02平面向量基本定理及坐标表示-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

02平面向量基本定理及坐标表示（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 4 考点一：平面向量基本定理 4 考点二：平面向量坐标表示及加、减运算 5 考点三：平面向量数乘运算的坐标表示 6 考点四：平面向量数量积的坐标表示 8 【自学检测】 9 自学概念 1. 平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 2. 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)平面向量的坐标表示 ①向量的坐标表示 ②向量坐标与点的坐标的关系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标. 3. 平面向量加、减法的坐标表示 (1)两个向量和(差)的坐标表示 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)向量坐标的几何意义 如图，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，坐标原点为O，则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 4. 平面向量数乘运算的坐标表示 (1)语言表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. (2)坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy). 5. 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)， 消去λ，得x1y2－x2y1＝0，即向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 6. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 7. 向量数量积的坐标表示 (1)语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)坐标表示：已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 8. 平面向量坐标表示的几个公式 (1)向量模的坐标公式 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，|a|＝. (2)两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式||＝ (3)两向量夹角的余弦公式 设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝. (4)向量垂直的充要条件 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 自学考点 考点一：平面向量基本定理 一、单选题 1．（22-23高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江西南昌·期中）若点为所在平面内，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·浙江·期末）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则与共面 B．若与共面，则存在实数x，y，使 C．若存在实数x，y，使，则M，P，A，B共面 D．若M，P，A，B共面，则存在实数x，y，使 三、填空题 7．（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则 . 8．（23-24高三上·江苏南京·期中）在中，已知点满足，若，则 . 考点二：平面向量坐标表示及加、减运算 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·广东·阶段练习）已知，则与同向的单位向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏·期中）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2023高三·全国·专题练习），，，，点在的外接圆上，，则的取值范围为 . 8．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为 ． 考点三：平面向量数乘运算的坐标表示 一、单选题 1．（2024高三·北京·专题练习）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 二、多选题 5．（23-24高一下·福建福州·期中）已知向量，则以下说法正确的是（    ） A． B．与的夹角余弦值为 C．与的夹角是锐角 D．向量在向量上的投影向量为 6．（23-24高一下·全国·单元测试）下列结论正确的是（    ） A．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 B．已知直线上有，，三点，其中，，且，则点P的坐标为 C．向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值为－2或11 D．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且，则 三、填空题 7．（24-25高三上·山西吕梁·期中）已知向量，，且，则 ． 8．（23-24高一下·山东淄博·阶段练习）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 . 考点四：平面向量数量积的坐标表示 一、单选题 1．（2024·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 2．（2024·江西景德镇·一模）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南·期中）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高一下·广东梅州·期中）下列说法正确的有（  　） A．已知，，，若，与共线，则 B．若，，则 C．若，则一定不与共线 D．若，，为锐角，则实数的范围是 6．（2024·浙江金华·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 7．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是 ． 8．（2025·黑龙江大庆·一模）已知向量，，，则的值为 . 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·河南三门峡·期中）如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）已知是平面内的一个单位正交基底，且，，则=（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南·期中）经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子，，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为，设光子相对光子的位移为，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知平面向量，则（   ） A． B． C．1 D．4 5．（24-25高三上·河北保定·期中）已知向量，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 6．（22-23高三下·山东济宁·开学考试）向量，，若与夹角为，则的值是（ ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西商洛·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C．2 D． 8．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．4 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·黑龙江双鸭山·阶段练习）下列说法中不正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则或 C．若，为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量 11．（23-24高一下·辽宁·开学考试）如图，正方形中，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·天津·期中）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 . 13．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知向量，，若，则 14．（24-25高三上·河南·期中）已知向量，，，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 16. (15分) （23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，是同一平面内的三个向量，． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角． 17. (15分) （23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 18. (17分) （24-25高二上·上海·期中）已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 19. (17分) （24-25高三上·重庆·阶段练习）已知向量. (1)若，且，求的值； (2)设函数，求函数在区间上的最大值以及相应的的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 02平面向量基本定理及坐标表示（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 4 考点一：平面向量基本定理 4 考点二：平面向量坐标表示及加、减运算 8 考点三：平面向量数乘运算的坐标表示 12 考点四：平面向量数量积的坐标表示 16 【自学检测】 20 自学概念 1. 平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 2. 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)平面向量的坐标表示 ①向量的坐标表示 ②向量坐标与点的坐标的关系 在平面直角坐标系中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量a的坐标. 3. 平面向量加、减法的坐标表示 (1)两个向量和(差)的坐标表示 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)向量坐标的几何意义 如图，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，坐标原点为O，则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 4. 平面向量数乘运算的坐标表示 (1)语言表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. (2)坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy). 5. 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为a∥b⇔(x1，y1)＝λ(x2，y2)， 消去λ，得x1y2－x2y1＝0，即向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 6. 中点坐标公式 若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 7. 向量数量积的坐标表示 (1)语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)坐标表示：已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 8. 平面向量坐标表示的几个公式 (1)向量模的坐标公式 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，|a|＝. (2)两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式||＝ (3)两向量夹角的余弦公式 设a，b是两个非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝. (4)向量垂直的充要条件 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 自学考点 考点一：平面向量基本定理 一、单选题 1．（22-23高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江西南昌·期中）若点为所在平面内，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·浙江·期末）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则与共面 B．若与共面，则存在实数x，y，使 C．若存在实数x，y，使，则M，P，A，B共面 D．若M，P，A，B共面，则存在实数x，y，使 三、填空题 7．（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则 . 8．（23-24高三上·江苏南京·期中）在中，已知点满足，若，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D D A ACD AC 1．C 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 2．D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 3．D 【分析】利用向量的运算，确定点位置，根据长度关系可求面积之比. 【详解】如图所示， 因为， 所以可得， 所以与共线，且， 所以. 故选：D. 4．A 【分析】利用三点共线的充要条件建立方程，然后求出的值． 【详解】， ， ，，三点共线， ，， 故选：A． 5．ACD 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，故不共线，所以A，C，D符合； 对于B，，故共线，所以B不符合； 故选：ACD. 6．AC 【分析】由平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】选项A，若向量共线，易知与共线，显然共面；若向量不共线， 根据平面向量基本定理可知，若存在实数x，y，使，则与共面，所以A正确； 选项B，若向量与共面，如果共线，不一定有， 只有与不共线时，可以作为一组基底， 存在唯一确定的有序实数对，使任意向量，所以B错误； 选项C，根据平面向量基本定理可知，共面， 由于它们有公共点，所以M，P，A，B共面，所以C正确； 选项D，若共线，不与共线， 则不存在实数x，y，使，所以D错误. 故选：AC 7． 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线的性质即可求解. 【详解】, 由于三点共线，故，解得， 故答案为： 8．/ 【分析】先根据得与的关系式，再结合得对应系数相等即可得解. 【详解】由题可得， 因为， 所以且，解得. 故答案为：. 考点二：平面向量坐标表示及加、减运算 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·广东·阶段练习）已知，则与同向的单位向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏·期中）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，已知，，若P是线段的三等分点，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2023高三·全国·专题练习），，，，点在的外接圆上，，则的取值范围为 . 8．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B B ABC AD 1．B 【分析】设，则，求出，利用同角三角函数关系得到，，求出答案. 【详解】令，则， ，解得， 即，又， 又，解得，， ，即， 所以. 故选：B． 2．A 【分析】 由题可得与同向的单位向量是，据此可得答案. 【详解】 由题，则与同向的单位向量是，对应坐标是. 故选：A． 3．B 【分析】根据向量的线性运算及向量相等列方程求参即可. 【详解】向量， 若，则, 所以， 可得,即得. 故选：B. 4．B 【分析】设点D的坐标为，根据题意可知，结合向量的坐标表示分析求解即可. 【详解】设点D的坐标为，则， 若四边形ABCD为平行四边形，则， 可得，解得，即点D的坐标为. 故选：B. 5．ABC 【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果. 【详解】设点的坐标为， 由于平行四边形的四个顶点为， 所以可能有以下三种情形： 当时，即，解得，即的坐标为； 当时，即，解得，即的坐标为； 当，即，解得，即的坐标为； 故选：ABC. 6．AD 【分析】先设，根据题中条件，得到或，分别求解，即可得出结果. 【详解】因为，，所以， 设，则， 又P是线段的三等分点， 所以或， 即或，解得或， 即点P的坐标是或. 故选：AD. 7． 【详解】（坐标法），， . 8．/ 【分析】由利用向量数量积得，再由计算即可. 【详解】，则， 由得，所以， 于是． 故答案为： 考点三：平面向量数乘运算的坐标表示 一、单选题 1．（2024高三·北京·专题练习）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 二、多选题 5．（23-24高一下·福建福州·期中）已知向量，则以下说法正确的是（    ） A． B．与的夹角余弦值为 C．与的夹角是锐角 D．向量在向量上的投影向量为 6．（23-24高一下·全国·单元测试）下列结论正确的是（    ） A．向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 B．已知直线上有，，三点，其中，，且，则点P的坐标为 C．向量，，，若A，B，C三点共线，则k的值为－2或11 D．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且，则 三、填空题 7．（24-25高三上·山西吕梁·期中）已知向量，，且，则 ． 8．（23-24高一下·山东淄博·阶段练习）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D D D BD BCD 1．B 【分析】判断两个向量不共线即可作为基底. 【详解】解：对于A项：因为， 所以，即，不能作为基底； 对于B项：因为，所以不共线， 则，可以作为一组基底； 对于C项：因为， 所以，即，不能作为基底； 对于D项：因为， 所以，即，不能作为基底； 故选：B 2．D 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为， 则，解得. 故选：D. 3．D 【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算． 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以， 则，解得或， ，. 故选：D. 4．D 【分析】先求向量模长，再分两种情况求单位向量即可. 【详解】, 则与共线的单位向量为或. 故选:D. 5．BD 【分析】对A，根据向量共线的坐标表示即可判断；对B，根据向量夹角公式的坐标表示可判断；对C，根据向量夹角公式的坐标表示可判断；对D，根据向量的几何意义即可判断. 【详解】对A，由题意知， ，所以与不平行，故A错误； 对B，由题意知，所以，故B正确 对C，，所以与的夹角是钝角，故C错误； 对D，向量在向量上的投影向量为 ，故D正确. 故选：BD 6．BCD 【分析】A选项，根据共线向量的定义进行判断；B选项，设，由列出方程组，求出答案；C选项，根据向量加减运算法则得到，根据A，B，C三点共线，得到，列出方程，求出答案；D选项，根据A，B，C三点共线，得到存在R，使，变形后，得到，，求出答案. 【详解】对于A，向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，A错误； 对于B，设，由，得 ， 则,解得，B正确； 对于C，， . 因为A，B，C三点共线，所以，所以， 整理得，解得或，C正确； 对于D，∵A，B，C三点共线， ∴存在R，使， ∴， ∴， ∴，， ∴，D正确. 故选：BCD 7． 【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，， 则， 又，则，解得， 故答案为： 8． 【分析】在梯形中，，．得到，设点D的坐标为，根据向量相等得到方程组，可得答案. 【详解】解：∵在梯形中，，，，，． ∴．设点D的坐标为． 则，． ∴，即， ∴解得故点的坐标为． 故答案为：． 考点四：平面向量数量积的坐标表示 一、单选题 1．（2024·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（   ）． A． B． C． D． 2．（2024·江西景德镇·一模）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南·期中）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（22-23高一下·广东梅州·期中）下列说法正确的有（  　） A．已知，，，若，与共线，则 B．若，，则 C．若，则一定不与共线 D．若，，为锐角，则实数的范围是 6．（2024·浙江金华·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 7．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是 ． 8．（2025·黑龙江大庆·一模）已知向量，，，则的值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B B D AD AB 1．B 【分析】利用投影向量的定义,求解即可. 【详解】依题意，，， 所以在上的投影向量为． 故选：B. 2．B 【分析】直接利用平面向量的坐标运算求出，再求模. 【详解】因为，， 所以，则． 故选：B． 3．B 【分析】根据平面向量共线的坐标表示求出的值，可求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为向量，，由可得，解得， 故，故． 故选：B． 4．D 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，从而. 故选：D. 5．AD 【分析】利用向量数量积为0可解得，由共线向量可解得，可判断A正确；只有非零向量才满足平行的传递性，即B错误；模长是否相等与向量是否共线没有关系，即C错误；由向量夹角为锐角可知其数量积大于零，且两向量不同向，即可解得，即D正确. 【详解】对于A，由可得，解得，即； 又因为与共线，所以可得，解得，所以A正确； 对于B，零向量的方向是任意的，若，那么若，，则与不一定平行，所以B错误； 对于C，若，不妨令，则与是共线的，即C错误； 对于D，若为锐角，则解得， 且不同向，即，即，综上得，即D正确； 故选：AD 6．AB 【分析】运用平面向量的模长计算公式计算，根据向量平行或垂直列等式求参数即可求解． 【详解】解：向量， A．，故正确，符合题意； B．，，则， 所以， 当时，，正确，符合题意； C．若，则，解得，故错误，不符合题意； D．若，则，解得，故错误，不符合题意； 故选：AB． 7． 【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围. 【详解】因为与夹角为钝角， 可以得出，解得：， 且不平行，则， 即且，即. 故答案为： 8． 【分析】首先求出的坐标，依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可. 【详解】因为，， 所以， 又，所以，解得. 故答案为： 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高三上·河南三门峡·期中）如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）已知是平面内的一个单位正交基底，且，，则=（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南·期中）经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子，，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为，设光子相对光子的位移为，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知平面向量，则（   ） A． B． C．1 D．4 5．（24-25高三上·河北保定·期中）已知向量，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 6．（22-23高三下·山东济宁·开学考试）向量，，若与夹角为，则的值是（ ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西商洛·一模）已知向量，若，则（   ） A． B． C．2 D． 8．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．4 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·黑龙江双鸭山·阶段练习）下列说法中不正确的是（    ） A．若，则 B．若与共线，则或 C．若，为单位向量，则 D．是与非零向量共线的单位向量 11．（23-24高一下·辽宁·开学考试）如图，正方形中，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·天津·期中）已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 . 13．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知向量，，若，则 14．（24-25高三上·河南·期中）已知向量，，，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 16. (15分) （23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，是同一平面内的三个向量，． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角． 17. (15分) （23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 18. (17分) （24-25高二上·上海·期中）已知向量，. (1)若与的夹角为，求实数的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量坐标. 19. (17分) （24-25高三上·重庆·阶段练习）已知向量. (1)若，且，求的值； (2)设函数，求函数在区间上的最大值以及相应的的值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D C D A B CD BC 题号 11 答案 AB 1．C 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】因为四边形为平行四边形，且，， 所以，即①， 又，即②， 由①②得到，又，，所以. 故选：C. 2．B 【分析】根据条件，利用数量积的运算，得到，再利用是单位正交基底，即可求解. 【详解】因为，，所以， 又是平面内的一个单位正交基底，所以， 故选：B. 3．C 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 4．D 【分析】根据向量平行的条件求得参数值． 【详解】因为，所以，即. 故选：D 5．C 【分析】先利用向量模的坐标运算求得，进而利用数量积的坐标形式求得. 【详解】，则， 由于，所以， 所以，所以. 故选：C 6．D 【分析】根据向量夹角余弦公式结合向量的坐标运算公式求参. 【详解】因为， 所以,化简得. 故选：D. 7．A 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以，解得． 故选：A 8．B 【分析】由已知条件结合向量垂直的坐标表示计算即可求解. 【详解】由题， 因为，所以. 故选：B. 9．CD 【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性. 【详解】如图： 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：CD 10．BC 【分析】根据零向量的定义与性质，单位向量的定义以及共线向量的定理，可得答案. 【详解】对于A，根据零向量的定义，若，则，故A正确； 对于B，当时，显然与共线，但是零向量的方向是任意的，所以不一定有或， 故B错误； 对于C，设，，显然为单位向量，但，故C错误； 对于D，由，则为单位向量，由，则向量与共线， 即是与非零向量共线的单位向量，故D正确. 故选：BC. 11．AB 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标形式可求，，故可得正确的选项. 【详解】 以为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， 则，则. 故，，，故， 解得，故，，， 故选： AB. 12． 【分析】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可． 【详解】由得， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即，所以， 所以. 故答案为：． 13． 【分析】根据向量平行可得，进而可得和模长. 【详解】因为，，， 则，即，， 可得，所以. 故答案为：. 14． 【分析】首先需要求出向量和的坐标，然后根据向量夹角余弦值公式来计算. 【详解】已知，，则. 已知，，则. . ，. . 故答案为：. 15．(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出，进而得到； （2）计算出，结合（1）可得，证明出结论. 【详解】（1）由题可知， ， （2） ，且有公共点M ，，三点共线. 16．(1)或 (2) 【分析】（1）由向量坐标形式的共线定理和模长公式即可求解. （2）由向量垂直得，进而得，接着由向量夹角余弦公式结合向量夹角范围即可求解. 【详解】（1）设向量， 因为，，，所以， 解得或， 所以或. （2）由题， 因为与垂直，所以， 又，所以，得， 所以， 又，故. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示计算可得结果； （2）根据向量模长的坐标表示计算可得结果； （3）由向量夹角的坐标表示计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 又，可得， 解得 （2）由（1）可知， 可得， 因此； （3）易知， 又，可得. 所以向量与的夹角. 18．(1)或； (2). 【分析】（1）根据数量积的定义和坐标运算即可求得； （2）根据求得，再根据投影向量的定义即可求得. 【详解】（1）因为，则，，， 若与的夹角为，则由， 可得：，解的：或， 则实数的取值为或. （2），因为，则， 则，可得：，，， 则在方向上的投影向量为：. 19．(1) (2)的最大值为，此时． 【分析】（1）根据向量共线满足的坐标关系，即可得，结合同角关系即可求解， （2）根据数量积的坐标运算，结合三角恒等变换可得，即可利用整体法求解. 【详解】（1），，，，，，． （2）由题意得， ，， 故当时，即，取最大值， 的最大值为，此时． 学科网（北京）股份有限公司 $$