精品解析：山西省晋中市榆次区第二中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

数学试题 第Ⅰ卷（客观题） 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 7. 已知函数的定义域为，为偶函数，，，则（ ） A. B. C. 0 D. 8. 定义在上的连续函数满足：对任意，，且当时，，若函数恰有3个不同的零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 若且，则 B. 空集是任何集合的真子集 C. 集合与是同一个集合 D. 若，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 是偶函数 11. 已知函数的定义域为D，若存在区间，使得同时满足下列条件： ①在上是单调函数；②在上的值域是. 则称区间为函数的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A. B. C. D. 第II卷（主观题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“任意，则”的否定为_________． 13. 已知函数为R上的奇函数，且当时，，则____. 14. 若函数最大值记为,则函数的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，全集． （1）求，； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 16. 已知，；，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 17. 实数满足. （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围. 18. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）证明在上单调递增，在上单调递减； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知多项式函数满足，，且对任意，． （1）求的解析式； （2）若，恒成立，求实数的最大值； （3）设函数，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 第Ⅰ卷（客观题） 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以，则或, 又， 所以或. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以，. 3. 已知，，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即可得解. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，满足，则，故B错误； 对于C，显然成立，C正确； 对于D，，当时等号成立，故D错误. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由有意义，可得且，解得且， 所以函数的定义域为. 5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】因为是偶函数，即关于轴对称，在上单调递减， 又，即， 所以， ，解得， 所以不等式的解集为. 6. 已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由函数是偶函数且在上是增函数，可知函数在上单调递减，由幂函数的性质可得，结合，即可解出或或，分别代入函数，结合是偶函数即可得出答案. 【详解】因为函数是偶函数且在上是增函数， 所以函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，此时为偶函数，满足题意； 所以. 故选：B 7. 已知函数的定义域为，为偶函数，，，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件推出函数的一个周期，从而得到，再根据和得到答案. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以， 因为，故， 即，所以， 故， 故函数的一个周期， 故， 中，令得，， 因为，所以， 故. 故选：A 8. 定义在上的连续函数满足：对任意，，且当时，，若函数恰有3个不同的零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知判断函数的对称性，再根据解析式画出的草图，把函数恰有3个不同的零点的问题转化为图像交点问题，再利用导数求切线斜率，找到临界状态，求解即可. 【详解】由可知图像关于对称，所以关于对称.草图如下： 直线图像过原点，当即时，与的图像有1个交点， ，设过原点与相切的直线为，切点为， 有，联立得， 所以斜率，当即时，与的图像有2个交点， 因为函数恰有3个不同的零点，令即有3个不同的解， 即的图像与的图像有3个不同的交点，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列关于集合的说法正确的有（ ） A. 若且，则 B. 空集是任何集合的真子集 C. 集合与是同一个集合 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，若且，则，故A正确； 对于B，空集是任何非空集合的真子集，故B错误； 对于C，，， 集合与不是同一个集合，故C错误； 对于D，若，则，故D正确． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 是偶函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可以直接判断奇偶性，再把化简成利用复合函数单调性的判断方法可以判断单调性，最后利用指数函数的性质结合不等式的性质可以求值域，逐项判断即可. 【详解】定义域为,，符合奇函数定义，故A对，D不对. ， 已知在上单调递增，那么在上单调递减， 所以在上单调递增，故B对. ，因为，所以，由此可得， 即的值域为，故C对. 11. 已知函数的定义域为D，若存在区间，使得同时满足下列条件： ①在上是单调函数；②在上的值域是. 则称区间为函数的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据定义分别讨论是否同时满足“倍值区间”的两个条件，即可得出结论. 【详解】依题意，函数存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，且或， 对于A，，在区间上是增函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，A正确； 对于B，在区间上是减函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，B正确； 对于C，在上单调递减，在上单调递增， 假定函数存在倍值区间，若在上单调递增，则， 即有，而或，无解， 若在上单调递减，则，即，两式相减得， 而，则两式相加得，矛盾，不存在倍值区间，C错误； 对于D，当时，，函数在上单调递减， 于是在上单调递增，且值域为，因此区间是函数的“倍值区间”，D正确. 故选：ABD 第II卷（主观题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“任意，则”的否定为_________． 【答案】存在，使得 【解析】 【详解】命题“任意，则”的否定为：“存在，使得” ． 13. 已知函数为R上的奇函数，且当时，，则____. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的定义即可求解. 【详解】当时，，故. ∵为奇函数，∴. 故答案为: . 14. 若函数最大值记为,则函数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】化简，利用对勾函数求值域，分类讨论与值域中点的大小，即可写出最大值. 【详解】∵, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴当时,函数有最小值为; 故答案为. 【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，全集． （1）求，； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】（1），或. （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的交集运算，补集运算，并集运算即可； （2）根据集合的包含关系建立不等式，解出即可. 【小问1详解】 因为， 所以； 又全集，所以或， 所以或. 【小问2详解】 因为恒成立，所以， 又，所以，解得：， 所以若，则实数的取值范围为：. 16. 已知，；，． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过分离参数，将全称命题转化为求函数在给定闭区间上的最小值问题，从而解出实数的取值范围； （2）先利用二次方程判别式求出特称命题为真的条件，再分“真假”与“假真”两种情况分别求解不等式组并取并集即可. 【小问1详解】 若p为真，在恒成立，即． 时，，故 【小问2详解】 若q为真，方程有实根， 解得或 由p、q一真一假： ①p真q假：，解得， ②p假q真：，解得， 综上： 17. 实数满足. （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，根据不等式的性质计算可得； （2）求出，再利用不等式的性质得解. 【小问1详解】 ， 由，，则， 所以，即， 故实数的取值范围为． 【小问2详解】 设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 18. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）证明在上单调递增，在上单调递减； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），定义域关于原点对称． ，函数为奇函数 （2）任取，则． 因为，且，所以，从而． 故在上单调递增． 任取，同样有． 此时，，所以，从而． 故在上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）先确定定义域，再利用函数奇偶性的定义判断；（2）用作差法判断函数值之差的符号；（3）将恒成立问题转化为求函数在给定区间上的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，且 ． 因此，且当时取等号，所以在上的最小值为． 要使对任意都有，必须且只需． 所以实数的取值范围为． 19. 已知多项式函数满足，，且对任意，． （1）求的解析式； （2）若，恒成立，求实数的最大值； （3）设函数，若存在，，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的对称性、等式条件和函数值条件确定各项系数；（2）将绝对值不等式转化为二次函数的取值限制；（3）换元求函数值域，再利用两个函数值之差的最大值确定参数范围． 【小问1详解】 为一次式，故是二次函数． 由，得函数对称轴为． 设，对称轴，得． 解得，．结合题目条件，．． 检验：，对称轴； ，满足条件． 【小问2详解】 等价于． ，对称轴， ，恒成立．只需． 即. 解方程，根为． 不等式解集：． 结合区间，的最大值为． 【小问3详解】 ． 令，，．． 对称轴在区间内． ，函数值域． 存在，，使得，等价于． ． 所以，的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $