第一单元 第四节 整式(含因式分解)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

课堂精讲册 第一部分 追本溯源夯基础 第一单元数与式 5.11-2781 -11一8-8 第一节实数及其相关概念 ①无限循环②-3℃③一一对应④大⑤正数 5-225-299 2 ⑥负数①a-61⑧生⑨符号用-a0 6.原式=-2.7.原式=-1-3.8原式=4-33 9.B 卫03两侧相等5距离G它本身0B它 的相反数四a0①-a②a=b或a=-b②大 第四节整式（含因式分解） 405±1②1110图7.67.58 ①和②常数项③次数最高④相同⑤相同⑥系 1.-6000元 数（⑦不变⑧5m2b⑨+b+c0-b-c①相加 2.①2④6⑦⑨0③⑤8①2④56⑨ ③18 2a”n3相减④a""⑤相乘0aa"乙 ②0 B6ab 19ma mb me am an bm bn a- 3.(1)-2(2)点C和点D(3)-3或1(4)2 6②a2±2ab+b34a'x24a+b5m(a+b+c） 4c【度式培5子-号 1.(1)a2+6(2)(1-15%)a(3)0.8a (4)(8m+100n） 6.(1)4×103(2)1.173×103(3)1.173×10 2.A (4)5×104(5)-3.05×10-1(6)2×10- 3.(1)4x+4y3.5xy(2)3670 【拓展设问】(7)0.00000234 4.③⑥5.A6.②86 7.C8.59.09.B 7.解：(x+y)2+x(x-2y) 第二节数的开方及二次根式 =x2+2y+y2+x2-2y ①两②相反数③0④0,1⑤0，±1⑥a=b或a+ =2x2+y2. b=0⑦a+b=0⑧大于或等于⑨相同0a 当x=1,y=-2时， 原式=2×12+(-2)2=2+4=6. 重-a心6·6B瓜⑧√只 0最简 8.(1)2x(x-2)(2)(x+2y)(x-2y)(3)b(a-2) (4)m(m+n)(m-n)(5)-(2a+3b)(4a+3b) ①被开方数 (6)(x+1)(x+2) 对点自测-121 9.x(x+3)210.A11.(2n+2)202 B4094团922②342雪382.5 12.解：(1)973379 72.5286.25296.25>02①ma-n (2):a>b>c>0. 1.②④⑤2.x≥22【变式】x<2 .最大的三位数是100a+10b+c,最小的三位数是 304万22而(3)5(42 I00e+10b+a, (5)2/7x ∴.100a+10b+c-(100e+10b+a)=99a-99e= (6)1b1/5ab 99(a-c), 4.④⑥85.(1)原式=14：(2)原式=-2 ∴.最大三位数与最小三位数之差可以被99整除： (3)495.【解法提示】任选一个三位数972.由题意 6.D7.√10（答案不唯一） 可得972-279=693,963-369=594,954-459= 第三节实数的大小比较及运算 495,954-459=495,“卡普雷卡尔黑洞数”是495. ①小②大③1④负数⑤正数⑥-1⑦计 第五节分式 ①B≠0②B=0③A=0且B≠0④不等于0⑤不 8片⑨%-405 23 变⑥公因式⑦x(x+1)(x-1) 对点自测 解：原式=1-23+4×5 0不变①加减D生少B%g去c5变号 +2=3 bd 0不为0 1.B2.<3.m>6>0>-3>-5 1.x3x=3x=5【变式】x=-3 4.-2-15【变式】D 2.①86D①8③3.①8③⑤64.B 2众相原创赋能中考! 第一单元!数与式 !;#$<3=>?3@AB !"# $%&'()* !" " J$? 代数式 用基本运算符号把数和字母连接而成的式子!单独的一个数或一个字母也是代数式 列代数式 找出问题中的数量关系(再用含有数&字母和运算符号的式子表示出来 代数式求值 ""#直接代入法$ "##整体代入法!整体思想" 首先观察已知条件与所求代数式的关系(然后将所求代数式变形(使其为含有已知代数式 的形式(最后把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值 !" # K?%)L@A 单项式 概念 由数或字母的积组成的式子!单独的一个数或一个 字母也是单项式 系数 单项式中的数字因数 次数 一个单项式中(所有字母的指数的 ! !!和! 多项式 概念 几个单项式的和 项 多项式中的每个单项式叫做多项式的项(其中不含 字母的项叫做 # !常数项! 次数 多项式中 $ !次数最高!项的次数 整式 单项式和多项式统称整式 同类项 所含字母 % !相同!(并且 & !相同!字母的指数也相同的项!所有常数项都是同类项" !" % K?%D: !重点" "!整式的加减"实质$合并同类项# 运算法则 几个整式相加减(如果有括号就先去括号(然后再合并同类项 合并同类项 把各同类项的 ' !系数!相加减(字母连同它的指数 ( !不变!! 如!$%#&2#%#&* ) !.! # " ! 去括号法则 括号前是% 2'(去括号时(括号内各项不变号!如!% 2"&2,# *% * ! 5" 5& ! $ 括号前是% /'(去括号时(括号内每一项都变号!如!% /"&2,# *% + ! $" $& ! ! 口诀#( 2)不变%( /) ######## 变 #!幂的运算!.#'为正整数" 同底数幂相乘 底数不变(指数 ,-. !相加!(即 %.*%' * ,-/ !! '5# ! 同底数幂相除 底数不变(指数 ,-0 !相减!(即 %.B%' * ,-1 !! '$# !!% $ )" ) ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 续表 幂的乘方 底数不变(指数 ,-2 !相乘!(即"%.# ' * ,-3 !! '# ! 积的乘方 把积的每一个因式分别乘方(再把所得的幂相乘(即"%&# ' * ,-4 !! # " # ! %!整式的乘除 单项式乘 单项式 把它们的系数&同底数幂分别相乘(其余字母连同它的指数不变(作为积的因式!如! #%& # *$&* ,-5 !-!" % ! 单项式乘 多项式 用单项式去乘多项式的每一项(再把所得的积相加!如!."%2&2,# * ,-6 !'!5'"5'&! 多项式乘 多项式 先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项(再把所得的积相加! 如!"% 2&#".2'# * ,78 !!'5!#5"'5"#! 乘法公式 ""#平方差公式 公式!"% 2&#"% /&# * ,7. ! ! # $" # ! 几何背景! "##完全平方公式 公式!"% A&# # * ,7/ !! # *#!" 5" # ! 几何背景! 单项式除 以单项式 把系数和同底数幂分别相除作为商的因式(对于只在被除式里含有的字母(则连同它 的指数作为商的一个因式!如!"#%$&#+B$%&# * ,70 !+! # % ! 多项式除 以单项式 先用这个多项式的每一项除以这个单项式(再把所得的商相加!如!"%.2&.# B.* ,71 !! 5"! !" + M?&N 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式 方法 ""#提公因式法#.% 2.&2.,* ,72 !'%! 5" 5&& ! $ 公因式的确定 系数!取各项系数的最大公约数 字母!取各项相同的字母 指数! { 取各项相同字母的最低次数 "##公式法#%# /&# *"% 2&#"% /&#$%# A#%&2&# *"% A&# #$ "$#!知识拓展"十字相乘法#+# 2"% 2&#+2%&*"+2%#"+2&# 步骤 !特别提醒"!""因式分解的结果一定是积的形式#且每个因式都不能再进行因式分解% !#"因式分解是把和差化为积的形式#而整式乘法是把积化为和差的形式#二者是互逆的变形! *! ! 第一单元!数与式 !" . J$OP 示例#"课标;"-- 例 ((#设%&,/是一个四位数(若 % 2&2,2/可以被 $ 整除(则这个数可以被 $ 整除! 论证如下#%&,/ *" )))% 2"))&2"),2/ *"888% 288&28,# 2"% 2&2,2/#( 显然 888% 288&28,可以被 $ 整除( 因此(若 % 2&2,2/可以被 $ 整除(则%&,/就可以被 $ 整除! +"# ,-./012 !" " J$? "! "人教七上 ;.8<" 改编#根据要求列代 数式! ""#%(&两数的平方和是! ! # 5" # !$ "##设甲数为 %(乙数比甲数少 ".0(则乙数 为! %" $".(&! !$ "$#原价为 % 元1双的球鞋(%十一'期间八折 出售(则售价为! ($/! !元1双$ "-#自来水每立方米 .元(电每千瓦时 ' 元( 若小明家本月用水 6 立方米(用电 ")) 千瓦 时(则一共应缴费! %/'5"((#& !元! #! "华师七上 ;"":<": 改编#如果代数式 -2 # /#22. 的值是 :(那么代数式 #2# /22" 的值等于 " : # !!!!!!!!!!!!!!! =9# >9$ ?9/# @9- %! "北师七上;6.<# 改编#如图! ""#图中阴影部分的周长为! +% 5+) !(面积 为! %$.%) !$ "##若+*.(2*-(则阴影部分的周长是! %- !( 面积是! ,( !! !" # K?%)L@A +! "北师七上 ;66 随堂练习改编#下列说 法中(正确的是! ($ !!!填序号" ! # 不是单项式$ # 单项式 +2的系数是 )$ $ 单项式/ +2 # 的次数是 #$ % 多项式+# 2+$ 是 五次二项式$ & 多项式 .+# /(+2/" 的常数项 是 "$ ' $%& # 与/.&#%是同类项! !" % K?%D: !6年:考#且近:年连续考查" .! "人教八上;")8 思考改编#如图是利用 割补法求图形面积的示意图(下列公式中与 之相对应的是 " : # =9"% 2&# # *% # 2#%&2& # >9"% /&# # *% # /#%&2& # ?9"% 2&#"% /&# *% # /& # @9"%&# # *% # & # -! "#)"6 E#)#$ 陕西真题组合改编#下列 运算正确的是! "($ !!!填序号" ! #% # *$% $ *.% . $ # /% # 2#% # *% # $ $ "% $ &# /# * " % ( & # $ % " / # $ + # 2# $ * 6 #: + ( 2 $ $ & "% /## # *% # /-$ ' (+2 # *" / " # + $ 2 $ # */$+ - 2 . ! ,! "#)#- 陕西 ". 题 . 分#先化简(再求值! "+22# # 2+"+/#2#(其中+*"(2*/#! 解#%% 5)& # 5%%% $#)& )% # 5#%)5) # 5% # $#%) )#% # 5) # $ 当 % )"!))$# 时! 原式)# 1"# 5% $#& # )# 5+ )- & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & $ !! ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 !" + M?&N !6 年 # 考" /! "北师八下;")-<" 改编#分解因式! ""##+ # /-+*! #%%% $#& !$ "##+ # /-2 # *! %% 5#)&%% $#)& !$ "$#% # &/-%&2-&*! "%! $#& # !$ "-#. $ /' # .*! '%'5#&%'$#& !$ ".#% # /8"%2&# # *! $%#!5%"&%+!5%"& !$ "(#+ # 2$+2# *! %% 5"&%% 5#& !! 2! "#)#- 陕西 8 题 $ 分#分解因式!+$ 2 (+ # 28+*! %%% 5%& # !! !" . J$OP "(!若#($((均为整式(且#*$*((则称#!或 $"能整除(!例如(由"+2$#"+/## *+# 2+/ ((可知+2$!或+/#"能整除+# 2+/(!已知 +/#能整除+# 23+/:(则3的值为 " : # =9 $ # >9 . # ?9 : # @9 "$ & & & & & & & & & & & & & & & & & & # !新增"新北师七上问题解决策略'''归纳 ""!长方形内点的个数与可以形成的三角形个数的有关数据如表! 长方形内点的个数 " # $ - & 可以形成的三角形的个数 - ( 6 ") & !归纳"观察表格中的四组数据变化(比较后发现长方形内点的个数每增加 " 个(可以形成的 三角形的个数增加 # 个(故可以通过这一规律总结得到!当长方形内点的个数为 '!'为正整 数"时(可以形成的三角形有! !! !个$ !解决问题"当长方形内有 ")) 个点时(可以形成的三角形有! !! !个! 新北师七下综合与实践'''设计自己的运算程序 "#!若一个三位数的百位&十位和个位上的数字分别为+(2和4(则这个三位数可记为+24(易得 +24*"))+2")224! ""#如果要用数字 $(:(8 组成一个三位数!各数位上的数不同"(那么组成的数中最大的三 位数是! !! !(最小的三位数是! !! !$ "##若一个三位数各数位上的数由 %(&(,三个数字组成(且 % 4&4,4)!那么(请说明所组成 的最大三位数与最小三位数之差可以被 88 整除$ "$#任选一个三位数(要求个位&十位&百位上的数字各不相同且不为零(把这个三位数的三 个数字重新排列(得出一个最大的三位数和一个最小的三位数(用最大的三位数减去最小的 三位数(可得到一个新数(再将这个新数按上述方式重新排列(再相减(像这样运算若干次后 一定会得到同一个重复出现的数(将这个数称为%卡普雷卡尔黑洞数'!那么%卡普雷卡尔黑 洞数'是! !! !! !! !!!! 请完成分层进阶练习册3. 93- 习题 "!