24.2 圆的基本性质（第4课时 圆的确定）（教学课件）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十四章 圆 第4课时 圆的确定 24.2 圆的基本性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 1. 理解并掌握三点确定圆的条件并会应用. (重点) 2. 理解并掌握三角形的外接圆及外心的概念. (难点) 3. 了解反证法的证明思想. 学习目标 根据之前所学内容，回答下列问题 (1)过一点可以作几条直线？ ●A 经过一点可以作无数条直线； 情景导入 (2)过两点可作几条直线？ ● ● 过两点只可以作一条直线；即两点确定一条直线. A B 那你知道如何确定一个圆吗？ 活动1：探究确定圆的条件 1.过一点作圆，可以作多少个圆？ 过一点可以作无数个圆. 新知探究 2.经过两点A，B作圆，如图，能作多少个圆?这些圆的圆心有什么特点? 经过两点能作无数个圆 经过三点A，B，C，能不能作圆? 它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上. · · · · A B 新知探究 当三个点不在同一条直线上时，如图中的点A、B、C，要求作一个圆，使它经过A，B，C三点，可能吗？如何作？ 分析:经过不在同一条直线上的三点A、B、C能否作圆，关键是看能否找到一点О，使OA = OB = OC. 若圆过A、B两点，圆心应在线段AB的垂直平分线上；同理，若圆过B、C两点，圆心也应在线段BC的垂直平分线上. 所以AB 、BC两条线段的垂直平分线的交点О就是所找的点，就是经过A、B、C三点的圆的圆心． A B C 新知探究 A B C D E G F O 三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点与三角形的三个顶点的距离相等. 这个性质你还记得吗？ 作法 1.连接AB，BC，如图. 3.以点О为圆心，OA为半径作圆. 则⊙O即为所作. 2.分别作线段AB，BC的垂直平分线，设它们交于点O. 由于经过不在同一条直线上的三点A，B，C的圆，其圆心只能是线段AB，BC的垂直平分线的交点О，所以经过不在同一直线上的三点A，B，C只可以作一个圆. 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 概念归纳 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆. A B C O 活动2：探究三角形的外接圆 新知探究 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆； 外接圆的圆心叫做三角形的外心； 这个三角形叫做圆的内接三角形. 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等. 概念归纳 三角形有几个外接圆？圆有几个内接三角形？ 注意：三角形只有1个外接圆，圆有无数个内接三角形. 新知探究 A B C ·O A B C C A B ┐ ·O ·O 画一画：分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 锐角三角形的外心位于三角形内， 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点， 钝角三角形的外心位于三角形外. 概念归纳 反证法 当三个点在同一条直线 l 上时，如图中的点A，B，C，要求作一个圆，使它经过A，B，C三点，可能吗? 与上面情况不同，经过同一条直线上的三点是不能作圆的. 试着证明一下. 新知探究 假设经过直线 l 上的三点 A，B，C 可以作圆，设这个圆的圆心为 O. 由OA = OB 可知，点 О 在 AB 的垂直平分线 l1 上；由 OB = OC 可知，点 O 也应在 BC 的垂直平分线 l2 上. 因为 AB，BC 都在直线 l 上，这样，经过点 О 便有两条直线 l1，l2 都垂直于直线 l，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾. 所以，经过同一条直线上的三点是不可以作圆的. 上面的证明不是直接从题设推出结论，而是先假设命题结论不成立， 然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的 证明方法叫做反证法． 思考：通过上面的证明，你能说说反证法有哪些步骤吗？ 概念归纳 (1)反设：假设命题的结论不成立； (2)推理：从(1)中的“反设”出发，逐步推理直至出现与已知条件、定义、基本事实、定理等中任一个相矛盾的结果； (3)结论：由矛盾的结果判定(1)中的“反设”不成立，从而肯定命题的结论成立. 用反证法证明命题一般有以下三个步骤: 用反证法证明定理“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”. 已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点O1，O2. 求证：∠EO1B=∠EO2D. A B C D E F O1 O2 A' B' 证明：假设∠EO1B≠∠EO2D，过点O1作直线A'B'，使∠EO1B'=∠EO2D， 根据 “同位角相等，两直线平行”，得A'B'∥CD. 这样，过点O1就有两条直线AB，A′B′平行于直线CD，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾， 即∠EO1B≠∠EO2D的假设不成立. 所以∠EO1B=∠EO2D. 1.按图填空： (1)△ABC是⊙O的 _____ 三角形； (2)⊙O是△ABC的 _____ 圆； (3)点O是△ABC的 ____ 心； (4)OA，OB，OC三条线段的长度有关系： ____________ ． 内接 外接 外 OA=OB=OC 课堂练习 2.经过4个点，是否能作一个圆，为什么？ 【解析】解：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆． 经过4个点，不一定能确定一个圆． 比如，四个点在同一直线上时． 20 3.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并比较它们的外心位置有怎样的特点？ 【解析】解：如图所示： _________ 锐角三角形的外心在三角形内部； 直角三角形的外心在三角形斜边中点上； 钝角三角形的外心在三角形外。 21 4.完成下面的证明过程： 已知：如图，直线l1，l2，l在同一平面内，且l1⊥l,l2⊥l求证：l1∥l2 证明：假设　　 ，则l1与l2相交，设l1与l2交于点P，由已知条件　　，　　 得知，过点P有两条直线与直线l垂直， 这与“　　 ”相矛盾．所以， “假设　　 ”不成立，故　　 。 l1不平行l2 l1⊥l,l2⊥l, 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直， l1不平行l2 l1∥l2． 22 1．过一点可以作________个圆；过两点可以作________个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的___________上；过不在同一条直线上的三个点可以作________个圆． 无数 无数 垂直平分线 一 分层练习-基础 2. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带去商店的一块玻璃碎片应该是(　　) A．第①块　　　　 　B．第②块 C．第③块　　　　 　D．第④块 B 23 3．[2024·上饶一模]平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的n个圆，则n的值不可能为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【点拨】 分为三种情况：①当4个点都在同一个圆上时，如图①，此时n＝1， ②当3个点在同一条直线上时，如图②， 分别过A，B， C或A，C，D 或A，B，D 作圆，共可作 3个圆，即n＝3， 24 ③当4个点不共圆，且其中的任何3个点都不共线时，如图③，  分别过A，B，C或B，C，D或C，D，A或D，A，B作圆，共可作4个圆，即n＝4， 则n的值不可能是2，故选C. 【答案】 C 4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，连接AB，AE，DE，CF，则下列三角形中，外心是点O的是(　　) A．△ABF　　　　B．△ACF C．△ADE　　　　D．△AEF C 26 27 6．有下列说法：(1)三个点确定一个圆；(2)相等的圆心角所对的弦相等；(3)等弧所对的圆心角相等；(4)三角形的外心到三角形三条边的距离相等；(5)外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形．其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【点拨】 (1)不共线的三个点确定一个圆，故错误； (2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； (3)同弧或等弧所对的圆心角相等，故正确； (4)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； (5)外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选B. 【答案】 B 28 7．用反证法证明“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d大于r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设(　　) A．d≤r B．点P在⊙O的外部 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或点P在⊙O的内部 D 8．如图，在△ABC中，AC>AB，AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点E，用反证法证明：点D与点E不重合． 29 【证明】假设点D与点E重合. ∵AD是△ABC的中线，AE⊥BC， ∴AD垂直平分BC. ∴AB＝AC. 这与AC＞AB相矛盾， ∴点D与点E不重合. 31 【点拨】 如图，∵点O是等腰三角形ABC的外心， ∴OB＝OC. 又∵∠BOC＝60°， ∴△OBC为等边三角形． ∴OB＝OC＝BC＝2. 由题意可得，存在两种情况. 【答案】 C 分层练习-巩固 35 (1)在图中找到经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置(不需要保留作图痕迹，直接找到点M即可)，并写出圆心M的坐标为________； 【解】如图，点M即为所求； (－2，0) (2)⊙M的半径为________； (3)点O到⊙M上最近的点的距离为________． 36 11．[2024·天水模拟]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)作∠BAC的平分线AD交BC边于点D，以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 【解】如图所示，角平分线AD，⊙O即为所求. 37 (2)若AB＝4，∠B＝30°，求(1)中⊙O的面积． 38 12．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点M. (1)求证：AM⊥BC； 【证明】∵△ABC为⊙O的内接三角形， ∴点O在线段BC的垂直平分线上. ∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∴OA是线段BC的垂直平分线.∴AM⊥BC. 39 40 13．[2024·上海奉贤区二模]上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图①，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图①上作出圆 弧形水道的圆心O；(保留作图痕迹， 不写作法) 分层练习-拓展 41 【解】如图①所示，点O即为所求. 43 【解】如图②所示，连接OA，OE. 44 圆的确定 圆的确定 三角形的外接圆 反证法 不在同一直线上的三个点确定一个圆 外接圆 外心 内接三角形 三角形外心的到三角形的三个顶点距离相等 课堂小结 5．已知△ABC的三边长a，b，c满足|c－4|＋b＋a2－10a＝4－30，则△ABC的外接圆半径为________． 【点拨】∵|c－4|＋b＋a2－10a＝4－30， ∴(b＋1－4＋4)＋(a2－10a＋25)＋|c－4|＝0.∴(－2)2＋(a－5)2＋|c－4|＝0.∴－2＝0，a－5＝0，c－4＝0，解得a＝5，b＝3，c＝4.∵52＝32＋42，∴a2＝b2＋c2.∴△ABC是直角三角形，斜边为a.∴△ABC的外接圆半径为a＝. 9．若点O是等腰三角形ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为(　　) A．2＋ B. C．2＋或2－ D．4＋2或2－ 当△ABC为钝角三角形时，如图①. 连接OA，交BC于点D.∵OB＝OC，AB＝AC， ∴OA垂直平分BC.即OA⊥BC，CD＝BC＝1. ∴OD＝＝. 又∵OA＝2，∴AD＝OA－OD＝2－. ∴S△ABC＝＝＝2－. 当△ABC为锐角三角形时，如图②. 连接AO并延长交BC于点D. 同理易得OD＝＝. 又∵OA＝2，∴AD＝OA＋OD＝2＋. ∴S△ABC＝＝＝2＋. ∴△ABC的面积为2－或2＋.故选C. 10．[2024·连云港赣榆区期中]如图，在平面直角坐标系xOy中，有一段圆弧经过A，B，C三个点，且A，B，C. 2 2－2 【解】∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4， ∴∠BAC＝60°，AC＝2. 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°. ∴AD＝＝. 由题意，得OE垂直平分AD， ∴AE＝AD＝. ∴OA＝＝. ∴S⊙O＝π·OA2＝. (2)若BC＝6，AB＝3，求⊙O的半径． 【解】连接OB， ∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝6，∴BM＝BC＝3. ∵AB＝3，∴AM＝＝9. 设OB＝OA＝r，则OM＝9－r， ∵OB2＝BM2＋OM2，∴r2＝32＋(9－r)2， 解得r＝5，∴⊙O的半径为5. (2)如图②，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧形道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧的中点 D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道 路内侧的距离DE为22米(点D，C，E 在同一直线上)，请计算圆弧形水道外侧 的半径． ∵C为AB的中点，点D为圆弧形道路内侧的中点，AB＝200米， ∴易得OC⊥AB，OD⊥AB，AC＝AB＝100米. ∴O，E，C，D四点共线. 设OA＝OD＝r米，∵CD＝10米，∴OC＝(r－10)米. 在Rt△AOC中，由勾股定理得OA2＝OC2＋AC2， ∴r2＝(r－10)2＋1002，解得r＝505， 即OD＝505米．又∵DE＝22米， ∴OE＝OD－DE＝505－22＝483(米). ∴圆弧形水道外侧的半径为483米. $$