专题03平面向量的线性运算（考点清单，5个考点清单+3种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

专题03平面向量的线性运算（考点清单，5个考点清单+3种题型解读） 【清单01】 实数与向量相乘 设k是实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作. 若，则； 若，则； 【清单02】 运算律 （1）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：； （2）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：； （3）实数与向量相乘的结合律：. 【清单03】 平行向量定理 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使. 【清单04】 单位向量 长度为1的向量；设与非零向量方向相同的单位向量为，则： ， . 【清单05】 向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算. 已知是两个不平行的向量，向量可以用表示成（x，y是实数）的形式. 那么：向量就是向量的合成（向量分解为两个向量）； 向量是向量分别在方向上的分向量，或者是向量关于的分解式. 【考点题型一】向量相关概念（共6题） 1．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解题关键是对向量性质的理解．根据向量的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、只能判定的模的数量关系，不能判定，符合题意； B、，能判定，不符合题意； C、，根据平行的传递性得到，不符合题意； D、，得到，平行的传递性得到，不符合题意； 故选A． 2．（24-25九年级上·上海·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 【答案】D 【分析】本题考查平面向量，根据单位向量，平行向量、相等向量的定义即可判断． 【详解】解：A、单位向量不一定是相等向量，故A不符合题意． B. 若是相等向量，则它们的始点、终点可以不相同 C. 若是相反向量，方向相反，但长度不一定相等则不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. 与是平行向量，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如果，，且与反向，那么下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平面向量的定义，由，，且与反向，根据平面向量的定义，即可求得答案． 【详解】解：，， ， 与反向， ． 故选：D． 4．（2024·上海浦东新·一模）若，且，则顺次链接四边形中点得到的四边形一定是（ ） A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据平面向量的几何意义，可以由推知且不相等；然后根据已知条件知、是四边形的两条相等的边；可得四边形是等腰梯形，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，，且， ∴，，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形为菱形； 故选C 【点睛】本题考查了平面向量的几何意义．等腰梯形的判定与性质，菱形的判定，中位线的性质，解答该题的关键是根据已知条件来判断与的方向和长度，从而确定它们的位置关系． 5．（24-25九年级上·上海青浦·期中）下列说法：①如果（是实数），那么；②若，，则；③单位向量都相等；④一个向量与零相乘，乘积为零；其中正确的是 ． 【答案】① 【分析】本题考查了平行向量，单位向量，零向量等知识．熟练掌握平行向量，单位向量，零向量是解题的关键． 根据平行向量，单位向量，零向量的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，如果（是实数），那么，正确，故①符合要求； 当时，若，，则错误，故②不符合要求； 单位向量方向不同，单位向量不都相等，故③不符合要求； 一个向量与零相乘，乘积为零向量，故④不符合要求； 故答案为：①． 6．（2024·上海松江·三模）如图，点、在平行四边形的对角线上，且，则图中与互为相反向量的向量是    【答案】或 【分析】本题考查平面向量知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据相等平面向量的意义即可判断； 【详解】解： ， ， 图中与互为相反向量的向量是或． 故答案为：或． 【考点题型二】实数与向量相乘（共8题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量，等式的性质等知识点，熟练掌握平面向量的基本知识是解题的关键． 根据平行向量的性质即可解决问题． 【详解】解：，，且和的方向相反， ， ， 故选：． 2．（2023·上海·一模）下列说法中不正确的是（    ） A．如果、为实数，那么 B．如果或，那么 C．如果，且，那么的方向与的方向相同 D．长度为1的向量叫做单位向量 【答案】C 【分析】由平面向量的性质，即可得A与B正确，又由长度为l的向量叫做单位向量，可得D正确，向量是有方向性的，所以C错误． 【详解】解∶A、根据向量的性质得，故本选项正确； B、如果或，那么，故本选项正确； C、因为向量是有方向性的，所以C错误； D、长度为l的向量叫做单位向量， 故本选项正确． 故选∶ C． 【点睛】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键． 3．（2023·上海徐汇·一模）下列命题正确的个数是（    ） ①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量； ②如果，，那么的模是； ③如果，或，那么； ④如果，的方向与的方向相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据实数与向量的乘积结合向量的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量，故①正确； ②如果，，那么的模是，故②正确； ③如果，或，那么，故③错误； ④如果，的方向与的方向相反，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与向量的乘积，熟练掌握平面向量的定义是解题关键． 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．如果，那么或 D．如果（为非零向量），那么 【答案】C 【分析】本题考查向量与实数的运算，向量的线性计算，根据相关运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、不能得到或，错误，符合题意； D、如果（为非零向量），那么，正确，不符合题意； 故选C． 二、填空题 5．（2024·上海杨浦·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了向量计算，正确掌握运算的法则是解题的关键． 【详解】 ． 6．（2023·上海长宁·一模）如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为 ． 【答案】 【分析】根据向量的表示方法可直接得出答案． 【详解】解：，向量是单位向量， ， 向量与单位向量的方向相反， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量有关知识，难度较小，解题的关键是掌握单位向量的定义． 7．（2023·上海长宁·二模）如图，在梯形中，，，对角线与交于点O，设，，那么 ．（结果用、表示）    【答案】 【分析】由，即可证得，又由，即可求得和，再运用向量的和差即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查向量的和差、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想的应用以及明确向量是有方向的是解题的关键． 三、解答题 8．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在矩形中，于点，，且． (1)求的长； (2)如果，，试用、表示向量． 【答案】(1)的长为 (2) 【分析】（1）根据，可得，再由，求得； （2）根据向量的表示法进行求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质和向量的表示，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 【考点题型三】向量的线性运算（共13题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）在四边形中，如果，那么四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】D 【分析】本题考查了向量计算，四边形形状的判定，正确进行向量化简是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 对边平行，但不相等， 故四边形是梯形； ∵， ∴， 故对角线， 故四边形是等腰梯形， 故选：D． 2．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，已知平行四边形的对角线和交于点O，设， ，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是利用三角形法则解决问题． 利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可． 【详解】四边形是平行四边形 ， ，故A选项不符合题意 ，故B选项符合题意 ，故C选项不符合题意 ，故D选项不符合题意 故选：B 二、填空题 3．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，梯形中，，且，若，．请用，来表示 ． 【答案】 【分析】此题考查了平面向量，根据平行四边形法则得到，即可用、表示． 【详解】∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，正方形被5条横线与5条纵线划分成16个全等的小正方形，、是其中两个小正方形的顶点，设，，那么向量 .（用向量、的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，根据题意得：，，，，从而得出，，再根据即可得出答案，熟练掌握三角形法则与数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 根据题意得：，，，， ，， ， 故答案为：． 三、解答题 5．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）先判定，再根据相似三角形对应边成比例解题即可； （2）根据相似三角形的判定与性质求出向量之间的关系，解题即可． 【详解】（1）解： ，，，， ， ， ， ． （2）解：由（1）中可知， ， ， ∴． 6．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，已知在中，，点D在边上，． (1)求的长； (2)连接，设，试用表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的线性运算： （1）证明得到，则，由此可得； （2）先求出，再由得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 7．（23-24九年级上·上海长宁·期末）在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 【答案】(1) (2)，见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量， 根据题意得和，进一步得到，则，代入向量即可． 化解得，将对应线段代入得到，过点E作，则，，连接即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 则， ∵点是的中点， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． （2）， ∵， ∴， 过点E作，则， ∴，如图，即为所求．    8．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由三角形重心的性质得到，由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，得到 ，由，推出 得到，因此，而，推出，得到，即可证明， （）由平面向量的运算法则，即可求解； 本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量， 关键是证明，掌握平面向量的运算法则． 【详解】（1）∵是的重心， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵G是的重心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， （2）∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 9．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，，． (1)求的长； (2)如果，，试用表示向量． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据，得出，则，进而得出，最后根据即可求解； （2）先得出，则，进而得出，由（1）可得，则，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 10．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，设，根据得到，分别代入即可解答； （2）根据平面向量三角形减法法则得出，根据可求得与的关系，即可求解． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． （2）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：， 11．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，平分，，． (1)求的长； (2)设，，求向量（用向量、表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键． （1）根据题意，证明，得到，由此得到答案． （2）过点作，求出，再根据平行四边形法则求出． 【详解】（1）解：根据题意得： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． （2）如图，过点作， 则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 12．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点． (1)设，试用的线性组合表示向量． (2)如果，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题． （1）根据题意可得，然后利用平行四边形法则得到即可； （2）过点D作交的延长线于点F，则有，得到，求出长，然后利用勾股定理得到长计算面积即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）过点D作交的延长线于点F， ∵， ∴为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去） ∴， ∴． 13．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题主要考查了平面向量，三角形的重心，相似三角形的判定与性质， （1）利用平面向量的定义解答即可； （2）利用三角形的重心的定义和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）解：，， 是的重心，联结并延长交于点， 为的边上的中线， 即点为的中点， ， 故答案为：． （2）是的重心， ． ，， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03平面向量的线性运算（考点清单，5个考点清单+3种题型解读） 【清单01】 实数与向量相乘 设k是实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作. 若，则； 若，则； 【清单02】 运算律 （1）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：； （2）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：； （3）实数与向量相乘的结合律：. 【清单03】 平行向量定理 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使. 【清单04】 单位向量 长度为1的向量；设与非零向量方向相同的单位向量为，则： ， . 【清单05】 向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算. 已知是两个不平行的向量，向量可以用表示成（x，y是实数）的形式. 那么：向量就是向量的合成（向量分解为两个向量）； 向量是向量分别在方向上的分向量，或者是向量关于的分解式. 【考点题型一】向量相关概念（共6题） 1．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 3．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如果，，且与反向，那么下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海浦东新·一模）若，且，则顺次链接四边形中点得到的四边形一定是（ ） A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5．（24-25九年级上·上海青浦·期中）下列说法：①如果（是实数），那么；②若，，则；③单位向量都相等；④一个向量与零相乘，乘积为零；其中正确的是 ． 6．（2024·上海松江·三模）如图，点、在平行四边形的对角线上，且，则图中与互为相反向量的向量是    【考点题型二】实数与向量相乘（共8题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·上海·一模）下列说法中不正确的是（    ） A．如果、为实数，那么 B．如果或，那么 C．如果，且，那么的方向与的方向相同 D．长度为1的向量叫做单位向量 3．（2023·上海徐汇·一模）下列命题正确的个数是（    ） ①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量； ②如果，，那么的模是； ③如果，或，那么； ④如果，的方向与的方向相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列关于向量的说法中，不正确的是（   ） A． B． C．如果，那么或 D．如果（为非零向量），那么 二、填空题 5．（2024·上海杨浦·一模）计算： ． 6．（2023·上海长宁·一模）如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为 ． 7．（2023·上海长宁·二模）如图，在梯形中，，，对角线与交于点O，设，，那么 ．（结果用、表示）    三、解答题 8．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在矩形中，于点，，且． (1)求的长； (2)如果，，试用、表示向量． 【考点题型三】向量的线性运算（共13题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海宝山·期末）在四边形中，如果，那么四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 2．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，已知平行四边形的对角线和交于点O，设， ，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，梯形中，，且，若，．请用，来表示 ． 4．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，正方形被5条横线与5条纵线划分成16个全等的小正方形，、是其中两个小正方形的顶点，设，，那么向量 .（用向量、的式子表示） 三、解答题 5．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，． (1)求的值； (2)连接，如果，，试用、表示向量． 6．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，已知在中，，点D在边上，． (1)求的长； (2)连接，设，试用表示． 7．（23-24九年级上·上海长宁·期末）在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 8．（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，是的中线，点是重心，点、分别在边和上，四边形是平行四边形． (1)求证：； (2)设，，用向量，表示 ． 9．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，，． (1)求的长； (2)如果，，试用表示向量． 10．（23-24九年级上·上海宝山·期末）如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 11．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，平分，，． (1)求的长； (2)设，，求向量（用向量、表示）． 12．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，在四边形中，，对角线交于点． (1)设，试用的线性组合表示向量． (2)如果，求四边形的面积． 13．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，是的重心，联结并延长交于点． (1)如果，，那么=________________(用向量、表示)； (2)已知，，点在边上，且，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$