第三单元 第五节 二次函数的图象与性质&小专题培优2-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

! 第三单元!函!数 !C#$-1S&.VWRXY !"# $%&'()* !" " =>~$%|4BC !重点" "!二次函数的概念 一般地(形如2*%+# 2&+2,!%#&#,为常数#且 % $ )"的函数(叫做二次函数!其中(+是自变量(%( &(,分别是函数解析式的二次项系数&一次项系数和 ! !常数项!! #!二次函数表达式的三种形式# ""#一般式!2*%+# 2&+2,"%(&(,为常数#且 % $ )#$ "##顶点式!2*%"+/C# # 23"% $ )#$ "$#交点式!2*%"+/+ " #"+/+ # #"% $ )#(+ " (+ # 为抛物线与+轴交点的 # !横!坐标! %!二次函数的图象与性质 解析式 2*%+ # 2&+2,"% $ )# !的符号 % 4) % 0) 大致图象 开口方向 开口向 $ !上! 开口向 % !下! 对称轴 直线 & !!!!! ! 顶点坐标 ' !!!!!! ! 增减性 在对称轴左侧(2随+的增大而 ( !减小!$ 在对称轴右侧(2随+的增大而 ) !增大! 在对称轴左侧(2随+的增大而 * !增大!$ 在对称轴右侧(2随+的增大而 + !减小! 最值 当+* ,-. !!!! !时(2取得最小值(最小 值为 -%,/& # -% 当 +*/ & #% 时(2取得最大值(最大值 为 -%,/& # -% !技巧点拨"利用二次函数的图象与性质比较函数值大小的方法 综合利用抛物线的开口方向*增减性及点与抛物线对称轴的距离进行比较$ !""若两点在对称轴的同侧#则根据抛物线的开口方向和2随+的变化趋势进行判断% !#"若两点在对称轴的异侧#则根据抛物线的开口方向和两点与对称轴的距离进行判断$ ! 当 % 4) 时#点与对称轴的距离越小#纵坐标越 ,-/ !!! !$ # 当 % 0) 时#点与对称轴的距离越小#纵坐标越 ,-0 !!! !! '$ ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 !" # =>~$|4h$%Lh 开口方向 !由 %决定" 开口向上 ! % ,-1 ! 8( ! $开口向下 ! % ,-2 ! 4( ! $ 3%3越大(开口越小$3%3相同(开口大小相同$ 2*%+ # 和2*/%+#"% $ )#的图象关于 ,-3 !%轴!对称 对称轴 !由 %#&决定" 对称轴在2轴左侧 ! / & #% 0)"即 %#&同号#$ 对称轴是2轴 ! / & #% *)"即& ,-4 ! )( ! #$ 对称轴在2轴右侧 !,-5 !!! ! "即 %(& ,-6 !异号!# 口诀# ###### 左同右异 与)轴的交点 !由,决定" 与2轴正半轴相交 ! ,4)$ 过原点 !,78 !&)( ! $ 与2轴负半轴相交 !,7. !&4( ! 与 %轴的 交点个数 !由&# /-%,决定" 与+轴有两个交点 ! & # /-%,4)$ 与+轴有一个交点 ! & # /-%,*)$ 与+轴无交点 !,7/ !" # $+!&4( ! 其他特殊关系 !先把含 %#&#, 的项移到等式或 不等式的一边" 看到 #% 2&( 比较/ & #% 和 " 的大小 看到 #% /&( 比较/ & #% 和 ,70 ! $" !的大小 看到 % 2&2,( 找当+*" 时(2的值 看到 % /&2,( 找当+* ,71 ! $" !时(2的值 看到 -% 2#&2,( 找当+*# 时(2的值 看到 -% /#&2,( 找当+* ,72 ! $# !时(2的值 !" % =>~$N€?%„… !重点" "!基本方法#待定系数法$ #!步骤#设解析式 * 代入已知点的坐标(得方程"组# * 解方程"组# * 得解析式$ %!根据已知条件%设合适形式的解析式 已知条件 应设解析式 任意三个点的坐标 一般式#2*%+# 2&+2,"% $ )# 顶点坐标"C(3# 2其他点坐标 顶点式#2* ,73 !!%% $/& # 5-!!"% $ )# 与+轴的两个交点的坐标"+ " ()#("+ # ()# 2其他点坐标 交点式#2* ,74 !!%%$% " &%%$%&!"% $ )# !技巧点拨"!""当抛物线与+轴的两个交点的坐标为!+ " #)"#!+ # #)"时#抛物线的对称轴为直线 +* + " 2+ # # %!#"当已知抛物线与+轴的一个交点坐标2对称轴时#可求出抛物线与+轴的另一个交点的坐 标#仍可设交点式! ($ ! 第三单元!函!数 !" + =>~$|%wx !重点" "!二次函数*一般式+图象的平移 平移前图象的解析式 平移方向*'8(+ 平移后图象的解析式 口诀 2*%+ # 2&+2, "% $ )# 向左平移.个单位长度 2*%"+2.# # 2&"+2.# 2, 向右平移.个单位长度 2* ,75 !!!!!!!!! ! 向上平移.个单位长度 2* ,76 !!!!!!!!!! 向下平移.个单位长度 2* ,:8 !!!!!!!!! ! #### 左加右减 ### 自变量 #### 上加下减 ### 常数项 #!二次函数*顶点式+图象的平移$翻折*对称+与旋转 变换前图象的解 析式及顶点坐标 变换方式*'4(+ 变换后 的 !值 变换后的 顶点坐标 变换后图象的解析式 2*%"+/C# # 23( "C(3# 向左平移.个单位长度 % "C /.(3# 2*%"+/C 2.# # 23 向右平移.个单位长度 % "C 2.(3# 2* ,:. !!!!!!!!!! 向上平移.个单位长度 % "C(32.# 2* ,:/ !!!!!!!!! ! 向下平移.个单位长度 % "C(3/.# 2* ,:0 !!!!!!!!!! 沿+轴翻折"关于+轴对称# /% "C( /3# 2* ,:1 !!!!!!!!!! 沿2轴翻折"关于2轴对称# % " /C(3# 2* ,:2 !!!!!!!!!! 绕顶点旋转 "6)" /% "C(3# 2* ,:3 !!!!!!!!!! 绕原点旋转 "6)" /% " /C( /3# 2* ,:4 !!!!!!!!!! !技巧点拨"二次函数的图象在变换过程中#图象开口大小不变#即3%3不变! !" . =>~$4[\=>8]+iZ?%Lh "!二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程 %+# 2&+2,*) 的根是抛物线2*%+# 2&+2,与+轴交点的横坐标 ! *& # /-%, 方程 %+# 2&+2,*) 的根 抛物线2*%+# 2&+2,与+轴的交点 ! 4) 两个 ,:5 !不相等的!实数根 ,:6 !两个交点! ! *) ,;8 !两个相等的实数根! 一个交点 ! 0) 没有实数根 没有交点 #!二次函数2*%+# 2&+2,与不等式的关系 不等式 解集 图示 %+ # 2&+2,43+2. 函数2*%+# 2&+2,的图象位于函数2*3+2.的图 象 ,;. !上方!对应的点的横坐标的取值范围 %+ # 2&+2,03+2. 函数2*%+# 2&+2,的图象位于函数2*3+2.的图 象 ,;/ !下方!对应的点的横坐标的取值范围 )$ ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 +"# ,-./012 !!!!!!!!!!!!!!!! !" " =>~$%|4BC !必考" "! "#)#- 陕西 6 题 $ 分#已知一个二次函 数2*%+# 2&+2,的自变量+与函数2的几组 对应值如下表! + ) /- /# ) $ . ) 2 ) /#- /6 ) /$ /". ) 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 " 6 # =9图象的开口向上 >9当+4) 时(2的值随+的值增大而增大 ?9图象经过第二&三&四象限 @9图象的对称轴是直线+*" #! "北师九下 ;-) 例 # 改编#已知二次函 数的解析式为2*+# /-+/.(将其化为顶点式 是! ))%% $#& # $2 !(化为交点式是! ))%% 5 "&%% $.& !! %! "人教九上;-"<: 改编#已知抛物线2* /+ # 2#+2$! ""#该抛物线开口向!下!(对称轴是直 线! % )" !(与+轴有! # !个交点(交点坐标 是! % $"!(&和%%!(&!(与 2轴的交点坐标 是! %(!%& !(有最!大!"填'大(或'小(#值(最 !大!值为!+!(顶点坐标为!%"!+&!$ "##在如图所示的平面直角坐标系中画出该 抛物线$ "$#当+ % ) 时(2随+的增大而!增大!(最大 值为! % !$当 ) 0+ % - 时(2的取值范围 是! $. % ) % + !$ "-#若抛物线经过点" /#(%#和" /"(&#(则 % ! 4 !&$若抛物线经过点" /$(.#和"-( '#(则.! 4 !'!"填' 4(' 0(或' *(# !" # =>~$|4h$%Lh !6年"考" +!已知二次函数2*%+# 2&+2,"% $ )#的图象如 图所示(有下列 . 个结论! ! %&,4)$ # & # 0 -%,$ $ #,0$&$ % % 2&4."%.2&# ". $ "#$ & 若方程3%+# 2&+2,3*" 有四个根(则这四 个根的和为 #!其中正确的结论有 " : # =9# 个 >9$ 个 ?9- 个 @9. 个 !" % =>~$N€?%„… !6 年 ( 考" .! "人教九上;.:<( 改编#已知抛物线2* %+ # 2&+2,! ""#若抛物线经过点"$()#(" /"()#(")($#( 则该抛物线的解析式是 !$ "##若抛物线的顶点坐标为"#(6#(且经过点"$( 8#(则该抛物线的解析式是 !$ "$#已知抛物线2*+# 2&+2,经过点"$()#(")( $#(则该抛物线的解析式是 !$ "-#已知抛物线2*%+# 2#+2,经过点" /"()#( ")($#(则该抛物线的解析式是 !$ ".#已知抛物线2*%+# 2&+/# 的对称轴为直 线+*"(且经过点""( /$#(则该抛物线的解 析式是! ))% # $#% $# !! !" + =>~$|%wx !6 年 . 考" -! "#)#) 陕西 ") 题 $ 分#在平面直角坐标 系中(将抛物线2*+# /"./"#+2.".4"# 沿2轴向下平移 $ 个单位长度!则平移后得到 的抛物线的顶点一定在 " 6 # =9第一象限 >9第二象限 ?9第三象限 @9 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 第四象限 *% ! 第三单元!函!数 ,! "#)"8 陕西 ") 题 $ 分#在同一平面直角 坐标系中(若抛物线 2*+# 2"#./"# +2 #./- 与2*+# /"$.2'#+2' 关于 2轴对 称(则符合条件的.('的值为 " 6 # =9.* . : (' */ "6 : >9.*.(' */( ?9.*/"(' *( @9.*"(' */# !" . =>~$4[\=>8]+i Z?%Lh /! "北师九下 ;.$<- 改编#如图(一次函 数 2*+2% 和二次函数 2*+# 2&+的图象 交于点 #" /$()#和点 $""(,#! ""#方程+# 2&+*)的解为! % " )$%!% # )( !$ "##方程+# 2&+/+*%的解为 !$ "$#不等式+2% 4+# 2&+的解集是 !$ "-#若74)(则方程 +# 2&+*7的实数根的个 数为! # !! & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 3"# 456789: ‰Š"‹ =>~$BC’W 2!点 @"+ " (2 " #(A"+ # (2 # #都在二次函数 2* %+ # /-%+2-% /" 的图象上(且+ # /+ " *#! ""#将该二次函数的表达式化为顶点式是 ! ))!%% $#& # $" !$ "# # 该二次函数的图象的对称轴为直 线! % )# !(顶点坐标为! %#! $"& !! "$#若该二次函数的图象经过点"-("#! ! 直接写出该二次函数的表达式$ 解#该二次函数的表达式为)) " # % # $#% 5"$ # 若 ) 0+ " 0"(则2 " ! 8! 2 # $"填' 4(' 0( 或' *(# $ 若2 " *2 # (求点@的坐标! 解#?) " )) # !<7!8两点关于直线 % )# 对称! <% " 5% # )+$ ?% # $% " )#!<% # )%!% " )"$ 将 % )" 代入)) " # % # $#% 5"!得))$ " # ! <点7的坐标为%"! $ " # &$ "-#若+ " */"(2 " /2 # *$(求该二次函数的表 达式$ 解#?% " )$"!% # $% " )#!<% # )"$ 将 % " )$"!% # )" 分别代入))!%% $#& # $"! 得) " )2! $"!) # )! $"! <) " $) # )/! )%!<! ) % / ! <该二次函数的表达式为)) % / % # $ % # % 5 " # $ ".#若 % 4) 且+ " % + % + # 时(该二次函数的最 大值与最小值的差为 "(点 @(A在二次函数 图象的对称轴的异侧(直接写出 % 的取值 范围! 解#<当% " % % % % # 时!函数在 % )# 处取得最小值 $"$?当 % " % % % % # 时!函数的最大值与最小值 的差为 "!<当 % " % % % % # 时!函数的最大值为 ($ ! 若) " " ) # !则 # $% " " % # $#!即 # $% " " % " 5# $ #!解得 % " % "!<( 4% " % "$?函数的最大值为)) !%% " $#& # $" )(!<! ) " %% " $#& # !< " + 4! % "$ " 若) " 4) # !则 # $% " 4% # $#!即 # $% " 4% " 5# $ #!解得 % " 8"!<" 4% " 4#$?函数的最大值为))! %% # $#& # $" )!% # " $" )(!<! ) " % # " !< " + 4! 4"$ 综上所述!!的取值范围为 " + 4! % " & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & $ !!!!!! 请完成分层进阶练习册3#/ 93%( 习题 !% ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 # =>~$%“”B4•.‘W !6 年 - 考#且近 - 年连续考查" !方法总结"二次函数在区间内的增减性和最值问题#已知 % % + % &! 情 形 一 若二次函数的图象开口向上# !""当对称轴在 % % + % &右边#2随 +的增大而减小#最大值为 2 % #最小值 为2 & % !#"当对称轴在 % % + % &内#在对称轴处取得最小值#两端点看谁离对称轴 远#离对称轴较远处取得最大值% !$"当对称轴在 % % + % &左边#2随 +的增大而增大#最大值为 2 & #最小值 为2 % 情 形 二 若二次函数的图象开口向下# !""当对称轴在 % % + % &右边#2随+的增大而增大#最大值为2 & #最小值为2 % % !#"当对称轴在 % % + % &内#在对称轴处取得最大值#在离对称轴较远的端 点处取得最小值% !$"当对称轴在 % % + % &左边#2随+的增大而减小#最大值为2 % #最小值为2 & !!!!!!!!!!!!!!!!"!设#" /.(2 " #($""(2 # #(("#(2 $ #是抛物线2* /#"+2"# # 2.上的三点(则2 " (2 # (2 $ 的大小 关系是 " 0 # =92 $ 02 " 02 # >92 $ 02 # 02 " ?92 " 02 $ 02 # @92 " 02 # 02 $ #!当/# % + % " 时(关于+的二次函数 2*/"+ /.# # 2. # 2" 有最大值 -(则实数.的值为 " 7 # =9# >9# 或/槡$ ?9# 或/槡$或/ : - @9# 或A槡$或/ : - %!已知二次函数2*/+# 2#.+/.# 2#./(!. 是常数"的图象与 +轴没有公共点(且当 +0 /" 时(2随 +的增大而增大(则实数 .的取 值范围是 " 0 # =9.0/" >9.0$ ?9/" % .0$ @9/" 0. % $ +!已知抛物线 2*%+# /#+2%+/#"% 0)#经过 点#"#(2 " #($".(2 # #(且#($均在2轴右侧! 若2 " 02 # (则.的取值范围为 " 7 # =9) 0.0" >9) 0.0# ?9.4" @9.4# .!已知二次函数 2*/+# /#+2$(当 % % + % " # 时(2的最小值为 "(则 %的值为 " : # =9/槡$ /" >9槡$ /" ?9/槡$ /" 或槡$ /" @9/槡$ 2" 或槡$ 2" -!已知二次函数2*+# /#+" /" % + % 7/"#(当 +*/" 时(函数取得最大值$当+*" 时(函数 取得最小值(则7的取值范围是 " 0 # =9) 07 % # >9) 07 % - ?9# % 7 % - @97 " # ,!已知二次函数2*$"+/"# # 2" 的图象上有三 点#"-(2 " #($"#(2 # #((" /$(2 $ #(则2 " (2 # (2 $ 的大小关系为! ) # 4) " 4) % ! & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ! "% x轴交于不同两点,则A=-4ac>0.>4ac.故② 错误::-2 △=1.:b=-2a.又:当x=-1时,y<0. (4)D是BC的中点.BC=8. ·AB=0C=3.:B(8.3). 即-b+c<0.2a-2b+2c<0.-3b+2c 0 12的图象上. .点E在过点D的反比例函数y= .2c<3b,故③正确;x=1时函数有最大值.:当x= ) 1时的y值大于当x=m(mx1)时的y值,即a+b+ 2= c>m(am+b)+c...a+b>m(am+b)(ml)成立. 2 故④正确;将x轴下方的二次函数图象翻折到:轴上 3。 方,则与直线y=1有四个交点即可,由二次函数图象 (5)存在.△0PD为直角三角形, 的轴对称性知,关于对称轴对称的两个根的和为2,四 .当乙0PD=90*时,PD1x轴于点P. 个根的和为4,故错误,综上所述,③④正确,故 0P=4.:.P(4.0): 选A. 5.(1)y=-2+2x+3(2)y=-4x+12 (3) y=$ 当乙ODP=90*时,如解图,过点D作DH1x轴于点 0D 0H -4+3(4)y=-+2x+3(5)y=-2-2 H.易得△ODH一△OPD.:. 0P0D' 过6. D【解析】: y--(m-1)x+m=(x-m-1)+ -022). .0D0 P.:.0P025 2 ).该抛物线的顶点坐标是(”-1,m- n、(m-1)2} 4 (m-1)).将其沿y轴向下平移3个单位长度后得 角形. 4 (s_ 2 .m1.:m-1o.:m-1o.:m-(m-1) 2 4 4m-(m-2m+1)-12 3_ -(m-3)-4 4 = (m-3)2 -1 0..点(”-1.-(m-1)-3)在 4 4 第四象限. 7. D【解析】::抛物线y=x+(2m-1)x+2m-4与 y=x-(3m+n)x+n关于y轴对称, 2 4=3”解得_【1 (2)56(3)0.2 . l2m-4=n. 第五节 二次函数的图象与性质 的值为m=1.n=-2. (-2 8.(1)t=-3.x=0 (2)x.=-3,t=$$ (3)-3<xc1(4)2 4 9. 解:(1)y=a(x-2)-1 (2)x=2 (2.-1) ② 异号 $2c=0②c<0$②-4ac<0 $②-1$$ -1 ②-2 2(x-h)}+k②a(x-x)(x-x) ③:y.三y..M.N两点关于直线x=2对称, (x-m)}+b(x-m)+c ②ax2}+b+c+m ③ax}+ '.x+x=4. $b+c-m ③a(x-h-m)}+k a(x-h)}+k+m ·x.-x=2x=3x.=1 ③(x-h){}+k-m -a(x-h)}-k a(x+h)}+k$ 3-a(x-h)+k -a(x+h) -k不相等的 .点V的坐标为(1.-). 两个交点 两个相等的实数根 上方 下方 1. D 2. y=(x-2)-9 =(x+1)(x-5$ (4)x=-1.x-x=2x=1. 3.(1)下 x=1 2 (-1.0)和(3.0) (0.3) 大 大 将x=-1,x=1分别代入y=a(x-2)-1. 4(1.4) 得y.=9-1.y =a-1. (2)略 (3)增大 3 -5<y4 (4)< < '.y-yr=8=3...a= 4. A【解析】·图象开口向下,.a<0.对称轴在y轴 ) 8. 的右侧,a与6异号,.b>0图象与y轴交于正 半轴。c>0..abe<0.故①错误;:二次函数图象与 6 众相原创 赋能中考 (5)<a<1. (#2)令----# 【解法提示】.a>0.:.二次函数的图 象开口向上.由(2)可知,二次函数图象的顶点坐标为 解得x.=0(舍).x.=8. (2.-1).又:点M.N在二次函数图象的对称轴的异 .在铅球行进过程中,当它离地面的高度为m时, 侧,x。-X.=2..点M在对称轴的左侧,点N在对称 轴的右侧..当x<xx。时,函数在x=2处取得最小 水平距离为8m 值-1.当x.xx。时,函数的最大值与最小值的 2. 解:(1)由题意得项点P的坐标为(50,2),点A的坐标 为(0,17), 差为1.^.当x<xx。时,函数的最大值为0.①若 y.y,则2-x.x-2.即2-x.x+2-2.解得$ 设缆索L.所在抛物线的函数表达式为y=a(x-50)+ 2(az0). x.<l.0<x.<l.:函数的最大值为y=a(x.-2 } 把(0.17)代入,得17=a(0-50)*+2.解得a-500 (1-2) <as1;②若y<y,则2- .缆索1.所在抛物线的函数表达式为y-50(x- 3 x.<x-2.即2-x<x+2-2.解得x11<x $.函数的最大值为y=a(x-2)-1=ax-1=0 50)+2; (2).缆索L.所在抛物线与缆索L。所在抛物线关于y 轴对称, a1. .缆索L.所在抛物线的函数表达式为y-500(x+ 小专题培优2 二次函数的增减性与最值问题 50)2+2. 1. C 2. B 3.C 令y=2.6,得2.6-50(x+50)*+2. 3 4. B【解析】:a<0抛物线y=ax-2x+ax-2(< 0)开口向下,对称轴为直线x=2 2-<0.:当x0 解得x.=-40.x。=-60. ·FO<0D.0D=50m.F0的长为40m. 时,y随x的增大而减小·抛物线y=ax-2x+ax- 3. 解:(1)由题意,得W=(150-100-x)(300+10x)= 2(a<0)经过点A(2.y).B(m,y).且A.B均在y轴 -10x*+200x+15000: 右侧,y.<y,..m的取值范围是0<m<2. ($2)W=-10+200+15000=-10(t-10$ +$$$$ 5.A【解析】:y=-x-2x+3=-(+1)+4.二次 16000.且-10<0. 函数图象的顶点坐标为(-1,4),且二次函数的图象开 二.当x=10时,W取得最大值,最大值为16000 口向下当x-时,y- 答:当每盒降价10元时,公司每天的利润最大,最大为 16000元; 时,-a-2a+3=1,解得a=-1-③或/3-1(不符合 (3)由题意,得10%150--10030%. 100 题意,舍去). 6.C 【解析】:y=x-2x=(x-1)-1.:抛物线的对 解得20x=40 由(2)知,W=-10(x-10)+16000. 称轴为直线x=1,且顶点坐标为(1,-1).1-(-1)= 3-1.x=-1和x=3时的函数值相等--1<x< .当x=20时,W取得最大值,最大值为15000 答:当每盒降价20元时,公司每天的利润最大,最大为 1-1.当x=-1时,函数取得最大值,.1-1<3.又 15000元. 当x=1时,函数取得最小值...1-1>1,:.1<1- 4. 解:(1)根据题意,得y=x(18-2x)=-2x+18x; 1<3.解得2<14 (2)根据题意,得-2x2+18x=40. 7. y.<y。<y 解得x.=4.x.=5. 第六节 二次函数的实际应用 ·墙长12m.篱长18m. :18-2x12.2x<18.解得3<x<9. :.此时x的值为4或5; (3)y=-2x+18x=-2(x- 2 .-2<0.由(2)知,3<x<9. 1 一=4时,v有最大 m. 5. 解:(1)52000 (2)依题意,得$=(30-2v)=4-120x+900(0<x<$ 3=3. 15); 4.铅球离地面的最高高度为3m,此时的水平距离 (3)在解决生活中的问题时,可以尝试使用函数(答案不 为4m; 唯一). 陕西数学7