第02讲 直线的方程（6个知识点+7种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第一章第02讲 直线的方程 课程标准 学习目标 通过对直线的方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养. 1.了解直线方程的六种形式解题方法．(难点) 2.掌握直线方程的六种形式并会应用．(重点) 知识点01．直线的点斜式方程 设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点． 方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0. 【即学即练1】（2022秋•浦东新区校级期末）过点，倾斜角为的直线方程为　　 A． B． C． D． 知识点02．直线的斜截式方程 1．直线在y轴上的截距 一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2．直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b． 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 【即学即练2】（2022春•黄浦区校级月考）已知直线在在轴上的截距为4，倾斜角为，且，则直线的斜截式方程为 　　 ． 知识点03．直线的两点式方程 经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． ＝（x1≠x2，y1≠y2） 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 【即学即练3】已知直线l经过两点A(a,0)，B(0，b)(如图)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程． 知识点04．直线的截距式方程 方程＋＝1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程． 注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的非零截距，可以直接代入截距式求直线的方程．与坐标轴平行或重合，以及过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 【即学即练4】（2023春•宝山区期末）已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值． 知识点05.直线的一般式方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 4.直线的一般式方程与其他形式方程的互化 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 【即学即练5】（2023春•普陀区校级期中）若，，且，则经过，、，的直线的一般方程为 　　． 知识点06.直线的点法式方程 1.直线的法向量 (1)一般地,与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量 (2)以直线l的一般式方程ax+by+c=0(a、b不同时为零)的一次项系数为坐标的向量=(a,b)是l的一个法向量 2.直线的点法式方程 如果知道了直线l上的一个点M(xo，yo)和的一个法向量=(a,b),那么平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件是,或用向量数量积写成.因为向量,所以平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件变成了a(x-xo)+b(y-yo)=0，这个方程称为直线的 点法式方程 【即学即练6】（2023秋•奉贤区校级期中）已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 　 ． 题型一：直线的点斜式方程 1．（2023秋•浦东新区校级期中）直线过点且倾斜角为，则直线的方程为　 ． 2.（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知线段的端点，，直线：与线段相交，则的取值范围是 ． 3.写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，倾斜角是． 4.已知在第一象限的中，A（1，1），B（5，1），且∠CAB=60°，∠CBA=45°，求边AB，AC和BC 所在直线的点斜式方程． 题型二：直线的斜截式方程 5．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 . 6.已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 7．已知直线l与直线y=-2x+3的斜率相同，且在y轴上的截距为5，求直线l的斜截式方程，并画出图形． 题型三：直线的点斜式与斜截式方程的应用 8.已知的顶点为，，， （Ⅰ）求AB边上的中线CM所在直线的方程; （Ⅱ）AB边上的高线CH所在直线的方程 9.求适合下列条件的直线方程： 经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍； 经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 题型四：直线的两点式与截距式方程 10．（2022春•浦东新区校级期中）已知点，，则线段的方程是 　　 ． 11．（2023春•徐汇区校级期中）已知直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为，则的方程　　 ． 12．（2023春•浦东新区校级期中）设直线的方程为，． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求的值． 题型五：直线的一般式方程 13．（2023春•杨浦区校级期中）直线关于点对称的直线的一般式方程为 　　 ． 14.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 15.已知的顶点，，直线的斜率为． (1)求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程； (2)求角的角平分线所在直线的一般式方程． 题型六：直线的一般式方程的应用 16．（2022春•黄浦区校级月考）将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，则与两坐标轴所围成的三角形面积大小为 　　． 17．（2023春•杨浦区校级期中）在中，顶点的坐标为，的平分线所在直线的方程为，且边上的中线所在直线的方程为． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线的一般式方程． 题型七：直线的点法式方程 18．（2021春•普陀区校级期中）过点且以为法向量的直线方程为 　　 ． 19．（2023春•浦东新区校级期中）过点，且一个法向量为的直线的点法式方程是 　　 ． 一．填空题 1．（2023秋•嘉定区校级期末）已知直线与直线具有相同的法向量，且经过点，则直线的一般式方程为 　 　． 2．（2023秋•闵行区校级期末）已知直线与平行，则　 　． 3．（2023秋•虹口区校级期末）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为　 　． 4．（2023秋•浦东新区校级期末）已知直线，，若，则的值为 　 　． 5．（2023秋•虹口区校级期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 　 　． 二．选择题 6．（2023春•杨浦区校级期末）已知常数，直线，，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2023春•浦东新区期中）若直线经过点、，则以下不是直线的方程的为　　 A． B． C． D． 8．（2023春•闵行区校级月考）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有　　条． A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2023春•徐汇区校级期中）直线关于直线对称的直线方程为　　 A． B． C． D． 三．解答题 10．（23-24高二上·上海·期末）已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 11．已知直线：，直线：. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 12．（2023春•宝山区期末）已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值． 13．（2023秋•闵行区校级期末）已知，． （1）求线段垂直平分线所在直线方程． （2）若直线过，且、到直线距离相等，求方程． 14．（2023秋•普陀区校级期末）已知，设直线，直线． （1）若，求的值； （2）当与相交时，求交点的坐标（用表示），并证明点恒在一条定直线上． 15.在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点. (1)当斜率为2时，求的一般式方程； (2)求面积的最小值时直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章第02讲 直线的方程 课程标准 学习目标 通过对直线的方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养. 1.了解直线方程的六种形式解题方法．(难点) 2.掌握直线方程的六种形式并会应用．(重点) 知识点01．直线的点斜式方程 设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点． 方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0. 【即学即练1】（2022秋•浦东新区校级期末）过点，倾斜角为的直线方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：直线的斜率为， 故直线方程为，即． 故选：． 知识点02．直线的斜截式方程 1．直线在y轴上的截距 一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2．直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b． 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 【即学即练2】（2022春•黄浦区校级月考）已知直线在在轴上的截距为4，倾斜角为，且，则直线的斜截式方程为 　　 ． 【解答】解：直线在在轴上的截距为4，倾斜角为，且， ，斜率， 直线的斜截式方程为， 故答案为：． 知识点03．直线的两点式方程 经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． ＝（x1≠x2，y1≠y2） 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 【即学即练3】已知直线l经过两点A(a,0)，B(0，b)(如图)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程． 解　直线l经过两点A(a,0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝， 即＋＝1. 知识点04．直线的截距式方程 方程＋＝1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程． 注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的非零截距，可以直接代入截距式求直线的方程．与坐标轴平行或重合，以及过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 【即学即练4】（2023春•宝山区期末）已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值． 【解答】解：（1）直线，． 则，解得或， 当时，直线，重合， 当时，直线，不重合，符合题意， 故； （2）当，即时，，满足直线在两个坐标轴上的截距相等； 当且时， 则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由题意可知，，解得， 综上所述，或． 知识点05.直线的一般式方程 1、定义：关于、的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。 2、适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示。 3、系数的几何意义：当时，（斜率），（轴上的截距） 当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。 4.直线的一般式方程与其他形式方程的互化 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 【即学即练5】（2023春•普陀区校级期中）若，，且，则经过，、，的直线的一般方程为 　　． 【解答】解：若，， 则点，在直线上， 点，在直线上， 即，、，都在同一直线上， 因为两点确定一条直线，所以由，、，确定的直线即为． 故答案为：． 知识点06.直线的点法式方程 1.直线的法向量 (1)一般地,与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量 (2)以直线l的一般式方程ax+by+c=0(a、b不同时为零)的一次项系数为坐标的向量=(a,b)是l的一个法向量 2.直线的点法式方程 如果知道了直线l上的一个点M(xo，yo)和的一个法向量=(a,b),那么平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件是,或用向量数量积写成.因为向量,所以平面上一点P(x,y)在直线l上的充要条件变成了a(x-xo)+b(y-yo)=0，这个方程称为直线的 点法式方程 【即学即练6】（2023秋•奉贤区校级期中）已知经过点的直线的一个法向量为，则的点法式方程为 　 ． 【解答】解：直线的一个法向量为，且经过点， 则的点法式方程为：． 故答案为：． 题型一：直线的点斜式方程 1．（2023秋•浦东新区校级期中）直线过点且倾斜角为，则直线的方程为　 ． 【解答】解：直线过点且倾斜角为，则斜率不存在， 故直线的方程为， 故答案为： 2.（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知线段的端点，，直线：与线段相交，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】   由已知，直线：， ∴直线过定点，且斜率为， 由已知，直线的斜率，直线的斜率， ∵直线与线段相交， ∴直线的斜率的取值范围是. 故答案为： 3.写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，倾斜角是． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，将和斜率3直接代入直线点斜式方程可得， 直线的点斜式方程为； （2）由倾斜角是可得直线斜率， 将代入点斜式方程即为 （3）由倾斜角是可得直线斜率， 将代入点斜式方程即为 4.已知在第一象限的中，A（1，1），B（5，1），且∠CAB=60°，∠CBA=45°，求边AB，AC和BC 所在直线的点斜式方程． 【解析】由A（1，1），B（5，1）可知边AB所在直线的斜率为0，故边AB所在直线的方程为y-1=0． 由AB∥x轴，且在第一象限，知边AC所在直线的斜率kAC=tan 60°=，边BC所在直线的斜率kBC=tan（180°-45°）=-1， 所以，边AC所在直线的方程为y-1=（x-1），边BC所在直线的方程为y-1=-（x-5）． 题型二：直线的斜截式方程 5．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 . 【答案】 【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得，所以直线的方程为，化简可得. 故答案为： 6.已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【详解】设直线方程为，则令得；令得， 由题意得，即，所以， 所以直线l的方程为或. 7．已知直线l与直线y=-2x+3的斜率相同，且在y轴上的截距为5，求直线l的斜截式方程，并画出图形． 【解析】因为直线l与直线y=-2x+3的斜率相同，所以直线l的斜率为-2． 又直线l在y轴上的截距为5，所以直线l的斜截式方程为y=-2x+5． 在直线l上取一点（1，3），作出图形如图所示． 题型三：直线的点斜式与斜截式方程的应用 8.已知的顶点为，，， （Ⅰ）求AB边上的中线CM所在直线的方程; （Ⅱ）AB边上的高线CH所在直线的方程 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【详解】 （Ⅰ）AB中点M的坐标是， ∴， ∴中线CM所在直线的方程是， 即中线CM所在直线的方程是， （Ⅱ）∵， ， ∴高线CH所在直线方程为， 即． 9.求适合下列条件的直线方程： 经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍； 经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】（1）（2）或 【详解】 （1）已知， 直线方程为化简得 （2）由题意可知，所求直线的斜率为. 又过点，由点斜式得， 所求直线的方程为或 题型四：直线的两点式与截距式方程 10．（2022春•浦东新区校级期中）已知点，，则线段的方程是 　　 ． 【解答】解：点，，则线段的方程是，即， 故答案为：． 11．（2023春•徐汇区校级期中）已知直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为，则的方程　　 ． 【解答】解：直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为， 则的方程为，即． 故答案为：． 12．（2023春•浦东新区校级期中）设直线的方程为，． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求的值． 【解答】解：（1）根据直线的方程为，， 在两坐标轴上的截距相等， 当时，，直线的方程即，它在轴上没有截距，不满足题意． 故． 令，可得直线在轴上的截距为， 令，可得直线在轴上的截距为， 则有，求得或． （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则， 即，即或， 求得． 题型五：直线的一般式方程 13．（2023春•杨浦区校级期中）直线关于点对称的直线的一般式方程为 　　 ． 【解答】解：在线关于点对称的直线上任意取一点， 则关于点对称点在直线上， 故有，化简可得． 故答案为：． 14.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 15.已知的顶点，，直线的斜率为． (1)求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程； (2)求角的角平分线所在直线的一般式方程． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解：当所求直线过原点时，设直线方程为， 因为直线过点，所以，故方程为， 当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上截距相等， 所以，设所求直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以所求直线方程为 综上，满足条件的直线方程为或. （2）解：因为的顶点，，直线的斜率为， 所以，直线方程为，直线的倾斜角为， 根据题意，作出其图形，如图， 当点位于直线下方时，，此时其角平分线为， 角平分线的倾斜角为， 所以，角平分线方程为，即； 当点位于直线上方时，，此时其角平分线为， 角平分线的倾斜角为， 所以，角平分线方程为，即. 所以，角的角平分线所在直线的一般式方程为或 题型六：直线的一般式方程的应用 16．（2022春•黄浦区校级月考）将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，则与两坐标轴所围成的三角形面积大小为 　　． 【解答】解：在直线中，令，得，， 令，得，直线与轴交点，， 直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线， 设直线的倾斜角为，则，的倾斜角为， 的斜率， 的方程为，即， 令，得，与轴交点坐标为，， 与两坐标轴所围成的三角形面积为： ． 故答案为：． 17．（2023春•杨浦区校级期中）在中，顶点的坐标为，的平分线所在直线的方程为，且边上的中线所在直线的方程为． （1）求点的坐标； （2）求边所在直线的一般式方程． 【解答】解：（1）中，已知点，平分线方程为：， 可设点，故线段的中点，， 边上中线方程为：， ，求得，故点． （2）设直线的斜率为，则由题意可得， 直线到平分线的角，等于平分线到直线的角， 直线的斜率为，平分线的斜率为2， ，求得， 故直线的方程为，即． 题型七：直线的点法式方程 18．（2021春•普陀区校级期中）过点且以为法向量的直线方程为 　　 ． 【解答】解：过点且以为法向量的直线方程的斜率为， 过点且以为法向量的直线方程为： ，整理得：． 故答案为：． 19．（2023春•浦东新区校级期中）过点，且一个法向量为的直线的点法式方程是 　　 ． 【解答】解：过点，且一个法向量为， 在此直线上任意取一点，则向量和此法向量垂直， 故有， 故答案为：． 一．填空题 1．（2023秋•嘉定区校级期末）已知直线与直线具有相同的法向量，且经过点，则直线的一般式方程为 　 　． 【解答】解：因为直线与直线具有相同的法向量，所以直线与直线平行， 设直线的方程为，将点代入可得：， 可得， 所以直线的方程为：． 故答案为：． 2．（2023秋•闵行区校级期末）已知直线与平行，则　 　． 【解答】解：由已知方程可化为，则直线斜率为， 由两直线，平行，则的斜率也存在，且为， 则方程可化为：， 所以有，且，解得． 故答案为：1． 3．（2023秋•虹口区校级期末）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为　 　． 【解答】解：点与点关于直线对称， 所以的中点坐标为：，的斜率为：， 所以对称轴的斜率为：1， 所以对称轴方程为：， 即：． 故答案为：． 4．（2023秋•浦东新区校级期末）已知直线，，若，则的值为 　 　． 【解答】解：直线，，， 则，解得， 经检验，时，两直线不重合， 故． 故答案为：． 5．（2023秋•虹口区校级期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 　 　． 【解答】解：设关于直线的对称点， 设军营所在区域的圆心为， 根据题意，为最短距离， 的中点，， 直线的斜率为1， 由，解得，， 所以， 故答案为：． 二．选择题 6．（2023春•杨浦区校级期末）已知常数，直线，，则是的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：，则直线，， 这两条直线的斜率都为，且不重合，则， 反之，若，则，， 当时直线，， 此时两条直线的斜率都为，且不重合，则， 则是的充分不必要条件． 故选：． 7．（2023春•浦东新区期中）若直线经过点、，则以下不是直线的方程的为　　 A． B． C． D． 【解答】解：直线经过点、， 则直线的斜率为，故选项中的直线不是直线的方程． 故选：． 8．（2023春•闵行区校级月考）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有　　条． A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意， 若截距均不为0，则设直线方程为， 将代入得，此时直线方程为． 故选：． 9．（2023春•徐汇区校级期中）直线关于直线对称的直线方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由直线，整理得， 即，故． 故直线关于直线对称的直线方程为． 故选：． 三．解答题 10．（23-24高二上·上海·期末）已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由直线过点，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）直线过点，在轴和轴上的截距相等， 设直线的方程为，， 令得，令得，则， 解得或， 所以直线的方程为或. 11．已知直线：，直线：. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意， 此时则，解得， ②若直线不过原点，因为直线在两坐标轴上的截距相等， 则斜率为，解得. 因此所求直线的方程为或 （2）若，则解得或. 当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去； 当时，直线：，直线：，满足题意； 因此所求直线： 12．（2023春•宝山区期末）已知直线，． （1）若，求实数的值； （2）若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值． 【解答】解：（1）直线，． 则，解得或， 当时，直线，重合， 当时，直线，不重合，符合题意， 故； （2）当，即时，，满足直线在两个坐标轴上的截距相等； 当且时， 则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由题意可知，，解得， 综上所述，或． 13．（2023秋•闵行区校级期末）已知，． （1）求线段垂直平分线所在直线方程． （2）若直线过，且、到直线距离相等，求方程． 【解答】解：（1）易得的中点坐标为，， 所求直线斜率为， 故线段垂直平分线所在直线方程为，即． （2）直线过，且，， 当直线斜率不存在时，直线为，显然不符合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设直线为即， 、到直线距离相等， ，解得或， 直线为或． 14．（2023秋•普陀区校级期末）已知，设直线，直线． （1）若，求的值； （2）当与相交时，求交点的坐标（用表示），并证明点恒在一条定直线上． 【解答】（1）解：若两条直线平行，可得，且， 解得， 即的值为； （2）证明：要使两条直线有交点，则且，时，两条直线重合）， 联立，解得， 即交点，， 可得， 即两条直线的交点所在的直线方程为：． 即证明点恒在一条定直线上． 15.在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点作直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点. (1)当斜率为2时，求的一般式方程； (2)求面积的最小值时直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）解：由题意可知，直线的方程：， 即； （2）解：∵点在第一象限，且直线分别与轴正半轴 、轴正半轴相交， ∴直线的斜率， 则设直线的方程为，， 令，得；令，得. ∴. ∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立. ∴面积的最小值为6. 此时直线的方程为，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$