2022年北京中考数学一模分类汇编——尺规作图

2022北京中考数学一模分类汇编——尺规作图（解析） 1．（2022•西城区一模）已知：如图，线段AB． 求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB． 作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE＝EF＝FG，连接BG； ②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H； ③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD＝AC．所以点C，D就是所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵EH＝BG，BH＝EG， ∴四边形EGBH是平行四边形．（ 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　）（填推理的依据） ∴EH∥BG，即EC∥BG． ∴AC：　AB　＝AE：AG． AE＝EF＝FG， ∴AE＝　　AG． ∴ACAB＝CD． ∴DBAB． ∴AC＝CD＝DB． 【分析】（1）根据已知作法作图即可； （2）根据证明补全即可． 【解答】解：（1）依作法补全图形如下： （2）证明：∵EH＝BG，BH＝EG， ∴四边形EGBH是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）， ∴EH∥BG，即EC∥BG． ∴AC：AB＝AE：AG． AE＝EF＝FG， ∴AEAG． ∴ACAB＝CD． ∴DBAB． ∴AC＝CD＝DB． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，AB，． 【点评】本题考查三等分相等的作法及证明，涉及平行四边形判定、性质及平行线分相等成比例等知识，解题的关键是读懂作法，按作法作图和补全证明． 2．（2022•东城区一模）已知：线段AB． 求作：Rt△ABC，使得∠BAC＝90°，∠C＝30°． 作法： ①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D； ②连接BD，在BD的延长线上截取DC＝BD； ③连接AC． 则△ABC为所求作的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AD． ∵AB＝AD＝BD， ∴△ABD为等边三角形（ 　三边相等的三角形是等边三角形　）．（填推理的依据） ∴∠B＝∠ADB＝60°． ∵CD＝BD， ∴AD＝CD ∴∠DAC＝　∠DCA　（ 　等边对等角　）．（填推理的依据） ∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°． ∴∠C＝30°． 在△ABC中， ∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）证明△ADB是等边三角形，可得结论． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：连接AD． ∵AB＝AD＝BD， ∴△ABD为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）．（填推理的依据）》 ∴∠B＝∠ADB＝60°． ∵CD＝BD， ∴AD＝CD ∴∠DAC＝∠DCA（等边对等角）．（填推理的依据） ∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°． ∴∠C＝30°． 在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°． 故答案为：三边相等的三角形是等边三角形，∠DCA，等边对等角． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2022•朝阳区一模）中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”． 由记载可得作法如下： ①作⊙M，在⊙M上取一点N，以点N为圆心，MN为半径作⊙N，两圆相交于A，B两点，连接AB； ②以点B为圆心，AB为半径作⊙B，与⊙M相交于点C，与⊙N相交于点D； ③连接AC，AD，BC，BD． △ABC，△ABD都是圆内接正三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AM，AN，MN，BM． ∵MA＝MN＝NA， ∴△AMN为 　等边三角形　． ∴∠AMN＝60°． 同理可得，∠BMN＝60°． ∴∠AMB＝120°． ∴∠ACB＝60°（ 　同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半　）（填推理的依据）． ∵BA＝BC， ∴△ABC是等边三角形． 同理可得，△ABD是等边三角形． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用圆周角定理，等边三角形的判定解决问题即可． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：连接AM，AN，MN，BM． ∵MA＝MN＝NA， ∴△AMN为（等边三角形）． ∴∠AMN＝60°． 同理可得，∠BMN＝60°． ∴∠AMB＝120°． ∴∠ACB＝60°（同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半）， ∵BA＝BC， ∴△ABC是等边三角形． 同理可得，△ABD是等边三角形． 故答案为：等边三角形，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．（2022•丰台区一模）《周髀算经》中记载了一种确定东南西北方向的方法．大意是：在平地上点A处立一根杆，记录日出时杆影子的长度AB，并以点A为圆心，以AB为半径画圆，记录同一天日落时杆影子的痕迹与此圆的交点C，那么直线CB表示的方向就是东西方向，∠BAC的角平分线所在的直线表示的方向就是南北方向． （1）上述方法中，点A，B，C的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作∠BAC的角平分线AD（保留作图痕迹）； （2）在图中，确定了直线CB表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线AD表示的方向为南北方向，完成如下证明． 证明：∵点B，C在⊙O上， ∴AB＝ 　AC　． ∴△ABC是等腰三角形． ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC （ 　三线合一　）（填推理的依据）． ∵直线CB表示的方向为东西方向， ∴直线AD表示的方向为南北方向． 【分析】（1）利用尺规作出图形即可； （2）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题． 【解答】（1）解：如图，射线AD即为所求； （2）证明：∵点B，C在⊙O上， ∴AB＝AC． ∴△ABC是等腰三角形． ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC （三线合一）． ∵直线CB表示的方向为东西方向， ∴直线AD表示的方向为南北方向． 故答案为：AC，三线合一． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 5．（2022•石景山区一模）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＜CA． 求作：线段AB上的一点M，使得∠MCB＝∠A． 作法： ①以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D； ②分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧在AB的右侧相交于点E； ③作直线CE，交AB于点M． ∠MCB即为所求． 根据小伟设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接CD，ED，EB． ∵CD＝CB，ED＝EB， ∴CE是DB的垂直平分线（ 　线段垂直平分线的判定　）（填推理的依据）． ∴CM⊥AB． ∴∠MCB+∠B＝90°． ∵∠ACB＝90°． ∴∠A+∠B＝90°． ∴∠MCB＝∠A（ 　余角的性质　）（填推理的依据）． 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）连接CD，ED，EB．根据线段垂直平分线的性质和余角的性质即可得到结论． 【解答】（1）解：如图所示，∠MCB即为所求； （2）证明：连接CD，ED，EB． ∵CD＝CB，ED＝EB， ∴CE是DB的垂直平分线（线段垂直平分线的判定）， ∴CM⊥AB． ∴∠MCB+∠B＝90°． ∵∠ACB＝90°． ∴∠A+∠B＝90°． ∴∠MCB＝∠A（余角的性质）， 故答案为：线段垂直平分线的判定，余角的性质． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，余角的性质，正确地作出图形是解题的关键． 6．（2022•通州区一模）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC． 求作：点P，使得AP＝AB，且∠APC＝∠BAC． 作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆； ②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点D（异于点C）； ③连接DA并延长交⊙A于点P． 所以点P就是所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接PC． ∵AB＝AC， ∴点C在⊙A上． ∵， ∴∠DPC∠DAC（ 　同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半　）（填推理的依据）， 由作图可知，， ∴∠DAB＝　∠BAC　∠DAC． ∴∠APC＝∠BAC． 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）利用圆周角定理解决问题即可． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：连接PC． ∵AB＝AC， ∴点C在⊙A上． ∵， ∴∠DPC∠DAC（同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半）， 由作图可知，， ∴∠DAB＝∠BAC∠DAC． ∴∠APC＝∠BAC． 故答案为：圆周角定理，∠BAC． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7．（2022•大兴区一模）下面是小云设计的“利用等腰三角形和它底边的中点作菱形”的尺规作图过程． 已知：如图，在△ABC中，BA＝BC，D是AC的中点． 求作：四边形ABCE，使得四边形ABCE为菱形． 作法：①作射线BD； ②以点D为圆心，BD长为半径作弧，交射线BD于点E； ③连接AE，CE，则四边形ABCE为菱形． 根据小云设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵点D为AC的中点， ∴AD＝CD． 又∵DE＝BD， ∴四边形ABCE为平行四边形（ 　对角线互相平分的四边形是平行四边形　）（填推理的依据）． ∵BA＝BC， ∴▱ABCE为菱形（ 　有一组邻边相等的平行四边形是菱形　）（填推理的依据）． 【分析】（1）题中已给出作图方法，按此方法用圆规和直尺作出图形即可； （2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明四边形ABCE为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得到问题的答案． 【解答】解：（1）如图， （2）证明：∵点D为AC的中点， ∴AD＝CD． 又∵DE＝BD， ∴四边形ABCE为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ∵BA＝BC， ∴▱ABCE为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【点评】此题考查平行四边形的判定、菱形的判定、尺规作图等知识与方法，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形作出图形是解题的关键． 8．（2022•房山区一模）已知：如图，点M为锐角∠APB的边PA上一点． 求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD＝2∠P． 作法：①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D； ②作射线MD． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵P、C、D都在⊙M上， ∠P为所对的圆周角，∠CMD为所对的圆心角， ∴∠P∠CMD（ 　在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半　）（填推理依据）． ∴∠AMD＝2∠P． 【分析】（1）根据作法即可补全图形； （2）根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半即可完成证明． 【解答】解：（1）如图，即为补全的图形， （2）证明：∵P、C、D都在⊙M上， ∠P为所对的圆周角，∠CMD为所对的圆心角， ∴∠P∠CMD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半）， ∴∠AMD＝2∠P． 故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理． 9．（2022•门头沟区一模）下面是小明设计“作圆的一个内接矩形，并使其对角线夹角为60°”尺规作图的过程． 已知：如图，⊙O． 求作：矩形ABCD，使矩形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD的夹角为60°． 作法：①作⊙O的直径AC； ②以点A为圆心，AO长为半径作弧．交直线AC上方的圆于点B； ③连接BO并延长交⊙O于点D； ④顺次连接AB、BC、CD和DA． 四边形ABCD就是所求作的矩形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵点A，C都在⊙O上， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∴四边形ABCD是平行四边形（ 　对角线互相平分的四边形是平行四边形　）（填推理依据）． 又∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°（ 　直径所对的圆周角是直角　）（填推理依据）， ∴四边形ABCD是矩形． 又∵AB＝AO＝　OB　． ∴△ABO是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴四边形ABCD是所求作的矩形． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，再证明△AOB是等边三角形，可得结论． 【解答】（1）解：如图，四边形ABCD即为所求矩形． （2）证明：∵点A，C都在⊙O上， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 又∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理依据）， ∴四边形ABCD是矩形． 又∵AB＝AO＝OB， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴四边形ABCD是所求作的矩形． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，直径所对的圆周角是直角，OB． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（2022•平谷区一模）有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　等腰三角形的三线合一　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BDr ∴S大⊙O＝π（r）2＝　2　S小⊙O． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）利用等腰三角形的性质以及圆面积公式证明即可． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（等腰三角形的三线合一）， 设小O半径长为r， ∵OB＝OD，∠DOB＝90°， ∴BDr， ∴S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O． 故答案为：等腰三角形的三线合一，2． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的性质，圆的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．（2022•顺义区一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是 　2　． 【分析】根据基本作图可判断AG平分∠BAC，过G点作GH⊥AC于H，如图，再利用角平分线的性质得到GH＝GB＝1，然后根据三角形面积公式计算． 【解答】解：由作法得AG平分∠BAC， 过G点作GH⊥AC于H，如图， ∵GB⊥AB，GH⊥AC， ∴GH＝GB＝1， ∴S△ACG•AC•GH1×4＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． 12．（2022•北京一模）已知：如图，直线l，和直线外一点P． 求作：过点P作直线PC，使得PC∥l， 作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点； ②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C； ③作直线PC． 直线PC即为所求作． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接BP． ∵BC＝AP， ∴　　． ∴∠ABP＝∠BPC（ 　同弧或等弧所对的圆周角相等　）（填推理依据）． ∴直线PC∥直线l． 【分析】（1）根据要求画出图形即可． （2）连接PB，只要证明∠ABP＝∠CPB即可． 【解答】解：（1）如图，直线PC即为所求作． （2）证明：连接PB． ∵BC＝AP， .∴， ∴∠ABP＝∠BPC（同弧或等弧所对的圆周角相等）， ∴直线PC∥直线l． 故答案为：，同弧或等弧所对的圆周角相等． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/21 18:19:44；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022北京中考数学一模分类汇编——尺规作图 1．（2022•西城区一模）已知：如图，线段AB． 求作：点C，D，使得点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB． 作法：①作射线AM，在射线AM上顺次截取线段AE＝EF＝FG，连接BG； ②以点E为圆心，BG长为半径画弧，再以点B为圆心，EG长为半径画弧，两弧在AB上方交于点H； ③连接BH，连接EH交AB于点C，在线段CB上截取线段CD＝AC．所以点C，D就是所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵EH＝BG，BH＝EG， ∴四边形EGBH是平行四边形．（ 　 　）（填推理的依据） ∴EH∥BG，即EC∥BG． ∴AC：　 　＝AE：AG． AE＝EF＝FG， ∴AE＝　 　AG． ∴ACAB＝CD． ∴DBAB． ∴AC＝CD＝DB． 2．（2022•东城区一模）已知：线段AB． 求作：Rt△ABC，使得∠BAC＝90°，∠C＝30°． 作法： ①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D； ②连接BD，在BD的延长线上截取DC＝BD； ③连接AC． 则△ABC为所求作的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AD． ∵AB＝AD＝BD， ∴△ABD为等边三角形（ 　 　）．（填推理的依据） ∴∠B＝∠ADB＝60°． ∵CD＝BD， ∴AD＝CD ∴∠DAC＝　 　（ 　 　）．（填推理的依据） ∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°． ∴∠C＝30°． 在△ABC中， ∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°． 3．（2022•朝阳区一模）中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”． 由记载可得作法如下： ①作⊙M，在⊙M上取一点N，以点N为圆心，MN为半径作⊙N，两圆相交于A，B两点，连接AB； ②以点B为圆心，AB为半径作⊙B，与⊙M相交于点C，与⊙N相交于点D； ③连接AC，AD，BC，BD． △ABC，△ABD都是圆内接正三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AM，AN，MN，BM． ∵MA＝MN＝NA， ∴△AMN为 　 　． ∴∠AMN＝60°． 同理可得，∠BMN＝60°． ∴∠AMB＝120°． ∴∠ACB＝60°（ 　 　）（填推理的依据）． ∵BA＝BC， ∴△ABC是等边三角形． 同理可得，△ABD是等边三角形． 4．（2022•丰台区一模）《周髀算经》中记载了一种确定东南西北方向的方法．大意是：在平地上点A处立一根杆，记录日出时杆影子的长度AB，并以点A为圆心，以AB为半径画圆，记录同一天日落时杆影子的痕迹与此圆的交点C，那么直线CB表示的方向就是东西方向，∠BAC的角平分线所在的直线表示的方向就是南北方向． （1）上述方法中，点A，B，C的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作∠BAC的角平分线AD（保留作图痕迹）； （2）在图中，确定了直线CB表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线AD表示的方向为南北方向，完成如下证明． 证明：∵点B，C在⊙O上， ∴AB＝ 　 　． ∴△ABC是等腰三角形． ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC （ 　 　）（填推理的依据）． ∵直线CB表示的方向为东西方向， ∴直线AD表示的方向为南北方向． 5．（2022•石景山区一模）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＜CA． 求作：线段AB上的一点M，使得∠MCB＝∠A． 作法： ①以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D； ②分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧在AB的右侧相交于点E； ③作直线CE，交AB于点M． ∠MCB即为所求． 根据小伟设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接CD，ED，EB． ∵CD＝CB，ED＝EB， ∴CE是DB的垂直平分线（ 　 　）（填推理的依据）． ∴CM⊥AB． ∴∠MCB+∠B＝90°． ∵∠ACB＝90°． ∴∠A+∠B＝90°． ∴∠MCB＝∠A（ 　 　）（填推理的依据）． 6．（2022•通州区一模）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC． 求作：点P，使得AP＝AB，且∠APC＝∠BAC． 作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆； ②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点D（异于点C）； ③连接DA并延长交⊙A于点P． 所以点P就是所求作的点． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接PC． ∵AB＝AC， ∴点C在⊙A上． ∵， ∴∠DPC∠DAC（ 　 　）（填推理的依据）， 由作图可知，， ∴∠DAB＝　 　∠DAC． ∴∠APC＝∠BAC． 7．（2022•大兴区一模）下面是小云设计的“利用等腰三角形和它底边的中点作菱形”的尺规作图过程． 已知：如图，在△ABC中，BA＝BC，D是AC的中点． 求作：四边形ABCE，使得四边形ABCE为菱形． 作法：①作射线BD； ②以点D为圆心，BD长为半径作弧，交射线BD于点E； ③连接AE，CE，则四边形ABCE为菱形． 根据小云设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵点D为AC的中点， ∴AD＝CD． 又∵DE＝BD， ∴四边形ABCE为平行四边形（ 　 　）（填推理的依据）． ∵BA＝BC， ∴▱ABCE为菱形（ 　 　）（填推理的依据）． 8．（2022•房山区一模）已知：如图，点M为锐角∠APB的边PA上一点． 求作：∠AMD，使得点D在边PB上，且∠AMD＝2∠P． 作法：①以点M为圆心，MP长为半径画圆，交PA于另一点C，交PB于点D； ②作射线MD． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵P、C、D都在⊙M上， ∠P为所对的圆周角，∠CMD为所对的圆心角， ∴∠P∠CMD（ 　 　）（填推理依据）． ∴∠AMD＝2∠P． 9．（2022•门头沟区一模）下面是小明设计“作圆的一个内接矩形，并使其对角线夹角为60°”尺规作图的过程． 已知：如图，⊙O． 求作：矩形ABCD，使矩形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD的夹角为60°． 作法：①作⊙O的直径AC； ②以点A为圆心，AO长为半径作弧．交直线AC上方的圆于点B； ③连接BO并延长交⊙O于点D； ④顺次连接AB、BC、CD和DA． 四边形ABCD就是所求作的矩形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵点A，C都在⊙O上， ∴OA＝OC，OB＝OD． ∴四边形ABCD是平行四边形（ 　 　）（填推理依据）． 又∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°（ 　 　）（填推理依据）， ∴四边形ABCD是矩形． 又∵AB＝AO＝　 　． ∴△ABO是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴四边形ABCD是所求作的矩形． 10．（2022•平谷区一模）有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BDr ∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O． 11．（2022•顺义区一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是 　 　． 12．（2022•燕山一模）已知：如图，直线l，和直线外一点P． 求作：过点P作直线PC，使得PC∥l， 作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点； ②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C； ③作直线PC． 直线PC即为所求作． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接BP． ∵BC＝AP， ∴　 　． ∴∠ABP＝∠BPC（ 　 　）（填推理依据）． ∴直线PC∥直线l． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$