第15章 轴对称图形与等腰三角形（章末重点题型复习）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

第15章 轴对称图形与等腰三角形章末重点题型复习 题型一 两个概念 概念1：轴对称图形 【例题1】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）下列图形中为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·广东韶关·期中）下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图图案中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期中）下列图形中，是轴对称图形的有 ． ①角 ②线段 ③等腰三角形 ④平行四边形⑤圆 概念2：轴对称 【例题2】（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，和关于某条直线成轴对称，请画出它们的对称轴，并写出做法步骤． 【变式1】观察图①~④中的左右两个图形,它们是否成轴对称?如果是,请画出其对称轴. 【变式2】（24-25八年级上·山东德州·期中）画出下列轴对称图形的所有的对称轴． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）画出图中的轴对称图形的所有对称轴． 题型二 六个性质 性质1：轴对称的性质 【例题3】（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式1】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好落在线段上，点E与点关于直线对称，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ． 【变式3】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，已知与关于所在的直线对称，延长交的延长线于点，若，且，求的度数． 性质2：线段垂直平分线的性质 【例题4】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上一动点，则周长的最小值是（　　） A．9 B．10 C．12.5 D．14 【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是线段的垂直平分线，连接，若，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，是中边的垂直平分线，已知与的周长分别为和，则的长为 ． 【变式3】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长． (2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 性质3：等腰三角形的性质 【例题5】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·期中）我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就．图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在中，，若是边上的一点，则下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，，则的度数为 度． 【变式3】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，于点D，在上取一点E，使，连接．若，求的度数．    性质4：等边三角形的性质 【例题6】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，等边的边长为4，平分，点在的延长线上，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点是边上异于，的任意一点，于点，于点．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【变式2】（24-25八年级上·四川广安·期中）若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 【变式3】（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，为等边三角形，相交于点于点． (1)求证：； (2)求的长． 性质5：含30°角的直角三角形的性质 【例题7】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图所示，在中，，于点D，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，是高，，则和的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 【变式3】（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，在中，于点D，，求的长． 性质6：角平分线的性质 【例题8】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在 (    )    A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，，平分，，则点D到的距离为 ． 【变式3】（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在中，点O是平分线的交点，过O作于D点，且，求的面积． 题型三 三个判定 判定1：线段垂直平分线的判定 【例题9】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（    ） A．点是的中点 B．平分 C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上 【变式1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，制作这个风筝需要的布料至少为（    ） A．1800 B．5400 C．2700 D．1200 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是 ． 【变式3】（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，已知在中，是上一点，．求证：． 判定2：等腰三角形的判定 【例题10】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，高，高交于点H．若，，则的长度（   ） A．12 B．14 C．15 D．18 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）已知，如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在中，，点在直线上，，过点作交点，则与的数量关系为 ． 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 判定3：角平分线的判定 【例题11】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，且有，则点在（   ） A．第一、三象限角平分线上 B．第二、四象限角平分线上 C．坐标轴上 D．坐标原点 【变式1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期中）点到的三边，，的距离相等，则点的位置在 ． 【变式3】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 题型四 两个应用 应用1：轴对称的应用 【例题12】（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·广东珠海·期中）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是 ． 【变式3】（2022八年级·全国·专题练习）如图所示，，两点在直线的两侧，在上找一点，使点到点、的距离之差最大． 应用2：线段垂直平分线的应用 【例题13】（24-25八年级上·湖南常德·期中）如图，村庄A，B分别在笔直公路的两侧，一辆汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A，B两村庄的距离相等？请指出该位置． 【变式1】（24-25八年级上·青海海东·期中）如图，、两村在一条小河的同一侧，要在河边建一自来水厂向两村供水．若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置 （不写作法，保留作图痕迹）    【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在河岸的同侧有两村，在河边修一水泵站，使其到两村所用的水管最短（两村不共用水管）．另修一码头，使其与两村的距离相等．试画出所在的位置（不写画法，保留画图痕迹）． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，有关部门计划建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，学校的位置应设在何处？请说明理由． 题型五 两种思想 思想1：方程思想 【例题14】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，是边上一点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，中，，，．D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E，F，则线段的长是 ；线段长的最大值是 ． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，D为的中点，E是上一点，连接并延长交于点F，，且，，求的长． 思想2：分类讨论思想 【例题15】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）等腰三角形的一个外角为，则这个三角形的底角的大小是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）若等腰三角形的两边长分别是和 ，则这个等腰三角形的周长是 ． 【变式3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，边长为的等边中，点分别是边上的动点（端点除外），点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点，在点，运动的过程中． (1)求证：； (2)的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由； (3)连接，当点，运动多少秒时，是直角三角形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 轴对称图形与等腰三角形章末重点题型复习 题型一 两个概念 概念1：轴对称图形 【例题1】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）下列图形中为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．据此进行解答即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·广东韶关·期中）下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的识别，涉及轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，故选项符合题意； C、不是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图图案中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期中）下列图形中，是轴对称图形的有 ． ①角 ②线段 ③等腰三角形 ④平行四边形⑤圆 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：①角，②线段，③等腰三角形，⑤圆能找到到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； ④平行四边形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故答案为：①②③⑤． 概念2：轴对称 【例题2】（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，和关于某条直线成轴对称，请画出它们的对称轴，并写出做法步骤． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图形的对称轴，找到对应点，作对应点连线的垂直平分线，即可解答，熟知对称轴的作法是解题的关键． 【详解】解：如图，和关于直线对称， ， 作法：连接， 以点为圆心，大于的长度为半径画弧， 以点为圆心，相同的长度为半径画弧， 连接两弧的交点，即可得到和的对称轴． 【变式1】观察图①~④中的左右两个图形,它们是否成轴对称?如果是,请画出其对称轴. 【答案】见解析 【详解】判断两个图形是否成轴对称,关键是理解、应用两个图形成轴对称的定义,即看两个图形能否沿一条直线折叠后重合.若重合,则两个图形关于这条直线成轴对称,否则不成轴对称. 解：图①②③中的左右两个图形成轴对称,题图④中的左右两个图形不成轴对称. 图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示. 【变式2】（24-25八年级上·山东德州·期中）画出下列轴对称图形的所有的对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据轴对称图形的性质，对称轴两边的部分能够完全重合，作出各图形的对称轴即可． 【详解】解：如图： 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）画出图中的轴对称图形的所有对称轴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画对称轴，根据轴对称图形的性质，对称轴两边的部分能够完全重合作出各图形的对称轴即可． 【详解】解：如图所示． 题型二 六个性质 性质1：轴对称的性质 【例题3】（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，其中分别交，于点，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好落在线段上，点E与点关于直线对称，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键． 先根据平行线的性质求出的度数，由直角三角形的性质得出的度数，再根据点关于直线的对称点恰好在上得出的度数，进而得出的度数，结合点与点关于直线对称可得出即可求解． 【详解】解：连接， ∵轴于点C，， ∴轴， ∴，． ∵点关于直线的对称点恰好在上， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵点与点关于直线对称， ∴是的垂直平分线， ∴． 故选：B． 【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查最短路径问题，正确做出图形是解题关键． 作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，则的长就是周长的最小值；通过对称性可知是等边三角形． 【详解】解：作点P关于的对称点，作点P关于的对称点，连接，，， ∴， ∴，的长就是周长的最小值； 在中，，， ∴， ∵， ∴, 故答案为：4． 【变式3】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，已知与关于所在的直线对称，延长交的延长线于点，若，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形外角的性质．根据轴对称的性质，可知，由全等三角形的性质以及等量代换证明，即可得，利用三角形的外角性质即可求出的度数． 【详解】解：∵与关于所在的直线对称， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 性质2：线段垂直平分线的性质 【例题4】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上一动点，则周长的最小值是（　　） A．9 B．10 C．12.5 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．设交于点，连接，根据垂直平分线的性质得出，，当点与点重合时，的周长最小，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接， ∵垂直平分， ，， 的周长为： ， 当点与点重合时，的周长最小， ∵，， ∴的周长最小值为：， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是线段的垂直平分线，连接，若，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，是中边的垂直平分线，已知与的周长分别为和，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查求线段长，涉及中垂线的性质、三角形周长等知识，根据中垂线性质得到，，结合三角形周长列式求解即可得到答案，根据周长得到线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：是中边的垂直平分线， ，， 与的周长分别为和， ；， ， ， 故答案为：4． 【变式3】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，求的周长． (2)连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 【答案】(1)8 (2)5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，根据三角形周长公式求出结果即可； （2）根据垂直平分线的性质得出，，根据的周长为18，求出，得出．根据垂直平分线的性质得出，，即可得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵ ，分别垂直平分和， ∴ ，， ∴ 的周长； （2）解：连接、、， ∵ 的周长为18， ∴ ， ∵ ， ∴． ∵ 、分别垂直平分和， ∴，， ∴ ， ∴. 性质3：等腰三角形的性质 【例题5】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·江苏·期中）我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就．图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在中，，若是边上的一点，则下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合解答即可．本题考查了等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形“三线合一”是解此题的关键． 【详解】解：A、，，，故选项不符合题意； B、，，故选项不符合题意； C、，，，故选项不符合题意； D、，∴是等腰三角形，∵，∴该条件不能说明，故选项符合题意． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，，则的度数为 度． 【答案】 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，，，再根据等边对等角的性质，，代入数据计算即可求出的度数．本题主要利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图，，， ， ， ， ， ， 即， ， ． 故答案为． 【变式3】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，于点D，在上取一点E，使，连接．若，求的度数．    【答案】 【分析】先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 性质4：等边三角形的性质 【例题6】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，等边的边长为4，平分，点在的延长线上，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 根据题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵边的边长为4，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【变式1】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点是边上异于，的任意一点，于点，于点．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示，连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·四川广安·期中）若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形三条边相等得到，据此可求三角形的周长． 【详解】解：等边三角形的边长是， ， 的周长是， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，为等边三角形，相交于点于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解答； (2)14． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等求出，求出，根据含角的直角三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 又∵， ∴． 性质5：含30°角的直角三角形的性质 【例题7】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图所示，在中，，于点D，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键；根据直角三角形的性质可求，根据角度关系求出，再根据直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：，，， ，， ， ， ， ， 的长为， 故选：． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，是高，，则和的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质，掌握此性质是解题的关键；由可求得，则得，，则，由三角形面积即可求解． 【详解】解：∵是高，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，在中，根据含度角的直角三角形的性质先求得，在中，同理可得的长，即可求解． 【详解】解：在中， ，，， ， 在中， ， ， ． 故答案为： 【变式3】（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，在中，于点D，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半．是基础知识要熟练掌握． 由，，，得，得出，即可得到的长． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 性质6：角平分线的性质 【例题8】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在 (    )    A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 由它到三条公路的距离相等，即其在三条角平分线的交点上，据此即可解答． 【详解】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意； B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，符合题意； C．三角形高的交点为垂心，不符合题意； D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，不符合题意． 故选B． 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键；过D作于E，根据角平分线的性质可得，即可得解． 【详解】解：过D作于E， ， ， ，， ， 点D到BC的距离是4， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，，平分，，则点D到的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．过点D作于E，结合题目中的条件，平分，利用角平分线的性质定理可得，再根据距离的定义即可解答． 【详解】解：过点D作于E， 平分，，， ，即点D到的距离为5． 故答案为：5． 【变式3】（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在中，点O是平分线的交点，过O作于D点，且，求的面积． 【答案】30 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．于于，连接，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式和进行计算即可． 【详解】解：作于于，连接，如图， 点是角平分线的交点， 即， 题型三 三个判定 判定1：线段垂直平分线的判定 【例题9】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（    ） A．点是的中点 B．平分 C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上 【答案】C 【分析】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，根据题意得到，判定点在的垂直平分线上，由此判断． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上， 故选C． 【变式1】（24-25八年级上·河南洛阳·期中）风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，制作这个风筝需要的布料至少为（    ） A．1800 B．5400 C．2700 D．1200 【答案】C 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定，利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用四边形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上得到是的垂直平分线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【变式3】（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，已知在中，是上一点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据可得在的垂直平分线上，又在上，即可得证． 【详解】解：∵ ∴在的垂直平分线上， 又在上， ∴． 判定2：等腰三角形的判定 【例题10】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，高，高交于点H．若，，则的长度（   ） A．12 B．14 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的根据是证明．先由已知得到，根据三角形面积求出，证明，即可求得继而可得答案． 【详解】解：，， ∴为等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）已知，如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 先证，可得，，可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得，，可得④正确． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， 故结论①正确； ②∵为的角平分线，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵，，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线，，而不垂直于， ∴， 故结论③错误； ④由③知， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在中，，点在直线上，，过点作交点，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理．首先根据等腰三角形的性质可知，根据三角形内角和定理可知，再根据等腰三角形的三线合一定理可证结论成立． 【详解】解：如下图所示， 在中，， ， 又， ， ， 在中，， 在中，， ， 又， 平分， ， ； 故答案为： 【变式3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定： （1）根据，，即可求得答案； （2）根据，可得，进而可求得． 【详解】（1）∵， ∴． ∴． ∴． （2）∵， ∴，． ∴． ∴ 判定3：角平分线的判定 【例题11】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，且有，则点在（   ） A．第一、三象限角平分线上 B．第二、四象限角平分线上 C．坐标轴上 D．坐标原点 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定，平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，根据题意可得点的横坐标和纵坐标同号，且点到x轴和y轴的距离相等，进而可得答案． 【详解】解：∵点的坐标为，且， ∴点的横坐标和纵坐标同号，且点到x轴和y轴的距离相等， ∴点在第一、三象限角平分线上， 故选：A． 【变式1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的判定， 利用角平分线的判定定理得到平分，再利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴平分， ∵， ∴． 故选D． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期中）点到的三边，，的距离相等，则点的位置在 ． 【答案】的平分线和的平分线的交点上 【分析】本题考查角平分线的判定，根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，即可求解． 【详解】解：点到，的距离相等， 平分， 点到，的距离相等， 平分， 点的位置在的平分线和的平分线的交点上． 故答案为：的平分线和的平分线的交点上 【变式3】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）过点作于点，证明，得出，即可证明是的角平分线，即可得证； （2）证明得出，进而根据，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，得出，，则可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线，即平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 题型四 两个应用 应用1：轴对称的应用 【例题12】（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键 【变式1】（24-25八年级上·广东珠海·期中）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了镜面对称的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称，然后分别求出每个选项中的时间，进而求解即可． 【详解】解：A、实际时间大约为； B、实际时间大约为； C、实际时间大约为； D、实际时间大约为； ∴实际时间最接近的是． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质．根据镜面对称的性质，即可得出结论． 【详解】根据镜面对称的性质，因此的真实图象应该是． 故答案为：． 【变式3】（2022八年级·全国·专题练习）如图所示，，两点在直线的两侧，在上找一点，使点到点、的距离之差最大． 【答案】图见解析 【分析】作点关于直线的对称点，连接并延长交直线于点，点即为所求． 【详解】解：如图所示， （1）以直线为对称轴，作点关于直线的对称点：以点为圆心，以大于点到直线的距离的长为半径画弧，交直线于、两点，分别以点、为圆心，以为半径画弧，交于点； （2）连接并延长交直线于点， 则点即为所求． 理由如下： 在直线上任找一点（异于点），连接，，，，， ∵点，关于直线对称， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴ 又∵点在直线上， ∴， ∵在中， ，即， ∴，即， ∴当点、、在同一条直线上时的值最大． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，考查了线段的垂直平分线性质，轴对称的性质以及三角形三边关系等知识．解题的关键是根据轴对称的性质画出图形，再根据三角形三边关系的知识求解 应用2：线段垂直平分线的应用 【例题13】（24-25八年级上·湖南常德·期中）如图，村庄A，B分别在笔直公路的两侧，一辆汽车在公路上行驶到什么位置时，它到A，B两村庄的距离相等？请指出该位置． 【答案】图见解析 【分析】本题主要考查了作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质等知识点，牢记线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 连接，作的垂直平分线，直线与相交于点，则点即为所求． 【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线，直线与相交于点，则点即为所求： 汽车在公路上行驶到点时，它到A，B两村庄的距离相等， 理由：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， 答：汽车在公路上行驶到点时，它到A，B两村庄的距离相等． 【变式1】（24-25八年级上·青海海东·期中）如图，、两村在一条小河的同一侧，要在河边建一自来水厂向两村供水．若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置 （不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据题意作出的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在河岸的同侧有两村，在河边修一水泵站，使其到两村所用的水管最短（两村不共用水管）．另修一码头，使其与两村的距离相等．试画出所在的位置（不写画法，保留画图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短以及线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，作出关于的对称点，连接即可作出水泵站；作线段的垂直平分线即可作出码头 【详解】解：如图所示，两点的位置即为所求 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图所示，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，有关部门计划建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，学校的位置应设在何处？请说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，作出，的中垂线相交于点，则点是所求的点． 【详解】如图，作出和的中垂线，相交于点，则点是所求的到三村距离相等的点． 理由：点在线段的垂直平分线上， ． 点在线段的垂直平分线上， ， 题型五 两种思想 思想1：方程思想 【例题14】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握有关性质． 设，则．根据线段的垂直平分线的性质，得，再根据等边对等角得，然后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵的垂直平分线交于D，交于E， ∴， ∴． ∴，即， 解得：， ∴． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，是边上一点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，也考查了三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 设，然后根据，，表示出和的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴，． 设， ∴． ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，中，，，．D为上一动点，连接的垂直平分线分别交于点E，F，则线段的长是 ；线段长的最大值是 ． 【答案】 10 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键，属于压轴题． 先求出的长，过点作于，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【详解】解：连接， ∵中，， ， ∵垂直平分， ， 过点作于，若要使最大，则需要最小， 设，则， ， ， ， ， 解得． ∴最小值为的最大值为， 故答案为：10；． 【变式3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，D为的中点，E是上一点，连接并延长交于点F，，且，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长至H，使，连接，证，根据全等三角形的性质得到，再证，得，设，根据，推出，即可解答． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， ∵为中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，， ∴，， ∵，即， ∴， 即． 思想2：分类讨论思想 【例题15】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）等腰三角形的一个外角为，则这个三角形的底角的大小是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了腰三角形的定义、三角形外角的性质等知识点，分该外角是等腰三角形底角和顶角的外角两种情况解答即可；利用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当这个外角是底角的外角时，底角的大小为； 当这个外角是顶角的外角时，底角的大小为； 综上，这个等腰三角形的底角的大小是或． 故选：C 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．由题意分该等腰三角形的腰长分别为4和9两种情况，结合三角形三边间的关系进行讨论，然后再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下两种情况进行讨论： （1）当该等腰三角形的腰长为4时，因为，不组成三角形，所以这种情况不成立； （2）当该等腰三角形的腰长为9时，因为，组成三角形，此时该等腰三角形的周长． 综上所述，该等腰三角形的周长为22． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）若等腰三角形的两边长分别是和 ，则这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系．等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【详解】解：由等腰三角形的定义，分以下两种情况： （1）当边长为的边为腰时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴满足三角形的三边关系定理， 此时这个等腰三角形的周长为； （2）当边长为的边为腰时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系定理， 此时这个等腰三角形的周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为或， 故答案为：或． 【变式3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，边长为的等边中，点分别是边上的动点（端点除外），点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接，交于点，在点，运动的过程中． (1)求证：； (2)的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由； (3)连接，当点，运动多少秒时，是直角三角形？ 【答案】(1)证明见解析； (2)的大小是不发生变化，理由见解析； (3)当第秒或第秒时，为直角三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）由等边三角形的性质得出，，然后由即可求证； （）由可得，由外角的性质可求； （）分两种情况当时，当时讨论，由直角三角形的性质列出等式可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又由条件得， 在和中， ∴， （2）解：的大小是不发生变化，理由， 由（）知：， ∴， ∴； （3）解：设时间为，则，, 当时， ∵， ∴， ∴，得，； 当时， ∵， ∴， ∴， 得，； ∴当第秒或第秒时，为直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$