河南省部分名校2024-2025学年高二上学期12月阶段性联合考试数学试题

2024-2025年度河南省高二上学期阶段性考试 数 学 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在 答题卡上,写在本试卷上无效 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 4.本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四 章4.2。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知数列-1.v2,-3,2.-5..-,则该数列的第2025项为 C.55 B.-45 A.45 D.-55 2.已知直线ar+4y+5=0与直线5r+(a-1)y+a=0平行,则a= B C.-4或5 A.4 D.-4 3.已知数列(a.满足a::11a.-.1-1. _,则a= D- B一 C.11 离为 C3 B.1 D.2 。 A} D B.3 DD.若E--AB+yAD+:AA,则xyz= A-1 a:+a:+...+a.! a2 A.2 B.1012 C. 2 024 D.4048 点,则△PMN周长的最小值为 A.3十2③ B.3+2/5 C.6+5 D.5+5 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到圆的面积除以圆周率等于圆的长半轴长与短 # #7 10.在正四校锥P-ABCD中,PA-2V5,AB-22,PE-PB,PF-1PD,则 A._ 11.一小孩玩抛硬币跳格子游戏,规则如下:抛一枚硬币,若正面朝上,则往前跳两格;若反面朝 上,则往前跳一格.记跳到第n格有a。种情况,数列(a.)的前n项和为S.,则 A.a;-35 B.ao-89 C.S-87 D.S-375 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.抛物线y一一4x2的准线方程是 14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名,他发现:平面内到两个定点A,E 的距离之比为定值入(入去1)的点的轨迹是圆,后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿 波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(3,1),B(3,一3),P是满足) 的阿氏圆上的任意一点,则该阿氏圆的标准方程为△;若该阿氏圆在点P处 的切线与直线/:x十2y+6-0交于点Q,则|PQ|的最小值为△ 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知公差为整数的等差数列(a.).其前n项和为S..若a;一97.S.一0.S<0 (1)求(a。)的通项公式: (2)求数列a。)的前n项和T。 16.(15分) 如图,在四楼柱ABCD-A:B.C.D. 中,侧校A.A1底面ABCD.AB/DC.AB AD.AD -CD-3,AA.=AB-6,E为校A.A的中点 (1)求点C.到平面B.CE的距离; (2)求平面B.CE与平面B.C.E夹角的余弦值 17.(15分) 已知圆C经过点M(-3,6),N(-5,4),且圆心C在直线4r-3y+24=0上,直线/经过 点(-1,0). (1)若直线/与圆C相切,求直线/的方程; (2)若直线/与圆C相交于A,B两点,求△ABC的面积的最大值,并求此时直线/的方程. ____ 18.(17分) 27 (1)若直线/与双曲线C相交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(4,3),求直线/的 方程. (2)若P(r。.y.)(3 r.6)为双曲线C右支上的一个动点,F为双曲线C的右焦点,判断 r轴负半轴上是否存在一定点M(t,0)(1<0),使得 PFM一2PMF.若存在,请求出 7:若不存在,请说明理由. 19.(17分) 1PFIm.-6. (1)求圆C的标准方程 =# (2)过点F的直线/与圆C交于A,B两点,与圆C的短轴交于点Q,试问 2024-2025 年度河南省高二上学期阶段性考试 数学参考答案 1.B 该数列的通项公式为a.=(-1)”n,所以a2o25=(-1)2025v2025=-45.$ 2.D 由(a-1)a-4×5-0,解得a=-4或a-5.当a=5时,两直线重合;当a=-4时,符合 题意. a十1 . 4.C PF -4 x,则2a= PF -1PF= 1-.由6 2-^2}-^②},得6-(5){③-(){②},解得x11, 2: 5.C设S-3x,则S-7x,因为a.为等差数列,所以S,S-S,S-S,S-S。仍成等 差数列.因为(S-S)-S=x,所以S-S-5x,S-S-6x,所以S=12x,S=18 6.A 7.B 因为{a)为等差数列,所以a十a十...十a2n-,=nà。,a十a5十..十a2+,=na 2,则 a.+a+..+a2n-1_n_n .2024_2022 d2024 十2 d。 2024 2 1-1012. 因为圆M的圆心M的坐标为(2,3),所以PM|-/5.由拢 8.D _ 顶点坐标为(2,1).将抛物线C的图象、圆M的图象、点P均向 左平移2个单位长度,向下平移1个单位长度,如图所示,则平 -1,P'(-2,3),可知抛物线C'的焦点为M'(0,2),准线方程为y=-2.设N,P平移后对应 【高二数学·参考答案 第1页(共6页)】 的点分别为N'.P',分别过N',P'作抛物线C'的准线的垂线,垂足分别为K,Q.因为PN' +|M'N'|=|P'N'|+|N'K||P'Q|=5,当P',N',Q三点共线时,等号成立,所以 △PMN的周长的最小值为5十/5. 9.ABD由题意可知nvmn=2v3,则mn=12.因为m,nZ,且m>0,n>0,m≠n,所以 m=1,m=2,m=3,m=4,m=6,m=12, ,或” 或“ 或 x-3 n-12^n-6 -4 &-2 n-1. n-6. n-3. ”时,离心率为^{}当 时,离心率为 # 或 n-12 2”n-1 -6 n-2 n-4 [一4 3 10.ABD 如图,记ACOBD=O,连接PO,以O为坐标原点,OA. OB,OP的方向分别为x,y,:轴的正方向建立空间直角坐标 系,则A(2,0,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0),P(0,0,4),E(0,1. 2).F(o,-),因为EiF (0,-),以1EFf1一 ##-))### ,故A正确. , 进# A·CF ,故B正确 向量AE在向量CF上的投影向量为 1Cf2} 设平面PCD的法向量为n=(x,y,),因为DC=(-2,2,0),PC=(-2,0,-4),所以 n·DC--2x+2-0. nPC--2x-4z-0. 令x=2,得n=(2,2,-1).设直线AE与平面PCD所成的角为 AE·n44 0.则sin0- AE]n3x3,故D正确. 11.BCD 根据题意,跳到第n十2格有两种可能:一种是从第n十1格跳过来,有a。种方式; 另一种是从第n格跳过来,有a。种方式,所以a。2=a。十a。.因为a-1,a。-2,所以a -3,-5,a-8,-13,a-21,=34,=55, =89,=144,所以S-87,S=$ 142,S。-231,S-375. 将抛物线方程转化为{}-- 13 1 2a+312 因为a一 2a十3' 3d 【高二数学·参考答案 第2页(共6页)】 # 所以_ 4X99-3131' 得(x-3)^{}+(y-3)②}=12.记该阿氏圆的圆心为C,连接PC,QC(图略).因为|P} QC-PC=QC-12,所以当CQ1/时,|PQ|取得最小值.因为C到/的距离为 3×1+2×3+6 --3v5,所以|PQlmin-33. 1十2 15.解:....列..的...............................................1分. 97(a十a9o) 2 -97a>0, 因为 ...................................分.. 99(a.十ao) -99a。0. 2 所以a。-97+48d>0,a。-97+49d 0. 因为d为整数,所以d=-2,故a。-97十(n-1)(-2)=99-2n. ...........6. (97+99-2n)n -98n-n{. (2)由(1)知a.-99-2n,则S.= 2 .................... 当n49时,T.-S.-98n-n{; 当n50时,T.=a+a+a+..+a-as-..-a=-S.+2S=n2-98n+4802. (98n-n2,n49. 故T.- ............................................................... 13分 n2-98n+4802,n二50. 16.解;以A为坐标原点,AD,AA.,AB所在直线分别为x轴、v轴、:轴建立空间直角坐标系 (图略),则B(0,0,6),D(3,0,0),C(3,0,3),E(0,3,0).C(3,6,3),B(0,6,6)...13分 (1)设平面B.CE的法向量为n一(x,y,). 因为BC-(3,-6,-3),BE-(0,-3,-6), n·BC-3x-6y-3~-0. 所以 令y-2,得n-(3,2,-1). n·B.E--3y-6-0, ................ CC·n112614. 因为CC=(0,6,0),所以点C.到平面BCE的距离为 -n ...9分 14 7. (2)设平面BCE的法向量为m-(x',y',). 因为BC-(3,0,-3),BE-(0,-3,-6), ................................................ 10分 m·BC-3x'-3'-0. 所以 令c'-1,得m-(1,-2,1). ...............2.. m.BE--3y'-6~'-0. 【高二数学·参考答案 第3页(共6页)】 lmn221 设平面B.CE与平面B.C.E的夹角为0,则cos0= |m|n14×621 即平面B.CE与平面B.C.E夹角的余弦值为 17.解:(1)由题知,直线MN的中垂线方程为x十y-1-0,则圆心C在直线y=-x+1上. x+y-1-0. x--3. 由 解得 即圆心C的坐标为(-3,4). .................. l4x-3y+24-0. -4. 因为..的半径.--..-..)....)..2......................-3分 所以圆C的方程为(x十3)十(-4)}一4. 若直线/的斜率不存在,则直线/的方程为x三一1,此时直线/与圆C相切,符合题意,.. .....................................5分. 若直线/的斜率存在,设直线/的方程为一k(x十1) 因为直线/与圆C相切,所以圆心C到直线/的距离为2. -2-412,解得二- 1 3 ^21 4 3 所以直线/的方程为y一一 -(x十1),即3x+4y+3-0, /4 故直线..方.........或...y..0................................7分. (2)由C的圆心为C(一3,4),半径,一2,易知直线/的斜率存在且不为0,故设直线/的方 程为x-my-1(m字0),即x-ny+1-0 14n十2 因为圆心C到直线/的距离d-- ................................. m^{十1 (4n+2){2} ......................... m2十1 所以 ${-( AB ·d)#-)[4-(42} .(4n十2)2 (4m十2)2 ,则S-4z-t2.当t-2时,(S②)-4. n{十1 ............................................................... 所以ABC的面积的最大值为2, 13分 此时由2(4m+2){} ,解得7m{2+8m+1-0,解得m=-1或m=-7,符合题意, m{21 故直线的方程为x十y十1o或7x十y7.-0........................................ 15分 18.解:(1)设A(x,y),B(x,y),则 ............................................. 1分 27. 【高二数学·参考答案 第4页(共6页)】 #--} -,整理可得y:27+? 两式相减得 ## $1-9× ..................分 27 y1十y2 因为线段AB的中点坐标为(4,3),所以x十x-8,y十y-6,......................3分 8 -4,.................................分 x1-2 即直线/的方程为y-3-4(x-4),即4x--13-0. .......................... 经检验,直线4x一v-13一0与双曲线C相交于两点,符合题意; 故直线/的方程为4x-y-13-0. (2)由题知F(6,0).由圆对称性,不妨设P在x轴上方,当x。三6时,因为 PFM 2 PMF-90*, -6-...,所....-................ a= 2 ..........10分 2。- 2x x。-t 因为PFM-2PMF,所以- ...................... 。-6 将y-3.x}-27代入并整理得(12+4t)x。-t*-12t-27-0. 2十4t-0. 由 解得t一-3. 十12/+27-0. 综上所述,x轴负半轴上存在一定点M,使得 PFM-2PMF,此时1=-3. ....17分 a-c-4,a-5. 19.解:(1)由题意知 则* la十c-6c-1. 因为.....-..所以..2.4...........................分.. (2)显然直线/的斜率存在,当直线1的斜率为0时,Q(0,0),不妨取A(-5,0),B(5,0), 2{ 因为BQ|-5,BF|-5-1-4,所以- ,故十二 ............7.. 当直线/的斜率不为0时,设直线(的方程为y=h(x-1),A(x,y),B(x。,y), AQ 1 BQ 1I 不妨设A在:轴上方,B在x轴下方; 当>0时,因为Q在短轴上,所以1 x<5,-5<x<0. i 一2 所以一- 2 一/二 -(-1)2- 【高二数学·参考答案 第5页(共6页)】 当 <0时,因为Q在短轴上,所以-5 x<0,1 x。5. r2 13分 2。-1’ 过行 y-(x-1). 联立方程组 整理得(25^{}+24)x^{②}-50^{}t+25^{}-600-0$$ 502 25^{}-600 则x,十x。-。 ............................... 15分 25^+241= 25/^{+24 252-600 502} 2X 2xx。-(x十x。) 25^{②+24 25^+24120025 十_-- -1x-11x-(.+x)+125^}-600 50^{} 57612* -十1 25?+24 25^?+24 1AQ|BQ 综上可知, |AF |BF .............. 【高二数学·参考答案 第6页(共6页)】