2023年北京中考数学二模分类汇编——尺规作图

2023北京中考数学二模分类汇编——尺规作图 1．（2023•海淀区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC． （1）使用直尺和圆规，作AD⊥BC交BC于点D（保留作图痕迹）； （2）以D为圆心，DC的长为半径作弧，交AC于点E，连接BE，DE． ①∠BEC＝　 　°； ②写出图中一个与∠CBE相等的角 　 　． 2．（2023•西城区二模）已知：如图1，线段a，b． 求作：矩形ABCD，使得AB＝a，BC＝b． 作法：如图2． ①在直线l上截取AB＝a． ②过点B作直线m⊥l，在直线m上截取BC＝b． ③分别以点A和点C为圆心，b，a的长为半径画弧，两弧的交点为D． （点D与点C在直线l的同侧） ④连接AD，CD． 则四边形ABCD为所求的矩形． 根据上面设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：∵AD＝BC＝b，AB＝DC＝a， ∴四边形ABCD是平行四边形（ 　 　）．（填推理的依据） ∵直线m⊥l， ∴∠ABC＝　 　°， ∴四边形ABCD是矩形（ 　 　）．（填推理的依据）． 3．（2023•东城区二模）已知：如图，点P和⊙O． 求作：直线PA，使得PA与⊙O相切于点A． 作法：（1）连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于C，D两点； （2）作直线CD，交OP于点B； （3）以点B为圆心，以OB长为半径作⊙B，与⊙O相交，其中一个交点为点A； （4）作直线PA． 直线PA即为所求作． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：由作法可知，点B为线段OP的中点．连接OA． ∵OP为⊙B的直径， ∴∠OAP＝　 　°（ 　 　）（填推理的依据）． ∴OA⊥PA． ∵点A在⊙O上， ∵PA是⊙O的切线（ 　 　）（填推理的依据）． 4．（2023•朝阳区二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线AP交BC于点D．若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为2，则△ACD的面积为 　 　． 5．（2023•丰台区二模）下面是过直线外一点，作已知直线的平行线的两种方法．请选择一种作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成证明． 已知：如图，直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ∥l． 作法一：如图， ①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B； ②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q； ③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线． 作法二：如图， ①在直线l上取两点A，B，连接AP； ②分别以点P，点B为圆心，AB，AP的长为半径画弧，两弧在l上方交于点Q； ③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线． 证明：∵AB＝　 　，CB＝　 　， ∴PQ∥l（ 　 　） （填推理的依据）． 证明：连接BQ． ∵AP＝　 　，AB＝　 　， ∴四边形APQB是平行四边形 （ 　 　）（填推理的依据）． ∴PQ∥l（ 　 　） （填推理的依据）． 6．（2023•石景山区二模）已知：如图1，直线AB及AB外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ∥AB． 作法：如图2， ①在直线AB上任取一点C，连接PC； ②C为圆心，PC长为半径作弧，交直线AB于点D； ③分别以点P，D为圆心，PC长为半径作弧，两弧在直线AB外交于一点Q； ④作直线PQ． 直线PQ就是所求作的直线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接DQ． ∵CD＝DQ＝PQ＝　 　， ∴四边形PCDQ是 　 　形（ 　 　）（填推理的依据）． ∴PQ∥AB． 7．（2023•大兴区二模）已知：如图，线段AB． 求作：△ABC，使得AC＝BC，且∠ACB＝30°． 作法：①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在AB的上方交于点D，下方交于点E，作直线DE； ②以点D为圆心，AD长为半径画圆，交直线DE于点C，且点C在AB的上方； ③连接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AD，BD，AE，BE． ∵AD＝BD，AE＝BE，∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝　 　． ∵AB＝BD＝AD，∴△ABD为等边三角形， ∴∠ADB＝60° ∵， ∴（ 　 　）（填推理的依据）， ∴∠ACB＝30°． 8．（2023•顺义区二模）已知：线段AB及射线AM．求作：等腰△ABC，使得点C在射线AM上． 作法一：如图1，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交射线AM于点C（不与点A重合），连接BC． 作法二：如图2， ①在AB上取一点D，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交射线AM于点E，连接DE； ②以点B为圆心，AD长为半径作弧，交线段BA于点F； ③以点F为圆心，DE长为半径作弧，交前弧于点G； ④作射线BG交射线AM于点C． 作法三：如图3， ①分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q； ②作直线PQ，交射线AM于点C，连接BC． 根据以上三种作法，填空：由作法一可知：　 　＝AB，∴△ABC是等腰三角形； 由作法二可知：∠　 　＝∠BAM，∴CA＝CB（ 　 　）（填推理依据），∴△ABC是等腰三角形； 由作法三可知：PQ是线段AB的 　 　∴CA＝CB（ 　 　）（填推理依据）∴△ABC是等腰三角形． 9．（2023•昌平区二模）用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的．但对于特定度数的已知角，如90°角，45°角等，是可以用尺规进行三等分的．下面是小明的探究过程： 已知：如图1，∠AOB＝90°． 求作：射线OE，OG三等分∠AOB． 作法：如图2， ①在射线OB上取任一点C； ②分别以O，C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在OB上方交于点E，在OB下方交于点F，连接CE； ③作直线EF交OC于点D； ④以D为圆心，OD长为半径作圆，交线段CE于点G（点G不与点C重合）； ⑤作射线OG，OE． 所以射线OG，OE即为所求射线． （1）利用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵OE＝OC＝CE， ∴△COE为等边三角形． ∴∠COE＝60°． ∴∠AOE＝∠AOB﹣∠COE＝30°． ∵OC为⊙D的直径， ∴∠CGO＝　 　°． 又∵OE＝OC，OG⊥EC， ∴OG平分∠EOC 　 　（填推理的依据）． ∴∠COG＝∠EOG∠COE＝30°． ∴∠AOE＝∠COG＝∠EOG． 即射线OE，OG三等分∠AOB． 10．（2023•门头沟区二模）下面是小亮同学设计的“作三角形一边上的高线”的尺规作图过程． 已知：如图，△ABC． 求作：线段BP，使BP⊥AC于P． 作法：①分别以B，C为圆心，大于的同样长为半径作弧， 两弧分别交于点D，E，作直线DE，交BC于点O； ②以O为圆心，OB长为半径作弧，交AC于点P； ②连接BP． ∴线段BP为所求的线段． 根据小亮同学设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹》 （2）完成下面的证明． 证明：连接DB，DC，EB，EC． ∵DB＝DC，EB＝EC， ∴DE垂直平分线段BC（ 　 　）（填推理依据）． ∴点O是线段BC的中点． ∴BC是⊙O的直径． ∴∠BPC＝　 　°（ 　 　）（填推理依据）． ∴BP⊥AC． 11．（2023•燕山二模）下面是小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：边BC上的高AD． 作法：如图1， ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P（不同于点A）； ③作直线AP交BC于点D． 所以线段AD就是所求作的△ABC的边BC上的高． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AM，AN，PM，PN． ∵AM＝　 　，PM＝　 　， ∴AP是线段MN的垂直平分线（ 　 　）（填推理的依据）， ∴AD⊥BC于点D， 即线段AD为△ABC的边BC上的高． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023北京中考数学二模分类汇编——尺规作图（解析） 1．（2023•海淀区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC． （1）使用直尺和圆规，作AD⊥BC交BC于点D（保留作图痕迹）； （2）以D为圆心，DC的长为半径作弧，交AC于点E，连接BE，DE． ①∠BEC＝　90　°； ②写出图中一个与∠CBE相等的角 　∠BCF（答案不唯一）　． 【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线得到AD； （2））①根据等腰三角形的性质得到DB＝DC，则BC为⊙O的直径，然后根据圆周角定理得到∠BEC＝90°； ②先利用AB＝AC得到∠ABC＝∠ACB，再根据圆周角定理得到∠CFB＝∠BEC＝90°，根据等角的余角相等得到∠CBE＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCF． 【解答】解：（1）如图，AD为所作； （2）①∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴DB＝DC，AD平分∠BAC， ∴BC为⊙O的直径， ∴∠BEC＝90°； 故答案为：90； ②∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴BC为⊙O的直径， ∴∠CFB＝∠BEC＝90°， ∴∠CBE＝∠BCF， ∵∠CBE+∠BCE＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠CBE＝∠CAD， ∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCF． 故答案为：∠BCF（答案不唯一）． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理． 2．（2023•西城区二模）已知：如图1，线段a，b． 求作：矩形ABCD，使得AB＝a，BC＝b． 作法：如图2． ①在直线l上截取AB＝a． ②过点B作直线m⊥l，在直线m上截取BC＝b． ③分别以点A和点C为圆心，b，a的长为半径画弧，两弧的交点为D． （点D与点C在直线l的同侧） ④连接AD，CD． 则四边形ABCD为所求的矩形． 根据上面设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，在图2中补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：∵AD＝BC＝b，AB＝DC＝a， ∴四边形ABCD是平行四边形（ 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　）．（填推理的依据） ∵直线m⊥l， ∴∠ABC＝　90　°， ∴四边形ABCD是矩形（ 　有一个角是90°的平行四边形是矩形　）．（填推理的依据）． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）根据有一个角是90°的平行四边形是矩形证明即可． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵AD＝BC＝b，AB＝DC＝a， ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， ∵直线m⊥l， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形）． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，90，有一个角是90°的平行四边形是矩形． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2023•东城区二模）已知：如图，点P和⊙O． 求作：直线PA，使得PA与⊙O相切于点A． 作法：（1）连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于C，D两点； （2）作直线CD，交OP于点B； （3）以点B为圆心，以OB长为半径作⊙B，与⊙O相交，其中一个交点为点A； （4）作直线PA． 直线PA即为所求作． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：由作法可知，点B为线段OP的中点．连接OA． ∵OP为⊙B的直径， ∴∠OAP＝　90　°（ 　直径所对圆周角为直角　）（填推理的依据）． ∴OA⊥PA． ∵点A在⊙O上， ∵PA是⊙O的切线（ 　过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线　）（填推理的依据）． 【分析】（1）依照题中所提供步骤作图即可； （2）利用圆周角定理推论即切线判定定理证明即可． 【解答】解：（1）依作法所作图形如图所示： （2）由作法可知，点B为线段OP的中点．连接OA． ∵OP为⊙B的直径， ∴∠OAP＝90°（直径所对圆周角为直角）（填推理的依据）． ∴OA⊥PA． ∵点A在⊙O上， ∵PA是⊙O的切线（过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）（填推理的依据）． 故答案为：90，直径所对圆周角为直角，过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线． 【点评】本题考查了尺规作图的应用，圆的性质的应用是解题关键． 4．（2023•朝阳区二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P； ③作射线AP交BC于点D．若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为2，则△ACD的面积为 　3　． 【分析】利用基本作图得到AD平分∠BAC，再根据角平分线的性质得点D到AB、AC的距离相等，于是利用三角形面积公式得到△ACD的面积：△ABD的面积＝AC：AB＝3：2，从而可计算出△ABD的面积． 【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，则点D到AB、AC的距离相等， 所以△ACD的面积：△ABD的面积＝AC：AB＝3：2， 所以△ABD的面积2＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质． 5．（2023•丰台区二模）下面是过直线外一点，作已知直线的平行线的两种方法．请选择一种作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成证明． 已知：如图，直线l及直线l外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ∥l． 作法一：如图， ①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B； ②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q； ③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线． 作法二：如图， ①在直线l上取两点A，B，连接AP； ②分别以点P，点B为圆心，AB，AP的长为半径画弧，两弧在l上方交于点Q； ③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线． 证明：∵AB＝　AP　，CB＝　CQ　， ∴PQ∥l（ 　三角形的中位线平行于第三边　） （填推理的依据）． 证明：连接BQ． ∵AP＝　BQ　，AB＝　PQ　， ∴四边形APQB是平行四边形 （ 　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　）（填推理的依据）． ∴PQ∥l（ 　平行四边形的对边平行　） （填推理的依据）． 【分析】作法一：根据“三角形的中位线的平行于第三边”进行作图和证明； 作法二：根据“平行四边形的对边平行”进行作图和证明． 【解答】解：作法一：如图：PQ即为所求； 证明：∵AB＝AP，CB＝CQ， ∴PQ∥l（ 三角形的中位线平行于第三边）， 故答案为：AP，CQ，三角形的中位线平行于第三边； 作法二：如图：PQ即为所求； 证明：连接BQ． ∵AP＝BQ，AB＝PQ， ∴四边形APQB是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， ∴PQ∥l（平行四边形的对边平行）， 故答案为：BQ，PQ，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行． 【点评】本题考查了复杂作图，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 6．（2023•石景山区二模）已知：如图1，直线AB及AB外一点P． 求作：直线PQ，使得PQ∥AB． 作法：如图2， ①在直线AB上任取一点C，连接PC； ②C为圆心，PC长为半径作弧，交直线AB于点D； ③分别以点P，D为圆心，PC长为半径作弧，两弧在直线AB外交于一点Q； ④作直线PQ． 直线PQ就是所求作的直线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接DQ． ∵CD＝DQ＝PQ＝　PC　， ∴四边形PCDQ是 　菱　形（ 　四边相等的四边形是菱形　）（填推理的依据）． ∴PQ∥AB． 【分析】（1）根据题意，按照步骤补全作图即可； （2）根据菱形的判定与性质求解即可． 【解答】（1）解：直线PQ如图所示： （2）证明：连接DQ． ∵CD＝DQ＝PQ＝PC， ∴四边形PCDQ是菱形（四边相等的四边形是菱形）． ∴PQ∥AB． 故答案为：PC，菱，四边相等的四边形是菱形． 【点评】本题考查尺规作图，菱形的判定与性质，解题的关键是根据作图方法判断出CD＝DQ＝PQ＝PC． 7．（2023•大兴区二模）已知：如图，线段AB． 求作：△ABC，使得AC＝BC，且∠ACB＝30°． 作法：①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在AB的上方交于点D，下方交于点E，作直线DE； ②以点D为圆心，AD长为半径画圆，交直线DE于点C，且点C在AB的上方； ③连接AC，BC．所以△ABC就是所求作的三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AD，BD，AE，BE． ∵AD＝BD，AE＝BE，∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝　BC　． ∵AB＝BD＝AD，∴△ABD为等边三角形， ∴∠ADB＝60° ∵， ∴（ 　同弧所对圆周角等于圆心角的一半　）（填推理的依据）， ∴∠ACB＝30°． 【分析】（1）根据作图过程即可补全图形； （2）根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．即可完成证明． 【解答】解：（1）如图所示：即为补全的图形； （2）证明：连接AD，BD，AE，BE． ∵AD＝BD，AE＝BE， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC． ∵AB＝BD＝AD， ∴△ABD为等边三角形， ∴∠ADB＝60°， ∵， ∴∠ACB∠ADB（同弧所对圆周角等于圆心角的一半 ）， ∴∠ACB＝30°． 故答案为：BC；同弧所对圆周角等于圆心角的一半． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 8．（2023•顺义区二模）已知：线段AB及射线AM．求作：等腰△ABC，使得点C在射线AM上． 作法一：如图1，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交射线AM于点C（不与点A重合），连接BC． 作法二：如图2， ①在AB上取一点D，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交射线AM于点E，连接DE； ②以点B为圆心，AD长为半径作弧，交线段BA于点F； ③以点F为圆心，DE长为半径作弧，交前弧于点G； ④作射线BG交射线AM于点C． 作法三：如图3， ①分别以点A，B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点P，Q； ②作直线PQ，交射线AM于点C，连接BC． 根据以上三种作法，填空：由作法一可知：　BC　＝AB，∴△ABC是等腰三角形； 由作法二可知：∠　ABC　＝∠BAM，∴CA＝CB（ 　等角对等边　）（填推理依据），∴△ABC是等腰三角形； 由作法三可知：PQ是线段AB的 　垂直平分线　∴CA＝CB（ 　线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等　）（填推理依据）∴△ABC是等腰三角形． 【分析】根据作图痕迹，分别判断出BA＝BC，CA＝CB，CA＝CB，可得结论． 【解答】解：由作法一可知：BC＝AB， 、∴△ABC是等腰三角形； 由作法二可知：∠ABC＝∠BAM， ∴CA＝CB（等角对等边）， ∴△ABC是等腰三角形； 由作法三可知：PQ是线段AB的垂直平分线， ∴CA＝CB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）， ∴△ABC是等腰三角形． 故答案为：BC，ABC，等角对等边，垂直平分线，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 9．（2023•昌平区二模）用尺规“三等分任意角”是数学史上一个著名难题，它已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的．但对于特定度数的已知角，如90°角，45°角等，是可以用尺规进行三等分的．下面是小明的探究过程： 已知：如图1，∠AOB＝90°． 求作：射线OE，OG三等分∠AOB． 作法：如图2， ①在射线OB上取任一点C； ②分别以O，C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在OB上方交于点E，在OB下方交于点F，连接CE； ③作直线EF交OC于点D； ④以D为圆心，OD长为半径作圆，交线段CE于点G（点G不与点C重合）； ⑤作射线OG，OE． 所以射线OG，OE即为所求射线． （1）利用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵OE＝OC＝CE， ∴△COE为等边三角形． ∴∠COE＝60°． ∴∠AOE＝∠AOB﹣∠COE＝30°． ∵OC为⊙D的直径， ∴∠CGO＝　90　°． 又∵OE＝OC，OG⊥EC， ∴OG平分∠EOC 　等腰三角形三线合一　（填推理的依据）． ∴∠COG＝∠EOG∠COE＝30°． ∴∠AOE＝∠COG＝∠EOG． 即射线OE，OG三等分∠AOB． 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）构造等边三角形的性质解决问题即可． 【解答】（1）解：如图2中，射线OE，OG即为所求． （2）证明：∵OE＝OC＝CE， ∴△COE为等边三角形． ∴∠COE＝60°． ∴∠AOE＝∠AOB﹣∠COE＝30°． ∵OC为⊙D的直径， ∴∠CGO＝90°． 又∵OE＝OC，OG⊥EC， ∴OG平分∠EOC（等腰三角形三线合一）． ∴∠COG＝∠EOG∠COE＝30°． ∴∠AOE＝∠COG＝∠EOG． 即射线OE，OG三等分∠AOB． 故答案为：90，等腰三角形三线合一． 【点评】把太空舱作图﹣应用与设计作图，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10．（2023•门头沟区二模）下面是小亮同学设计的“作三角形一边上的高线”的尺规作图过程． 已知：如图，△ABC． 求作：线段BP，使BP⊥AC于P． 作法：①分别以B，C为圆心，大于的同样长为半径作弧， 两弧分别交于点D，E，作直线DE，交BC于点O； ②以O为圆心，OB长为半径作弧，交AC于点P； ②连接BP． ∴线段BP为所求的线段． 根据小亮同学设计的尺规作图过程 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹》 （2）完成下面的证明． 证明：连接DB，DC，EB，EC． ∵DB＝DC，EB＝EC， ∴DE垂直平分线段BC（ 　到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上　）（填推理依据）． ∴点O是线段BC的中点． ∴BC是⊙O的直径． ∴∠BPC＝　90　°（ 　直径所对的圆周角等于90°　）（填推理依据）． ∴BP⊥AC． 【分析】（1）根据题中步骤作图； （2）根据圆周角定理证明． 【解答】（1）解：如图：BP即为所求； （2）证明：连接DB，DC，EB，EC． ∵DB＝DC，EB＝EC， ∴DE垂直平分线段BC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）． ∴点O是线段BC的中点． ∴BC是⊙O的直径． ∴∠BPC＝90°（直径所对的圆周角等于90°）． ∴BP⊥AC． 故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，90，直径所对的圆周角等于90°． 【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握圆周角定理是解题的关键． 11．（2023•北京二模）下面是小东设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：边BC上的高AD． 作法：如图1， ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P（不同于点A）； ③作直线AP交BC于点D． 所以线段AD就是所求作的△ABC的边BC上的高． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AM，AN，PM，PN． ∵AM＝　AN　，PM＝　PN　， ∴AP是线段MN的垂直平分线（ 　到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上　）（填推理的依据）， ∴AD⊥BC于点D， 即线段AD为△ABC的边BC上的高． 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）利用线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求． （2）连接AM，AN，PM，PN， ∵AM＝AN，PM＝PN， ∴AP是线段MN的垂直平分线（到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）， ∴AD⊥BC于点D， 即线段AD为△ABC的边BC上的高． 故答案为：AN；PN；到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 【点评】本题考查作图﹣线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/21 9:44:28；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$