第15章轴对称图形与等腰三角形（章末综合双卷检测）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

第15章 轴对称图形与等腰三角形章末综合双卷检测 试卷1【中考真题过关卷】 试卷2【章末过关卷】 试卷1【中考真题过关卷】 一、单选题 1．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·河北·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 3．（2022·贵州毕节·中考真题）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2020·湖北宜昌·中考真题）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（    ）．    A．是线段的垂直平分线 B．是线段的垂直平分线 C．是线段的垂直平分线 D．是的垂直平分线 5．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 二、填空题 6．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 7．（2020·青海·中考真题）如图所示中，，的垂直平分线交于，的周长是，则 ． 8．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．    三、解答题 9．（2023·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．    （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．    10．（2021·黑龙江绥化·中考真题）（1）如图，已知为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点．使．（保留作图痕迹，不写作法） （2） 在上图中，如果，则的周长是_______． 11．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．    12．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 试卷2【章末过关卷】 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，平分交于点D．于点E，若，，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D．3 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）等腰三角形的两边，满足，那么这个三角形的周长是（   ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 4．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的周长为（   ） A． B． C． D．或 5．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在等腰中，，，平分，交于点，，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图为等边与正方形的重叠情形，其中、两点分别在、上，且，若，，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 8．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的顶点均落在格点上，若建立适当的坐标系，记点A的坐标为，点B的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，等腰中，， ，，下列结论：①；②；③；④垂直平分；正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，等腰，，，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（） A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 二、填空题 11．（24-25八年级上·河南信阳·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为 ． 12．（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，已知在中，是的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是 ． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是 ． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，．若，，则 °． 三、解答题 15．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示的方格纸中，每一个小正方形的边长都是，网格中有一个格点三角形． (1)以直线为对称轴，在图中直接作出的轴对称图形． (2)在直线右侧，在外部，画出以为腰的一个等腰直角三角形． (3)计算的面积，并通过面积求出的长度． 16．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于 (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，，都是等边三角形，连接，交于点，求证： (1)； (2)平分． 18．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 19．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，是等边三角形，点，，分别是边，，上的点，，连接，，． (1)说明的理由； (2)说明是等边三角形的理由． 20．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 21．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接和，则和的位置关系为___________； (3)若，，，求的度数． 22．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 23．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）概念学习：如果一个三角形被一条线段分割后，得到两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)【概念应用】如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点D，且是的一条特异线，则 度； (2)【类比猜想】如图2，已知是特异三角形，且为钝角，直接写出所有可能的的度数； (3)【深入探究】如图3，在平面直角坐标系中，当是等边三角形时，，，动点M从B出发，沿着线段向终点A运动，同时，动点N从C出发，沿着射线运动，M、N两点运动速度均为2个单位每秒，运动时间为t秒，交x轴于点E，在线段上取一点D，连接，使得，且，求证：是的特异线，并求出t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 轴对称图形与等腰三角形章末综合双卷检测 试卷1【中考真题过关卷】 试卷2【章末过关卷】 试卷1【中考真题过关卷】 一、单选题 1．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形概念，一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形．根据轴对称图形概念，结合所给图形即可得出答案． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B． 是轴对称图形，符合题意； C． 不是轴对称图形，不符合题意； D． 不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．（2021·河北·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 3．（2022·贵州毕节·中考真题）在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】由作图可知，垂直平分线段， ∴，，， 故选项B，C，D正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 4．（2020·湖北宜昌·中考真题）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（    ）．    A．是线段的垂直平分线 B．是线段的垂直平分线 C．是线段的垂直平分线 D．是的垂直平分线 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的定义判断即可． 【详解】   ∵为线段的垂直平分线, ∴FO=GO, 又∵EF=GH, ∴EO=HO, ∴是线段的垂直平分线,故A正确 由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误 ∵是直线并无垂直平分线，故D错误 故选：A． 【点睛】本题考查垂直平分线的定义,关键在于牢记基础知识． 5．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长， 等腰三角形的周长， 故选：B． 二、填空题 6．（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 7．（2020·青海·中考真题）如图所示中，，的垂直平分线交于，的周长是，则 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解． 【详解】 解：是的垂直平分线， ， 的周长， ，的周长是， ． 故答案为：． 8．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．    【答案】55 【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到． 【详解】∵由作图可得，是的角平分线 ∴． 故答案为：55． 【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 三、解答题 9．（2023·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．    （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．    【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析 【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考； （2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形． 【详解】解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； 故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； （2）如图：    【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 10．（2021·黑龙江绥化·中考真题）（1）如图，已知为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点．使．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在上图中，如果，则的周长是_______． 【答案】（1）见解析；（2）9． 【分析】（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可； （2）根据（1）中可知，即可求得的周长． 【详解】（1）作法：如图所示， ①连接（用虚线）， ②作的垂直平分线交于， ③标出点即为所求， （2）∵， ∴， ∴的周长＝9． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的做法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键． 11．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出，再利用等边对等角即可． 【详解】证明：为等边的中线，   ， ， ， 【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键． 12．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定． （1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明； （2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 试卷2【章末过关卷】 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A.   不是轴对称图形，故选项不符合题意；     B.   不是轴对称图形，故选项不符合题意； C.   不是轴对称图形，故选项不符合题意； D.   是轴对称图形，故选项符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，平分交于点D．于点E，若，，，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，过D作于F，根据角平分线的性质得到，利用求解即可． 【详解】解：过D作于F，如图， ∵平分交于点D，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·云南昆明·期中）等腰三角形的两边，满足，那么这个三角形的周长是（   ） A．10 B．13 C．17 D．13或17 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形两边相等的性质及三角形的构造条件，三角形三边关系，同时也考查了方程的应用．通过非负性可以判断，的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵该三角形是等腰三角形， ∴三边长为7，7，3或3，3，7（不满足三角形构造条件，舍去）， ∴周长为． 故选：C． 4．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是分类讨论．根据线段垂直平分线的性质可得：，，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：如图，当点在点左侧时， 垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为； 当点在点的右侧时， 垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为； 综上所述，的周长为或， 故选：D． 5．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质逐项判断即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，，故ABC正确，不符合题意； 故选：D． 6．（2024八年级上·上海·专题练习）如图，在等腰中，，，平分，交于点，，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些 知识点是解题的关键． 由角平分线得到，再证明，继而 【详解】解：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， 的周长 ， ， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图为等边与正方形的重叠情形，其中、两点分别在、上，且，若，，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形，过点作，证明为等边三角形，根据含30度角直角三角形的性质，求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵等边， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的面积为； 故选D． 8．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的顶点均落在格点上，若建立适当的坐标系，记点A的坐标为，点B的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形与坐标，线段垂直平分线的判定，到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．到三个顶点距离相等的点是与的垂直平分线的交点，画出交点，进而得出其坐标即可． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，与的垂直平分线的交点为点， ∴到三个顶点距离相等的点的坐标为， 故选：B． 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，等腰中，， ，，下列结论：①；②；③；④垂直平分；正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】证明，得出，，可判定①②正确；证明点在线段的垂直平分线上，得出垂直平分BC，判定④正确；延长交于点，根据等腰三角形的性质得到，根据余角性质得出，可判定③正确，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，故正确； 延长交于点，如图所示， ∵，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 综上可知，正确的结论有个， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，余角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 10．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，等腰，，，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（） A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；②因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；③证明且，即可证得是等边三角形；④首先证明，则，． 【详解】解：①如图1，连接， ，， ，， ， ， ， ，， ；故①正确； ②由①知：，， 点是线段上一点， 与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③， ， ， ， ， ， 是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 二、填空题 11．（24-25八年级上·河南信阳·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【分析】该题主要考查了关于x轴对称的点的特征，代数式求值以及有理数乘方运算，解题的关键是掌握关于x轴对称的点的特征． 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴， ∴， ∴， 故选：1． 12．（2024八年级上·安徽·专题练习）如图，已知在中，是的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到，进而推出的周长为的长，即可得出结果． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长是． 故答案为：5． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，若，   ，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据，，得到，根据平分，平分得到，，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴()， ∴， 同理可得：， ， ∴四边形的面积， 故答案为： ． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，．若，，则 °． 【答案】50 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，根据等边对等角的性质可得，，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，然后求出与的关系，再代入数据计算即可得解． 【详解】解：，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ∵， ． 故答案为：50． 三、解答题 15．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示的方格纸中，每一个小正方形的边长都是，网格中有一个格点三角形． (1)以直线为对称轴，在图中直接作出的轴对称图形． (2)在直线右侧，在外部，画出以为腰的一个等腰直角三角形． (3)计算的面积，并通过面积求出的长度． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析（答案不唯一） (3) 【分析】（）根据轴对称图形的性质作图即可； （）根据网格作出等腰直角三角形即可； （）先利用割补法求出的面积，再根据三角形面积公式求出即可； 本题考查了作轴对称图形，作等腰直角三角形，三角形的面积，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：的面积， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于 (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点P在的垂直平分线上， ， 是的平分线，于D，于E， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵平分，于D，于 ∴， 在和中， ， ， ， ，，且， ， 即， 解得 17．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，，都是等边三角形，连接，交于点，求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得，进而可得，利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）过点作于，于，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，根据“在角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上”即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，于，如下图， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 18．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，， ∴ ． 19．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，是等边三角形，点，，分别是边，，上的点，，连接，，． (1)说明的理由； (2)说明是等边三角形的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理， （1）由等边三角形的性质可得，，进而由可以得到，由即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，利用三角形内角定理求出，进而求出，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ，即， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 20．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键； （1）根据线段垂直平分线的性质得到，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ，， ． 21．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接和，则和的位置关系为___________； (3)若，，，求的度数． 【答案】(1)6 (2) (3)． 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，熟练掌握轴对称的性质是银题的关键． （1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得，，即可由平行线的判定即可得出结论； （3）根据轴对称的性质：对应角相等，以及三角形内角和等于180度，求解即可． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴ ； （2）解：， 理由：如图，    ∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称，点与点关于直线对称， ∴，， ． 故答案为：； （3）解：∵和关于直线对称， ∴，与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，点在的平分线上，点分别在上，且． (1)求证：； (2)延长，分别交于点，连接，若平分，回答下列问题． ①试说明平分； ②若，，求点P到射线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②点P到射线的距离为2． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）①过点作的垂线，垂足分别为，利用角平分线的性质求得，即可证明平分； ②先证明是线段的垂直平分线，利用三角形的面积公式求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①过点作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴点恰好是与的交点， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点P到射线的距离为2． 23．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）概念学习：如果一个三角形被一条线段分割后，得到两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形． (1)【概念应用】如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点D，且是的一条特异线，则 度； (2)【类比猜想】如图2，已知是特异三角形，且为钝角，直接写出所有可能的的度数； (3)【深入探究】如图3，在平面直角坐标系中，当是等边三角形时，，，动点M从B出发，沿着线段向终点A运动，同时，动点N从C出发，沿着射线运动，M、N两点运动速度均为2个单位每秒，运动时间为t秒，交x轴于点E，在线段上取一点D，连接，使得，且，求证：是的特异线，并求出t的值． 【答案】(1) (2)或或或 (3)证明见解析， 【分析】（1）由角平分线的性质得，由是的一条特异线得，，再利用三角形内角和即可求解； （2）根据题意分为这个三角形的特异线，为这个三角形的特异线，为这个三角形的特异线，三种情况讨论，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质解答即可； （3）过点M作交于点Q，过点D作于点F，延长到点，使，连接，先证明，推出，再证是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一及线段之间的和差关系得，设，得，证明为等边三角形，求出，，得到是等腰三角形，即可证明 为 的特异线；再根据等边三角形的性质及30度直角三角形的性质得 ，，，列出关于的方程解出即可． 【详解】（1）解：是的一条特异线， ，是等腰三角形， ，，， 的角平分线是， ， 是等腰锐角三角形， ， 内角和为， ； （2）解：∵是特异三角形， 当为这个三角形的特异线时， ∴和都是等腰三角形， 当，时， 则， ∴， 此时； 当，时， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∵，与三角形内角和定理矛盾， ∴不成立； 当，时， 同理，不成立； 当，时， 则， ∴， ∴， ∴ 此时； 当，时， 则， 此时（不符合题意）； 当，时， 则， 此时（不符合题意）； 当，时， 则， 则， 此时； 当，时， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴，与三角形内角和定理矛盾， ∴不成立； 当，时， 同理，不成立； 当为这个三角形的特异线时， ∴和都是等腰三角形， ∵为钝角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（不符合题意）； 当为这个三角形的特异线时， ∴和都是等腰三角形， ∵为钝角， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或； （3）证明：过点M作交于点Q，过点D作于点F，延长到点，使，连接， ∵是等边三角形，M、N两点运动速度均为2个单位每秒， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 由等腰三角形三线合一的性质可得， ∵， 设，， ∴， 设，则， ∴ 即 ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵ ， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴ 将 分为两个等腰三角形， ∴ 为 的特异线； ∵，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等边三角形的判定及性质，三角形内角和定理和外角的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，动点问题，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握求一次函数交点及一次函数与坐标轴的交点的方法与技巧． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$