第二单元 第一节 一次方程(组)及其应用-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

!!!! !! 第二单元!方程!组"与不等式!组" ! 第二单元!方程!组"与不等式!组" !"#$"10D=EB'(FG !"# $%&'()* !" " Z?%BC 数学表达 在解方程中的应用 性质 " 若 % *&(则 % A,*&A, 移项 性质 # 若 % *&(则 %,*&, 去分母 若 % *&", $ )#(则 % , * & , 系数化为 " !" # [\[>8]^_N3 !重点" "!一元一次方程的相关概念 概念 只含有 ! !一个!未知数!元"(且未知数的次数都是 # !" !的方程 一般形式 %+2&*)!%#&是常数#且 % $ )" 方程的解 使方程左&右两边的值相等的未知数的值 #!一元一次方程的解法 一般步骤 例#解方程! $+/" $ *" / -+/" ( ! 注意事项 去分母 解! $ !!!!!!!!! ! 方程两边同乘各分母的最小公倍数(不要漏乘常数项 去括号 % !!!!!!!!! ! 去括号时(注意是否需要变号 移项 & !!!!!!!!! ! 移项一定要变号 合并同类项 ' !!!!!!!!! ! 系数相加(未知数及其指数不变 系数化为 " ( !!!!!!!!! ! 分子和分母的位置不要颠倒 !" % =\[>8]`ab^_N3 !重点" "!二元一次方程*组+的概念 二元一次方程 含有 ) !两个!未知数(并且含有未知数的项的次数都是 * !!" !的整式方程(形 如 %+2&2*,!% $ )#& $ )#%#&#,是常数" !特别提醒"使二元一次方程两边相等的两个未知数的值是二元一次方程的解#一个 二元一次方程有无数组解 二元一次方程组 由两个二元一次方程组成的方程组 '! ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 #!二元一次方程组的解法 基本思想 二元一次方程组 *+ 消元 一元一次方程 解法 消元法 步骤 适用情况 代入 消元法 ""#变#用含一个未知数的代数式表示另一个未知数$ "##代#将""#中代数式代入另一方程(消元为一元一次方程$ "$#解#解一元一次方程 一个方程的常数项 为 ) 或某个未知数的 系数为 " 或/" 加减 消元法 ""#变#变形为未知数的系数相等或互为相反数$ "##加减#两个方程相减或相加(消去一个未知数得一元一次方程$ "$#解#解一元一次方程 方程组中两个方程 同一未知数的系数 ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ( ( ( ( 相等或互为相反数 对点自测 选择适当的方法解方程组! ""# #+/2*-(!! ! $+2#2*/"$ { # !!!!!!!!!"## .+/#2*$(! ! $+2#2*.! { # 解#由 ! !得))#% $+! ( 把 ( 代入 " !得 %% 5#%#% $+& )$"! 解得 % )"$ 把 % )" 代入 ( !得))$#$ <方程组的解是 % )"! ))$# { $ !!!! 解# ! 5 " !得 /% )/! 解得 % )"$ 把 % )" 代入 ! !得))"$ <方程组的解是 % )"! ))" { $ !知识拓展"三元一次方程组的解法, 基本思想#消元#即三元一次方程组 *+ 消元 二元一次方程组 *+ 消元 一元一次方程! !" + [>8]`ab%#cde !重点" "!解一次方程*组+实际问题的一般步骤 一般步骤 特别提醒 审 设 列 解 验 答 对于带单位的应 用题#在设未知数 和作答时# 要带 单位 #!列方程*组+解实际应用题的常见类型及等量关系 常见类型 等量关系 购买$分配 问题 ""#总价*单价5总量$ "##以购买甲&乙两种商品为例! ! 甲的量2乙的量*总量"或甲*乙的量之间的和差倍分关系#$ # 甲的量5甲的单价2乙的量5乙的单价*总价 (! ! 第二单元!方程!组"与不等式!组" 续表 打折销售 问题 ""#售价*标价5折扣"如$打八折就是标价56)0#$ "##销售额*销售单价5销售总量$ "$#单件利润*单件售价/单件进价!或单件成本"$ "-#利润率* 利润 进价 5"))0 工程问题 ""#工作总量*工作效率5工作时间$ "##工作总量*各组工作量之和$ "$#工作总量未定时(可设工作总量为单位%"'(此时(工作效率* " 工作时间 行程问题 路程*速度5时间(即5*67! ""#相遇问题#6甲 5相遇时甲的行驶时间+! 5!6乙 5相遇时乙的行驶时间*两地路程$ "##追及问题#若同时出发(则36甲 /6乙35追及时间*追及路程$ "$#航行问题#顺水速度*静水速度 ,-. ! 5 !水流速度(逆水速度*静水速度 ,-/ ! $ !水 流速度 阶梯费用 问题 ""#未超过部分的费用*单位费用5用量$ "##超过部分的费用 *"单位费用 A%# 5超过部分的用量"% 表示每单位提高或降低的 价格# 比赛积分 问题 ""#总场数*胜场数2负场数2平场数$ "##总积分*胜场积分2负场积分2平场积分 +"# ,-./012 !!!!!!!!!!!!!!!! !" " Z?%BC "! "华师七下 ;.<" 改编#根据等式的性 质(下列变形正确的是 " 0 # =!若+*2(则+2,*2/, >!若 %&*&,(则 % *, ?!若 % , * & , (则 % *& @!若 + # 2 + $ *"(则 $+2#+*" !" # [\[>8]^_N3 !6 年 : 考# 均为涉及" #! "北师七上;"$(<" 改编#解方程! ""## /:+*#"+/##$ 解#去括号)移项!得 #% 5,% )# 5+! 合并同类项!得 2% )-! 系数化为 "!得 % ) # % $ "##" / +/" # * # 2+ $ ! 解#去分母!得 - $%%% $"& )#%# 5%&! 去括号!得 - $%% 5% )+ 5#%! 移项!得$%% $#% )+ $- $%! 合并同类项!得$.% )$.! 系数化为 "!得 % )"$ %! "华师七下 ;#"<8 改编#已知关于 +的 方程 %+*$+/-! ""#若+*"是方程的解(则 %的值为 !$ "##若方程无解(则 %的值为 !! 8%! $ "$#若方程的解是负数(则 % 的取值范围 为 !! 8%! $ "-#若方程有非负整数解(则整数 % 的所有可 能的取值的和为 !! 8%! & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ! )! ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 !" % =\[>8]`ab^_N3 !6 年 "$ 考#均为涉及" +! "人教七下 ;86<. 改编#选择合适的方 法解下列方程组! ""# #+2.2*/(( /+2$2*"- { $ 解# #% 5.))$-! ! $% 5%))"+! { " 由 " !得 % )%)$"+! ( 把 ( 代入 ! !得 #%%)$"+& 5.))$-! 解得))#$ 把))# 代入 ( !得 % )$/! <这个方程组的解为 % )$/! ))# { $ "## + . / 2 # *#( #+2$2*- { ! 解# % . $ ) # )#! ! #% 5%))+! { " ! 1"(!得 #% $.))#(! ( " $ ( !得 /))$"-!解得))$#$ 把))$# 代入 " !得 #% 5% 1% $#& )+! 解得 % ).!<这个方程组的解为 % ).! ))$# { $ .! "北师八上;"$#<$ 改编#已知 +*#( 2 { *" 是 二元一次方程组 .+2'2*6( '+/.2 { *" 的解(则 $./' 的值为 " : # =9: >9$ ?9/": @9"" !" + [>8]`ab%#cde !6年.考" -! "人教七下;")"<$ 改编#一支部队行军 两天(共行进 :6 H7!已知这支部队第一天的 平均速度每小时比第二天快 "!. H7(且第一 天行军 - 小时(第二天行军 . 小时!如果设第 一天行军的平均速度为 +H7IJ(第二天行军 的平均速度为 2H7IJ(则可列二元一次方程 组为 " 7 # =9 +22*:6 -+/.2*"! { . >9 +/2*"!. -+2.2 { *:6 ?9 +22*"!. -+/.2 { *:6 @9 2/+*"!. -+2.2 { *:6 ,! "#)#- 陕西 #) 题 . 分#星期天(妈妈做 饭(小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除!根 据这次大扫除的任务量(若小峰单独完成(需 - J$若爸爸单独完成(需 # J!当天(小峰先单 独打扫了一段时间后(去参加篮球训练(接着 由爸爸单独完成剩余的打扫任务!小峰和爸 爸这次一共打扫了 $ J(求这次小峰打扫了多 长时间! 解#设这次小峰打扫了 % =!则爸爸打扫了%% $ %&=$ 由题意!得 " + % 5 " # %% $%& )"! 解得 % )#$ 答#这次小峰打扫了 # =$ /! "#)#" 陕西 "8 题 . 分#一家商店在销售 某种服装!每件的标价相同"时(按这种服装 每件标价的 6 折销售 ") 件的销售额(与按这 种服装每件的标价降低 $) 元销售 "" 件的销 售额相等!求这种服装每件的标价! 解#设这种服装每件的标价是 %元! 根据题意!得 "( 1($/% )""%% $%(&! 解得 % )""($ 答#这种服装每件的标价为 ""( 元 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & $ 新人教七上数学活动'''木杆挂重问题 2!如图(有. 个重量一样的重物(有# 个挂在木杆的右端(有$ 个挂在木杆的左边(并使左右平衡 !杠杆平衡原理$动力5动力臂*阻力5阻力臂"!设木杆长 % +7(支点在木杆的中点处(支点到 木杆左边挂重物处的距离为++7(把 %作为已知数(列出关于+的一元一次方程为! !!! !! !! !!!!请完成分层进阶练习册32 93"( 习题 *" $5.(1) 对点自测 (5)1 [x=1. (1)方程组的解是 (2)方程组的解是 [x=1. 1y-2; ly=1. ++- +l"a-f 1. C 2 (2)x=1. 当a=2+1时,原式= 3.(1)-1(2)3(3)a>3 (4)2 小专题培优1 趣味数学 [x=-8. 4.(1)这个方程组的解为 1. B 1y=2. 2. A【解析】观察图形,可知;a.=2+1=3=1x3,= (2)这个方程组的解为[x=5. $ +3+2+1=8=2x4,=2+3+4+3+2+1=1$ = 1y=-2. 3$5=2+3+4+5+4+3+2+1=24=4x6... 5. A 6. B 7. 解:设这次小峰打扫了xh.则爸爸打扫了(3-x)h a 2 由题意,得+(3-x)-1,解得x-2. 11 10 1 答:这次小峰打扫了2h. 8. 解:设这种服装每件的标价是x元. 根据题意,得10x0.8x=11(x-30),解得x=110 =45 90 答:这种服装每件的标价为110元 3. 0(答案不唯-)4. -2 5.6 6. 147.4 9. 3x=a -5或-8【解析】这8个数字的和是-4..横、竖 8. 第二节 分式方程及其应用 ①分母 ②最简公分母 ③最简公分母 ④0 以及内外两个正方形的4个数字之和都等于-2.根据 增根 题意,有-8+5+b+7=-2.解得b=-6;根据内圈 无解 正方形的4个数字之和等于-2,得内圈右边的圆圈应 1.A2.(1)-1(2)-1或1 填3,则a=1或-2.因此,a+b=-5或-8. 过3. 原方程的解为x-5 9. 602或598 【解析】由题意可知:9+a+b=a+b+c. $.c=9.:三个相邻格子之和为9+(-5)+1=5. 4. 原方程的解是x=-1. 'b+9+(-5)=5.b=1..9+a+1=5.= 5.A -5.小格子中的数为9,-5.1三个数的不断循环 6. 解:设该商场购进第一批T衫每件的进价是x元,则 9+(-5)+1=5.1004+5=200....-4.且9+(-5)=4. 第二批T慌衫每件的进价是(x+4)元, .m=200x3+2=602;199t5+9=1004.m= 由题意,得8800 4000x2.解得x=40. 199x3+1=598.综上所述,m的值是602或598 x44= 经检验,x=40是原方程的解,且符合题意. 单元整体构建 :.x+4-40+4-44. 易错题专练 答:该商场购进第一批T衫每件的进价是40元,第 1.3 2.4 3. C 二批T灿衫每件的进价是44元. 4. 3(a-b)?+(-6a^’b+12a}6)-2ab=36} 第三节 一元二次方程及其应用 当b=-1时,原式=3 ①2 ②n+m→-m ③-b6-4ac ④a 2a 3_× 2(-1) x1-2x+2 对点自测 A. (-1)(x+1)(x-1)(x+1) (x-1)(x+1) (1)x.=-3.x=-1:(2)x.=2.=-6; x-3 12- (3)x--1+4 .-1-4 x+1 4 第二单元 方程(组)与不等式(组) -2xx2 第一节 一次方程(组)及其应用 (x.+x)-4xx ①-个 ②1 ③2(3x-1)=6-(4x-1)④6x-2= a(1-x)}=b(a- $x)(b-2x) (a-x)(b-x)(a-x)(b-x) 过.ba(1+x):②n(n-1) ⑧两个1 ②n(n-1) 2 陕西数学3