09空间直线、平面的垂直-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

09空间直线、平面的垂直（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 5 考点一：直线与直线垂直 5 考点二：直线与平面垂直 9 考点三：平面与平面垂直 17 【自学检测】 24 自学概念 1. 异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°. 2. 两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b. 3. 直线与平面垂直的定义 直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. (2)有关概念 垂线 直线l叫做平面α的垂线 垂面 平面α叫做直线l的垂面 垂足 直线与平面唯一的公共点 垂线段 过一点作平面的垂线，该点与垂足间的线段 点到平面的距离 垂线段的长度 4. 直线与平面垂直的判定 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 5. 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0. 取值范围 6. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 a⊥α，且b⊥α⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行；②作平行线 7. 直线与平面、平面与平面的距离 (1)直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. (2)平面与平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 8. 二面角的概念 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱；②这两个半平面叫做二面角的面. (3)画法：如图(1)所示. (1) (4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q. (5)二面角的平面角 ①定义：如图(2)所示，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. (2) ②二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°. 9. 平面与平面垂直的定义与判定定理 (1)平面与平面垂直 ①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作：α⊥β. ②画法：如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (2)两平面垂直的判定 ①文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②符号语言：b⊥平面α，b⊂平面β⇒β⊥α. 10. 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 自学考点 考点一：直线与直线垂直 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024高二上·云南·学业考试）如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·上海青浦·期末）在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一·全国·课后作业）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ） A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 三、填空题 6．（24-25高二上·上海·随堂练习）在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A A B A ABD 1．A 【分析】设平面上两条直线分别满足，则相交，且夹角为，讨论的取值范围，从而确定c的情况以及条数，即可得答案. 【详解】设平面上两条直线分别满足， 则相交，设交点为，且夹角为， 如图示：过空间中一点作直线，若直线与均异面，且所成角均为， 则直线与直线所成角均为， 当时，不存在这样的直线， 当时，这样的直线只有一条， 当时，这样的直线有两条， 当时，这样的直线有三条， 当时，这样的直线有四条， 当时，这样的直线只有一条. 所以的范围为. 故选：A. 2．A 【分析】将正方体的展开图重新组合成正方体，对选项逐个分析，判断易得只有A选项正确. 【详解】如图所示，将展开图重新组合成正方体. 显然. 因此A选项正确.    由图易得，显然与所成角非直角，因此异面直线与所成角也非直角，所以不成立. 因此B、C选项不正确. 由图易得，显然与相交，因此不成立. 因此D选项不正确. 故选：A 3．B 【分析】由正方体的性质找到异面直线所成的角，求出即可； 【详解】由题意可得，所以异面直线与所成的角等于， 由正方体的性质可得， 故选：B 4．A 【分析】结合题意易知的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆，即可求扫过的面积. 【详解】由题意得：正方体中，易得， 要使直线与直线所成角的大小为， 只需与直线所成角的大小为， 所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 所以,即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 故线段扫过的面积的大小为. 故选：A. 5．ABD 【分析】根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断. 【详解】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误； 由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误； 同理AE与B1C1是异面直线，C正确； AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成为90°，D错误. 故选：ABD. 6． 【分析】由异面直线所成的角可求得长方体的高，即可得出结果. 【详解】如下图所示： 由长方体性质可知与平行， 所以即为异面直线与CD所成的角，即， 又因为为直角三角形，， 又，所以； 可得， 易知到底面ABCD的距离为. 故答案为： 考点二：直线与平面垂直 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，为正方体表面上的动点.下列叙述正确的是（    ） A．当点在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为 B．当点为棱的中点时，平面 C．当点时，满足平面的点共有2个 D．当点在棱上时，点到平面的距离的最小值为 2．（24-25高三上·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为的中点，则的一个充要条件为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高二上·广东广州·期末）如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则三棱锥的体积为定值 B．若平面，则动点的轨迹长度为 C．若，则动点的轨迹长度为 D．存在点，使得平面 三、填空题 4．（22-23高三上·安徽·期末）已知正三棱柱的各个棱长均为2，其外接球的球心为O，以O为球心，以为半径的球面与侧面的交线的长度为 ． 四、解答题 5．（23-24高二下·云南·期末）如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． (1)求证：平面； (2)若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 6．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）如图，长方体中，，，，，分别是，上的点，且，过直线的平面与，分别交于点，. （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是正方形，求四棱锥的体积. 参考答案： 题号 1 2 3 答案 D C AB 1．D 【分析】与不可能垂直，故选项A错误；平移与平面相交于一点，故选项B错误；当点时，满足平面的点P共有1个.当点为平面的中心时，故判断选项C；利用体积相等即可求出点P到平面的距离的最小值为判断选项D. 【详解】由于线面角的最大值为， 与不可能垂直，故直线与平面所成角的最大值达不到.选项A错误； 取的中点为，的中点为,连接,相交于点，连接, 且，故， 平面,面，故不能与平面平行，故选项B错误； 当点时，满足平面的点P共有1个. 当点为平面的中心时，故选项C错误 ，到平面的距离始终为， 故当点运动到点时，取得最小值为， 故， ,, ， 故，故选项D正确. 故选：D 【点睛】易错点睛 计算夹角时，尤其是直线与平面之间的角度，需注意不可能存在的情况，防止误解题意. 关于平面与直线平行的判断，确保考虑所有的几何约束条件，避免遗漏. 2．C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积探求充要条件为和. 【详解】因为平面且底面为矩形，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，， 则，则，， 故，， 的充要条件为即： 的充要条件为即： 的充要条件为，即的充要条件为， 故C正确，D错误； 即，此时得不到，故A错误； 对于B，，， 若，则即即， 由A的分析可得的充要条件为不是，故B错误； 综上，选C. 故选：C 3．AB 【分析】利用面面平行的判定可证得平面平面，可知点到平面的距离即为平面与平面之间的距离，结合正方体性质，利用和棱锥体积公式可求得A正确；根据平面平面可知点轨迹为线段，知B正确；由可知点在以为球心，为半径的球面上，由此可确定点轨迹，进而确定C错误；假设点存在，使得平面，可知，根据相交或异面可知D错误. 【详解】对于A，，，平面，平面， 平面，平面，又，平面， 平面平面， 则当平面时，点到平面的距离即为平面与平面之间的距离； 由正方体性质知：平面与平面之间距离，， ， 即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，由A知：平面平面， 若平面，则平面， 又平面，平面平面， 点的轨迹为线段，则其轨迹长为，B正确； 对于C，若，则在以为球心，为半径的球面上， 则点轨迹是该球面与底面的交线，即点轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 点轨迹长为，C错误； 对于D，由正方体性质知：平面， 若存在点，使得平面，则， 平面，若平面，则，此时不成立； 若平面，平面，与为异面直线； 综上所述：不成立，即不存在点，使得平面，D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的动点轨迹问题，解题关键是能够根据动点所满足的条件，结合面面平行、球的定义等知识，通过动点轨迹为两平面交线的特征确定其轨迹图形. 4． 【分析】根据题意结合正三棱柱的性质分析可得球心O到侧面的距离为，再结合球的性质分析运算. 【详解】如图，取的中点，侧面、底面的中心分别为，连接，则可知平面，， ∵，平面， ∴平面，且， 故，且，即为平行四边形 故， 即三棱柱的外接球球心O到侧面的距离为， 可知以O为球心，半径为的球面与平面的交线为圆，设其半径为，则，解得， 故以O为球心，以为半径的球面与侧面的交线为以为半径的整圆，其交线长度为． 故答案为：. 5．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合题设易得，，进而结合线面垂直的判定定理求证即可； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又D是线段BC的中点，且，所以， 因为，平面, 所以平面. （2）由（1）知，平面， 因为是边长为2的正三角形， 所以，则， 则， 所以三棱锥的体积为. 6．（1）证明见解析；（2）. 【分析】 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且平面平面，所以, 因为在矩形中，，所以, 又因为平面，所以平面, 由平面，所以， 同理可证， 又因为，平面，所以，所以四边形是矩形. （2）因为四边形是正方形，所以， 过点作于点，则， 所以，所以， 所以. 考点三：平面与平面垂直 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 2．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在四棱台中，底面为平行四边形，侧棱平面，，，若四棱台的体积为．则直线与平面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高三上·辽宁·期中）、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，下列说法正确的是（    ） A．、是异面直线，若，，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 三、填空题 4．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 四、解答题 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 6．（24-25高三上·宁夏·期中）如图，直四棱柱中，. (1)求证：平面平面； (2)若，平面平面，判断的形状并证明. 参考答案： 题号 1 2 3 答案 D A AD 1．D 【分析】对于AB：以正方体为载体，举反例说明即可；对于CD：面面平行、垂直分析判断即可. 【详解】作正方体， 对于A，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线， 则，但直线异面，故A选项错误； 对于B，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线， 则，但直线不垂直，故B选项错误； 对于C：若，，，则，故C选项错误； 对于D：若，，，则，故D选项正确. 故选：D. 2．A 【分析】过点，作，连接，根据平面，得到平面，连接，从而为与平面的夹角求解. 【详解】如图所示： 过点，作，连接， 因为平面，平面， 所以平面平面， 所以平面，连接， 则为与平面的夹角， 在平面中，，，，则， ，， 所以四棱台的体积为：， 所以，， 为的中点， ， ． 故选：A 3．AD 【分析】利用线面平行的性质、面面平行的性质可判断A选项；利用线面、面面的位置关系可直接判断BC选项；利用线面平行的性质、面面垂直的判定定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，在直线上取一点，过点作直线，使得， 过直线作平面，使得，如下图所示： 因为，，，则，又因为，则， 因为，，则，设直线、确定平面， 因为，，、，所以，，同理可证，故，A对； 对于B选项，若，，则或，B错； 对于C选项，若，，，则、相交（不一定垂直）或平行，C错； 对于D选项，因为，，则， 过直线作平面，使得，如下图所示：      因为，，，则， 因为，则，又因为，所以，，D对. 故选：AD. 4． 【分析】根据空间中垂直关系的转化可得点在平面上的投影点的轨迹为圆弧，故可求其长度. 【详解】 设将沿折起后得到的平面为平面， 在矩形中，过作，垂足为， 旋转后，故为二面角的平面角， 因平面平面，，故， 而，平面， 故平面，故为在平面上的射影， 因为，故在以为直径的半圆上（如图所示，去除）， 连接，交半圆于， 因为，故，故在劣弧（去除）上， 其长度为， 故答案为： 5．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，，利用勾股定理证明，结合可证线面垂直，进而可证面面垂直； （2）过点作，连接，由（1）可得，可证平面平面，所以即为直线与平面所成角，利用几何法可得正弦值. 【详解】（1）如图所示，取中点，连接，， 由四边形为菱形，且， 得，， 又， ， ， ，， 又，且，平面， 平面， 平面， 平面平面. （2）如图所示，过点作，垂足，连接， 由（1）得平面平面，平面平面，，平面， ∴平面. ∵平面, ，. 又，平面，且， 平面. ∵平面， 平面平面， 所以即为直线与平面所成角， 又，， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 6．(1)证明见解析 (2)直角三角形，证明见解析 【分析】（1）结合线面平行的判定定理和性质定理，再利用面面平行的判定定理可得答案； （2）连接，利用面面垂直的判定定理、性质定理可得答案. 【详解】（1）由已知为直四棱柱， 可知， 又平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面， ，且，平面， 平面平面； （2）连接，，四边形是正方形， ． 平面平面，平面平面， 平面，平面， 又底面，平面， ， ，，平面， 平面，， 所以是直角三角形. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·全国·课后作业）在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，则∠FEG为（    ） A．30° B．60° C．120° D．60°或120° 2．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若α，β为两个不同的平面，m为一条直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则α与β相交 D．若m⊥α，，则α⊥β 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 5．（24-25高三上·浙江绍兴·阶段练习）如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4，，分别为该圆柱的上、下底面的直径，且，则三棱锥的体积是（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 6．（23-24高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 7．（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，若，则异面直线和所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江西赣州·开学考试）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（    ） A．MD⊥MB B．MD⊥PC C．AB⊥AD D．BM⊥PC 10．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知a，b，c是3条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的有（    ） A．若，，则 B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c垂直 C．若，，，则a与b一定是异面直线 D．若a，b与所成的角均为，则 11．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·全国·课后作业）已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有 条． 13．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知正三棱柱中，，点D、E分别为棱、的中点．则三棱锥的体积为 ． 14．（22-23高二上·江苏南京·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 ．                四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海徐汇·期中）正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 16. (15分) （2024高三·全国·专题练习）如图，在圆锥中，若轴截面是正三角形，为底面圆周上一点，F为线段上一点，（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E，连接，且.求证：平面平面. 17. (15分) （24-25高二上·上海松江·期中）如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 18. (17分) （24-25高二上·四川达州·期中）三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点.    (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面． 19. (17分) （2023高三上·广西·学业考试）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D D D D C BD BC 题号 11 答案 AC 1．D 【分析】根据异面直线的定义找到AD与BC所成的角与∠FEG的关系，从而得到∠FEG的大小. 【详解】如图： 因为E，F，G分别是AB，AC，BD的中点， 所以, 由于AD与BC是异面直线， 根据异面直线所成角的定义可知， ∠FEG为异面直线AD与BC所成角或其补角， 因为AD与BC所成的角为60°， 所以∠FEG为60°或120°. 故选：D. 【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 2．C 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误； 对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误； 对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确； 对于D中，由，，则或， 当时，由，则或与异面； 当时，由，则或与相交，所以D错误． 故选：C 3．D 【分析】根据线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定与性质逐项分析即可. 【详解】若，不一定成立，也可能相交，故AC错误； 若，则或，故B错误； 若，则必有一直线且，所以，又，所以，故D正确. 故选：D 4．D 【分析】将满足题意的直线放入长方体模型判断即可. 【详解】如图所示，取，，， 当取时，，当取时，，排除ABC. 故选：D. 5．D 【分析】取的中点，连接，，证得平面，利用三棱锥的体积计算即可. 【详解】如图：过上底面中心，作与下底面直径平行的直线，连接，， 则且， 因为，所以， 根据圆柱的性质可知，平面， 则有， 则，，又，，平面， 所以平面， 所以． 故选：D． 6．D 【分析】对于AB：根据线面位置关系分析判断；对于CD：根据面面垂直的性质定理和判定定理分析判断. 【详解】对于选项AB：因为平面，平面， 所以平面，故AB错误； 对于选项CD：因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可知平面， 且平面，所以平面平面，故C错误，D正确； 故选：D. 7．D 【分析】根据异面直线的定义，转化为相交直线所成的角，即可求解. 【详解】连接，由题得且， 故四边形是平行四边形，所以且， 则的余弦值即为所求． 由可得，故有，解得． 故选：D 8．C 【分析】根据线面垂直的判定定理，结合锐角的三角函数定义进行求解即可. 【详解】因为，，所以，， 因此，因为D是的中点， 所以，且，在直三棱柱ABC一中，平面， 而平面，所以，因为， 平面，所以平面，而平面， 因此，在直角三角形中，， 当时，即， 此时，而，即， 即，而，平面， 因此平面，此时， 故选：C 9．BD 【分析】执果索因，若要平面MBD⊥平面PCD，根据图像推出需要哪些条件，即可得解. 【详解】 连接AC，BD，BM，MD． 因为在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD， 且底面各边都相等，M是PC上的一动点， 所以BD⊥PA，BD⊥AC，因为PA∩AC=A， 所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC． 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时， 即有PC⊥平面MBD． 而PC属于平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD． 故选：BD. 10．BC 【分析】由基本事实4判断A；由直线与直线的位置关系判断B；由面面平行的性质判断C；由线面垂直的性质判断D． 【详解】对于A，若，，则，所以A正确； 对于B，若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面，所以B错误； 对于C，若，，，则a与b可能异面，也可能平行，所以C错误； 对于D，若a，b与所成的角均为，则，，可得，所以D正确． 故选：BC． 11．AC 【分析】利用直线与平面的位置关系及其相关定理逐项判定． 【详解】对于A：由线面垂直的判定定理可知，A选项正确． 对于B：当，，时，，有可能异面，故B错误； 对于C：由线面平行的性质定理可知，C选项正确； 对于D：当，时，或，故D错误. 故选：AC． 12．2 【分析】结合异面直线成角作出图形分析即可求出结果. 【详解】可将a，b通过平移相交于点P，如图所示， 则，则的角平分线与直线a，b所成的角均为，的角平分线与直线a，b所成的角均为，因为，所以与直线a，b所成的角均为9°的直线l有且只有2条（直线）， 故答案为：2. 13． 【分析】根据线线垂直可得平面得是四面体的底面上的高，接着计算的面积及长度，再由三棱锥的体积公式计算即可得解． 【详解】由于E为棱的中点，且为等边三角形，故， 又，，且，平面， 平面，故是四面体的底面上的高， ，， ． 三棱锥的体积． 故答案为： 14． 【分析】取的中点，连接，，证得平面，把上任一点到平面的距离即为两条异面直线与的距离，过点作，利用面面垂直的性质定理，证得平面，过点作交于点，得到，取，连接，证得平面，在直角中，求得的值，即可求解. 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以直线上任一点到平面的距离即为两条异面直线与的距离， 过点作， 因为平面平面，且平面，所以平面． 过点作交于点，则， 取，连接，则四边形是矩形，可得平面， 在直角中，由，所以， 故点到直线的距离的最小值为． 故答案为：．     15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行可得线面平行，进而可得面面平行，利用面面平行的性质即可求证， （2）根据可得为异面直线与所成角，即可利用余弦定理求解，在中利用余弦定理计算． 【详解】（1）取中点，连接， 则, 由于平面，平面，故平面, 由于,故四边形为平行四边形， 则， 平面，平面，故平面, 平面， 故平面平面， 平面,故直线平面    （2）由（1）知， 或其补角为异面直线与所成角， 设正方体棱长为1，则，， ，    16．证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理，结合线面垂直的性质定理即可得证. 【详解】因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为垂直底面于垂直底面于O，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据长方体结构特征及线面垂直的判定和性质定理证明结论； （2）利用长方体、棱锥的体积公式求多面体体积. 【详解】（1）由题设面，面，则， 在长方体中，即，则为正方形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以；    （2）由题设，剩下的多面体的体积. 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据面面平行的判断定理，转化为证明两组线面平行； （2）根据面面垂直的判断定理转化为证明线面垂直，即可证明平面. 【详解】（1）如图，连结， 因为点分别是和的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 且平面，平面， 所以平面，且，平面 所以平面平面    （2）因为平面，且平面， 所以平面平面，平面平面， 因为是等边三角形，且点是的中点， 所以，且平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面. 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理转化为证明线面平行，通过构造平行四边形，证明； （2）利用面面垂直的性质定理，即可证明. 【详解】（1）连结，因为分别是的中点， 所以，且， 因为点是的中点，所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 且平面，平面， 所以平面； （2）因为，为的中点，所以， 由平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 09空间直线、平面的垂直（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 5 考点一：直线与直线垂直 5 考点二：直线与平面垂直 6 考点三：平面与平面垂直 8 【自学检测】 10 自学概念 1. 异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°. 2. 两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b. 3. 直线与平面垂直的定义 直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. (2)有关概念 垂线 直线l叫做平面α的垂线 垂面 平面α叫做直线l的垂面 垂足 直线与平面唯一的公共点 垂线段 过一点作平面的垂线，该点与垂足间的线段 点到平面的距离 垂线段的长度 4. 直线与平面垂直的判定 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 5. 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影 直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0. 取值范围 6. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 a⊥α，且b⊥α⇒a∥b 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行；②作平行线 7. 直线与平面、平面与平面的距离 (1)直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. (2)平面与平面的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 8. 二面角的概念 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱；②这两个半平面叫做二面角的面. (3)画法：如图(1)所示. (1) (4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q. (5)二面角的平面角 ①定义：如图(2)所示，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. (2) ②二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°. 9. 平面与平面垂直的定义与判定定理 (1)平面与平面垂直 ①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作：α⊥β. ②画法：如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (2)两平面垂直的判定 ①文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②符号语言：b⊥平面α，b⊂平面β⇒β⊥α. 10. 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 自学考点 考点一：直线与直线垂直 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）为异面直线，且所成角为，过空间一点作直线，直线与均异面，且所成角均为，若这样的共有四条，则的范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024高二上·云南·学业考试）如图，在正方体中，异面直线与所成的角等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·上海青浦·期末）在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一·全国·课后作业）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ） A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60° 三、填空题 6．（24-25高二上·上海·随堂练习）在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为 考点二：直线与平面垂直 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，为正方体表面上的动点.下列叙述正确的是（    ） A．当点在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为 B．当点为棱的中点时，平面 C．当点时，满足平面的点共有2个 D．当点在棱上时，点到平面的距离的最小值为 2．（24-25高三上·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为的中点，则的一个充要条件为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高二上·广东广州·期末）如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则三棱锥的体积为定值 B．若平面，则动点的轨迹长度为 C．若，则动点的轨迹长度为 D．存在点，使得平面 三、填空题 4．（22-23高三上·安徽·期末）已知正三棱柱的各个棱长均为2，其外接球的球心为O，以O为球心，以为半径的球面与侧面的交线的长度为 ． 四、解答题 5．（23-24高二下·云南·期末）如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． (1)求证：平面； (2)若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 6．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）如图，长方体中，，，，，分别是，上的点，且，过直线的平面与，分别交于点，. （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是正方形，求四棱锥的体积. 考点三：平面与平面垂直 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 2．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，在四棱台中，底面为平行四边形，侧棱平面，，，若四棱台的体积为．则直线与平面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高三上·辽宁·期中）、是两条不同的直线，、是两个不重合的平面，下列说法正确的是（    ） A．、是异面直线，若，，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 三、填空题 4．（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 四、解答题 5．（24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 6．（24-25高三上·宁夏·期中）如图，直四棱柱中，. (1)求证：平面平面； (2)若，平面平面，判断的形状并证明. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·全国·课后作业）在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，则∠FEG为（    ） A．30° B．60° C．120° D．60°或120° 2．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若α，β为两个不同的平面，m为一条直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则α与β相交 D．若m⊥α，，则α⊥β 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）若空间中四条两两不同的直线，满足   则下面结论一定正确的是（  ） A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定 5．（24-25高三上·浙江绍兴·阶段练习）如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4，，分别为该圆柱的上、下底面的直径，且，则三棱锥的体积是（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 6．（23-24高一下·黑龙江·期末）如图所示，三棱锥中，平面平面，则（    ）    A．平面 B．∥平面 C．与平面相交但不垂直 D．平面平面 7．（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，若，则异面直线和所成角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·江西赣州·开学考试）如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（    ） A．MD⊥MB B．MD⊥PC C．AB⊥AD D．BM⊥PC 10．（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知a，b，c是3条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的有（    ） A．若，，则 B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c垂直 C．若，，，则a与b一定是异面直线 D．若a，b与所成的角均为，则 11．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·全国·课后作业）已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有 条． 13．（24-25高二上·上海徐汇·期中）已知正三棱柱中，，点D、E分别为棱、的中点．则三棱锥的体积为 ． 14．（22-23高二上·江苏南京·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 ．                四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海徐汇·期中）正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 16. (15分) （2024高三·全国·专题练习）如图，在圆锥中，若轴截面是正三角形，为底面圆周上一点，F为线段上一点，（不与S重合）为母线上一点，过D作垂直底面于E，连接，且.求证：平面平面. 17. (15分) （24-25高二上·上海松江·期中）如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 18. (17分) （24-25高二上·四川达州·期中）三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点.    (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面． 19. (17分) （2023高三上·广西·学业考试）《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 学科网（北京）股份有限公司 $$