专题04 线段与角（考点清单，7个考点清单+10种题型解读）-2024-2025学年六年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题04 线段与角（考点清单，7个考点清单+10种题型解读） 【清单01】直线、射线、线段 1.直线 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 细节剖析 ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 要点归纳： 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． ②.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 2.射线 ①直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线.射线可以用表示它的端点和射线上任意一点(端点除外)的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，如图4-1-4(2)中的射线记作“射线AB”. ②.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ③.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l． 要点归纳： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图1中射线OA，射线OB是不同的射线． 图1 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图2中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图2 3.线段 ①直线上任意两点间的部分(包括端点)叫作线段.线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示，如图4-1-4(3)中的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”,也可以用一个小写字母表示，记作“线段a”. ②. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 要点归纳： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 4.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 5．三者的区别如下表 要点归纳： （1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 【清单02】画线段的和、差 (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a—b. 解 (1)如图4- 1- 13, ① 画射线OP; ②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段. (2)如图4-1-14, ①画射线OP; ②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段. 【清单03】线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 细节剖析 ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【清单04】角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点归纳： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点归纳： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【清单05】角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点归纳： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 3.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【清单06】角平分线 1定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点归纳：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 2.角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 【清单07】余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点归纳： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 【考点题型一】线段和与差（共4题） 1．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）已知线段，，下列说法正确的是（    ） A．点P不能在直线上 B．点P只能在直线外 C．点P只在线段延长线上 D．点P不能在线段上 2．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）根据下图填空： ．    3．（22-23六年级下·上海静安·期末）如图，线段，点P是线段上一点，且，Q是线段上一点，且，则的值是 ． 4．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）如图，已知点C在线段上，，且，若厘米，求的长．    【考点题型二】线段中点的有关计算（共4题） 1．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）如图，O是线段的中点，P是上一点．已知比长6厘米，则 ．    2．（23-24六年级下·上海青浦·期末）已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米． 3．（22-23六年级下·上海静安·期末）如图，已知线段，，线段在线段上运动，E、F分别是、的中点． (1)若，则__________； (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变请求出的长度，如果变化，请说明理由． 4．（20-21六年级下·上海长宁·期末）如图，点C、D在线段上，点M是的中点，点N是的中点． (1)如图1，当点C在点D的左侧时， ①如果，，则_________． ②如果，，则________． (2)如图2，当点C在点D的右侧时，与、的数量关系是_________． 【考点题型三】线段和与差、线段中点的有关计算（共9题） 1．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知线段，延长到C，使，D为中点，且，那么线段的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知是线段上一点（与端点不重合），是线段的中点，是线段的中点，厘米，那么的长等于（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 3．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，，点C是线段中点，点P是线段上的一点，，则线段的长度为 ． 4．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图，线段，点C在上，，D为的中点，则线段的长为 ． 5．（22-23六年级下·上海松江·期末）如图，已知线段，点是上一点，且，点是线段的中点，那么 ．    6．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）如图，点M是线段的中点，B是线段上一点，若，，则 ． 7．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）平面上有一条线段，长度为厘米，点C是线段的中点，点D是线段的中点，如果点E在线段上，且，则 厘米． 8．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 9．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，A、B、C、D、E是一条高速公路上的五个出口，B、D位于、的中点． (1)A到C的距离为30千米，B到D的距离为50千米，那么B到E的距离是多少？ (2)若A到E的距离为m千米，则B到D的距离是 千米（直接写出答案）． 【考点题型四】度分秒换算（共2题） 1．（23-24六年级下·上海宝山·期末）计算： ． 2．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算： ． 【考点题型五】方向角的表示（共2题） 1．（22-23六年级下·上海长宁·期末）下列各图中，射线表示北偏西方向的是（    ） A．  B．   C．   D．   2．（23-24六年级下·上海·期末）已知A、B两地的位置如图所示，且， B地在A地的 方向．    【考点题型六】角度计算（共2题） 1．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）根据下图所示，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 2． （23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，如果，，那么 ． 【考点题型七】角平分线有关计算（共6题） 1．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 2．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度． 3．（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 ． 4．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，是的平分线，，则比大 度． 5．（23-24六年级下·上海·期末）如图，点O在直线N上，在上方，、分别平分、，如果，那么 ．    6．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【考点题型八】余角、补角有关计算（共6题） 1．（23-24六年级下·上海·期末）下列四个说法错误的是（    ） A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 2．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知，那么的余角 （结果用度、分、秒表示）． 3．（23-24六年级下·上海·期末）已知，则的余角的大小是 ． 4．（23-24六年级下·上海松江·期末）已知，那么的余角＝ ． 5．（22-23六年级下·上海静安·期末）已知，则的补角的大小为 ． 6．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ． 【考点题型九】角平分线与余角、补角有关计算（共5题） 1．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，与互补，且平分，平分，则 ． 2．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）在同一平面内，已知，与互余，且平分，则 °． 3．（20-21六年级下·上海奉贤·期末）已知点O为直线AB上一点． (1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数； (2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝　 　°，此时图中互余的角有 　 　对，互补的角有 　 　对． (3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由． 4．（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 5．（20-21六年级下·上海长宁·期末）已知，与互余，与互补． (1)如图，当点B在的内，且点B、D在的同侧时． ①若，则________． ②若是的角平分线，则_______．（用含的式子表示） (2)直接写出所有可能的度数是_________． 【考点题型十】三角尺中的计算问题（共5题） 1．（22-23六年级下·上海黄浦·期末）只利用一副（两块）三角尺不能直接拼出的角度是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海宝山·期末）用一副（两块）三角尺不可能画出的角度是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含角的直角三角尺，“乙”尺是含角的直角三角尺，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 4．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，一副三角尺（度数分别为、、和、、）按下面不同的方式摆放，其中的图形有（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 5．（23-24六年级下·上海青浦·期末）如图，在同一平面内，三角尺的直角顶点C正好在直线上．如果， 那么的度数为 度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 线段与角（考点清单，7个考点清单+10种题型解读） 【清单01】直线、射线、线段 1.直线 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 细节剖析 ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 要点归纳： 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． ②.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 2.射线 ①直线上任意一点及其一侧的部分叫作射线.射线可以用表示它的端点和射线上任意一点(端点除外)的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面，如图4-1-4(2)中的射线记作“射线AB”. ②.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． ③.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l． 要点归纳： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图1中射线OA，射线OB是不同的射线． 图1 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图2中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图2 3.线段 ①直线上任意两点间的部分(包括端点)叫作线段.线段可以用表示它的端点的两个大写字母表示，如图4-1-4(3)中的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”,也可以用一个小写字母表示，记作“线段a”. ②. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 要点归纳： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 4.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 5．三者的区别如下表 要点归纳： （1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 【清单02】画线段的和、差 (1)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a+b; (2)用直尺和圆规画一条线段，使它等于a—b. 解 (1)如图4- 1- 13, ① 画射线OP; ②在射线OP 上从点O 起，顺次截取OA=a,AB=b. 线 段OB 就是所要画的线段. (2)如图4-1-14, ①画射线OP; ②在射线OP上截取OC=a, 在线段OC上截取CD=b.线段OD就是所要画的线段. 【清单03】线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD （3）线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 细节剖析 ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 【清单04】角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点归纳： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点归纳： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【清单05】角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点归纳： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 3.角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【清单06】角平分线 1定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点归纳：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 2.角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 【清单07】余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点归纳： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 【考点题型一】线段和与差（共4题） 1．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）已知线段，，下列说法正确的是（    ） A．点P不能在直线上 B．点P只能在直线外 C．点P只在线段延长线上 D．点P不能在线段上 【答案】D 【知识点】线段的和与差、两点之间线段最短 【分析】根据题意画出图形，由图形直接作出判断． 【详解】解：如图，   ． 根据图示知，点P可以在直线上，也可以在直线外，但是不能在线段上． 故选D． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段．解题时，利用了“数形结合”的数学思想． 2．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）根据下图填空： ．    【答案】 / / 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和与差．熟练掌握线段的和与差是解题的关键． 根据线段的和与差求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：，． 3．（22-23六年级下·上海静安·期末）如图，线段，点P是线段上一点，且，Q是线段上一点，且，则的值是 ． 【答案】 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查线段的n等分点的有关计算，线段的和与差．利用数形结合思想是解题的关键．由题意求得，．根据线段的和与差，计算出的长，作比即可． 【详解】，，， ，， 如图所示， ，，， ，即， ∴， ． 故答案为：． 4．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）如图，已知点C在线段上，，且，若厘米，求的长．    【答案】厘米 【知识点】线段的和与差、线段之间的数量关系 【分析】由，可求解，的长，进而可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的长为厘米． 【点睛】本题主要考查线段的和差，准确识图，求解，的长是解题的关键． 【考点题型二】线段中点的有关计算（共4题） 1．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）如图，O是线段的中点，P是上一点．已知比长6厘米，则 ．    【答案】 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】此题考查了两点间的距离，直线、线段和射线的认识．根据题意可知：是的中点，是上一点，且比大6厘米，即6厘米是长度的2倍，由此用除法即可求出的长度． 【详解】解：是线段的中点，则， 是上一点，已知比长6厘米，则比长的6厘米就是长度的2倍； （厘米） 答：长3厘米． 故答案为：3． 2．（23-24六年级下·上海青浦·期末）已知线段厘米，延长线段到点 C，点M是线段的中点，如果 ，那么 厘米． 【答案】或 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了线段的中点，分类讨论，即点在B点左边或者右边，两种情况，用线段的和差进行解答即可，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 【详解】解：如图，当点在B点左边时， 点 M是线段的中点， ， ， ， 厘米， 厘米； 如图，当点在B点右边时， 利用上述原理可得 厘米， 厘米， 综上所述，或厘米， 故答案为：或． 3．（22-23六年级下·上海静安·期末）如图，已知线段，，线段在线段上运动，E、F分别是、的中点． (1)若，则__________； (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变请求出的长度，如果变化，请说明理由． 【答案】(1)17； (2)的长度不变，． 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间距离，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活应用中点的性质解题是关键． （1）先求出线段，然后再利用线段中点的性质求出，，进而求解即可； （2）利用线段中点的性质证明的长度不会发生改变． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∴； （2）的长度不变， 理由：∵，， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴ ． 4．（20-21六年级下·上海长宁·期末）如图，点C、D在线段上，点M是的中点，点N是的中点． (1)如图1，当点C在点D的左侧时， ①如果，，则_________． ②如果，，则________． (2)如图2，当点C在点D的右侧时，与、的数量关系是_________． 【答案】(1)①3；②4 (2) 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】（1）①根据线段中点的定义可得，，利用线段的和可得，再加上CD即可得到结论；②根据线段中点的定义可得DN的长，利用线段的和可得结论； （2）根据线段中点的定义可得，，利用线段的和差可得结论． 【详解】（1）①∵点M是的中点，点N是的中点， ，， ∵，， ∴，即， ∴． 故答案为：3． ②由①可知， 又， ∴， ∴ ． 故答案为：4． （2）∵点M是的中点，点N是的中点， ∴，， ∵，， ， ∴ ， ∴与，的数量关系是：． 【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键． 【考点题型三】线段和与差、线段中点的有关计算（共9题） 1．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知线段，延长到C，使，D为中点，且，那么线段的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查线段长度的计算，关键是根据题意正确的画出图形；根据题意画出图形，由D是的中点，根据中点的定义可求出的长；根据已知可求出的长，再结合即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如图所示： ∵D是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 2．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知是线段上一点（与端点不重合），是线段的中点，是线段的中点，厘米，那么的长等于（   ） A．2厘米 B．3厘米 C．4厘米 D．5厘米 【答案】B 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，根据是线段的中点，是线段的中点，求出，，得出（厘米）即可． 【详解】解：∵是线段上一点， ∴厘米， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴，， ∴（厘米）， 故选：B． 3．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，，点C是线段中点，点P是线段上的一点，，则线段的长度为 ． 【答案】10 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了两点间的距离．先根据已知条件和线段中点的定义，求出，再根据，求出，从而求出答案即可． 【详解】解：∵，点C是线段中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 4．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图，线段，点C在上，，D为的中点，则线段的长为 ． 【答案】12 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】根据题意作图，由线段间的关系即可求解． 【详解】解：如图，， ，， 为的中点， ， ． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查线段的长度求解，解题的关键是正确分析题目中线段之间的等量关系． 5．（22-23六年级下·上海松江·期末）如图，已知线段，点是上一点，且，点是线段的中点，那么 ．    【答案】7 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】首先根据得到，，然后根据中点的性质得到，最后利用线段的和差求解即可． 【详解】∵，， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了线段的长度问题，掌握中点平分线段长度是解题的关键． 6．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）如图，点M是线段的中点，B是线段上一点，若，，则 ． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出，进而得到，再由线段中点的定义得到，则，据此求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）平面上有一条线段，长度为厘米，点C是线段的中点，点D是线段的中点，如果点E在线段上，且，则 厘米． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和与差，与线段中点有关的计算等知识．熟练掌握线段的和与差，与线段中点有关的计算是解题的关键． 由题意知，，，，由点E在线段上，可得，由，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∵点E在线段上， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24六年级下·上海宝山·期末）如图，点、在线段上，点、分别是、的中点，，且，那么线段的长是 ． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的定义，比例的性质，根据题意得，根据中点的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴ ∵点、分别是、的中点， ∴ ∴， 故答案为：． 9．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，A、B、C、D、E是一条高速公路上的五个出口，B、D位于、的中点． (1)A到C的距离为30千米，B到D的距离为50千米，那么B到E的距离是多少？ (2)若A到E的距离为m千米，则B到D的距离是 千米（直接写出答案）． 【答案】(1)85千米 (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段中点和线段的和差问题，熟练掌握线段中点的计算是解题的关键． （1）根据B、D位于、的中点，得到，，再进行线段和差计算即可． （2）根据B、D位于、的中点，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵B、D位于、的中点 ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ 故B到E的距离是85千米． （2）∵B、D位于、的中点 ∴， 又∵ ∴ 故答案为：． 【考点题型四】度分秒换算（共2题） 1．（23-24六年级下·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查角度的运算，根据，，进行角度的加法运算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查角度的四则运算，掌握角度的四则运算法则是关键．根据角度的减法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【考点题型五】方向角的表示（共2题） 1．（22-23六年级下·上海长宁·期末）下列各图中，射线表示北偏西方向的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】根据上北下南，左西右东的法则，结合度数解答即可． 【详解】∵射线表示北偏西方向，只有C选项符合， 故选C． 【点睛】本题考查了方位角的应用，正确理解方位角的意义是解题的关键． 2．（23-24六年级下·上海·期末）已知A、B两地的位置如图所示，且， B地在A地的 方向．    【答案】北偏东 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方向角．熟练掌握方向角的表示是解题的关键． 根据方向角的定义作答即可． 【详解】解：如图，记在的正北方向，    ∴， ∴， ∴ B地在A地的北偏东方向， 故答案为：北偏东． 【考点题型六】角度计算（共2题） 1．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）根据下图所示，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角度的运算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 根据角度之间的数量关系判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，错误，故符合题意； B中，正确，故不符合题意； C中，正确，故不符合题意；     D中，正确，故不符合题意； 故选：A． 2．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，如果，，那么 ． 【答案】90 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查角度之间的和差关系，由题意可知，，根据图形可知，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 则， 故答案为：90． 【考点题型七】角平分线有关计算（共6题） 1．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】根据角平分线的定义求出即可解答． 【详解】解：平分， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟记概念与性质并准确识图是关键． 2．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】分两种情况讨论，当射线在的内部时，当射线在的外部时，根据角平分线的定义得出，结合图形即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论，当射线在的内部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴ ∴； 当射线在的外部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴ ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 3．（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角的运算，根据题意分两种情况，分别画出图形求解即可，解答本题的关键是分类讨论． 【详解】解：当和在的同一侧时，如图， ∵射线、分别平分、，，， ∴，， ∴； 当和在的两侧时，如图， 同理可得，， ∴， 综上，的度数是或． 故答案为：或． 4．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，是的平分线，，则比大 度． 【答案】50 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，能理解角平分线的定义和角的和与差是解此题的关键 根据角平分线定义得出，再根据角的和与差即可得出答案． 【详解】解：是的平分线， ， ． 故答案为：50． 5．（23-24六年级下·上海·期末）如图，点O在直线N上，在上方，、分别平分、，如果，那么 ．    【答案】/88度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的定义和角的和差，先根据角平分线的定义得到，，然后根据解题即可． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②不变，见解析 (3)或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确联系新定义的内容是解题的关键； （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得到，，求解即可；②不变，根据题意，，代入即可求解； （3）因为，位置不确定，有两种情况，第一种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数；第二种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数． 【详解】（1），为的分位线，且； ， （2）①，分别为与的分位线，（，） ，， ，， ，， ，， ； ②不变；，分别为与的分位线，（，）， ， 若，的度数不会改变； （3）根据题意作图，如图所示 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ，， 点、、在同一条直线上 ， ， ； 根据题意作图，如图所示； 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ， 点、、在同一条直线上 ， ， 解得 的度数为或 【考点题型八】余角、补角有关计算（共6题） 1．（23-24六年级下·上海·期末）下列四个说法错误的是（    ） A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角和补角，掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】解：A. 若，则的余角的度数为，说法正确； B. 一个锐角的余角比这个角的补角小，说法正确； C. 互补的两个角一个是锐角一个是钝角，也有可能是两个直角，原说法错误； D. 如果大于，那么的补角小于的补角，说法正确； 故选C． 2．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知，那么的余角 （结果用度、分、秒表示）． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、角的单位与角度制 【分析】本题考查了余角，度、分、秒的换算．熟练掌握和为的两个角互为余角，是解题的关键． 由题意知，的余角，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，的余角， 故答案为：． 3．（23-24六年级下·上海·期末）已知，则的余角的大小是 ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算、求一个角的余角 【分析】本题考查了余角的定义，根据余角的定义即可求解 【详解】解：的余角的大小是， 故答案为：． 4．（23-24六年级下·上海松江·期末）已知，那么的余角＝ ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算、求一个角的余角 【分析】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，熟练掌握互为余角的定义是解题的关键 如果两个角的和为90°，那么这两个角化为余角，据此计算即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为， 故答案为：． 5．（22-23六年级下·上海静安·期末）已知，则的补角的大小为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题主要考查了补角的性质，熟练掌握互为补角的两个角的和等于是解题的关键．根据补角的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的补角为：． 故答案为：． 6．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）已知与互余，与互补，写出与的数量关系： ． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了与余角、补角有关的计算，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于（直角），则这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于（平角），则这两个角互为补角，即其中每一个角是另一个角的补角． 根据互为余角的定义可得，即，再根据互为补角的定义可得，然后将代入即可得出答案． 【详解】解：与互余， ， ， 与互补， ， ， ， 故答案为：． 【考点题型九】角平分线与余角、补角有关计算（共5题） 1．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，与互补，且平分，平分，则 ． 【答案】/20度 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义．根据补角的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据角的和差即可得到结果． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）在同一平面内，已知，与互余，且平分，则 °． 【答案】13或45 【知识点】角平分线的有关计算、求一个角的余角 【分析】本题主要考查的是余角的定义、角平分线的定义．先求得的度数，然后依据题意画出图形，然后依据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：，与互余， ． 如图1所示：， 平分， ． 如图2所示： ， 平分， ． 故答案为：13或45． 3．（20-21六年级下·上海奉贤·期末）已知点O为直线AB上一点． (1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数； (2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝　 　°，此时图中互余的角有 　 　对，互补的角有 　 　对． (3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)∠AOC＝180°，∠BOC＝72°． (2)90，4，5． (3)∠AOD＝2∠COE．理由见解析． 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x.然后根据平角180°列方程求得x，进而完成解答； （2）先根据角平分线的定义可得∠COD＝∠AOC、∠COE＝∠BOC，然后再结合∠DOE＝∠COD+∠COE即可求得90°；然后根据余角、补角的定义即可确定余角和补角的对数； （3）根据射线OC是∠BOD的角平分线可得∠BOC＝90°﹣∠AOD，然后再根据∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°即可解答． 【详解】（1）解：设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x， 根据题意得：3x+2x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠AOC＝180°，∠BOC＝72°． （2）解：∵射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线， ∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE ＝（∠AOC+∠BOC） ＝×180° ＝90°； ∵∠COD+∠COE＝90°，∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°， ∴互余的角有4对； ∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE+∠AOE＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴互补的角有5对． 故答案为：90，4，5． （3）解：∠AOD＝2∠COE．理由如下： ∵射线OC是∠BOD的角平分线， ∴∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD， ∵∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOD+（90°﹣∠COE）+（90°﹣∠AOD）＝180°， ∴∠AOD＝2∠COE． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、补角、余角的定义，灵活运用相关定义成为解答本题的关键． 4．（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【详解】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 5．（20-21六年级下·上海长宁·期末）已知，与互余，与互补． (1)如图，当点B在的内，且点B、D在的同侧时． ①若，则________． ②若是的角平分线，则_______．（用含的式子表示） (2)直接写出所有可能的度数是_________． 【答案】(1)①；②． (2)或． 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）①根据与互余，得到，根据角的和差即可算出．②因为，与互补，所以根据角平分线的定义得到，根据角的和差即可求出的度数． （2）注意分情况讨论：如图1：；如图2：；如图3：求出每种情况的角的度数，即为该题的答案． 【详解】（1）解：① ∵，与互余， ∴， ∵， ∴， ． ②∵，与互补 ∴， ∵平分 ∴， ∴ ＝－ ． （2）解：如图1： ，，， ∴． 如图2： 如图3： ∴或． 【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义；解题的关键是利用了互余的定义，角平分线的定义以及角的和差进行计算． 【考点题型十】三角尺中的计算问题（共5题） 1．（22-23六年级下·上海黄浦·期末）只利用一副（两块）三角尺不能直接拼出的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】用三角板角度相加减法，根据选项逐一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、，能拼出角，故A不符合题意； B、，能拼出的角，故B不符合题意； C、，能拼出角，故C不符合题意； D、三角尺不能直接拼出角，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了用三角板直接画特殊角，用三角板直接画特殊角步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数． 2．（23-24六年级下·上海宝山·期末）用一副（两块）三角尺不可能画出的角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查三角板中的角的运算，根据一副三角板中的角度有、、、，进行角度运算即可求解． 【详解】解：∵一副三角板中的角度有、、、， ∴A、不能画出的角度，故选项A符合题意， B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 3．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含角的直角三角尺，“乙”尺是含角的直角三角尺，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键．利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、三角形内角和定理即可确定答案． 【详解】解：由图①知，，则，故与不一定相等； 由图②知，根据同角的余角相等得：； 由图③知，根据等角的补角相等得：； 由图④知，，，故与不相等； 综上所述，α与β一定相等的是②③． 故选B． 4．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，一副三角尺（度数分别为、、和、、）按下面不同的方式摆放，其中的图形有（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了余角和补角，三角板中角度的计算，掌握邻补角的定义及“同角的余角相等”、“等角的补角相等”是解决本题的关键． 利用互余、互补关系，邻补角的定义逐个分析得结论． 【详解】解：图（1）中，由于，，可得到； 图（2）中，根据“同角的余角相等”，可得到； 图（3）中，根据“等角的补角相等“，可得到； 图（4）中，由于，，所以． ∴的图形有（1）（2）（3）． 故选：C． 5．（23-24六年级下·上海青浦·期末）如图，在同一平面内，三角尺的直角顶点C正好在直线上．如果， 那么的度数为 度． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角和补角，利用补角的概念，得到，然后进一步求出，熟知余角和补角的概念是解题的关键． 【详解】解：三角尺的直角顶点C正好在直线上， ， ， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$