01平面向量的概念与运算-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

01平面向量的概念与运算（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 6 考点一：平面向量的概念 6 考点二：平面向量的加、减运算 8 考点三：平面向量的数乘运算 11 考点四：平面向量的数量积 14 【自学检测】 20 自学概念 1. 向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2. 向量的几何表示 (1)具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度. (2)向量可以用有向线段来表示.向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，. 3. 向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 4. 向量加法的定义和三角形法则 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. (3)三角形法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 5. 向量加法的平行四边形法则 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和. 6. 共线向量的加法与向量加法的运算律 (1)|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. (2)向量加法的运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a. ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 7. 向量的减法运算 (1)相反向量的定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (2)相反向量的性质 ①对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量. (3)向量减法的定义 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b).求两个向量差的运算叫做向量的减法. 8. 向量减法的几何意义 向量减法的几何意义 作法一：已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 作法二：(相反向量法)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝－b，连接AB.由向量减法的定义知a－b＝a＋(－b)＝＋＝.在四边形OCAB中，OB平行等于CA，所以OCAB是平行四边形，所以＝＝a－b. 9. 向量的数乘运算 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0. (2)数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 10. 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 11. 两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)显然，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 12. 两个向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cos__θ. ②a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. ④|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立). ⑤cos θ＝. 13. 投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 　　 图(1)　　　　　　　图(2) 如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cosθe. 14. 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律).(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 自学考点 考点一：平面向量的概念 一、单选题 1．（2023高三上·广西·学业考试）如图，在正方形中，与的夹角为（    ）    A．30° B．90° C．120° D．180° 2．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 3．（22-23高一下·湖南·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 二、多选题 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一向量，是一个单位向量 三、填空题 6．（2024高一·江苏·专题练习）已知为非零向量，且与不共线，若，则与必定 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B A C ABD ABCD 1．B 【分析】根据向量夹角定义结合图形特征判断. 【详解】是正方形，所以向量夹角是. 故选：B. 2．A 【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【详解】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 3．C 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 4．ABD 【分析】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可. 【详解】四边形，，是全等的菱形， ，即三点共线， ，， 即，，与共线，且，ABD正确； 对于C：若与共线，则必有，即，该条件不一定成立， 如时，，故与共线不一定成立， 故选：C. 5．ABCD 【分析】对于A，根据向量的概念判断，对于BCD，举例判断. 【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误； 由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误； 对于D，当时，无意义，故D错误． 故选：ABCD 6．不共线 【分析】 由平面向量平行的传递性判断. 【详解】因为为非零向量，与不共线，， 所以与不共线. 故答案为：不共线. 考点二：平面向量的加、减运算 一、单选题 1．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 3．（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）已知向量、（三点不共线），若，则点是（    ） A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心 二、多选题 5．（22-23高一下·湖南怀化·期中）下列各式中结果一定为零向量的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）下列式子可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（22-23高一下·上海长宁·期中）若，，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B A A ACD AD 1．A 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【详解】因为， ， 所以， 故选：A. 2．B 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 3．A 【分析】利用图形结合向量线性运算即可. 【详解】. 故选：A. 4．A 【分析】根据平面向量的线性运算计算即可得出结论. 【详解】因为，所以， 即，所以点是的中点. 故选：A． 5．ACD 【分析】利用向量的加法运算，结合零向量的意义逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A是； 对于B，，不一定是零向量，B不是； 对于C，，C是； 对于D，，D是. 故选：ACD 6．AD 【分析】利用平面向量的线性运算即可得解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 7．/ 【分析】根据计算得到答案. 【详解】 故答案为： 考点三：平面向量的数乘运算 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 2．（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 4．（23-24高二上·重庆江北·开学考试）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点M是BC的中点 B．若，则点M是的重心 C．若，则点M，B，C三点共线 D．若，则 三、填空题 5．（23-24高一上·安徽六安·期末）若是内部一点，且满足，则与的面积比为 . 6．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C C ACD ACD 1．C 【分析】根据给定条件，利用共线向量的定义判断即得. 【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确. 故选：C 2．C 【分析】根据向量的加减法即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 3．ACD 【分析】由平面向量的线性运算得到，则AB可判断，利用三角形中线的性质得，则CD可判断. 【详解】因为的中点为，所以. 又，所以， 所以，即为的中点，A正确，B错误. 由A正确可知，，所以C，D正确. 故选：ACD. 4．ACD 【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及重心的性质，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得， 若，可得M为BC的中点，所以A正确；    对于B中，若M为的重心，则满足， 即，所以B不正确； 对于C中，由，可得，即， 所以M，B，C三点共线，所以C正确； 对于D中，如图所示，由，    可得，所以D正确． 故选：ACD 5． 【解析】利用向量的加法运算得出，取的中点为，进而得出点为的重心，根据重心的性质即可得出答案. 【详解】 取的中点为，则 即，则点为的重心 根据重心的性质可得，点到的距离是点到的距离的 则 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根据向量关系判断三角形的重心，属于常考题. 6．1 【分析】 利用向量线性运算求得，与题干对照即可求解. 【详解】 ，则，， 所以. 故答案为：1 考点四：平面向量的数量积 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）下列关于向量的说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C．若与不共线，且，则 D．若且，则 5．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知单位向量，则（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“∥”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“∥”的充分条件 6．（22-23高三上·江苏·阶段练习）已知与均为单位向量，其夹角为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2024·四川德阳·模拟预测）已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 8．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 . 9．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模长为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C A AD ACD ABD 1．C 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 2．C 【分析】先记的中点为，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，记的中点为，由题可知，， ，，所以. 故选：C.    3．A 【分析】利用，计算出，所以，即可得解． 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以与的夹角为． 故选：A． 4．AD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据投影向量的定义分析判断；对于C：根据向量共线的判定定理分析判断；对于D：根据数量积的定义分析判断. 【详解】A：当时，若，，则与不一定平行，A错误； B：向量在向量上的投影向量为，B正确； C：若与不共线，且， 不妨假设，则，可知与共线，这与题设相矛盾，假设不成立， 所以，C正确； D：因为，则， 又，则，显然不能确定，D错误； 故选：AD. 5．ACD 【分析】由，可得，反之亦成立，从而判断A，C；由，可得，从而得∥”，反之不成立，从而判断B，D． 【详解】解：由，得， 解得，所以， 反之由，可得，，即， 故“”是“”的充要条件，故A，C正确； 若，则，解得， 则，所以，即“∥； 若“∥， 则或， 所以或， 故“”是“∥”的充分不必要条件，故B错误，D正确. 故选：ACD. 6．ABD 【分析】根据向量数量积公式得到，由得到，B正确； 计算，得到，A正确； 根据向量数量积运算法则得到，结合，从而得到，C错误； 利用数量积得到，根据，求出，进而得到，计算出，判断出D选项. 【详解】，其中， 因为，所以，B正确； 且，所以，A正确； ， 因为，所以，故C错误； ， 当，，所以， 故， 所以，D正确. 故选：ABD 7． 【分析】由已知可得，利用可求值. 【详解】由，得，所以，所以， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 8．/ 【分析】令，作为基底，将表示出来，再根据向量的数量积公式求夹角即可. 【详解】设，，则， ，又，， 所以 ． 故答案为：. 9．1 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】在方向上的投影向量的模长为： ， 故答案为：1. 10．(1) (2)或 【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出，再利用夹角公式计算作答； （2）利用向量的模相等，两边同时平方，由数量积的运算律求解的值. 【详解】（1）因，，， 则有，解得， 因此，而，于是得， 所以向量与的夹角. （2）由，则， 即，得，解得或. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北沧州·期中）在中，，分别是边，的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津静海·阶段练习）已知向量和的夹角为120°，且，则（　　） A．12 B． C．4 D．13 6．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·北京朝阳·期中）如图，在中，， ，则（   ）    A． B． C． D． 8．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列命题中错误的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 10．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）已知向量不共线，向量与共线，则 . 13．（24-25高三上·上海·期中）在平面向量中，已知是单位向量，向量满足，则的最大值为 . 14．（24-25高三上·上海·期中）已知，向量与的夹角为.向量在方向上的数量投影为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 16. (15分) （23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 17. (15分) （23-24高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 18. (17分) （23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 19. (17分) （24-25高三上·江西宜春·开学考试）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点．    (1)求中线的长； (2)求的余弦值； 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C D B C A BC AD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据题意利用平面向量的三角不等式可得结论. 【详解】对于充分性，易知成立的条件是方向相反，且， 所以由可得，所以充分性成立； 对于必要性，若，的方向也可以相同，此时满足，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 2．D 【分析】由相等向量的定义求解即可. 【详解】∵，，与方向不同， ∴，，与均不相等； ∵与方向相同，长度相等，∴＝. 故选：D. 3．D 【分析】结合图形，由平面向量的加法法则求解即可； 【详解】 ， 故选：D. 4．C 【分析】根据向量共线，得到，再结合条件，得到，即可求解. 【详解】因为，设，则， 即，解得， 故选：C. 5．D 【分析】应用数量积的运算律及其定义求结果. 【详解】. 故选：D 6．B 【分析】根据向量线性运算化简求解即可. 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 7．C 【分析】由向量的线性关系即可得到结果. 【详解】∵，， ∴，， ∴，故AB选项错误； ∴，故C选项正确，D选项错误. 故选：C 8．A 【分析】根据投影向量的定义求解判断． 【详解】由已知， 在方向上的投影向量为， 故选：A． 9．BC 【分析】根据向量的相关概念，即可得出答案. 【详解】对于A，由平行向量和共线向量的定义可知，A正确； 对于B，因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B错误； 对于C，因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C错误； 对于D，因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行， 因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确． 故选：BC. 10．AD 【分析】由可得四边形是平行四边形，从而结合平行四边形的性质对选项逐一判断即可． 【详解】对A,由，四边形是平行四边形，所以，选项A正确； 对BD,平行四边形对角线与互相平分，得，，选项B错误，选项D正确； 对C,显然与相交，他们不是相等向量，选项C错误； 故选：AD 11．ABD 【分析】根据向量加减法的计算法则直接可得解. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项正确； 故选：ABD. 12． 【分析】由向量共线列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量不共线，向量与共线， 所以， 即，解得. 故答案为： 13． 【分析】由可得，进而可得，再结合即可得即可. 【详解】因为，所以， 即， 又因为， 所以， 所以，解得， 故的最大值为4. 故答案为：4. 14．1 【分析】由投影数量的公式求解即可. 【详解】向量在方向上的数量投影为. 故答案为：1 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，结合向量共线的概念得到与向量共线的向量； （2）由向量模相等的概念得到与向量模相等的向量； （3）由向量相等的概念得到与向量相等的向量． 【详解】（1） 分别为的中点，，且，与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 16．(1) (2) (3)，，，； (4) 【分析】（1）根据相等向量的定义即可找出与相等的向量； （2）根据平行向量的定义即可找出与平行的向量； （3）根据向量模的定义即可找出与模相等的向量； （4）根据相反向量的定义即可找出的负向量． 【详解】（1）与相等的向量为：； （2）与平行的向量为：； （3）与模相等的向量为：，， ，； （4）的负向量为：． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的加法法则运算求解； （2）（3）利用平面向量的加法和减法法则运算求解. 【详解】（1） 如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （2）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （3）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. 18．(1)证明见解析； (2)三点共线 【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）根据可知三点共线. 【详解】（1）证明：， 因此， （2）由（1）知，又有公共点C，故三点共线. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，再平方求解即可. （2）首先根据题意得到，从而得到，再根据求解即可. 【详解】（1）因为为的中点，， （2）   ， ， . . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01平面向量的概念与运算（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 6 考点一：平面向量的概念 6 考点二：平面向量的加、减运算 7 考点三：平面向量的数乘运算 8 考点四：平面向量的数量积 9 【自学检测】 10 自学概念 1. 向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 2. 向量的几何表示 (1)具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度. (2)向量可以用有向线段来表示.向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，. 3. 向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 4. 向量加法的定义和三角形法则 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. (3)三角形法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 5. 向量加法的平行四边形法则 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和. 6. 共线向量的加法与向量加法的运算律 (1)|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. (2)向量加法的运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a. ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 7. 向量的减法运算 (1)相反向量的定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (2)相反向量的性质 ①对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量. (3)向量减法的定义 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b).求两个向量差的运算叫做向量的减法. 8. 向量减法的几何意义 向量减法的几何意义 作法一：已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 作法二：(相反向量法)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝－b，连接AB.由向量减法的定义知a－b＝a＋(－b)＝＋＝.在四边形OCAB中，OB平行等于CA，所以OCAB是平行四边形，所以＝＝a－b. 9. 向量的数乘运算 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0. (2)数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 10. 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 11. 两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)显然，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 12. 两个向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cos__θ. ②a⊥b⇔a·b＝0. ③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. ④|a·b|≤|a|·|b|(当且仅当向量a，b共线时，等号成立). ⑤cos θ＝. 13. 投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 　　 图(1)　　　　　　　图(2) 如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cosθe. 14. 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律).(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 自学考点 考点一：平面向量的概念 一、单选题 1．（2023高三上·广西·学业考试）如图，在正方形中，与的夹角为（    ）    A．30° B．90° C．120° D．180° 2．（22-23高一下·山东菏泽·阶段练习）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 3．（22-23高一下·湖南·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 二、多选题 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·全国·课后作业）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同或相反 C．若，，则 D．对任一向量，是一个单位向量 三、填空题 6．（2024高一·江苏·专题练习）已知为非零向量，且与不共线，若，则与必定 ． 考点二：平面向量的加、减运算 一、单选题 1．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 3．（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）已知向量、（三点不共线），若，则点是（    ） A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心 二、多选题 5．（22-23高一下·湖南怀化·期中）下列各式中结果一定为零向量的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）下列式子可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（22-23高一下·上海长宁·期中）若，，则 . 考点三：平面向量的数乘运算 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．与的方向相同 D．与的方向相反 2．（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高三上·河南安阳·期中）已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（    ） A．点是中线的中点 B．点在中线上但不是的中点 C．与的面积之比为1 D．与的面积之比为 4．（23-24高二上·重庆江北·开学考试）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点M是BC的中点 B．若，则点M是的重心 C．若，则点M，B，C三点共线 D．若，则 三、填空题 5．（23-24高一上·安徽六安·期末）若是内部一点，且满足，则与的面积比为 . 6．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 . 考点四：平面向量的数量积 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆·期中）在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 2．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，为单位向量，，，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）下列关于向量的说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C．若与不共线，且，则 D．若且，则 5．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）已知单位向量，则（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“∥”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“∥”的充分条件 6．（22-23高三上·江苏·阶段练习）已知与均为单位向量，其夹角为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2024·四川德阳·模拟预测）已知向量，的模分别为2，1，且，则 . 8．（23-24高一下·广东广州·期中）如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则 . 9．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量的模长为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）设是非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正中，，，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北沧州·期中）在中，，分别是边，的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津静海·阶段练习）已知向量和的夹角为120°，且，则（　　） A．12 B． C．4 D．13 6．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·北京朝阳·期中）如图，在中，， ，则（   ）    A． B． C． D． 8．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列命题中错误的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是方向相反的向量 C．与同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 10．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，若，则图中相等的向量是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 11．（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）已知向量不共线，向量与共线，则 . 13．（24-25高三上·上海·期中）在平面向量中，已知是单位向量，向量满足，则的最大值为 . 14．（24-25高三上·上海·期中）已知，向量与的夹角为.向量在方向上的数量投影为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 16. (15分) （23-24高一·上海·课堂例题）如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中    (1)与相等的向量； (2)与平行的向量； (3)与模相等的向量； (4)的负向量． 17. (15分) （23-24高一·上海·课堂例题）已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 18. (17分) （23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 19. (17分) （24-25高三上·江西宜春·开学考试）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点．    (1)求中线的长； (2)求的余弦值； 学科网（北京）股份有限公司 $$