专题03 因式分解（考点清单，6个考点清单+7种题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题03 因式分解（考点清单，6个考点清单+7种题型解读） 【清单01】因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 【清单02】提公因式法 1、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式． 2、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面， 将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 3、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成与的乘积形式． 4、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 【清单03】公式法 1、平方差公式： ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 2、完全平方公式： ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 【清单04】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 【清单05】分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【清单06】因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【考点题型一】因式分解的意义（共7题） 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 6．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 三、解答题 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【考点题型二】提公因式法因式分解（共5题） 1．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【考点题型三】平方差公式法因式分解（共5题） 1．（24-25七年级上·上海·期中）有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（    ） A．16，2 B．16， C．， D．，2 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 4．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【考点题型四】完全平方公式法因式分解（共5题） 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 4．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 5．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【考点题型五】十字相乘法因式分解（共9题） 1．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 3．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 4．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 6．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 8．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 9．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【考点题型六】分组分解法因式分解（共3题） 1．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【考点题型七】因式分解的应用（共25题） 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是 ． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，，那么 4．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 5．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 种填法． 6．（24-25七年级上·上海·期中） （1）分解因式：               （2）分解因式： 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 8．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 9．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 10．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 11．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）先化简，再求值：，其中． 12．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，将先化简，再求值． 13．（24-25七年级上·上海·期中）已知数、、、满足，，求的值． 14．（22-23七年级上·上海长宁·期中）阅读：分解因式 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 在有理数范围内分解因式：． 15．（24-25七年级上·上海·期中）若与互为相反数，把多项式因式分解． 16．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 17．（24-25七年级上·上海·期中）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，为1厘米的长方形：C型：边长为1厘米的正方形． (1)A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为________； (2)从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； (3)从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 18．（24-25七年级上·上海宝山·期中）（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． 19．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 20．（2024七年级上·上海·专题练习）若为实数且满足，，求的最小值． 21．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，且，求的值． 22．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 23．（24-25七年级上·上海·期中）正数，，满足，求的值． 24.（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 25．（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 因式分解（考点清单，6个考点清单+7种题型解读） 【清单01】因式分解的意义 1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解。 2、因式分解与整式乘法互为逆变形： 式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式． 【清单02】提公因式法 1、公因式：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式． 2、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面， 将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法． 3、提取公因式的步骤： （1）找出多项式各项的公因式． （2）提出公因式． （3）写成与的乘积形式． 4、提取公因式法的几个技巧和注意点： （1）一次提净； （2）视“多”为“一”； （3）切勿漏1； （4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变； （5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ； （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解． 【清单03】公式法 1、平方差公式： ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 2、完全平方公式： ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 【清单04】十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 x2 ab x a x b ax + bx = ( a + b) x 【清单05】分组分解法 1.分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 2.【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 3.添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【清单06】因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【考点题型一】因式分解的意义（共7题） 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解；根据因式分解的概念，即把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，右边不是整式的积，不是因式分解，故本选项不符合； B、，符合因式分解的概念，故本选项符合； C、，该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合； D、，该变形没有分解成积的形式，故本选项不符合． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，理解分解因式概念是解题的关键． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．根据多多项式的乘法法则把等号右边化简，可得、，然后对a、b的值讨论可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴、， 若、，则； 若、，则； 若、，则； 若、，则； 故选：C． 4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到系数的最大公因数，再找到因式的公共部分即可． 【详解】解：由于3和9的公因数是3，和的公共部分为, 所以．和的公因式为. 故选A． 【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键． 二、填空题 5．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可． 【详解】解：和的最大公因式是， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个． 【答案】无数 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键．先设分解的两个因式为（a，b都是整数），根据因式分解与整式的关系得与间关系，判断满足条件的a、b得结论． 【详解】解：在整数范围内可以分解成两个一次因式， 设分解的两个因式为（a，b都是整数）， ， 在整数范围内，满足两个整数的和为的a、b有无数对， 满足条件的k有无数个． 故答案为：无数． 三、解答题 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【考点题型二】提公因式法因式分解（共5题） 1．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法．提出公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 利用提公因式法解答，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 4．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查了分解因式．先分组，提取公因式即可求解． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法与单项式乘多项式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先提取公因式，再对余下的进行单项式乘多项式，最后合并同类项即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【考点题型三】平方差公式法因式分解（共5题） 1．（24-25七年级上·上海·期中）有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（    ） A．16，2 B．16， C．， D．，2 【答案】B 【分析】本题考查用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 可以看出此题是用平方差公式分解因式，可以根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出．平方差公式：． 【详解】解：由，得出， 则，则． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用平方差公式进行因式分解成为解题的关键． 直接运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 4．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解． 连续两次利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为： 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解． 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 【考点题型四】完全平方公式法因式分解（共5题） 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； C、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、能用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．将看作一个整体，利用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法与公式法的应用．根据完全平方公式和提取公因式法即可因式分解． 【详解】解： ． 5．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合应用，掌握这两种分解法是关键；先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 【考点题型五】十字相乘法因式分解（共9题） 1．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是提取公因式法和十字相乘法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可得出答案． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·上海长宁·期中）在有理数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是关键，先提公因式，再进行十字相乘法因式分解． 【详解】解： 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．先提取公因式，再利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 6．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．首先提公因式，然后利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握公式法与十字乘法分解因式是解本题的关键，先利用十字乘法可得，再进一步利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 8．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用了整体思想；把作为一个整体，利用多项式乘多项式展开并整理得，再连续两步利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 9．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．把看作整体，利用完全平方公式分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 【考点题型六】分组分解法因式分解（共3题） 1．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解-分组分解法，提取公因式法，根据题意，先把分组得，然后再提取公因式，得出，最后再提取公因式即可得出答案． 【详解】解： 、 ． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．前三项利用十字相乘法分解，再将看作整体，然后利用十字相乘法分解继续分解即可． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将原式变形为，然后再用平方差公式，完全平方公式和十字相乘法，分解因式即可． 【详解】解： ． 【考点题型七】因式分解的应用（共25题） 1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，…， 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为8，12，16，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为15，21，27，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为24，32，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为35，45，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为48，60，…； …， 把这些“智慧优数”从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，…， 故第4个“智慧优数”是16， 故答案为：16． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将等式右边的式子利用多项式乘以多项式的法则展开，根据恒等式，得到对应项相同，得到，根据最小，得到的绝对值相差最大，且负数大于正数，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴异号， ∵最小， ∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数， ∵， ∴的最小值为：； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，，那么 【答案】 【分析】本题考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解．先将因式分解为，再将其值代入计算即可． 【详解】解：，，， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：由题意得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 种填法． 【答案】5 【分析】本题主要考查了分解因式，由于和都可以分解因式，那么添加单项式消去或者都符合题意，由于，那么添加符合题意；根据平方差公式的特点可添加一个单项式让构成一个完全平方式也满足题意，据此可得答案． 【详解】解：当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 故答案为：5． 6．（24-25七年级上·上海·期中）（1）分解因式：               （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 7．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可； （4）先把看做一个整体利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式和十字相乘法进一步分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法因式分解以及分解要彻底成为解题的关键． 先运用完全平方公式分解，再运用平方差公式分解，最后根据积的乘方化简即可． 【详解】解： ． 9．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 10．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 11．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，因式分解的应用，先提公因式分解因式，再根据多项式乘以多项式的计算法则去小括号后合并同类项，进一步根据多项式乘以多项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 12．（24-25七年级上·上海闵行·期中）已知，将先化简，再求值． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟记公式并能灵活运用是解题关键．利用提取公因式和多项式乘多项式化简得，再把已知数据代入得出答案即可． 【详解】 ， 原式． 13．（24-25七年级上·上海·期中）已知数、、、满足，，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解．首先根据可得，又因为，可得，把分解因式可得：，把代入可得，利用多项式乘多项式的法则展开可得，再把和代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 14．（22-23七年级上·上海长宁·期中）阅读：分解因式 解：原式 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 在有理数范围内分解因式：． 【答案】 【分析】根据配方法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案． 【详解】解： = = = = = 【点睛】本题考查了因式分解，利用配方法得出平方差公式是解题关键，分解要彻底． 15．（24-25七年级上·上海·期中）若与互为相反数，把多项式因式分解． 【答案】 【分析】本题考查了公式法分解因式以及互为相反数的概念、绝对值和偶次幂的非负性的性质，灵活运用公式进行因式分解是解题的关键．根据互为相反数的两数和为0以及绝对值和偶次幂的非负性，求得的值，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，． ∴ ． 16．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型和因式分解， （1）根据题干示例的方法计算即可作答； （2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解； （3）先分组得到，进而得到，则可得到原式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 17．（24-25七年级上·上海·期中）如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，为1厘米的长方形：C型：边长为1厘米的正方形． (1)A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为________； (2)从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； (3)从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用： （1）由于1块型的面积为，1块型的面积为，1块型的面积为所以型2块，型4块，型4块的总面积为； （2）把减去，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长； （3）把减去2，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长与面积，所以从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板满足要求，据此求出正方形边长，进而求出其面积即可． 【详解】（1）解：1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为， ∴型2块，型4块，型4块的总面积为； 故答案为： （2）解：从这10块纸板中拿掉1块型纸板，剩下纸板的总面积为， ∵剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，且 ∴此正方形的边长为； 故答案为：； （3）解：从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下： ， 此时正方形的边长为， ∴大正方形面积为：． 18．（24-25七年级上·上海宝山·期中）（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． 【答案】（1）1；25；121；361（2）（3）见解析 【分析】本题考查了规律型:数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）根据有理数的乘法和加法可以计算出相应的结果； （2）根据题目中式子的特点，可以写出第n行的等式； （3）根据因式分解的方法可以说明第n行等式成立的理由． 【详解】解：（1）第一行：； 第二行：； 第三行：； 第四行：； 故答案为：1；25；121；361； （2）第n行的等式是：， 故答案为：； （3）证明：∵ ∴ 19．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键是理解题意，熟练掌握十字相乘法． （1）根据题干中提供的信息，进行因式分解即可； （2）分两种情况对将进行因式分解，得出或，然后再分别代入进行验证即可． 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． 20．（2024七年级上·上海·专题练习）若为实数且满足，，求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，非负数的性质，先将利用分组分解法因式分解，再将已知条件整体代入，化为完全平方式，最后根据非负数的性质确定的最小值，掌握分组分解法和整体代入法是解题的关键． 【详解】解：由题得，， ∴ ， ， ， ∴，， ∴，当且仅当时取等号， 经检验当时满足， 的最小值为． 21．（2024七年级上·上海·专题练习）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意，合理分组，将两多项式相减得到a，b，c的关系，代入等式求解即可得到答案；． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴，即， ∵， ∴． 22．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)空白部分的面积为． 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键 （1）先用两种方式图形的面积，然后写成等式即可解答． （2）①先根据长方形的周长公式列出关于的方程，然后整体求解即可；②由图可得空白部分的面积是，几何第一步中求出的的值以及阴影部分的面积，即可求得空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ，整列得： ，解得：． 答：的值为5； ②由图形可知：空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为，且阴影部分的面积表示为， ∴， ∵， ∴，解：， ∴． 答：空白部分的面积为． 23．（24-25七年级上·上海·期中）正数，，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．将式子因式分解为，求得，同理可得，，推出，再可化为，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ， ， ， 同理求得：，， ， 可化为， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． 24.（24-25七年级上·上海·期中）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次． (2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________． (3)分解因式（写出过程）： 【答案】(1)提公因式法，2 (2)2024， (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法． （1）根据阅读因式分解的过程即可得结论； （2）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； （3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2）解： ， 则需应用上述方法2024次，结果是， 故答案为：2024，； （3）解： ． 25．（24-25七年级上·上海·期中）为治理污水，甲、乙两区都需要各自铺设一段污水排放管道，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为． (1)求十月份甲、乙两区各铺设了多少米的排污管？（分别用含字母、的代数式表示）； (2)如果，且，那么十月份甲区比乙区多铺多少米排污管？ 【答案】(1)甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； (2)十月份甲区比乙区多铺60米排污管 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，列代数式： （1）根据，甲、乙两区八月份都各铺了米，九月份和十月份中，甲区的工作量平均每月增长率为，乙区则平均每月减少率为列出对应的代数式即可； （2）根据（1）所求用甲区十月铺设的米数减去乙区十月铺设的米数，再根据，且计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，十月份甲区铺设了 米的排污管，乙区铺设了米的排污管； （2）解： ， 当，时，原式， ∴十月份甲区比乙区多铺60米排污管． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$