云南省大理白族自治州大理市大理白族自治州民族中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

第 1页，共 4页 大理州民族中学2024-2025学年上学期12月月考 高一数学 考试时间：120 分钟 第 I 卷（选择题） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设全集�是实数集�，� = {�|(5 − �)(1 + �) ≥ 0}，� = {�|� > 2}，则阴影部分所表示的集合是( 试卷总分：150 分 ) A. [ − 1,2) B. [ − 1,2] C. (2,5] D. [2,5] 2.若扇形的面积为3�8，半径为 1，则扇形的圆心角为 ( ) A. 3�2 B. 3� 4 C. 3� 8 D. 3� 16 3.(错题重考)函数� � = ln� + �2 − 6 的零点所在区间为( ) A. 0, 12 B. 1 2 , 1 C. 1,2 D. 2,3 4.声音的等级�(�)(单位：��)与声音强度�(单位：�/�2)满足�(�) = 10 × lg �10−12 .喷气式飞机起飞时，声音 的等级约为 140��.若喷气式飞机起飞时声音强度约为汽车穿梭在马路上声音强度的 106倍，则汽车穿梭在 马路上声音的等级约为( ) A. 100�� B. 80�� C. 60�� D. 30�� 5.若 tan(� − �) = 12，则 cos� 2sin�−3cos� =( ) A. − 14 B. 1 C. − 1 2 D. − 1 4或− 1 2 第 2页，共 4页 6.幂函数�(�) = (�2 − 2� − 2)��在(0, + ∞)上单调递增，则�(�) = ��−� + 2(� > 1)的图象过定点( ) A. ( − 1,1) B. ( − 1,2) C. (3,2) D. (3,3) 7.(错题重考)若函数�(�)满足关系式�(�) − 2�( − �) = �2 + �，则�(2) = ( ) A. − 103 B. 10 3 C. − 14 3 D. 14 3 8.已知�(�)是定义在�上的奇函数，且�(�)在[0, + ∞)上单调递减，设� = 0.32，� = log20.3，� = 20.3，则( ) A. �(�) < �(�) < �(�) B. �(�) < �(�) < �(�) C. �(�) < �(�) < �(�) D. �(�) < �(�) < �(�) 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.(错题重考)下列命题为真命题的是( ) A.命题“∃� > 1, �2 + 2� + 3 = 0”的否定是“∀� ≤ 1, �2 + 2� + 3 ≠ 0” B.若��2 > ��2，则� > � C. � � = 1�的单调减区间为 −∞,0 ∪ 0 + ∞ D. 1� < 1 是� > 1 的必要不充分条件 10.已知函数� = 12 �2+4�+3 ，则下列说法正确的是( ) A.定义域� B.值域为(0,2] C.在[ − 2, + ∞)上单调递增 D.在[ − 2, + ∞)上单调递减 11.已知� > 1，函数�(�) = � 2 − 3, �⩽� �����, � > � ，下列结论正确的是( ) A. ∀� ∈ (�, + ∞)，�(�) < 1 B.当� = 2 时，函数� = �(�) − �有 2 个零点 C.若�(�)在(0, + ∞)上单调递增，则�的取值范围是(1,2] D.若�(�)的图象上不存在关于原点对称的点，则�的取值范围是[ 2, 3) 第 3页，共 4页 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知�(�)为偶函数，且当� > 0 时，则�(�) = �2 − 1�，则�( − 2) =___________． 13.已知� > 0，� > 0，且� + � = 1，则1�+ 2 �的最小值是______． 14.(错题重考)已知函数�(�) = − �2 − �� − 5, � ≤ 1 � � , � > 1 是�上的增函数，则�的取值范围是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 计算： (1)0.027− 1 3 − ( − 16 ) −2 + 810.75 + ( 19 ) 0 − 3−1； (2)���2 2 + ���927 + 3���316． 16.(本小题 15 分) 已知 cos � = 45，且�是第四象限角． (1)求 sin �的值； (2)求cos (�+4�)tan (�−�) sin (�+�)cos (3�−�) 的值． 17.(本小题 15 分) (错题重考)已知集合� = � �2 − 3� − 4 < 0 ，� = � 2 − � ≤ � ≤ 3� − 6 ． (1)若� = 4，求 ∁�� ∩ �； (2)若� ∩ � = �，求实数�的取值范围． 第 4页，共 4页 18.(本小题 17 分) 随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经 调研，每件衣服的售价�(单位：元)与销量�(单位：万件)之间满足关系式� = � − 5�, 0 < � ≤ 10, � �− 900 �2 , � > 10. 已知公司 每年固定成本为 10 万元，每生产 1 万件衣服需要再投入 4 万元.设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当 公司销售 8 万件衣服时，年利润为 990 万元;当公司销售 20 万件衣服时，年利润为 1145 万元． (1)写出年利润�(万元)关于年销量�(万件)的函数解析式; (2)当年产量为多少万件时，公司利润最大?并求出最大利润． 19.(本小题 17 分) 已知函数� � = ���2 4� + � ⋅ 2� + 16 ，其中� ∈ �． (1)若� =− 10，求函数� � 的 定义域； (2)当� ∈ 1, + ∞ 时，� � > ���22�恒成立，求实数�的取值范围． 第 1页，共 9页 1.【答案】� 【解析】【分析】 本题主要考查集合的基本运算，属于基础题 参考答案 ． 由图象可知阴影部分对应的集合为�∩ ∁�� ，然后根据集合的基本运算即可． 【解答】 解： � = {�|(5 − �)(1 + �) ≥ 0} = [ − 1,5]， � = (2, + ∞)， 阴影部分所表示的集合是�∩ (∁��) = [ − 1,5] ∩ ( −∞,2] = [ − 1,2]， 故选 B． 2.【答案】� 【解析】【分析】 本题考查扇形的面积公式，属于基础题． 结合扇形的面积公式� = 12 � 2�求解即可． 【解答】 解：设扇形圆心角为�， 则� = 12 � 2� = 3�8，又� = 1，解得� = 3� 4， 故选 B． 3.【答案】� 【解析】【分析】 本题考查判断函数零点、方程的根所在区间，属于基础题． 利用零点存在定理可判断出函数� = � � 的零点所在的区间． 【解答】 解：由题可知� � = ln� + �2 − 6 在(0, + ∞)上单调递增， 又� 1 =− 5 < 0，� 2 = ln2 − 2 < 0，� 3 = ln3 + 3 > 0， 故函数� = � � 的零点所在区间为 2,3 ． 故选：�． 第 2页，共 9页 4.【答案】� 【解析】【分析】 本题考查了函数模型应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题． 设一般说话时声音强度为�0，喷气式飞机起飞时声音强度为�1，根据题意求出�1，�0，再计算�(�0)即可． 【解答】 解：设汽车穿梭在马路上声音强度为 �0 ，喷气式飞机起飞时声音强度为 �1 ， 由题意知， �(�1) = 10 × lg �1 10−12 = 140，解得 �1 = 10 2 ， 又因为 �1 = 106�0 ，所以 �0 = 10−4 ，所以 �(�0) = 10 × lg 10−4 10−12 = 10 × lg10 8 = 80(��)， 则汽车穿梭在马路上声音的等级约为 80��． 故选 B． 5.【答案】� 【解析】【分析】 本题考查诱导公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题． 根据诱导公式求得 tan� = 12，再根据同角三角函数的关系化弦为切即可得到答案． 【解答】 解：由题意得，tan(� − �) = tan� = 12， 则 cos� 2sin�−3cos� = 1 2tan�−3 = 1 2×12−3 =− 12， 故选 C． 6.【答案】� 【解析】【分析】 本题考查幂函数的单调性以及指数函数图象过定点问题，属于基础题． 由题知 � 2 − 2� − 2 = 1 � > 0 ，进而得�(�) = ��−3 + 2(� > 1)，再根据指数函数性质求解即可． 【解答】 解：因为幂函数�(�) = (�2 − 2� − 2)��在(0, + ∞)上单调递增， 所以 � 2 − 2� − 2 = 1 � > 0 ，解得� = 3， 所以�(�) = ��−3 + 2(� > 1)， 令� − 3 = 0 得� = 3， 第 3页，共 9页 所以�(3) = �0 + 2 = 3， 所以�(�) = ��−� + 2(� > 1)的图象过定点(3,3)． 故选：�． 7.【答案】� 【解析】【分析】 本题主要考查根据函数的解析式利用赋值法求函数值． 利用赋值法列出方程组，然后解之即可． 【解答】 解：由已知，分别令� =± 2，得： � 2 − 2� −2 = 6 � −2 − 2� 2 = 2 , ∴ � 2 =− 10 3． 故选 A． 8.【答案】� 【解析】【分析】 本题考查函数奇偶性和单调性的性质以及应用，涉及指数、对数的大小比较，属于中档题． 根据题意，由奇函数的性质可得�(�)在�上为减函数，比较�、�、�的大小，结合函数的单调性分析可得答 案． 【解答】 解：根据题意，函数�(�)是定义在�上的奇函数，且在区间[0, + ∞)上单调递减， 则�(�)在( − ∞,0]上也是减函数，则�(�)在�上为减函数， ∵ 0 < � = 0. 32 < 0. 30 = 1，� = ���20.3 < log21 = 0，� = 20.3 > 1． 所以� > � > �， 所以�(�) < �(�) < �(�)． 9.【答案】�� 【解析】【分析】 本题考查存在量词命题的否定，不等式的性质，函数的单调区间，充分、必要条件的判断，属于基础题． 对�，运用否定的定义即可得；对�，可得 �2 > 0，结合不等式性质即可得；对�，根据单调性进行判断； 对�，结合充分、必要条件的定义验证即可． 【解答】 解：对�：命题“∃� > 1, �2 + 2� + 3 = 0”的否定是“∀� > 1, �2 + 2� + 3 ≠ 0”，故 A 错误； 对�：由 ��2 > ��2 ，可得�2 > 0，故�� 2 �2 > ��2 �2 ，即 � > �，故 B 正确； 第 4页，共 9页 对�：� � = 1�的单调区间不能用并集符号连接，故 C 错误； 对�：由1� < 1，解得� < 0 或� > 1， 若� > 1，则1� < 1成立， 故 1 � < 1是 � > 1的必要不充分条件，故 D 正确． 故选：��． 10.【答案】��� 【解析】【分析】 本题考查复合函数的单调性、函数的定义域与值域，属于中档题． 由函数表达式可得函数定义域为�，故 A 正确；设� = �2 + 4� + 3 ∈ −1, + ∞ , � = 12 � , � ∈ −1, + ∞ ，结 合指数函数单调性，得到函数值域，可得到 B 正确；根据复合函数单调性的判断方法可得到函数是单调递 减的，故 D 正确，C 错误． 【解答】 解：函数� = 12 �2+4�+3 ，可得函数定义域为�，故 A 正确； 设� = �2 + 4� + 3 ∈ −1, + ∞ , � = 12 � , � ∈ −1, + ∞ 由指数函数的单调性得到，函数值域为 0,2 ，故 B 正确； � = �2 + 4� + 3 在[ − 2, + ∞)上是单调递增的， 而� = 12 � , � ∈ −1, + ∞ 在定义域内是单调递减的， 根据复合函数单调性法则，得到函数在[ − 2, + ∞)上单调递减， 故 C 错误；D 正确． 故选 ABD． 11.【答案】��� 【解析】【分析】 本题考查分段函数的图象及不等式，利用函数的单调性解决参数问题，函数的对称性，属于中档题． 根据� > 1 可知� = log��是增函数，进而判断�(�)在(�, + ∞)上的单调性；利用函数的单调性解不等式可求 出�的取值范围；对�的范围进行分类讨论，结合图像及零点个数求解即可；根据讨论�的范围，利用图像及 函数的对称性的知识判断求解即可． 第 5页，共 9页 【解答】 解：因为� > 1，所以� = log��是增函数，所以�(�)在(�, + ∞)上单调递增，�(�) > �(�) = 1，A 错误； 对于�，当� = 2 时，函数�(�) = � 2 − 3, � ≤ 2 log2�, � > 2 ，�(�)在( − ∞,0]上单调递减，在(0, + ∞)上单调递增， 且�( − 5) = 2，�(4) = 2，直线� = 2 与函数� = �(�)有两个交点， 则方程�(�) = 2 有两个根，即函数� = �(�) − 2 有 2 个零点，故 B 正确； 由�(�)在(0, + ∞)上单调递增知 � > 1 �2 − 3 ≤ log�� = 1 ，解得 1 < � ≤ 2，故 C 正确; 当 1 < � ≤ 2 时，�(�)在(0, + ∞)上单调递增，画出�(�)的图象，如图所示， 当� > 2 时，画出�(�)的图象，如图所示， �(�)的图象上不存在关于原点对称的点， 即函数� =− �2 + 3(� > 0)与函数� = �(�)(� > 0)的图象没有交点， 当� > 2 时，函数� =− �2 + 3(� > 0)与函数� = �(�)(� > 0)的图象一定有交点， 当 1 < � ≤ 2 时，直线� = �分别与函数� = �2 − 3，� =− �2 + 3，� = log��交于点(�, �2 − 3)，(�, − �2 + 3)， (�, 1)， 由题意可得�2 − 3 <− �2 + 3 ≤ 1，解得 2 ≤ � < 3， 故当�(�)的图象上不存在关于原点对称的点时，�的取值范围是[ 2, 3)，D 正确． 第 6页，共 9页 12.【答案】72 【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意利用奇函数的性质进行分析． 根据题意，由函数的解析式可得�(2)的值，结合函数的奇偶性可得�( − 2) = �(2)，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，当� > 0 时，�(�) = �2 − 1�，则 �(2) = 4 − 12 = 7 2， 又由函数�(�)为偶函数，则 �( − 2) = �(2) = 72． 13.【答案】3 + 2 2 【解析】解：∵ � > 0，� > 0，且� + � = 1， ∴ 1 �+ 2 � = �+ � � + 2(� + �) � = 3 + ��+ 2� � ≥ 3 + 2 2． (当且仅当�� = 2� �，� = 2 − 1，� = 2 − 2时，等号成立)． 故答案为：3 + 2 2． 将� + � = 1 代入，由基本不等式解答，注意一正二定三相等． 本题考查了基本不等式的应用，注意恒等式的代换． 14.【答案】 −3, − 2 【解析】【分析】 本题考查分段函数的单调性，属于基础题． 需要两段函数均为增函数，且− 12 − � × 1 − 5 ≤ �1，三个不等式取交集求出参数的取值范围． 【解答】 解：要使函数在�上为增函数，须有� � 在 −∞,1 上单调递增，在 1, + ∞ 上单调递增， 且− 12 − � × 1 − 5 ≤ �1， 所以有 − �2 ≥ 1 � < 0 − 12 − � × 1 − 5 ≤ �1 ，解得−3 ≤ � ≤− 2， 故�的取值范围为 −3, − 2 ． 第 7页，共 9页 故答案为： −3, − 2 ． 15.【答案】解：(1)0.027− 1 3 − ( − 16 ) −2 + 810.75 + ( 19 ) 0 − 3−1 = [(0.3)3]− 1 3 − 36 + (34)0.75 + 1 − 13 = 103 − 36 + 27 + 1 − 1 3 =− 5； (2)���2 2 + ���927 + 3���316 = 12 log22 + 3 2 log33 + 16 = 12 + 3 2+ 16 = 18． 【解析】(1)利用指数运算公式化简即可； (2)利用公式������� = � � ⋅ log��化简即可． 本题考查了指数运算及对数运算的应用，属于基础题． 16.【答案】解：(1) ∵ ���� = 45，且�是第四象限角， ∴ ���� =− 1 − cos2� =− 35， (2)原式= ����−sin� ⋅ ���� −cos� = ���� sin�⋅cos� = 1 cos� = 5 4． 【解析】本题主要考查三角函数的化简求值，属于简单题． (1)结合同角平方关系即可求解����， (2)结合诱导公式对所求式子进行化简，然后代入可求． 17.【答案】解; (1)由� = � −1 < � < 4 ，得∁�� = � � ≤− 1或� ≥ 4 ， 由� = 4，得� = � −2 ≤ � ≤ 6 ， 所以 ∁�� ∩ � = � −2 ≤ � ≤− 1或4 ≤ � ≤ 6 ． (2)由� ∩ � = �，得� ⊆ �． ①当 2 − � > 3� − 6，即� < 2 时，� = ⌀，满足� ⊆ �，符合题意． ②当 2 − � ≤ 3� − 6，即� ≥ 2 时，若满足� ⊆ �，则有 2 − � >− 1 3� − 6 < 4 � ≥ 2 ，解得 2 ≤ � < 3． 综上所述，实数�取值范围为 � � < 3 ． 第 8页，共 9页 【解析】本题主要考查交并补混合运算，含参数的交集运算问题，属于基础题． (1)当� = 4 时，分别求出∁��, �，结合交集的概念即可得解； (2)由题意得� ⊆ �，分�是否是空集进行分类讨论，分别列出不等式即可求解． 18.【答案】解：(1)因为当销售 8 万件衣服时，年利润为 990 万元，所以(� − 5 × 8) × 8 − 10 − 4 × 8 = 990， 解得� = 169， 当销售 20 万件衣服时，年利润为 1145 万元，所以( �20 − 900 202 ) × 20 − 10 − 4 × 20 = 1145，解得� = 1280， 当 0 < � ≤ 10 时，� = �(169 − 5�) − (4� + 10) =− 5�2 + 165� − 10; 当� > 10 时，� = �( 1280� − 900 �2 ) − (4� + 10) =− 900 � − 4� + 1270， 所以� = −5�2 + 165� − 10,0 < �⩽10, − 900� − 4� + 1270, � > 10. (2)当 0 < � ≤ 10 时，� =− 5(� − 332 ) 2 + 54054 ，所以�max = �(10) = 1140; 当� > 10 时，� =− 900� − 4� + 1270，由于 900 � + 4� ≥ 2 900 � × 4� = 120， 当且仅当 900 � = 4�，即� = 15 ∈ (10, + ∞)时取等号，此时�取得最大值为 1150， 综上可知，当� = 15 时，�取得最大值为 1150 万元． 【解析】本题考查分段函数模型的应用，涉及基本不等式的运用，属于中档题． (1)先求出�，�的值，然后分 0 < � ≤ 10 和� > 10 求出函数解析式进行求解即可； (2)根据分段函数解析式结合二次函数性质和基本不等式性质进行计算即可。 19.【答案】解：(1)当� =− 10 时，� � = ���2 4� − 10 × 2� + 16 ， 由4� − 10 × 2� + 16 > 0 得 2� − 2 2� − 8 > 0， 故2� < 2 或2� > 8， 得� < 1 或� > 3， 故函数� � = ���2 4� − 10 × 2� + 16 的定义域为 −∞,1 ∪ 3, + ∞ ； (2)由� � > ���22�得���2 4� + � ⋅ 2� + 16 > ���22�， 得4� + � ⋅ 2� + 16 > 2�， 即4� + � − 1 ⋅ 2� + 16 > 0， 设� = 2�，� � = �2 + � − 1 ⋅ � + 16 因为� ∈ 1, + ∞ ，所以� = 2� ≥ 2， 所以当� ∈ 1, + ∞ 时，� � > ���22�恒成立， 第 9页，共 9页 即为� � = �2 + � − 1 ⋅ � + 16 在� ∈ 2, + ∞ 上的最小值大于 0， 函数� � = �2 + � − 1 ⋅ � + 16 的图象的对称轴为� = 1−�2 ， 当 1−� 2 < 2 即� >− 3 时，函数� � 在 2, + ∞ 上单调递增， 此时� 2 = 22 + 2 � − 1 + 16 > 0，得� >− 9， 即� >− 3 满足题意； 当 1−� 2 ≥ 2，即� ≤− 3 时，函数� � 在对称轴处取得最小值， 此时� 1−�2 = 1−� 2 2 + � − 1 1−�2 + 16 > 0，得−7 < � < 9， 即−7 < � ≤− 3 满足题意； 故�的取值范围为 −7, + ∞ ． 【解析】本题考查对数型函数的定义域，利用对数函数的单调性解不等式，属于中档题． (1)由真数大于 0 列出不等式即可求解； (2)先根据函数� = ���2�为单调递增函数，将� � > �转化为4� + � − 1 ⋅ 2� + 16 > 0，根据题意可转化为 � � = �2 + � − 1 ⋅ � + 16 在� ∈ 2, + ∞ 上的最小值大于 0，然后结合二次函数的性质即可求解．