第三单元 第六节 二次函数的实际应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

! 第三单元!函!数 !]#$-1S&.%ZFG !!!!!!!!!!!!!!!! '† " –—˜†‘W !6 年 $ 考#且近 $ 年连 续考查" 一般解题思路# !""观察*分析图象#将题目中的条件转化为点的 坐标% !#"结合抛物线上已知的点!如顶点*与坐标轴的交 点等"#设出二次函数解析式% !$"将已知点的坐标代入所设解析式#运用待定系 数法求出二次函数解析式% !-"将所求的问题转化为二次函数问题#通过求二 次函数中某个特定+值对应的2值#或特定2值对应 的+值#或求某一点到+轴或2轴的距离等解决问题! "! "人教九上 ;-:<$ 改编#一名同学推铅 球(建立如图所示的平面直角坐标系(铅球出 手后行进过程中离地面的高度 2"7#与水平 距离+"7#近似满足函数关系2*/ " "# + # 2 # $ +2 ,!已知铅球落地时的水平距离为 ") 7! ""#求铅球离地面的最高高度及此时的水平 距离$ "##在铅球行进过程中(当它离地面的高度为 . $ 7时(水平距离是多少/ 解#%"&根据题意!将%"(!(&代入 ))$ " "# % # 5 # % % 5&! 得$ " "# 1"( # 5 # % 1"( 5&)(!解得&) . % ! <))$ " "# % # 5 # % % 5 . % $ ? $ " "# 4(!<当 % )$ # % # 1% $ " "# & )+ 时!)有最 大值!最大值为$ " "# 1+ # 5 # % 1+ 5 . % )%! <铅球离地面的最高高度为 % @!此时的水平距 离为 + @$ #! "#)#- 陕西 #. 题 6 分#一条河上横跨着 一座宏伟壮观的悬索桥!桥梁的缆索 D " 与缆 索 D # 均呈抛物线型(桥塔#<与桥塔$(均垂 直于桥面(如图所示(以<为原点(以直线>>: 为+轴(以桥塔#<所在直线为2轴(建立平面 直角坐标系! 已知!缆索 D " 所在抛物线与缆索 D # 所在抛物 线关于2轴对称(桥塔 #<与桥塔 $(之间的 距离<(*")) 7(#<*$(*": 7(缆索 D " 的 最低点9到>>:的距离 9)*# 7!!桥塔的粗 细忽略不计" ""#求缆索 D " 所在抛物线的函数表达式$ "##点 *在缆索 D # 上(*> . >>:(且 *>* #!( 7(><0<)(求><的长! 解#%"&由题意得顶点4的坐标为%.(!#&!点+的 坐标为%(!",&! 设缆索9 " 所在抛物线的函数表达式为))!%% $ .(& # 5#%! $ (&! 把%(!",&代入!得 ", )!%( $.(& # 5#! 解得 ! ) % .(( ! <缆索9 " 所在抛物线的函数表达式为)) % .(( %% $ .(& # 5#$ %#&?缆索 9 " 所在抛物线与缆索 9 # 所在抛物线 关于)轴对称! <缆索9 # 所在抛物线的函数表达式为 )) % .(( %% 5.(& # 5#$ 令))#$-!得 #$- ) % .(( %% 5.(& # 5#! 解得 % " )$+(!% # )$-($ ?.040,!0,).( @!<.0的长为 +( @ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & $ #% ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 '† # ™š+›œ‘W 一般解题思路# !""审题#找出题目中的数量关系% !#"根据数量关系确定二次函数解析式和自变量的 取值范围% !$"将实际问题转化为二次函数问题#利用二次函 数的性质!增减性或最值"#结合自变量的取值范围 进行求解! %! "北师九下 ;-8 随堂练习改编#西安以 古城著称(近些年旅游事业如火如荼!某旅游 公司推出一款成本为 ")) 元1盒的农特产礼 盒(当每盒售价为 ".) 元时(每天可销售 $)) 盒!为增大市场占有率(在保证盈利的情况 下(公司采取降价措施(根据市场调查发现( 每盒的售价每降低 " 元(每天销量可增加 ") 盒!设每天的利润为E元(每盒降价+元! ""#写出E与+的函数关系式$ "##当每盒降价多少元时(公司每天的利润最 大(最大为多少元/ "$#如果要满足利润率不低于 ")0(且不高于 $)0(那么当每盒降价多少元时(公司每天的 利润最大(最大为多少元/ 解#%"&由题意!得 : )%".( $"(( $%& %%(( 5 "(%& )$"(% # 5#((% 5". ((($ %#&?:)$"(% # 5#((% 5". ((( )$"(%% $"(& # 5 "- (((!且$"( 4(! <当 % )"( 时!:取得最大值!最大值为 "- ((($ 答#当每盒降价 "( 元时!公司每天的利润最大!最 大为 "- ((( 元$ %%&由题意!得 "(( % ".( $% $"(( "(( % %((! 解得 #( % % % +($ 由%#&知!:)$"(%% $"(& # 5"- (((! <当 % )#( 时!:取得最大值!最大值为 ". ((($ 答#当每盒降价 #( 元时!公司每天的利润最大!最 大为 ". ((( 元$ '† % uv|}‘W 一般解题思路# !""用含有自变量的代数式表示相关线段的长度% !#"根据几何图形的相关计算公式#列出所求几何量 与自变量之间的关系式#并确定自变量的取值范围% !$"根据二次函数的性质!增减性或最值"#结合自 变量的取值范围解决问题! +! ";"-6 例 :" 改编#如图(用一段长 "6 7 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(墙长 "# 7(设矩形菜园的一边长+7(面积为27#! ""#求2与+的函数关系式$ "##若矩形菜园的面积为 -) 7#(求此时 + 的值$ "$#当+为多少时(菜园面积最大/ 最大面积 是多少/ 解#%"&根据题意!得))%%"/ $#%& ) $#% # 5"/%$ %#&根据题意!得$#%# 5"/% )+(! 解得 % " )+!% # ).$ ?墙长 "# @!篱笆长 "/ @! <"/ $#% % "#!#% 4"/!解得 % % % 42! <此时 %的值为 + 或 .$ %%&))$#% # 5"/% )$#%% $ 2 # & # 5 /" # ! ? $# 4(!由%#&知!% % % 42! <当 % ) 2 # 时!)取得最大值 /" # $ 答#当 %为 2 # 时!菜园面积最大!最大面积是 /" # @ # & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & $ $% ! 第三单元!函!数 新北师七上综合与实践'''制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 .!!阅读与思考"下面是小勇同学的数学日记(请仔细阅读并完成相应的任务! 5年5月5日!星期六 用函数思想解决生活中的实际问题 !!爸爸计划用一张如图 " 所示的边长为 $) +7的正方形纸板(制作一个简易的无盖长方体 收纳盒(我也积极参与了收纳盒的设计与制作!根据实际需求(在现有纸板的条件下(要求使 收纳盒的容积最大!现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体收纳盒的容积最大(我通过 绘制图象来解决以上问题! !!如图 "(在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形(再沿虚线折叠得到如图 # 所 示的无盖长方体收纳盒!设四个角上剪去的正方形的边长为++7(收纳盒的底面积为 8 +7#( 容积为F+7$(通过列表&描点&连线绘制出如图 $ 所示的函数图象(通过观察函数图象即可确 定当+为何值时(所制作的无盖长方体收纳盒的容积最大! !图 "!! 图 # !!! 图 $ 任务# ""#当+*! !! !+7时(无盖长方体收纳盒的容积最大(最大值为! !! !+7 $ $ "##请你列出 8关于+的函数表达式(并根据实际意义直接写出+的取值范围$ "$#在解决问题的过程中(你获得什么启示/ !写出一条日记中所体现的数学观点即可" !!!!!! 请完成分层进阶练习册3%" 93%# 习题 %% ! 陕西数学 !." + 0 6! $ +#!!解法提示"9! 5(#:二次函数的图 象开口向上#由!'"可知#二次函数图象的顶点坐标为 !'# "+"#又9点9#:在二次函数图象的对称轴的异 侧#' ' "' + )'#:点 9在对称轴的左侧#点 :在对称 轴的右侧#:当' + $ ' $ ' ' 时#函数在')' 处取得最小 值"+#9当' + $ ' $ ' ' 时#函数的最大值与最小值的 差为 +#:当 ' + $ ' $ ' ' 时#函数的最大值为 (# ! 若 , + ! , ' #则 ' "' + ! ' ' "'#即 ' "' + ! ' + &' "'#解得 ' + $ +#:(6' + $ +#9函数的最大值为,)!!' + "'" ' " + )(#:! ) + !' + "'" ' #: + 0 6! $ +% " 若, + 6, ' #则' " ' + 6' ' "'#即 ' "' + 6' + &' "'#解得' + 5+#:+ 6' + 6 '#9函数的最大值为 ,)!!' ' "'" ' "+ )!' ' + "+ )(# :!) + ' ' + #: + 0 6!6+#综上所述#!的取值范围为 + 0 6 ! $ +# 小专题培优 #!二次函数的增减性与最值问题 "#1!##4!$#1 %#4!!解析"9! 6(#:抛物线,)!'' "''&!'"'!! 6 ("开口向下#对称轴为直线 ') ' "! '! 6(#:当 '5( 时#,随'的增大而减小#9抛物线 ,)!'' "''&!'" '!! 6("经过点.!'#, + "#-!*#, ' "#且 .#-均在 ,轴 右侧#, + 6, ' #:*的取值范围是 ( 6*6'# &#8!!解析"9,)"'' "''&# )"!'&+" ' &0#:二次 函数图象的顶点坐标为! "+#0"#且二次函数的图象开 口向下#9当 ') + ' 时#,) , 0 5+#:! 6"+#当 ,)+ 时# "!' "'! &# )+#解得! 槡)"+ " #或槡# "+!不符合 题意#舍去"# '#1!!解析"9,)'' "'')!'"+" ' "+#:抛物线的对 称轴为直线')+#且顶点坐标为!+# "+"#9+ "! "+" ) # "+#:')"+ 和 ')# 时的函数值相等#9 "+ $ ' $ ;"+#当 ')"+ 时#函数取得最大值#:;"+ $ ##又 9当')+ 时#函数取得最小值#:;"+ ! +#:+ $ ;" + $ ##解得 ' $ ; $ 0# (#, ' 6, + 6, # 第六节!二次函数的实际应用 "#解#!+"根据题意#将!+(#("代入,)" + +' ' ' & ' # '&)# 得" + +' 3+( ' & ' # 3+( &))(#解得)) . # # :,)" + +' ' ' & ' # '& . # # 9 " + +' 6(#:当 ')" ' # ' 3! " + +' " )0 时#,有最大 值#最大值为" + +' 30 ' & ' # 30 & . # )## :铅球离地面的最高高度为 # >#此时的水平距离 为 0 >% !'"令,) . # #得" + +' ' ' & ' # '& . # ) . # # 解得' + )(!舍"#' ' )/# :在铅球行进过程中#当它离地面的高度为 . # >时# 水平距离为 / ># ##解#!+"由题意得顶点6的坐标为!.(#'"#点.的坐标 为!(#+,"# 设缆索 < + 所在抛物线的函数表达式为,)!!'".("' & '!! " ("# 把!(#+,"代入#得 +, )!!( ".(" ' &'#解得 ! ) # .(( # :缆索 < + 所在抛物线的函数表达式为 ,) # .(( !'" .(" ' &'% !'"9缆索 < + 所在抛物线与缆索 < ' 所在抛物线关于, 轴对称# :缆索 < ' 所在抛物线的函数表达式为 ,) # .(( !'& .(" ' &'# 令,)'#-#得 '#- ) # .(( !'&.(" ' &'# 解得' + )"0(#' ' )"-(# 91262%#2%).( >#:12的长为 0( ># $#解#!+"由题意#得 =)!+.( "+(( "'" !#(( &+('" ) "+(' ' &'(('&+. (((% !'"9=)"+(' ' &'(('&+. ((( )"+(!'"+(" ' & +- (((#且"+( 6(# :当')+(时#=取得最大值#最大值为 +- (((# 答(当每盒降价 +(元时#公司每天的利润最大#最大为 +- ((( 元% !#"由题意#得 +(+ $ +.( "'"+(( +(( $ #(+# 解得 '( $ ' $ 0(# 由!'"知#=)"+(!'"+(" ' &+- (((# :当')'(时#=取得最大值#最大值为 +. (((# 答(当每盒降价 '(元时#公司每天的利润最大#最大为 +. 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