精品解析：广西壮族自治区玉林市博白县中学、容县高中2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024年秋季期高一年级月考（二）数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 函数零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 第二象限的角都是钝角 B. 小于的角是锐角 C. 是第三象限的角 D. 角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 4. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 若偶函数满足，恒成立，则（   ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 命题，的否定为， B. 已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 已知函数值域为，则的取值范围是 10. 已知正数满足，则（ ） A B. C D. 11. 已知函数的定义域为，对于任意实数满足：，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为上的增函数 C. 为奇函数 D. 若，则的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 与角终边相同的角_______．（用弧度制表示） 13. 函数的单调递增区间为_______． 14. 函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是_______，进而求值_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16. （1）计算：； （2） （3）若不等式的解集为，求不等式的解集． 17. 二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）在区间上，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围． 18. 为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省环保局于年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，年月底测得蒲草覆盖面积为，年月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择． （1）分别求出两个函数模型解析式； （2）若年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？参考数据： 19. 已知函数. （1）判断奇偶性并证明； （2）利用定义证明在R上单调递增； （3）若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季期高一年级月考（二）数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补交与交集的运算，可得答案. 【详解】由题意可得，. 故选：B. 2. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得结论. 【详解】因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，，， 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为. 故选：B. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 第二象限的角都是钝角 B. 小于的角是锐角 C. 是第三象限的角 D. 角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 【答案】C 【解析】 【分析】举反例可判断AB；利用终边相同的角可判断C；根据象限角的定义可判断D. 【详解】对于A，是第二象限的角，但不是钝角，故A错误； 对于B，小于，但不是锐角，故B错误； 对于C，，因为是第三象限的角， 所以是第三象限的角，故C正确； 对于D，因为角的终边在第一象限，所以， 所以，即， 当时，，角终边在第一象限，故D错误. 故选：C. 4. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与单调性求出实数的值，然后利用指数函数的基本性质可求得函数的图象所过定点的坐标. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得，所以，， 则，即函数的图象过定点. 故选：A. 5. 已知函数在区间内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（ ）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据二分法结合零点的近似值求解. 【详解】由所给区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为， 故需，解得，所以至少需要操作7次. 故选：C 6. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对符合函数拆分，由二次函数的性质求出内函数的值域，再由指数函数求出外函数的值域，即可得到复合函数的值域. 【详解】令，对称轴，开口向上，∴， ∴，∵，∴函数在上单调递减， ∴， 故选：D 7. 若是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案. 【详解】根据题意，已知是奇函数， 当时，， 函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 此时，函数一定不是奇函数，故， 则有，且，变形可得， 所以的根为，解可得，故， 又因为为奇函数，则有， 即， 即，所以， 即，故. 所以. 故选：C. 8. 若偶函数满足，恒成立，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得在上单调递增，结合指数函数与对数函数性质可得，再结合偶函数性质与函数单调性即可得解. 【详解】由，恒成立， 可得在上单调递增， 又为偶函数，故， 由，， 故，故. 故选：A. 二、多选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 命题，的否定为， B. 已知扇形的圆心角为2弧度，面积为1，则扇形的弧长等于2 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 已知函数的值域为，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】由含有一个量词命题的否定可判断A错误；由扇形面积公式计算可得B正确；由抽象函数定义域求法计算可得C正确；根据对数函数图象及其值域解不等式可得，即D错误. 【详解】命题，的否定为，，故A说法错误； 由，解得，所以扇形的弧长，故B说法正确； 由，得，所以的定义域为，故C说法正确； 因为的值域为，所以函数的值域满足， 所以，解得，故D说法错误. 故选：AD. 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A：利用基本不等式即可判断； 对于选项B：利用“1”妙用，即可判断； 对于选项C：利用基本不等式即可判断； 对于选项D：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断； 【详解】对于选项A：因为，则，当且仅当， 即时取等号，故选项A正确； 对于选项B：， 当且仅当，即时取等号，故选项B错误； 对于选项C：由选项A可知，所以， 当且仅当，即时取等号，故选项C正确； 对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误. 故选：AC. 11. 已知函数的定义域为，对于任意实数满足：，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为上的增函数 C. 为奇函数 D. 若，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】令代入题设条件可判断A；令并结合奇偶性定义可判断C；令，利用单调性定义及奇函数性质判断B；利用奇函数、单调性解不等式求参数范围判断D. 【详解】令，则，A对； 令，则，即， 所以为奇函数，C对； 由时，则时， 令，则，故， 所以，即为上的减函数，B错； 令，且为奇函数，而，即， 所以，结合B易知在上也为减函数， 所以，可得，D对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：令判断的奇偶性，进而得时是判断C、D的关键. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 与角终边相同的角_______．（用弧度制表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义可得结果. 【详解】因为，所以，与角终边相同的角. 故答案为：. 13. 函数的单调递增区间为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数法可得出函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 因内层函数在区间上单调递减，在上单调递增， 外层函数为增函数， 故函数的单调递增区间为. 故答案为：. 14. 函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是_______，进而求值_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用函数图象平移可得出函数的对称中心，结合对称性可得出，再利用倒序相加法可得出所求代数式的值. 【详解】因为函数， 所以，函数的图象可由反比例函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为函数为奇函数，其对称中心为原点， 故函数对称中心，故， 记， 则 ， 故. 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将集合化简，再结合交集的运算，即可得到结果； （2）由条件可得是的真子集，然后分与讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 由可得，解得， 所以， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集， 当时，即，解得，满足是真子集； 当时，由是的真子集可得，解得； 综上所述，实数m的取值范围是. 16. （1）计算：； （2） （3）若不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算，可得答案； （2）根据对数运算，可得答案； （3）根据一元二次不等式的求解，结合韦达定理，可得答案. 【详解】（1） . （2） . （3）由不等式的解集为，可得， 所以， 由不等式，可得，消去可得， 分解因式可得，解得， 所以不等式的解集为. 17. 二次函数满足，且． （1）求的解析式； （2）在区间上，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由函数为二次函数，设出其解析式为，然后利用题目条件确定系数，从而求得函数的解析式； （2）将在区间上，的图象恒在图象的上方，转化为在上恒成立，即 在上最小值大于零，即可求解. 小问1详解】 由题设， ．又， ， ． 【小问2详解】 当时，的图象恒在图象上方， 所以当时，恒成立，即恒成立． 令，对称轴为，故函数在上单调递减， 当时，， 故，解得，所以实数的取值范围为． 18. 为践行“绿水青山，就是金山银山”的理念，我省决定净化闽江上游水域的水质省环保局于年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，年月底测得蒲草覆盖面积为，年月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式； （2）若年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能达到？参考数据： 【答案】（1）． （2）年 【解析】 【分析】（1）将点，点分别代入两个函数模型的解析式，即可求解． （2）将分别代入两个函数模型，将所得的结果与20进行比较，求出合适的函数模型，令，结合对数的公式，即可求解． 【小问1详解】 若选择模型， 则，解得， 故函数模型为． 若选择模型， 则，解得，， 故函数模型为． 【小问2详解】 把代入，可得， 把代入，可得，可知与相差比较大， 故选择模型更合适． 令，可得， 两边取对数可得， 即， 所以， 至少到年月底蒲草覆盖面积能达到． 19. 已知函数. （1）判断奇偶性并证明； （2）利用定义证明在R上单调递增； （3）若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出定义域为R，且，得到为奇函数； （2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （3）由函数奇偶性和单调性得到，变形得到，换元后得到函数最小值，从而得到. 【小问1详解】 函数为奇函数，理由如下： 定义域为R，又， 所以为奇函数； 【小问2详解】 证明：由（1）知，， 任取，且， 则 因为，则 所以，即， 所以在R上单调递增. 【小问3详解】 为奇函数， 由，得， 因为函数在R上单调递增， 所以，即， 由题意，存在实数，使得成立，则只需， 令，则， ，当时，，即， 所以k的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$