4.7 生产和生活中的机械能守恒 导学案 -2024-2025学年高一下学期物理粤教版（2019）必修第二册

粤教版（2019）必修第二册学案 4.7 生产和生活中的机械能守恒 一、落锤打桩机 落锤打桩机主要由桩锤、卷扬机和导向架(组成)打桩时，桩锤由卷扬机用吊钩提升到设计高度，然后使桩锤沿导向架自由下落打击管桩，桩锤自由下落过程符合机械能守恒定律。 例1.打桩机的重锤质量是500 kg，把他提升到离地面12 m高处，然后让它自由下落(以地面为零势能面)，求： (1)重锤在最高处的重力势能； (2)重锤下落5 m时的重力势能、动能和速度的大小； (3)重锤落地时动能和速度的大小。 例2.小军看到打桩机，对打桩机的工作原理产生了兴趣。他构建了一个打桩机的简易模型，如图甲所示。他设想，用恒定大小的拉力F拉动绳端B，使物体从A点(与钉子接触处)由静止开始运动，上升一段高度后撤去F，物体运动到最高点后自由下落并撞击钉子，将钉子打入一定深度。按此模型分析，若物体质量m＝1 kg，上升1 m高度时撤去拉力，撤去拉力前物体的动能Ek与上升高度h的关系图像如图乙所示。(g取10 m/s2，不计空气阻力) (1)求物体上升到0.4 m高度处F的瞬时功率； (2)若物体撞击钉子后瞬间弹起，且使其不再落下，钉子获得20 J的动能向下运动，钉子总长为10 cm，撞击前插入部分可以忽略，不计钉子重力。已知钉子在插入过程中所受的阻力f与深度x的关系图像如图丙所示，求钉子能够插入的最大深度。 二、跳台滑雪 跳台滑雪是滑雪运动项目的一种，为确保运动员的安全，同时使空中飞行的距离尽量远，需要综合考虑运动员速度、坡面倾斜度和跳台高度等要素。 例1.（23-24高一上·江苏·期中）如图AOB是光滑轨道，A点的高度H大于B点的高度，让小球从A点由静止开始自由滑下，沿轨道AOB到达B点后离开（不计空气阻力）。则小球离开B点后的运动轨迹最符合实际的是（　　） A．a B．b C．c D．d 例2.（23-24高一下·江西·阶段练习）2024年1月份哈尔滨冰雪旅游十分火爆，哈尔滨成为全国最热门冰雪旅游目的地。如图为冰雪旅游的某冰雪运动项目，ABC为半径为R的圆弧冰道，О为圆弧圆心，圆弧最高点A与О点等高，B为圆弧最低点，BC段圆弧所对圆心角θ=37°，CD为水平雪道，质量为m的冰雪爱好者从A点以一定的初速度沿冰道下滑，到最低点时对冰道的压力为其体重的4倍，冰雪爱好者可看成质点，冰道可看成光滑，冰雪爱好者与雪道间的动摩擦因数为0.2，冰雪爱好者从C点滑出后落到雪道上时，竖直方向分速度减为零，以水平分速度向前滑行，重力加速度大小为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。求： （1）冰雪爱好者从A点下滑的初速度大小； （2）冰雪爱好者滑离C点后在空中离雪道的最大高度； （3）冰雪爱好者在雪道上停下时离C点的距离。 例3.山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动．一滑雪坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC是光滑的圆弧，如图所示，AC竖直高度差，竖直台阶CD高度差为．运动员连同滑雪装备的总质量为80kg，从A点由静止滑下，通过C点后水平飞落到水平地面DE上．不计空气阻力和轨道的摩擦阻力，取g=10m/s2．求： （1）运动员到达C点的速度的大小； （2）运动员在水平地面上落地点到D点的距离。 三、过山车 过山车是游乐场中常见的机动游乐设施，过山车的速度必须满足一定的条件，即通过最高点的速度v≥才能保证过山车沿轨道正常运行。 例1.（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）荡秋千是中华传统游戏休闲项目，深受各族人民的喜爱。下列说法正确的是（　　） A．运动中的秋千受到重力、绳拉力和向心力 B．秋千运动到最低点处，荡秋千的人处于超重状态 C．秋千运动到最高点处，绳子更容易断裂 D．没有外力助推下，秋千最终会停下来，故秋千在运动过程中不满足能量守恒定律 例2.（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图甲所示，小明下课后到学校的运动场玩荡秋千的游戏，两条互相平行的、不可伸长的轻绳MN、PQ垂直水平横杆AB，长为L，静止时座椅离地面的高度为h。小明和座椅的总质量为m，从离地面高度为处由静止自由摆下，到达最低点时，脚上的鞋子突然脱落。小明和鞋子均可看成质点，重力加速度为g，忽略一切阻力，求： （1）小明从最高点荡到最低点的速度v的大小； （2）小明荡到最低点时，每根轻绳拉力F的大小； （3）鞋子脱落后，到达地面离最低点的水平距离x。 例3.如图所示，游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来。我们把这种情形抽象为如图所示的模型：弧形轨道的下端与半径为R的竖直圆轨道相接，B、C分别为圆轨道的最低点和最高点。质量为m的小球（可视为质点），从弧形轨道上的A点由静止滚下，到达B点时的速度为且恰好能通过C点。已知A、B间的高度差为，重力加速度为g。求： （1）小球运动到B点时，小球对轨道的压力F的大小； （2）小球通过C点时的速率； （3）小球从A点运动到C点的过程中，克服摩擦阻力做的功W。 例4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）过山车是一项惊险刺激的娱乐项目。若一总质量的过山车（可视为质点）从长直光滑轨道上的A点由静止开始滑下，从轨道的B点进入竖直平面内的光滑圆轨道，在圆轨道上运动一周以后再冲上另一倾斜轨道。已知A点到圆轨道最低点C的高度差，过山车通过圆轨道最高点D的速度大小为8m/s，重力加速度，空气阻力不计。 （1）求圆轨道的半径R。 （2）求过山车通过C点时对圆轨道的压力大小。 （3）若将过山车静止释放的位置提高，通过计算分析，说明过山车通过C点和D点时对轨道的压力大小之差如何变化。 四、能量的转化与守恒定律 1．内容 能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移过程中其总量不变。 2．意义 揭示了自然界各种运动形式不仅具有多样性，而且具有统一性，能量既不能无中生有，也不能消灭，只能在一定条件下相互转化。 例1．(多选)一个质量为m的物体以a＝2g的加速度竖直向下运动，则在此物体下降h高度的过程中，下列说法正确的是(　　) A．物体的重力势能减少了2mgh B．物体的动能增加了2mgh C．物体的机械能保持不变 D．物体的机械能增加了mgh 例2. (多选)在体育比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)(　　) A．他的动能减少了Fh－mgh B．他的重力势能增加了mgh C．他的机械能减少了(F－mg)h D．他的机械能减少了Fh 例3．（23-24高一下·山东青岛·期末）蹦床是新型的体育项目，蹦床训练可以帮助少年儿童身体健康、智力发展和感觉知觉系统发展。如图所示，某次比赛时，运动员刚开始静止在蹦床上的B点（未标出），通过调整姿态，多次弹跳后能达到的最高点是A点，距离B点高度为h，然后运动员从A点保持姿势不变由静止下落，一直将蹦床压缩至最低点C点。不计空气阻力，关于上述过程的说法正确的是（　　） A．运动员在B点机械能最大，在C点的加速度竖直向上 B．从A点下落至C点的过程，运动员的机械能先不变后增大 C．从A点下落，在B点至C点的过程，运动员的动能一直减小 D．从静止开始的整个过程中，运动员和弹簧床组成系统的机械能守恒 例4.（23-24高一下·广东深圳·期末）蹦床是深受儿童喜爱的体育活动，弹性网面起到提高弹跳高度和保护作用，某儿童从最低点竖直向上弹起到离开弹性网面的过程中，空气阻力和弹性网的质量均忽略不计，则（    ） A．儿童的速度逐渐增大 B．儿童的加速度逐渐减小 C．弹性网减少的弹性势能转化为儿童的重力势能 D．弹性网减少的弹性势能转化为儿童的机械能 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南通·期中）2024年春节，哈尔滨冰雪大世界火爆全国。如图所示，某游客从起点A静止开始沿倾斜冰面AC下滑，最终停在水平冰面上的B点。若不同游客与各冰面间的动摩擦因数相同，不计游客在冰面连接处的机械能损失，下滑过程在同一竖直面内。以下说法正确的是（　　） A．不同游客到达底端C的动能一定相同 B．不同游客到达底端C的速度大小一定相同 C．质量大的游客将滑到B的左侧 D．游客损失的机械能与游客质量无关 2．（24-25高一上·四川内江·开学考试）掷实心球是南充中考体育项目之一，如图所示是某同学掷出的实心球的运动轨迹，O点是实心球刚离开手的位置，A点是实心球运动到最高点的位置，B点是实心球落地前瞬间的位置，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．实心球在O点的机械能大于在B点的机械能 B．实心球从O运动到B的动能先减小后增大 C．实心球在最高点A时处于平衡状态 D．实心球离开手后受到重力和惯性力的作用 3．（23-24高一下·甘肃·期末）如图所示，某运动员练习撑竿跳高，运动员在助跑结束刚离地时的速度大小为v0，此时撑竿的弹性势能为Ep，运动员跨越横杆（撑竿离手）时速度大小为这v1（v1＜v0），方向水平，重力加速度大小为g，以水平地面为参考平面，忽略撑竿的质量，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员跨越横杆后在空中下落的过程中机械能守恒 B．运动员在上升过程中一定处于超重状态 C．运动员在上升过程中机械能守恒 D．运动员的最大重力势能为Ep 4．（23-24高一上·湖南长沙·开学考试）小球在弹簧的作用下上下运动，如图所示，对它的运动过程进行分析，正确的是（　　） A．小球的运动状态保持不变 B．向上运动时，小球动能减小 C．弹簧可能被压缩 D．小球的机械能一直增大 5．（23-24高一下·河南·阶段练习）2024年3月29日全国室内田径锦标赛在天津开赛，女子铅球决赛中，河北队选手巩立姣投出19米35，并摘到金牌．已知铅球的质量为m，铅球出手瞬间距离地面的高度为h，铅球的速度大小为，经过一段时间铅球落地，落地瞬间的速度大小为，重力加速度用g表示，铅球克服空气阻力做功为．则下列说法正确的是（    ） A．人推铅球的瞬间，人对铅球做功为 B．铅球从离手到落地，铅球动能的增加量为 C．铅球从离手到落地，铅球的机械能减少 D． 6．（23-24高一下·河南·阶段练习）某同学为了研究过山车的运动，在实验室完成了模拟实验，该同学取一半径为r的光滑圆轨道，沿竖直方向固定，P、Q分别为最低点和最高点，A点与圆心等高（图中未画出），分别在P、Q、A点安装压力传感器．实验时，将小球置于最低点P，并给小球一水平的初速度，当小球经过最低点P和最高点Q时传感器的示数分别为，已知重力加速度为g，忽略一切摩擦．则下列说法正确的是（    ） A．小球的质量为 B．小球的初速度大小为 C．小球在A点时对传感器的压力大小为 D．可能小于 7．（23-24高一下·山东潍坊·期末）滑草是一项使用滑草车沿倾斜草地滑行的运动，深受青年人喜爱，甲图为滑草运动场地鸟瞰图。某滑草运动场地由倾斜滑道AB和水平滑道BC两部分组成，B点处平滑连接，如图乙所示。倾斜滑道AB长100m，与水平面夹角为18°。某游客乘坐滑草车从A点由静止开始沿滑道下滑，滑草车在AB段做匀加速直线运动。取倾斜滑道底端为零势能面，游客与滑草车在AB上运动的机械能、重力势能随着位移x的变化情况如图丙所示。重力加速度大小取，，下列说法正确的是（　　） A．游客和滑草车总质量为186kg B．游客到达B点时的速度为10m/s C．滑草车与倾斜滑道间的动摩擦因数为0.26 D．游客在倾斜滑道上的加速度为 二、多选题 8．（23-24高一下·河南·期中）如图甲所示，配重式抛石机出现于战国初期，是围攻和防守要塞的重要器械。抛石机可简化为图乙，质量为的石块装在长臂末端的弹袋中，质量为的配重安装于短臂的末端，初始时长臂被固定，抛石机静止，杠杆与水平面的夹角。释放杠杆，配重下落，带动杠杆自由转动，当长臂转到竖直位置时，杠杆被制动而停止，石块以的速度被水平抛出。已知长臂的长度，不计一切摩擦和杠杆质量，取重力加速度大小。对于从释放杠杆到石块飞出的过程，下列说法正确的是（　　） A．石块增加的机械能为 B．石块受到的合力对石块做的功为 C．短臂的长度为 D．配重增加的动能为 9．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示，不可伸长的细绳的一端系着质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在O点。现按压圆珠笔笔尾，松手后内部弹簧将笔尾迅速弹出，使小球做圆周运动。假设碰撞时弹簧释放的弹性势能全部转化为小球的动能，碰后立即撤去圆珠笔。已知绳长为L，重力加速度为g，忽略空气阻力。某次碰撞后小球刚好能运动到最高点，则（　　） A．小球在最高点时速度为零 B．该次弹簧释放的弹性势能为2.5mgL C．仅增大小球质量，小球无法到达最高点 D．若释放的弹性势能小于2.5mgL，绳子一定会松弛 10．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）如图所示，某实验小组设计了一个弹射器（含管道、质量为m的弹丸、弹簧），其中弹簧被开关锁定，处于压缩状态，实验小组用铁架台将该实验器材水平固定在一定的高度h后，打开开关，释放弹簧，弹簧长度达到原长时，弹丸（可视为质点）恰好被水平抛出，小组成员用刻度尺测量出弹丸的水平位移x，忽略摩擦力和空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．弹丸在被抛出瞬间的速度大小为 B．弹丸在落地前瞬间，速度偏转角是位移偏转角的2倍 C．弹丸在落地前瞬间的速度大小为 D．开关在被打开前，弹簧的弹性势能大小为 三、解答题 11．（23-24高一下·陕西榆林·期末）如图所示，水平放置的弹簧左端固定在竖直固定挡板上，右端与一质量为m且可看做质点的小球相接触。初始时弹簧为原长，小球位于A点位置，A、B两点的距离L。A点左侧水平面光滑，右侧水平面与小球之间的动摩擦因数，一竖直光滑圆弧轨道与B点平滑连接，B点为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道半径为R，整个装置处在同一竖直面内。现用一水平向左的力作用在小球上使弹簧压缩到一定位置，而后去掉水平外力使小球由静止释放，小球运动到圆弧轨道的D点时刚好离开圆弧轨道，D点所对应的半径与水平面所成的夹角为，，重力加速度为g，求： （1）小球在D点的速度； （2）弹簧压缩时具有的弹性势能。 12．（23-24高一下·辽宁·期末）如图所示，固定在水平地面的竖直轻质弹簧处于原长，O点为弹簧最上端位置。可视为质点的物块从O点正上方的A点由静止释放，落在弹簧上运动到的最低点为B点。已知物块的质量，O、A两点间的高度差，O、B两点间的高度差，取重力加速度大小，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。 （1）求物块运动到O点时的速度大小； （2）求弹簧被压缩至B点时的弹性势能E； （3）若将物块更换为质量，可视为质点的小球，把小球放置在弹簧上端，将外力作用在小球上使得弹簧被压缩至B点，撤去外力后小球由静止开始运动，求小球经过O点时的速度大小。 13．（23-24高一下·江西九江·期末）如图所示，内壁光滑、半径为半圆轨道AB固定在竖直面内，底端A与水平面相切，最高点B的末端是封闭的。水平面上有一倾角为的粗糙斜面。将一枚质量为的小球从斜面上的C点由静止释放，小球到达圆轨道最高点点时立即原速反弹，此时小球对圆轨道的外壁压力恰好为零。水平轨道AD长度为，小球可看作质点，与斜面以及水平轨道动摩擦因数为，小球经过D点速度大小不变，重力加速度为，空气阻力忽略不计。求： （1）小球首次经过A点时圆轨道对小球的支持力的大小； （2）斜面上的C点相对与水平面的高度； （3）小球反弹后再次冲上圆轨道的最大高度。 14．（23-24高一下·海南海口·期末）可视为质点的小球从图示A点由静止释放，此后在B点进入光滑四分之一圆弧轨道，后从C点进入水平粗糙地面，在D处与墙壁发生碰撞后反弹（碰撞过程小球无动能损失）。小球在进入圆弧轨道和出圆弧轨道过程中均无能量损失，物块质量，A、B两点高度差，四分之一圆弧半径，水平地面动摩擦因数，CD之间的距离，重力加速度g取，求： （1）小球在B点的速度大小； （2）小球在C点对轨道的压力； （3）整个过程中小球最多能通过C点多少次？ 15．（23-24高一下·甘肃·期末）如图所示，光滑硬质细圆弧轨道ABC被固定在竖直面内，、分别是水平、竖直半径，倾斜半径与竖直方向的夹角为（未知），另一个半径为r的光滑硬质细圆弧轨道CDE与ABC在C点平滑连接，也被固定在竖直平面内，半径与半径在同一条直线上，、分别是竖直、水平半径。质量为m的小环（视为质点）套在细圆弧轨道上，从B点由静止下滑到D点时，细圆弧轨道对其支持力是小环所受重力的4倍，重力加速度大小为g。 （1）求小环在D、E两点的速度大小； （2）求小环在E点的加速度大小； （3）若小环刚运动到C点还未离开细圆弧轨道ABC时刚好不受弹力的作用，求及细圆弧轨道ABC的半径。 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 粤教版（2019）必修第二册学案 4.7 生产和生活中的机械能守恒 一、落锤打桩机 落锤打桩机主要由桩锤、卷扬机和导向架(组成)打桩时，桩锤由卷扬机用吊钩提升到设计高度，然后使桩锤沿导向架自由下落打击管桩，桩锤自由下落过程符合机械能守恒定律。 例1.打桩机的重锤质量是500 kg，把他提升到离地面12 m高处，然后让它自由下落(以地面为零势能面)，求： (1)重锤在最高处的重力势能； (2)重锤下落5 m时的重力势能、动能和速度的大小； (3)重锤落地时动能和速度的大小。 [解析]　(1)取地面为零势能面，则重锤在最高处的高度为h1＝12 m，所以重锤的重力势能为Ep1＝mgh1＝6×104 J。 (2)重锤下落5 m时离地高度为h2＝7 m 重力势能为：Ep2＝mgh2＝3.5×104 J， 根据机械能守恒，0＋mgh1＝Ek2＋mgh2 动能Ek2＝mgh1－mgh2＝2.5×104J 由Ek2＝mv2，得v＝10 m/s。 (3)根据机械能守恒，重锤落地时的动能Ek3＝mgh1＝6×104J 由Ek3＝mv得重锤落地时速度v3＝15.5 m/s。 [答案]　(1)6×104J　(2)3.5×104J,2.5×104J,10 m/s (3)6×104J,15.5 m/s 例2.小军看到打桩机，对打桩机的工作原理产生了兴趣。他构建了一个打桩机的简易模型，如图甲所示。他设想，用恒定大小的拉力F拉动绳端B，使物体从A点(与钉子接触处)由静止开始运动，上升一段高度后撤去F，物体运动到最高点后自由下落并撞击钉子，将钉子打入一定深度。按此模型分析，若物体质量m＝1 kg，上升1 m高度时撤去拉力，撤去拉力前物体的动能Ek与上升高度h的关系图像如图乙所示。(g取10 m/s2，不计空气阻力) (1)求物体上升到0.4 m高度处F的瞬时功率； (2)若物体撞击钉子后瞬间弹起，且使其不再落下，钉子获得20 J的动能向下运动，钉子总长为10 cm，撞击前插入部分可以忽略，不计钉子重力。已知钉子在插入过程中所受的阻力f与深度x的关系图像如图丙所示，求钉子能够插入的最大深度。 思路点拨：(1)动能与势能之和是物体的机械能，由图像可以求出物体上升0.4 m时物体的速度，根据动能定律求得力F的大小，然后代入功率的计算式即可； (2)钉子在插入过程中所受阻力f对钉子做功，数值等于钉子动能的改变，根据动能定律即可求得结果。 [解析]　(1)撤去F前，根据动能定理，有(F－mg)h＝Ek－0 由图像乙得，斜率为k＝F－mg＝20 N， 代入数据解得F＝30 N， 又由图像得h＝0.4 m时，Ek＝8 J，即v＝4 m/s 代入数据解得PF＝Fv＝120 W。 (2)碰撞后，对钉子，有－x′＝0－Ek′，Ek′＝20 J 由于平均阻力是最大阻力的一半，所以＝＝ 又由图像丙得k′＝105N/m 代入数据解得： x′＝0.02 m。 [答案]　(1)瞬时功率为120 W　(2)最大深度为0.02 m 二、跳台滑雪 跳台滑雪是滑雪运动项目的一种，为确保运动员的安全，同时使空中飞行的距离尽量远，需要综合考虑运动员速度、坡面倾斜度和跳台高度等要素。 例1.（23-24高一上·江苏·期中）如图AOB是光滑轨道，A点的高度H大于B点的高度，让小球从A点由静止开始自由滑下，沿轨道AOB到达B点后离开（不计空气阻力）。则小球离开B点后的运动轨迹最符合实际的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【详解】根据机械能守恒定律，A、B两点的机械能相等，由于到达B点后做斜抛运动，到达顶点时还有水平方向的速度，故不能达到A点的原始高度，c轨迹最符合实际。 故选C。 例2.（23-24高一下·江西·阶段练习）2024年1月份哈尔滨冰雪旅游十分火爆，哈尔滨成为全国最热门冰雪旅游目的地。如图为冰雪旅游的某冰雪运动项目，ABC为半径为R的圆弧冰道，О为圆弧圆心，圆弧最高点A与О点等高，B为圆弧最低点，BC段圆弧所对圆心角θ=37°，CD为水平雪道，质量为m的冰雪爱好者从A点以一定的初速度沿冰道下滑，到最低点时对冰道的压力为其体重的4倍，冰雪爱好者可看成质点，冰道可看成光滑，冰雪爱好者与雪道间的动摩擦因数为0.2，冰雪爱好者从C点滑出后落到雪道上时，竖直方向分速度减为零，以水平分速度向前滑行，重力加速度大小为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。求： （1）冰雪爱好者从A点下滑的初速度大小； （2）冰雪爱好者滑离C点后在空中离雪道的最大高度； （3）冰雪爱好者在雪道上停下时离C点的距离。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设冰雪爱好者到B点的速度大小为，则在B点由牛顿第二定律可得 从A到B过程，根据机械能守恒有 解得 （2）设冰雪爱好者滑离C点时的速度大小为，根据机械能守恒有 解得 滑离C点时，冰雪爱好者做斜抛运动，速度沿竖直方向的分速度 滑离C点后，在空中离雪道的最大高度为 （3）滑离C点时，速度沿水平方向的分速度 滑雪爱好者在空中运动时间 在雪道上停下时离C点的距离为 例3.山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动．一滑雪坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC是光滑的圆弧，如图所示，AC竖直高度差，竖直台阶CD高度差为．运动员连同滑雪装备的总质量为80kg，从A点由静止滑下，通过C点后水平飞落到水平地面DE上．不计空气阻力和轨道的摩擦阻力，取g=10m/s2．求： （1）运动员到达C点的速度的大小； （2）运动员在水平地面上落地点到D点的距离。 （1）；（2） 【解析】 （1）根据机械能守恒定律有 代入数据解得 （2）离开C点后做平抛运动，竖直方向 水平方向 联立解得 三、过山车 过山车是游乐场中常见的机动游乐设施，过山车的速度必须满足一定的条件，即通过最高点的速度v≥才能保证过山车沿轨道正常运行。 例1.（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）荡秋千是中华传统游戏休闲项目，深受各族人民的喜爱。下列说法正确的是（　　） A．运动中的秋千受到重力、绳拉力和向心力 B．秋千运动到最低点处，荡秋千的人处于超重状态 C．秋千运动到最高点处，绳子更容易断裂 D．没有外力助推下，秋千最终会停下来，故秋千在运动过程中不满足能量守恒定律 【答案】B 【详解】A．运动中的秋千受到重力、绳拉力作用，A错误； B．秋千运动到最低点处，荡秋千的人具有向上的加速度，处于超重状态，B正确； C．根据向心力公式可知，在最低点绳子受到的拉力最大，所以绳子最容易在最低点断开，C错误； D．没有外力助推下，秋千最终会停下来，是由于受到阻力作用，机械能转化为内能，故秋千在运动过程中仍然满足能量守恒定律，D错误。 故选B。 例2.（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）如图甲所示，小明下课后到学校的运动场玩荡秋千的游戏，两条互相平行的、不可伸长的轻绳MN、PQ垂直水平横杆AB，长为L，静止时座椅离地面的高度为h。小明和座椅的总质量为m，从离地面高度为处由静止自由摆下，到达最低点时，脚上的鞋子突然脱落。小明和鞋子均可看成质点，重力加速度为g，忽略一切阻力，求： （1）小明从最高点荡到最低点的速度v的大小； （2）小明荡到最低点时，每根轻绳拉力F的大小； （3）鞋子脱落后，到达地面离最低点的水平距离x。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）小明从最高点荡到最低点，根据机械能守恒 得 （2）根据 得 （3）根据 得 鞋子脱落后，到达地面离最低点的水平距离 例3.如图所示，游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来。我们把这种情形抽象为如图所示的模型：弧形轨道的下端与半径为R的竖直圆轨道相接，B、C分别为圆轨道的最低点和最高点。质量为m的小球（可视为质点），从弧形轨道上的A点由静止滚下，到达B点时的速度为且恰好能通过C点。已知A、B间的高度差为，重力加速度为g。求： （1）小球运动到B点时，小球对轨道的压力F的大小； （2）小球通过C点时的速率； （3）小球从A点运动到C点的过程中，克服摩擦阻力做的功W。 （1）7mg；（2）（3）1.5mgR 【解析】 （1）小球在B点时，根据牛顿第二定律有 解得： F=7mg 根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力F的大小7mg； （2）因为小球恰能通过C点，根据牛顿第二定律有 解得： （3）在小球从A点运动到C点的过程中，根据动能定理有 解得 W=1.5mgR 例4．（23-24高一下·甘肃白银·期末）过山车是一项惊险刺激的娱乐项目。若一总质量的过山车（可视为质点）从长直光滑轨道上的A点由静止开始滑下，从轨道的B点进入竖直平面内的光滑圆轨道，在圆轨道上运动一周以后再冲上另一倾斜轨道。已知A点到圆轨道最低点C的高度差，过山车通过圆轨道最高点D的速度大小为8m/s，重力加速度，空气阻力不计。 （1）求圆轨道的半径R。 （2）求过山车通过C点时对圆轨道的压力大小。 （3）若将过山车静止释放的位置提高，通过计算分析，说明过山车通过C点和D点时对轨道的压力大小之差如何变化。 【答案】（1）；（2）3960N；（3）保持不变 【详解】（1）过山车从A点运动到D点的过程，根据机械能守恒有 解得 （2）过山车从C点运动到D点的过程，根据机械能守恒有 过山车通过C点时有 解得 根据牛顿第三定律可知，过山车通过C点时对圆轨道的压力大小 （3）过山车通过D点时有 结合（2）中方程可得 所以过山车通过C点和D点时对轨道的压力大小之差保持不变。 四、能量的转化与守恒定律 1．内容 能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移过程中其总量不变。 2．意义 揭示了自然界各种运动形式不仅具有多样性，而且具有统一性，能量既不能无中生有，也不能消灭，只能在一定条件下相互转化。 例1．(多选)一个质量为m的物体以a＝2g的加速度竖直向下运动，则在此物体下降h高度的过程中，下列说法正确的是(　　) A．物体的重力势能减少了2mgh B．物体的动能增加了2mgh C．物体的机械能保持不变 D．物体的机械能增加了mgh 【答案】BD　[物体以a＝2g的加速度向下运动，说明除重力外，还有其他力对物体做正功。物体下降h，重力势能减少mgh，A错误。动能增加2mgh，B正确。物体的机械能增加mgh，C错误，D正确。] 例2. (多选)在体育比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)(　　) A．他的动能减少了Fh－mgh B．他的重力势能增加了mgh C．他的机械能减少了(F－mg)h D．他的机械能减少了Fh 【答案】AD　[由动能定理，ΔEk＝mgh－Fh，动能减少了Fh－mgh，A选项正确；他的重力势能减少了mgh，B选项错误；他的机械能减少了ΔE＝Fh，C选项错误，D选项正确。] 例3．（23-24高一下·山东青岛·期末）蹦床是新型的体育项目，蹦床训练可以帮助少年儿童身体健康、智力发展和感觉知觉系统发展。如图所示，某次比赛时，运动员刚开始静止在蹦床上的B点（未标出），通过调整姿态，多次弹跳后能达到的最高点是A点，距离B点高度为h，然后运动员从A点保持姿势不变由静止下落，一直将蹦床压缩至最低点C点。不计空气阻力，关于上述过程的说法正确的是（　　） A．运动员在B点机械能最大，在C点的加速度竖直向上 B．从A点下落至C点的过程，运动员的机械能先不变后增大 C．从A点下落，在B点至C点的过程，运动员的动能一直减小 D．从静止开始的整个过程中，运动员和弹簧床组成系统的机械能守恒 【答案】C 【详解】A．运动员下落过程，在接触蹦床之前只有重力做功，运动员的机械能守恒，与弹簧接触向下运动过程中，蹦床的形变量增大，蹦床的弹性势能增大，运动员的机械能减小，可知运动员在B点的机械能小于运动员接触蹦床之前的机械能，即运动员在B点机械能不是最大，运动员在C点蹦床对运动员的弹力大于运动员的重力，加速度方向竖直向上，故A错误； B．结合上述可知，从A点下落至C点的过程，运动员的机械能先不变后减小，故B错误； C．从A点下落，接触蹦床之前，运动员做自由落体运动，运动员动能增大，刚刚接触蹦床时，蹦床对运动员的弹力小于运动员的重力，运动员向下运动过程中，蹦床弹力增大，则运动员向下做加速度减小得加速运动，到达B点时，弹力与重力平衡，运动员加速度为0，速度达到最大，动能达到最大，之后，蹦床的弹力大于重力，运动员向下做加速度增大的减速一定，可知，运动员在B点至C点的过程，动能一直减小，故C正确； D．根据题意运动员先前处于静止状态，多次弹跳后能达到的最高点是A点，此过程，运动员的机械能增大，可知，从静止开始的整个过程中，运动员和弹簧床组成系统机械能不守恒，故D错误。 故选C。 例4.（23-24高一下·广东深圳·期末）蹦床是深受儿童喜爱的体育活动，弹性网面起到提高弹跳高度和保护作用，某儿童从最低点竖直向上弹起到离开弹性网面的过程中，空气阻力和弹性网的质量均忽略不计，则（    ） A．儿童的速度逐渐增大 B．儿童的加速度逐渐减小 C．弹性网减少的弹性势能转化为儿童的重力势能 D．弹性网减少的弹性势能转化为儿童的机械能 【答案】D 【详解】AB．儿童从最低点竖直向上弹起到离开弹性网面的过程中，弹性网面的弹力逐渐减小，刚开始弹性网面的弹力大于儿童的重力，儿童做加速度减小的加速运动，当弹性网面的弹力等于儿童的重力时，儿童的速度最大，此后弹性网面的弹力小于儿童的重力，儿童做加速度增大的减速运动，故儿童的速度先增大后减小，儿童的加速度先减小后增大，故AB错误； CD．系统只有重力和弹性网面的弹力做功，系统机械能守恒，则弹性网减少的弹性势能转化为儿童的机械能，故C错误，D正确。 故选D。 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南通·期中）2024年春节，哈尔滨冰雪大世界火爆全国。如图所示，某游客从起点A静止开始沿倾斜冰面AC下滑，最终停在水平冰面上的B点。若不同游客与各冰面间的动摩擦因数相同，不计游客在冰面连接处的机械能损失，下滑过程在同一竖直面内。以下说法正确的是（　　） A．不同游客到达底端C的动能一定相同 B．不同游客到达底端C的速度大小一定相同 C．质量大的游客将滑到B的左侧 D．游客损失的机械能与游客质量无关 【答案】B 【详解】A．动能的大小与游客的质量有关，不同游客的质量可能不同，故不同游客到达底端C的动能不一定相同，A错误； B．从A到C由动能定理得 可知不同游客到达底端C的速度大小一定相同，B正确； C．从A到B由动能定理得 可知不同质量的游客都将停在B点，C错误； D．游客损失的机械能即为以BC所在平面为零势能面时其在A点的重力势能，与游客质量有关，D错误； 故选B。 2．（24-25高一上·四川内江·开学考试）掷实心球是南充中考体育项目之一，如图所示是某同学掷出的实心球的运动轨迹，O点是实心球刚离开手的位置，A点是实心球运动到最高点的位置，B点是实心球落地前瞬间的位置，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．实心球在O点的机械能大于在B点的机械能 B．实心球从O运动到B的动能先减小后增大 C．实心球在最高点A时处于平衡状态 D．实心球离开手后受到重力和惯性力的作用 【答案】B 【详解】A．不计空气阻力，实心球在O点的机械能等于在B点的机械能，故A错误； B．实心球从O运动到B的重力势能先增大后减小，故动能先减小后增大，故B正确； C．实心球在最高点A时受重力作用，不是处于平衡状态，故C错误； D．实心球离开手后只受到重力作用，没惯性力的说法，故D错误。 故选B。 3．（23-24高一下·甘肃·期末）如图所示，某运动员练习撑竿跳高，运动员在助跑结束刚离地时的速度大小为v0，此时撑竿的弹性势能为Ep，运动员跨越横杆（撑竿离手）时速度大小为这v1（v1＜v0），方向水平，重力加速度大小为g，以水平地面为参考平面，忽略撑竿的质量，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员跨越横杆后在空中下落的过程中机械能守恒 B．运动员在上升过程中一定处于超重状态 C．运动员在上升过程中机械能守恒 D．运动员的最大重力势能为Ep 【答案】A 【详解】A．运动员跨越横杆后在空中下落的过程中只有动能和重力势能相互转化，运动员机械能守恒，A正确； B．运动员在上升过程中重力加速度向下，一定处于失重状态，B错误； C．运动员在上升过程中，竿的弹力对运动员做功，运动员机械能增加，C错误； D．根据机械能守恒定律，运动员的最大重力势能为 ，D错误。 故选A。 4．（23-24高一上·湖南长沙·开学考试）小球在弹簧的作用下上下运动，如图所示，对它的运动过程进行分析，正确的是（　　） A．小球的运动状态保持不变 B．向上运动时，小球动能减小 C．弹簧可能被压缩 D．小球的机械能一直增大 【答案】C 【详解】A．运动状态的变化包括速度的大小和方向两个方面，小球在运动时速度的大小和方向都会改变，故A错误； B．小球从最低点开始向上运动到最高点的过程中，速度先由0开始增大到最大值，然后再减小到0，所以动能先变大后变小，故B错误； C．如果弹簧的运动幅度比较大，弹簧可能被压缩，故C正确； D．如果不考虑空气阻力的影响，小球和弹簧的总机械能保持不变，当弹簧的弹性势能变大时，小球的机械能减小，小球的机械能不可能一直增大，故D错误。 故选C。 5．（23-24高一下·河南·阶段练习）2024年3月29日全国室内田径锦标赛在天津开赛，女子铅球决赛中，河北队选手巩立姣投出19米35，并摘到金牌．已知铅球的质量为m，铅球出手瞬间距离地面的高度为h，铅球的速度大小为，经过一段时间铅球落地，落地瞬间的速度大小为，重力加速度用g表示，铅球克服空气阻力做功为．则下列说法正确的是（    ） A．人推铅球的瞬间，人对铅球做功为 B．铅球从离手到落地，铅球动能的增加量为 C．铅球从离手到落地，铅球的机械能减少 D． 【答案】D 【详解】A．人推铅球的瞬间，人对铅球做功为 A错误； B．铅球从离手到落地，对铅球由动能定理得铅球动能的增加量为 B错误； C．由功能关系可知，铅球从离手到落地，铅球机械能的减少量等于除铅球的重力外其余力对铅球所做的功，则 C错误； D．铅球从离手到落地的过程，由动能定理得 解得 D正确。 故选D。 6．（23-24高一下·河南·阶段练习）某同学为了研究过山车的运动，在实验室完成了模拟实验，该同学取一半径为r的光滑圆轨道，沿竖直方向固定，P、Q分别为最低点和最高点，A点与圆心等高（图中未画出），分别在P、Q、A点安装压力传感器．实验时，将小球置于最低点P，并给小球一水平的初速度，当小球经过最低点P和最高点Q时传感器的示数分别为，已知重力加速度为g，忽略一切摩擦．则下列说法正确的是（    ） A．小球的质量为 B．小球的初速度大小为 C．小球在A点时对传感器的压力大小为 D．可能小于 【答案】C 【详解】ABD．设小球的初速度大小为、小球在的速度大小为，小球由到的过程只有重力做功，则小球的机械能守恒，有 在最高点时有 小球在点时有 整理得 解得          由上可知一定大于，选项ABD错误； C．小球由到的过程中，有 小球在点时，有 解得 C正确； 故选C。 7．（23-24高一下·山东潍坊·期末）滑草是一项使用滑草车沿倾斜草地滑行的运动，深受青年人喜爱，甲图为滑草运动场地鸟瞰图。某滑草运动场地由倾斜滑道AB和水平滑道BC两部分组成，B点处平滑连接，如图乙所示。倾斜滑道AB长100m，与水平面夹角为18°。某游客乘坐滑草车从A点由静止开始沿滑道下滑，滑草车在AB段做匀加速直线运动。取倾斜滑道底端为零势能面，游客与滑草车在AB上运动的机械能、重力势能随着位移x的变化情况如图丙所示。重力加速度大小取，，下列说法正确的是（　　） A．游客和滑草车总质量为186kg B．游客到达B点时的速度为10m/s C．滑草车与倾斜滑道间的动摩擦因数为0.26 D．游客在倾斜滑道上的加速度为 【答案】B 【详解】A．游客和滑草车开始下滑时的重力势能为 总质量为 m=60kg 选项A错误； B．游客到达B点时的动能等于机械能为3000J，则根据 可得速度为 vB=10m/s 选项B正确； C．滑草车下滑过程中由能量关系 解得与倾斜滑道间的动摩擦因数为 μ=0.274 选项C错误； D．游客在倾斜滑道上的加速度为 选项D错误。 故选B。 二、多选题 8．（23-24高一下·河南·期中）如图甲所示，配重式抛石机出现于战国初期，是围攻和防守要塞的重要器械。抛石机可简化为图乙，质量为的石块装在长臂末端的弹袋中，质量为的配重安装于短臂的末端，初始时长臂被固定，抛石机静止，杠杆与水平面的夹角。释放杠杆，配重下落，带动杠杆自由转动，当长臂转到竖直位置时，杠杆被制动而停止，石块以的速度被水平抛出。已知长臂的长度，不计一切摩擦和杠杆质量，取重力加速度大小。对于从释放杠杆到石块飞出的过程，下列说法正确的是（　　） A．石块增加的机械能为 B．石块受到的合力对石块做的功为 C．短臂的长度为 D．配重增加的动能为 【答案】BD 【详解】AB．从释放杠杆到石块飞出的过程，石块增加的动能 增加的重力势能 因此石块增加的机械能为，石块受到的合力对石块做的功为，选项A错误、B正确； CD．配重和石块构成的系统机械能守恒，因此配重减少的机械能为，有 解得 或（舍去） 配重增加的动能 选项C错误、D正确。 故选BD。 9．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示，不可伸长的细绳的一端系着质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在O点。现按压圆珠笔笔尾，松手后内部弹簧将笔尾迅速弹出，使小球做圆周运动。假设碰撞时弹簧释放的弹性势能全部转化为小球的动能，碰后立即撤去圆珠笔。已知绳长为L，重力加速度为g，忽略空气阻力。某次碰撞后小球刚好能运动到最高点，则（　　） A．小球在最高点时速度为零 B．该次弹簧释放的弹性势能为2.5mgL C．仅增大小球质量，小球无法到达最高点 D．若释放的弹性势能小于2.5mgL，绳子一定会松弛 【答案】BC 【详解】A．由题意可知，小球在最高点时，重力恰好提供向心力 解得 故A错误； B．根据机械能守恒 故B正确； C．根据 解得 可知，仅增大小球质量，则若小球可以运动到最高点，所需向心力减小，而小球重力变大，则此时重力大于向心力，小球不能通过最高点，故C正确； D．若释放的弹性势能变小，则小球可能在不超过圆心高度往复运动，此时绳子不会松弛，故D错误。 故选BC。 10．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）如图所示，某实验小组设计了一个弹射器（含管道、质量为m的弹丸、弹簧），其中弹簧被开关锁定，处于压缩状态，实验小组用铁架台将该实验器材水平固定在一定的高度h后，打开开关，释放弹簧，弹簧长度达到原长时，弹丸（可视为质点）恰好被水平抛出，小组成员用刻度尺测量出弹丸的水平位移x，忽略摩擦力和空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．弹丸在被抛出瞬间的速度大小为 B．弹丸在落地前瞬间，速度偏转角是位移偏转角的2倍 C．弹丸在落地前瞬间的速度大小为 D．开关在被打开前，弹簧的弹性势能大小为 【答案】CD 【详解】A．根据题意可知，弹丸水平抛出后做平抛运动，竖直方向上有 水平方向上有 联立解得 故A错误； B．根据平抛运动规律可知，弹丸在落地前瞬间，速度偏转角的正切值为 位移偏转角的正切值为 可知，速度偏转角的正切值是位移偏转角的正切值的2倍，故B错误； C．弹丸在落地前瞬间的速度大小为 又有 整理可得 故C正确； D．根据题意，由能量守恒定律可得，开关在被打开前，弹簧的弹性势能大小为 故D正确。 故选CD。 三、解答题 11．（23-24高一下·陕西榆林·期末）如图所示，水平放置的弹簧左端固定在竖直固定挡板上，右端与一质量为m且可看做质点的小球相接触。初始时弹簧为原长，小球位于A点位置，A、B两点的距离L。A点左侧水平面光滑，右侧水平面与小球之间的动摩擦因数，一竖直光滑圆弧轨道与B点平滑连接，B点为圆弧轨道的最低点，圆弧轨道半径为R，整个装置处在同一竖直面内。现用一水平向左的力作用在小球上使弹簧压缩到一定位置，而后去掉水平外力使小球由静止释放，小球运动到圆弧轨道的D点时刚好离开圆弧轨道，D点所对应的半径与水平面所成的夹角为，，重力加速度为g，求： （1）小球在D点的速度； （2）弹簧压缩时具有的弹性势能。 【答案】（1）；（2） 【知识点】弹簧类问题机械能转化的问题 【详解】（1）小球运动到D点时恰好离开圆弧轨道，此时轨道对小球的弹力为零，小球重力沿圆心方向的分力提供向心力，有 可得 （2）设弹簧压缩时具有的弹性势能为，小球从静止开始到恰好过D点时，根据能量守恒定律有 求得 12．（23-24高一下·辽宁·期末）如图所示，固定在水平地面的竖直轻质弹簧处于原长，O点为弹簧最上端位置。可视为质点的物块从O点正上方的A点由静止释放，落在弹簧上运动到的最低点为B点。已知物块的质量，O、A两点间的高度差，O、B两点间的高度差，取重力加速度大小，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。 （1）求物块运动到O点时的速度大小； （2）求弹簧被压缩至B点时的弹性势能E； （3）若将物块更换为质量，可视为质点的小球，把小球放置在弹簧上端，将外力作用在小球上使得弹簧被压缩至B点，撤去外力后小球由静止开始运动，求小球经过O点时的速度大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】弹簧类问题机械能转化的问题 【详解】（1）物块从A点运动到O点，有 解得 （2）物块从A点运动到B点，有 其中 解得 （3）小球从B点运动到O点，有 解得 13．（23-24高一下·江西九江·期末）如图所示，内壁光滑、半径为半圆轨道AB固定在竖直面内，底端A与水平面相切，最高点B的末端是封闭的。水平面上有一倾角为的粗糙斜面。将一枚质量为的小球从斜面上的C点由静止释放，小球到达圆轨道最高点点时立即原速反弹，此时小球对圆轨道的外壁压力恰好为零。水平轨道AD长度为，小球可看作质点，与斜面以及水平轨道动摩擦因数为，小球经过D点速度大小不变，重力加速度为，空气阻力忽略不计。求： （1）小球首次经过A点时圆轨道对小球的支持力的大小； （2）斜面上的C点相对与水平面的高度； （3）小球反弹后再次冲上圆轨道的最大高度。 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】机械能与曲线运动结合问题、绳球类模型及其临界条件、应用动能定理解多段过程问题 【详解】（1）小球到达点时对圆轨道的外壁压力为零，由 得 从A到B，则由机械能守恒定律 解得 小球经过A点圆轨道对小球的支持力 （2）从C到A由动能定理 解得 （3）设小球反弹后能回到斜面的最大高度为，由动能定理得 代入数据得 设小球从到圆轨道的最大高度为，在小球不脱离轨道的前提下 代入数据得 没有脱离轨道，所以小球反弹后再次能到达圆轨道的最大高度为。 14．（23-24高一下·海南海口·期末）可视为质点的小球从图示A点由静止释放，此后在B点进入光滑四分之一圆弧轨道，后从C点进入水平粗糙地面，在D处与墙壁发生碰撞后反弹（碰撞过程小球无动能损失）。小球在进入圆弧轨道和出圆弧轨道过程中均无能量损失，物块质量，A、B两点高度差，四分之一圆弧半径，水平地面动摩擦因数，CD之间的距离，重力加速度g取，求： （1）小球在B点的速度大小； （2）小球在C点对轨道的压力； （3）整个过程中小球最多能通过C点多少次？ 【答案】（1）；（2）；（3）次 【知识点】利用能量守恒解决实际问题、机械能与曲线运动结合问题 【详解】（1）小球从A点到B点，根据机械能守恒 解得 （2）小球从A点到C点，根据机械能守恒 解得 小球在C点，根据牛顿第二定律 解得 根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力为 （3）设小球在CD间运动的总距离为，根据能量守恒 解得 由于 则整个过程中小球能通过C点次数为 次 15．（23-24高一下·甘肃·期末）如图所示，光滑硬质细圆弧轨道ABC被固定在竖直面内，、分别是水平、竖直半径，倾斜半径与竖直方向的夹角为（未知），另一个半径为r的光滑硬质细圆弧轨道CDE与ABC在C点平滑连接，也被固定在竖直平面内，半径与半径在同一条直线上，、分别是竖直、水平半径。质量为m的小环（视为质点）套在细圆弧轨道上，从B点由静止下滑到D点时，细圆弧轨道对其支持力是小环所受重力的4倍，重力加速度大小为g。 （1）求小环在D、E两点的速度大小； （2）求小环在E点的加速度大小； （3）若小环刚运动到C点还未离开细圆弧轨道ABC时刚好不受弹力的作用，求及细圆弧轨道ABC的半径。 【答案】（1），；（2）；（3）， 【详解】（1）小环在D点，由向心力公式有 结合 解得 小环从D点运动到E点，由机械能守恒定律有 解得 （2）小环在E点的向心加速度大小 小环在E点的加速度大小 解得 （3）设细圆弧轨道ABC的半径为R，把小环在C点的重力分别沿着与垂直分解，若小环刚运动到C点还未离开细圆弧轨道ABC时刚好不受弹力的作用，则重力沿着方向的分力充当向心力，由向心力公式有 小环从B点运动到C点，由动能定理有 解得 小环从B点运动到D点，由动能定理有 解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $$