第一单元 第二节 数的开方及二次根式-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

! 众相原创 赋能中考!陕西数学 !-#$&./0'-123 !"# $%&'()* !" " 789+:;789+<89 !重点" % 4) % *) % 0) 性质 平方根 A槡% ) 无 ""#正数有 ! !两!个平方根(它们互为 # !相反数!$ "##平方根等于它本身的数是 $ !(! 算术平方根 槡% ) 无 算术平方根等于它本身的数是%!(!"! 立方根 $ 槡%"正数# ) $ 槡%"负数# 立方根等于它本身的数是&!(! *"! !特别提醒"解题时注意区分'%#&是+的平方根(和'+的平方根是 %#&(的意思$若 %#&是+的平方根# 则 ' !!!!!!!两种情况"%若+的平方根是 %#&#则 ( !!!!!!!一种情况"! !" # =>9?%@A 概念 一般地(形如槡%"%")#的式子叫做二次根式(%是被开方数 有意义 的条件 被开方数 ) !大于或等于!) 最简二 次根式 需同时满足以下两个条件! ""#被开方数不含分母(即分母中不含根式(如! " 槡$ ( " 槡$ 均不是最简二次根式$ "##被开方数中不含能开得尽方的因数或因式(如!槡6( % # &槡 #均不是最简二次根式 同类二 次根式 化为最简二次根式后(被开方数 * !相同!的几个二次根式称为同类二次根式(如!槡"6 !化简后为 $槡#"与槡#就是同类二次根式 !" % =>9?%BC4D: !重点" 二次根式 的性质 ""#双重非负性!% " ) 且槡%")$ "##"槡%# # * + !! ! "% " )#$ "$# %槡 # *3%3* %"% " )#( ,-. ! $! ! "% 0) { #$ "-# 槡%&*,-/!槡!"槡"!"%")(&")#$ ".# % 槡& * ,-0 !!! ! "% " )(&4)# 二次根式 的运算 乘除运算 槡%*槡&*,-1!槡!"!"%")(&")#$ 槡% 槡& * ,-2 !!! ! "% " )(&4)# 加减运算 先将各二次根式化成 ,-3 !最简!!二次根式(再将 ,-4 !被开方!相同的二次 根式进行合并(如!槡6 2槡# *#槡# 2槡# *$槡# 混合运算 先乘除(后加减$有括号的先算括号里面的$同级运算从左往右依次进行 $ ! 第一单元!数与式 !知识拓展" 分母有理化#若二次根式中含分母#需将二次根式化为分母是有理数的形式#即 % 槡& * 槡 槡 % & * 槡%)槡& 槡&)槡& * 槡%& & !% " )#&4)"!如$ 槡 $ . * 槡". . ! !特别提醒" ""#在二次根式的运算中# ############## 一般要把最后结果化为最简二次根式% !#"常见非负数及其性质$3%3 " )#% # " )#槡%") ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ' ' ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ' ' ( ( ( ( ! 对点自测 已知"% 2"# # 2 &槡 /# 2",/"# # *)(则 % *! $" !(&*! $# !(,*! $" !! !" + =>9?%E. 确定二次 根式的值 在哪两个 相邻整数 之间 步骤 举例 ""#平方$ "##找两数!找与平方后所得数字相邻的两 个开得尽方的整数$ "$#开方$ "-#定范围 "槡(# # *($ ,-5 !+! 0( 0 ,-6 !2!$ ,78 !+! 0槡( 0,7.!2!( 即 ,7/ !#! 0槡( 0,70!%!$ 槡(在,71!#!和,72!%!之间 确定二次 根式的值 离哪个整 数较近 步骤 举例 ""#找相邻整数$ "##求相邻整数的平均数$ "$#求这个平均数的平方$ "-#比大小%定结果!若平均数的平方大于 二次根式的平方(则该二次根式离较小的 那个整数近(否则离较大的那个整数近 # 0槡( 0$$ # 2$ # * ,73 !#$.!$ ,74 !#$. # ! * ,75 !-$#.!$ ,76 !-$#.!((则槡(离,:8!#!较近 !技巧点拨" !""记住常见的二次根式的大概值#可提升解题速度#如$槡#)"!-"-#槡$)"!:$##槡.)#!#$(#槡() #!--8#槡:)#!(-(% !#"若 ' 0槡% 0' 2"!%")#'为整数"#则槡%的整数部分是,:.!!!!#小数部分是,:/!!!!% !$"求立方根的估值#与二次根式的估值方法类似#只是将'平方(改为'立方(! % ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 +"# ,-./012 !" " 789+:;789+<89 !6 年 $ 考" "! "人教七下;-: 复习巩固<- 改编#下列 说法正确的是! "#) !!!填序号" ! #. 的平方根是 .$ #槡(-的立方根是 #$ $ /- # 没有算术平方根(但有平方根$ % 8 的算术平方根是 $$ & #. 槡$( * . ( $ '槡6"的平方根是A8! !" # =>9?%@A #! "人教八下 ;.<" 改编#已知二次根式 +槡 /#(要使式子有意义(则 +的取值范围是 !% " #! $要使式子的值为)(则+的值是 !#! ! !变式"使代数式 " # /槡 + 有意义的 +的取值范围 是 !% 4#! ! %! "人教八下;") 练习<# 改编#把下列二 次根式化成最简二次根式! ""#槡$# *!!!!$ "##槡-) *!!!!$ "$# "!槡 . *!!!!$"-# - 槡$ *! !! !$ ".# #6槡 +*!!!!$ "(# .%&槡 $ *! !! !! !" % =>9?%BC4D: !6 年 . 考" +! "人教八下;". 练习<" 改编#下列运算 正确的是! #$* !!!填序号" ! " /$#槡 # */$$ # # 槡$ * 槡# $ $ $ # 2槡# *#槡#$ %槡"# /槡$ *槡$$ & # # 2$槡 # *# 2$$ '槡$ 5槡# *槡($ (槡". B槡. *$$ ) " /槡.# 5" /槡")# *.槡#! .! "北师八上;.)<6 改编#计算! ""#(槡: 5 槡#" $ B槡$$ 解#原式)-槡, 1 槡, 1槡% % 1 " 槡% ) - 1, % )"+$ "##槡#: 2$ " 槡$ /$槡( 5槡#! 解#原式)%槡% 5% 1 槡% % $%槡"# )%槡% 5槡% $-槡% )$#槡%$ !" + =>9?%E. !6 年 # 考#均为涉及" -! "北师八上;.)<") 改编#把下列四个数 表示在数轴上(离原点最近的是 " 6 # !!!!!!!!!!!!!!! =9/# >9槡( ?9$ @9/槡$ ,! "人教七上 ;("<- 改编#写出一个无理 数+(使得 $ 0+0-(则+可以是 !! !只要写出一个满足条件的+即可 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & " !! !!!!! 请完成分层进阶练习册3# 习题 & 课堂精讲册 第一部分 追本溯源夯基础 第一单元数与式 5.11-2781 -11一8-8 第一节实数及其相关概念 ①无限循环②-3℃③一一对应④大⑤正数 5-225-299 2 ⑥负数①a-61⑧生⑨符号用-a0 6.原式=-2.7.原式=-1-3.8原式=4-33 9.B 卫03两侧相等5距离G它本身0B它 的相反数四a0①-a②a=b或a=-b②大 第四节整式（含因式分解） 405±1②1110图7.67.58 ①和②常数项③次数最高④相同⑤相同⑥系 1.-6000元 数（⑦不变⑧5m2b⑨+b+c0-b-c①相加 2.①2④6⑦⑨0③⑤8①2④56⑨ ③18 2a”n3相减④a""⑤相乘0aa"乙 ②0 B6ab 19ma mb me am an bm bn a- 3.(1)-2(2)点C和点D(3)-3或1(4)2 6②a2±2ab+b34a'x24a+b5m(a+b+c） 4c【度式培5子-号 1.(1)a2+6(2)(1-15%)a(3)0.8a (4)(8m+100n） 6.(1)4×103(2)1.173×103(3)1.173×10 2.A (4)5×104(5)-3.05×10-1(6)2×10- 3.(1)4x+4y3.5xy(2)3670 【拓展设问】(7)0.00000234 4.③⑥5.A6.②86 7.C8.59.09.B 7.解：(x+y)2+x(x-2y) 第二节数的开方及二次根式 =x2+2y+y2+x2-2y ①两②相反数③0④0,1⑤0，±1⑥a=b或a+ =2x2+y2. b=0⑦a+b=0⑧大于或等于⑨相同0a 当x=1,y=-2时， 原式=2×12+(-2)2=2+4=6. 重-a心6·6B瓜⑧√只 0最简 8.(1)2x(x-2)(2)(x+2y)(x-2y)(3)b(a-2) (4)m(m+n)(m-n)(5)-(2a+3b)(4a+3b) ①被开方数 (6)(x+1)(x+2) 对点自测-121 9.x(x+3)210.A11.(2n+2)202 B4094团922②342雪382.5 12.解：(1)973379 72.5286.25296.25>02①ma-n (2):a>b>c>0. 1.②④⑤2.x≥22【变式】x<2 .最大的三位数是100a+10b+c,最小的三位数是 304万22而(3)5(42 I00e+10b+a, (5)2/7x ∴.100a+10b+c-(100e+10b+a)=99a-99e= (6)1b1/5ab 99(a-c), 4.④⑥85.(1)原式=14：(2)原式=-2 ∴.最大三位数与最小三位数之差可以被99整除： (3)495.【解法提示】任选一个三位数972.由题意 6.D7.√10（答案不唯一） 可得972-279=693,963-369=594,954-459= 第三节实数的大小比较及运算 495,954-459=495,“卡普雷卡尔黑洞数”是495. ①小②大③1④负数⑤正数⑥-1⑦计 第五节分式 ①B≠0②B=0③A=0且B≠0④不等于0⑤不 8片⑨%-405 23 变⑥公因式⑦x(x+1)(x-1) 对点自测 解：原式=1-23+4×5 0不变①加减D生少B%g去c5变号 +2=3 bd 0不为0 1.B2.<3.m>6>0>-3>-5 1.x3x=3x=5【变式】x=-3 4.-2-15【变式】D 2.①86D①8③3.①8③⑤64.B 2众相原创赋能中考