精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高二上学期第二次学情检测（12月）数学试题

实验中学高二年级第二次学情检测 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 48 B. 32 C. 24 D. 8 2. 已知直线经过第二、三、四象限，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，则的最小值为（ ） A. B. 27 C. D. 12 5. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. 48 B. 90 C. 96 D. 162 6. 已知点在椭圆上，点，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 已知平行六面体中，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点A平分线段，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是圆，其半径为 B. 若，，则是两条直线 C. 若时，则是椭圆，其焦点在轴上 D. 若时，则是双曲线，其渐近线方程为 10. 已知正方体棱长为分别是棱的中点，则（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 共面 D. 点到平面距离为 11. 已知数列中，，.在和之间插入1个数，和之间插入2个数，…，和之间插入个数，，使得构成的新数列是等差数列，则（ ） A. 的公差为6 B. 和之间插入的2个数是19和25 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程________． 13. 已知空间向量，若，则实数__________. 14. 已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前项和. （1）若为等差数列，且，求的最小值； （2）若为等比数列，且，求的值. 16. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． （1）求抛物线的方程； （2）求△的面积． 17. 如图，在四棱锥中，平面，. （1）求二面角的正弦值； （2）在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 18. 已知数列满足，数列的前项和满足. （1）求的通项公式： （2）设，求数列的前项和 19. 已知动点分别与定点和连线的斜率乘积. （1）求动点的轨迹方程； （2）是的右焦点，若过点，与曲线交于两点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学高二年级第二次学情检测 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列的前项和为，则（ ） A. 48 B. 32 C. 24 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据数列的前项和与项之间的关系求解即可． 【详解】因为数列的前项和为， 所以 故选：C. 2. 已知直线经过第二、三、四象限，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线经过的象限判断出的符号，由此确定正确选项. 【详解】∵直线经过二、三、四象限， ∴直线的斜率，． 故选：D 3. 过点作圆的切线，则切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，由切线与MC垂直可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程. 【详解】由题可知点在圆上，，则切线的斜率为， 所以切线方程为，化简可得. 故选：B 4. 已知点，，则的最小值为（ ） A. B. 27 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由两点建立公式求，结合二次函数性质求其最小值. 【详解】因为，， 所以， 所以 当且仅当时等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为, 故选：A. 5. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. 48 B. 90 C. 96 D. 162 【答案】B 【解析】 【分析】分和，利用等比数列前n项和公式列方程求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，，无解不合题意； 当时，，解得， . 故选：B. 6. 已知点在椭圆上，点，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可. 【详解】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故， 故选：C 7. 已知平行六面体中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求解. 【详解】如图： ， ． 故选：B． 8. 如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点A平分线段，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由双曲线的定义可求得，，，利用勾股定理求得，在中利用勾股定理即可求得的关系式，从而求得答案. 【详解】设，由双曲线的定义得，，， 由得， 解得，所以，， 在中，由勾股定理得 ， 整理得 ，即双曲线的离心率 ， 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是圆，其半径为 B. 若，，则是两条直线 C. 若时，则是椭圆，其焦点在轴上 D. 若时，则是双曲线，其渐近线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据选项条件分别化简曲线为圆锥曲线的标准方程，然后逐一分析，即可求解． 【详解】对于A，， ，则是圆，半径为，故A正确； 对于B，若，时，，则是两条直线，故B正确； 对于C，若时，，则，则为焦点在轴的椭圆，故C错误； 对于D，若时，则是双曲线，渐近线方程为，故D错误； 故选：AB． 10. 已知正方体棱长为分别是棱的中点，则（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 共面 D. 点到平面距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量一一判定选项即可. 【详解】 如图所示建立空间直角坐标系，易知， ， 对于A，，，所以与不垂直，故A错误； 对于B，，，则，，所以是平面的一个法向量，故B正确； 对于C，由，，， 所以，所以共面，故C正确； 对于D，由， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，即， 故点 到平面的距离为，故D错误. 故选：BC. 11. 已知数列中，，.在和之间插入1个数，和之间插入2个数，…，和之间插入个数，，使得构成的新数列是等差数列，则（ ） A. 的公差为6 B. 和之间插入的2个数是19和25 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知与的关系及等差数列的通项公式检验A，B，C，结合裂项求和法检验D选项即可. 【详解】设等差数列的公差为， 对于A选项，由题意得，， ，，故A正确； 对于B选项，与之间插入的2个数分别为，， 又，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； 对于D选项，，， ， ，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线和的交点，再设直线，代入交点求解即可． 【详解】由得， 设直线为，代入解得， 故方程为， 故答案为：． 13. 已知空间向量，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共线向量定理和空间向量的坐标运算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，即 所以 故答案为：. 14. 已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列定义以及等比中项性质列方程组计算可得，求出数列的通项公式，再利用分组求和计算可得. 【详解】设等差数列的公差为， 由，成等比数列可得，即， 整理可得，又，解得， 所以，因此； 易知， 因此可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出数列的通项公式之后结合的性质利用分组求和即可得出结果. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记为数列的前项和. （1）若为等差数列，且，求的最小值； （2）若为等比数列，且，求的值. 【答案】（1）7 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列通项公式求得，进而求，解不等式即可； （2）根据题意结合等比数列通项公式求得，，进而求，代入运算即可. 【小问1详解】 设的公差为， 由条件可得，解得， 由，解得或， 且，所以的最小值为7. 【小问2详解】 设的公比为， 由条件可得，即，解得， 则， 所以. 16. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，． （1）求抛物线的方程； （2）求△的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式结合的横坐标可求解出的值，由此可求抛物线的方程； （2）先求解出，再计算出到的距离，结合三角形面积公式可求结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 因为，代入抛物线方程可得，且，所以， 又因为，所以，所以， 联立可得，所以， 所以， 又因为，所以到直线的距离为， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，. （1）求二面角的正弦值； （2）在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角； （2）设，由空间向量法求异面直线所成的角得出，再由向量法求点面距． 【小问1详解】 以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， 所以， 则. 设平面的法向量， 则，取得， 设平面的法向量， 则，取得， 设二面角的大小为，则 ， 所以. 【小问2详解】 设，则 . 因为异面直线与所成角的大小为， 所以，解得或（舍去）. 此时， 所以点到平面的距离. 18. 已知数列满足，数列的前项和满足. （1）求的通项公式： （2）设，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由，构造新的等比数列求解即可；已知与的关系，分，检验求解即可； 利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由有：, 所以数列是以2为公比，首项为的等比数列， 所以，即 因为，当时，. 当时，由有：， 所以，，即 所以 所以 【小问2详解】 由（1）知， 所以——①， ——②， 由①-②得： 所以 19. 已知动点分别与定点和连线的斜率乘积. （1）求动点的轨迹方程； （2）是的右焦点，若过点，与曲线交于两点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在点，使恒成立 【解析】 【分析】根据结合斜率公式即可得出答案； 分直线的斜率是否存在，当直线斜率存在时，设直线方程为，，联立直线与双曲线，结合韦达定理，可将恒成立转化为关于的等式恒成立，进而可得出结论. 【小问1详解】 由题意有：， 所以动点的轨迹方程为：. 【小问2详解】 假设存在点，使恒成立， 由已知有：， 当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立 所以 则 则， 即 若恒成立，则恒成立， 所以 当直线的斜率不存在时，直线的方程为代入，解得 不妨设则 又 综上所述， 所以存在点，使恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $