质 ""#角平分线分成的两个角相等$ "##角平分线上的点到角两边的距离 ,-0 !相等! 判定 ""#将一个角分为两个等角的射线是角平分线$ "##到角两边的距离相等的点在 ,-1 !角平分线上! 如图(9@ . <#(9A . <$! " " # <(平分 0 #<$ ! 0 #<(* 0 $<(* ,-2 !!! ! 0 #<$$ "##<(平分 0 #<$ ! 9@* ,-3 !48 ! !链接"利用尺规作一个角等于已知角和作角的平分线见本册;"$#! *& ! 第四单元!三角形 !" % )¤˜47¥˜ !重点" "!三线八角 类型 图示 对应的角 邻补角 对顶角 0 " 与 ,-4 ! 0 # 或 0 + ! ( 0 # 与 ,-5 ! 0 " 或 0 % ! ! 性质#邻补角之和等于 ,-6 !"/(5 ! 0 " 与 ,78 ! 0 % ! ( 0 # 与 ,7. ! 0 + ! ! 性质#对顶角 ,7/ !相等! 三线 八角 同位角 内错角 同旁内角 0 " 与 ,70 ! 0 . ! ( 0 # 与 ,71 ! 0 - ! ( 0 $ 与 ,72 ! 0 , ! ( 0 - 与 ,73 ! 0 / ! 0 # 与 ,74 ! 0 / ! ( 0 $ 与 ,75 ! 0 . ! 0 # 与 ,76 ! 0 . ! ( 0 $ 与 ,:8 ! 0 / ! #!垂线 基本事实 在同一平面内(过一点有且只有 ,:. !一!条直线与已知直线垂直 垂线段的性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中( ,:/ !垂线段!最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的 ,:0 !垂线段的长度! 线段的垂 直平分线 性质#线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 逆定理#到一条线段两个端点距离相等的点(在这条线段的垂直平分线上 !链接"利用尺规过一点作已知直线的垂线和作线段的垂直平分线见本册;"$$! %!平行线 平行公理 经过直线外一点(有且只有 ,:1 !一!条直线与这条直线平行 推论 若 % - ,(& - ,(则 % ,:2 ! - ! &! !知识拓展"若 % . ,#& . ,#则 % - & 平行线的性 质与判定 两直线平行 ! 同位角 ,:3 !相等!! 两直线平行 ! 内错角 ,:4 !相等!! 两直线平行 ! 同旁内角 ,:5 !互补!! 两条平行线 之间的距离 定义#两条平行线中(一条直线上任意一点到另一条直线的 ,:6 !距离! 性质#两条平行线之间的距离处处 ,;8 !相等! !" + ¦W4…P 类型 概念 命题 判断一件事情的语句叫做命题(命题由题设和结论两部分组成 !& ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 续表 真命题 如果题设成立(那么结论一定成立(这样的命题叫做真命题 假命题 如果题设成立时(不能保证结论一定成立(这样的命题叫做假命题 逆命题 在两个命题中(如果第一个命题的题设是另一个命题的结论(且第一个命题的结论是另一 个命题的题设(把其中一个命题叫做原命题(那么另一个命题叫做它的逆命题 定理 有些命题的正确性是用推理证实的(这样的真命题叫做定理!定理也可以作为继续推理的依据 +"# ,-./012 !!!!!!!!!!!!!!!! !" " n˜¢˜£ !6 年 " 考" "!""#如图 "(工人砌墙时(先在两个墙脚的位置 分别插一根木桩(再拉一条直的参照线(就能 使砌的砖在一条直线上!这样做应用的数学 知识是!两点确定一条直线!$ 图 " ! 图 # "## "人教七上;"#6 思考改编#如图 #( 从甲地到乙地有四条道路(路程最短的一条 是! ( !(用到的数学原理是 !! #! "人教七上;"$)<") 改编#已知点#($( (在同一条直线上(#$*$ +7($(*" +7! ""##(的长为! # 或 +!+7$ "##若)为#$的中点(*为$(的中点(则#) 的长为! "$. !+7()*的长为! " 或 #!+7! !" # o¢o7&˜ !6 年 : 考" %! "#)#) 陕西 # 题 $ 分#若 0 #*#$"(则 0 #余角的大小是 " 7 # =9.:" >9(:" ?9::" @9".:" +! "北师八下 ;$#<$ 改编# 如图(9是 0 #<$平分线上的一点(9( . <#(9) . <$(垂足分别为 (()! " " # 若 0 #<9 *$)"( 则 0 #<$的度数为! -(5 !$ "##若线段(9与9)的和为 -(则点9到射线 <$的距离为! # !! !" % )¤˜47¥˜ !必考" .! "#)#- 陕西 $ 题 $ 分#如图(#$ - )(($( - )*( 0 $*"-."(则 0 )的度数为 " 7 # =9#.O >9$.O ?9-.O @9..O 第 . 题图 !!! 第 ( 题图 -! "人教七下;$(<: 改编#如图(已知直线 %(&(直线,分别交直线 %(&于点#($! "" # 0 " 的对顶角是! 0 # !(同位角是 ! 0 . !! "## 0 # 的内错角是! 0 . !(同旁内角是 ! 0 , !! "$#有下列结论! ! 若 0 " * 0 .(则 #) - $($ # 若 0 $ * 0 ((则 #) - $($ $ 若 #) - $((则 0 - * 0 .!其中正确的是! !" !!!填序号" "-#已知直线 % - &(完成下列填空! ! 若 0 " *:)"(则 0 . *! ,(5 !( 0 : *! ""(5 !$ # 若 0 " *:)"( #(平分 0 $#)(则 0 $ * ! ..5 !$ $ 若 #( . #$( 0 $ *#-"(则 0 ( *! #+5 !( 0 " *! --5 !! !" + ¦W4…P ,! "人教七下;#-<"# 改编#下列命题中正 确的是 " 6 # =9过一点有且只有一条直线平行于已知直线 >9不相交的两条直线(叫做平行线 ?9若两条直线被第三条直线所截(则同位角 相等 @9若两条直线被第三条直线所截得的内错角 相等( & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 则同位角也相等 !!!!!! 请完成分层进阶练习册3%% 93%+ 习题 "& 单元整体构建 易错题专练 1. -2【变式】12 -2【变式】-2 3.2 4. 4(-1.-3)或(3.-3) 5. C 6 $$ =2-4x-6或y=-2x+4x+6$7. C 8. B$$$ 9. 解:(1)v=-10x+800 整理,得4x+17x+18-0.解得x=-4x=-2. 9 (2)设每天获得的利润为w元, 则=(t-30)-10+800)=- 10*+1100-2400 = 当:=- 。 -10(t-55)2+6250. ·单件该商品的利润率不能超过60%. .交点坐标为(- .¥-30 x100%<60%,解得x48. 30 向下平移n个单位长度后得到的图象对应的函数解析 .-10<0. 式为y-446-n令-+6--- 6 .当x=48时,有最大值,最大值为5760 答:当售价定为48元/件时,商家销售该商品每天获得 整理,得4x}+3(6-n)x+18=0. 的利润最大,最大利涧为5760元 令A=[3(6-n)]-4$$4x18=0 一题一单元 解得n.=6-4v2,n.=6+42(舍去). 解:(1)(-3,0) (-3.4) (1,4) (2)①y=3x+1 .当两个图象只有一个交点时,n的值为6-4/2;当两个 图象没有交点时,n的取值范围为n>6-42 度(答案不唯一,也可以是向有平移个单位长度) (4)①y=--2x+3②=x-6+5③$ ④如解图,过点H作HK/y轴交BM于点K y=-3x+1 由(4)①知,抛物线的解析式为 (3)①将F(-3.2)代入y-",得m=-3x2=-6. =-x-2x+3. .该反比例函数的解析式为y--6(x<0). 令x=0,得y=3. .点M的坐标为(0.3). 设直线BM的解析式为y= 点E在线段CD上点E的纵坐标为4 3 ”x+b(z0). 将B(-3.0),M(0.3)代入. [k*=1. 解得 1=3. 1.直线BM的解析式为v=x+3. L=6. l2=-3+6. 设点H的坐标为(h.-h}-2h+3),则K(h.h+3). H=-h-2h+3-(h+3)=-h-3 .Su=- 1n·0- 3( )# ④设点P的纵坐标为y. 点在第二象限.-3<h<0 4. 第四单元 三角形 将y=- 第一节 8: 线段、角、相交线与平行线(含命题) 3). ①线段 ②线段的长度 ③BC ④AC BC AC AB ③90{180{相等 180相等 {## 相等 角平分线上 P 乙2或24 8 众相原创 赋能中考 1或乙3 180*2/3 ②乙4 ②相等 ②乙5 $ CN=2x4=8(cm). 2/6 7 228 8 /5 5 /8 一 垂线段 ③垂线段的长度 ③一/ 相等 相等 互补 ③距离 相等 1.(1)两点确定一条直线 (2)③ 两点之间,线段最短 2.(1)证明::△ABC为等边三角形,BD是中线 2.(1)2或4(2)1.5 1或2 .ACB=60” CBD=乙ABC=30°. 3. B 4.(1)60{*(2)2 5. B 6. (1)乙2 5 (2)乙5 7 (3)①② .CEF=CD.: CDE= F- ACB=30° (4)①70 110②55③24*66。 7. D '. CBD= E=30$DB=DE$ (2)解:·DF1BE. 第二节 三角形及其基本性质 DFC=90*$$ FDC=90*- DCF=30$$$ ①等边 1 ②直角 ③90④90” 大于 小于 ·CF=4.:DC=2CF-8. 180{⑧等于 不相邻 和 大于 = .△ABC为等边三角形,BD是中线. = 90。} 内部 直角 内部 外部 .AB=BC=AC=2 DC=16 内部 . △ABC的周长=AB+AC+BC=3x16=48$ ### 3. C 4. A【解】 ACB=$ AC'B'=90$AC=B$C=3$ 1. B .AB=AC+BC=32,CAB=45△ABC和 2.(1)1<AC<5 (2)①85 ②45 ③15 65 △A'B'C'大小、形状完全相同..乙C'AB'=CAB= (2)19(3)①内心 ②115 $$ *°$$AB'$=AB =3 2. $ CAB'$=90$$B'$C= ③25# CA+B'A=3/3 5. 解:AD+AF}=2AC} 理由如下; 如解图,连接BE. 小专题培优3“等面积法”的应用 ·△ACB和△ECD都是等腰直角 1. A 2. D 3. C 4. A 5. B 6. D 7. C 8. B 三角形, 第三节 特殊三角形 '. DCE= ACB=90*$ D= ①相等 ②相等 ③相互重合 ④1 相等 相等 乙AFC=45o. . DCE -2ACE=2ACB- 600 ⑧轴 3 60°(180-a) 乙ACE, #(180-a) 180”-2a 2a+6 即乙ACD=乙BCE 45。 ·AC=BCAC^{}+BC$}=AB$ AC^$}=AB}$$ 2b+a 90902一半 ②②一半 在△ADC和△BEC中. AC=BC. +b=②90{ 2余 ②^}+6}=^} LACD=LBCE.:. △ADC△BEC(SAS) ICD=CE. ②相等 ②相等 45③90{45{③45· $.AD=BE. D=$ BEC=45$$$ # ③两边或两角 '. 乙BEA= BEC+AEC=90” 在Rt△ABE中,由勾股定理得AE}+BE}=AB^{}.$ 1. D 【解析】由题意知,AB=BC=CD=DE=5cm.AC= .AE+AD=2AC 6.em.如解图,过点B作BM1AC于点M,过点D作6.(1)82.5。 DN1CE于点 N.则 BMC= CND=9O*$AM=CM= (2)解:: BAC=50*,AB=AC. .2C=2xi(180°-50°)=650. . BCD=90* BCM+ CBM= BCM+ DCN= ·△DEC为等腰三角形. 90.乙CBM=乙DCN,在△BCM和△CDN中. ·.分三种情况讨论: 乙CBM=乙DCN. ①当ED=EC时, EDC= C=6 5*; 乙BMC=CND..△BCM△CDN(AAS)..BM= ②当DC=DE时, DEC= C=65*$ BC=DC. '. EDC=180*-265*=50$ CN.在 Rt△BCM中.'BC=5cm.CM=3cm..BM= BC-CM=-3=4(em)CN-4 cmCE= 57.50. 陕西数学