04复数的概念与运算-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

04复数的概念与运算（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 4 考点一：复数的概念 4 考点二：复数的几何意义 5 考点三：复数的加、减运算及其几何意义 7 考点四：复数的乘、除运算 8 【自学检测】 9 自学概念 1. 复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. (2)复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 2. 复数的分类 (1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R). ①z为实数⇔b＝0， ②z为虚数⇔b≠0， ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. (2)集合表示： 3. 复数相等 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). 则z1＝z2⇔a＝c且b＝d. 4. 复数与复平面内点的关系 (1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. (3)复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 5. 复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 6. 复数的模与共轭复数 (1)复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值). (2)共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用__表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. 7. 复数的加法法则 (1)运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. (2)复数加法的几何意义 两个向量1与2的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. 如图，复数z1＋z2是以1，2为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. (3)加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 8. 复数的减法法则 (1)运算法则 复数的减法是加法的逆运算； 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，两个复数的差是一个确定的复数. (2)复数减法的几何意义 如图，复数z1－z2是从向量2的终点指向向量1的终点的向量所对应的复数. 9. 复数的乘法及其运算律 (1)复数代数形式的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 10. 复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i. 自学考点 考点一：复数的概念 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西商洛·期中）设，则的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 3．（21-22高二下·河南洛阳·阶段练习）已知，．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 4．（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 二、多选题 5．（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 6．（23-24高三·山东·阶段练习）已知复数满足，则可能为（    ）. A．0 B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 8．（22-23高一下·新疆喀什·期中）已知，则 考点二：复数的几何意义 一、单选题 1．（2025·广东·模拟预测）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·辽宁大连·期中）复数对应的点在第四象限，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．（23-24高一下·天津北辰·期中）以下4个命题，其中正确的命题的个数为（    ） （1）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； （2）在中，角所对的边分别是，则是的充分必要条件； （3）已知向量，若，，则； （4）在平面内，三点在同一条直线上，点是平面内一点，若，则. A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高三上·北京·阶段练习）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　） A． B． C． D． 5．（2023·河南郑州·模拟预测）已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·安徽·开学考试）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为1 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为1 7．（21-22高一下·河北邯郸·期末）已知，则下列命题正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则的虚部为1 C．（）且，则 D．若，则的最大值为2 三、填空题 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 9．（24-25高二上·湖北·开学考试）已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于第 象限. 考点三：复数的加、减运算及其几何意义 一、单选题 1．（24-25高二上·四川巴中·开学考试）复数，若为实数，为纯虚数，则（   ） A．6 B． C．2 D． 2．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 5．（23-24高一下·全国·课后作业）（多选）表示 A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离 C．点到原点的距离 D．坐标为的向量的模 三、填空题 6．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数满足（为虚数单位），则 ． 考点四：复数的乘、除运算 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）若复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（21-22高一下·福建福州·期中）多项式在复数集中因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）若复数z满足（i为虚数单位），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．z的共轭复数 D．z是方程的一个根 5．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）若复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 6．（2024·湖南·二模）关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（    ） A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 B． C．必为实数，必为纯虚数 D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 二、多选题 7．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（   ） A．的共轭复数为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C．若，则的最大值是 D．的虚部为 8．（24-25高三上·河北秦皇岛·期中）已知，，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则（   ） A．该方程存在实数根 B．， C．对应的点在第四象限 D． 9．（23-24高三上·全国·开学考试）若关于的方程有两个不等复数根和，其中（i是虚数单位），则下面四个选项正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（23-24高一下·天津河北·期末）i是虚数单位，复数 ． 11．（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则 . 12．（2023·浙江温州·三模）已知，复数（i是虚数单位），若，则 ， . 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高三上·江苏苏州·期中）在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川·期中）已知复数，为的共轭复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·云南昆明·期中）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的取就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 8．（24-25高三上·江苏苏州·期中）设，为复数，且，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·云南昆明·期中）关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆 C．如果，那么是纯虚数 D．若复数满足，则在复平面对应的点是 10．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知虚数是方程的两个不同的根，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知i是虚数单位，若，则（   ） A．复数z的虚部为 B． C．复数z对应的点在第二象限 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）= . 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知复数（其中i为虚数单位），则 ． 14．（2024·吉林长春·一模）若，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·开学考试）已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 16. (15分) （23-24高一下·重庆九龙坡·期中）（1）已知复数是关于x的方程的一个根，求实数p，t的值． （2）已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值． 17. (15分) （24-25高一下·全国·课前预习）已知是方程（b，c为实数）的一个根． (1)求b，c的值； (2)试判断是不是方程的根． 18. (17分) （24-25高二上·江苏无锡·期中）已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 19. (17分) （24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值, 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04复数的概念与运算（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 4 考点一：复数的概念 4 考点二：复数的几何意义 7 考点三：复数的加、减运算及其几何意义 12 考点四：复数的乘、除运算 15 【自学检测】 20 自学概念 1. 复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. (2)复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 2. 复数的分类 (1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R). ①z为实数⇔b＝0， ②z为虚数⇔b≠0， ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. (2)集合表示： 3. 复数相等 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). 则z1＝z2⇔a＝c且b＝d. 4. 复数与复平面内点的关系 (1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. (3)复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 5. 复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 6. 复数的模与共轭复数 (1)复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值). (2)共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用__表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. 7. 复数的加法法则 (1)运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. (2)复数加法的几何意义 两个向量1与2的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. 如图，复数z1＋z2是以1，2为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. (3)加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 8. 复数的减法法则 (1)运算法则 复数的减法是加法的逆运算； 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，两个复数的差是一个确定的复数. (2)复数减法的几何意义 如图，复数z1－z2是从向量2的终点指向向量1的终点的向量所对应的复数. 9. 复数的乘法及其运算律 (1)复数代数形式的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 10. 复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i. 自学考点 考点一：复数的概念 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西商洛·期中）设，则的虚部是（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 3．（21-22高二下·河南洛阳·阶段练习）已知，．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 4．（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）设为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 二、多选题 5．（23-24高一下·江苏泰州·期中）对于复数，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则为实数 D．若，则不是复数 6．（23-24高三·山东·阶段练习）已知复数满足，则可能为（    ）. A．0 B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 8．（22-23高一下·新疆喀什·期中）已知，则 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C C B ABD AC 1．A 【分析】根据化简复数，即可根据虚部概念求解. 【详解】由于，所以的虚部为1， 故选：A 2．C 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 3．C 【分析】根据两个实数才能比较大小进行求解即可. 【详解】因为， 所以，解得或． 故选：C 4．B 【分析】由纯虚数的概念列出等式即可求解. 【详解】因为为纯虚数， 所以解得 故选：B 5．ABD 【分析】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断. 【详解】A.当时，为实数，故错误； B.若，则，故错误； C.若，则为实数，故正确； D.若，则是实数，故错误； 故选：ABD 6．AC 【解析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案． 【详解】令，代入， 得， 解得，或，或， 所以，或，或. 故选：AC 【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题． 7． 1 【分析】根据复数相等，列方程组，求解，即可得答案. 【详解】由题意，得，解得， 故答案为：1；-1 8．3 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可 【详解】因为，， 所以 解得. 所以. 故答案为：3. 考点二：复数的几何意义 一、单选题 1．（2025·广东·模拟预测）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·辽宁大连·期中）复数对应的点在第四象限，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．（23-24高一下·天津北辰·期中）以下4个命题，其中正确的命题的个数为（    ） （1）在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； （2）在中，角所对的边分别是，则是的充分必要条件； （3）已知向量，若，，则； （4）在平面内，三点在同一条直线上，点是平面内一点，若，则. A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高三上·北京·阶段练习）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（　　） A． B． C． D． 5．（2023·河南郑州·模拟预测）已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·安徽·开学考试）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为1 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为1 7．（21-22高一下·河北邯郸·期末）已知，则下列命题正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则的虚部为1 C．（）且，则 D．若，则的最大值为2 三、填空题 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知为虚数单位，若复数满足，则的取值范围是 . 9．（24-25高二上·湖北·开学考试）已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于第 象限. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B C B A AC BD 1．C 【分析】，根据模长公式得到，两边平方得到答案. 【详解】，则， 即，故. 故选：C 2．B 【分析】利用复数的几何意义可得出，利用象限角与三角函数值符号的基本关系判断可得出结论. 【详解】因为复数对应的点在第四象限，则， 因此，角是第二象限角. 故选：B. 3．C 【分析】考虑0在虚轴上，判断（1）的真假；利用正弦定理，判断（2）的真假；考虑判断（3）的真假；利用向量共线判断（4）的真假. 【详解】对（1），因为0在虚轴上，但0是实数，故（1）错误； 对（2），由正弦定理：可得，故（2）正确； 对（3），若，则与未必平行，故（3）错； 对（4），因为三点共线，所以存在实数，使得， 令，则且，故（4）正确. 所以正确的命题是（2）（4） 故选：C 4．B 【分析】根据复数对应的点的坐标写出复数的代数形式，结合共轭复数的定义进行求解即可. 【详解】因为复数对应的点的坐标是， 所以，因此， 故选：B 5．A 【分析】 根据已知条件，结合复数的几何意义得出对应点的坐标，即可求出实数的取值范围. 【详解】将整理化简可得， 所以复数在复平面内对应的点坐标为， 由点位于第四象限可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 6．AC 【分析】A选项，根据题意得到，得到虚部；B选项，求出，故对应的点坐标为，得到B错误；C选项，计算出，故C正确；D选项，计算出，，则，故，得到面积最大值为. 【详解】A选项，，故的虚部为1，A正确； B选项，， 故在复平面内对应的点坐标为，在第一象限，B错误； C选项，， 故，C正确； D选项，若，， 故，， 则，故， 当，即时，面积取得最大值，最大值为，D错误. 故选：AC 7．BD 【分析】根据复数的定义，以及复数的运算，以及复数的几何意义，分别判断选项. 【详解】A.若，则是实数，故A错误； B.若，则的虚部为1，故B正确； C.，则，故C错误； D.若，则其复数对应的向量的终点在以原点为圆心的单位圆上，的几何意义表示，单位圆上的点与定点的距离，很显然，点与的距离最大，最大值是2，故D正确. 故选：BD 8． 【分析】利用复数的几何意义，作出复数对应的点的轨迹，理解所求即轨迹上的点到点的距离，结合图形易求距离的最大、最小值,即得范围. 【详解】    由可知，复数对应的点在以点为圆心，半径为的圆上， 而可理解为圆上的点到点的距离， 作直线,交圆于点,如图所示. 显然,当点与点重合时，, 当点与点重合时，. 即的取值范围是. 故答案为：. 9．四 【分析】根据纯虚数的概念求出的值，再确定对应的点所在的象限. 【详解】因为是纯虚数，且， 所以. 所以，对应的点位于第四象限. 故答案为：四 考点三：复数的加、减运算及其几何意义 一、单选题 1．（24-25高二上·四川巴中·开学考试）复数，若为实数，为纯虚数，则（   ） A．6 B． C．2 D． 2．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 5．（23-24高一下·全国·课后作业）（多选）表示 A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离 C．点到原点的距离 D．坐标为的向量的模 三、填空题 6．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数满足（为虚数单位），则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B B A AC ACD 1．B 【分析】应用复数的加减运算求、，根据实数、纯虚数定义求参数，进而求出即可. 【详解】因为， 所以为实数， 则，即， 为纯虚数， 则，即， 所以. 故选：B. 2．B 【分析】根据复数加减运算的几何意义运算求解. 【详解】在复平面中，设分别与向量对应， 由题意可得，， 因为， 即，解得，即. 故选：B. 3．A 【分析】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【详解】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 4．AC 【分析】根据共轭复数的定义、复数模的运算公式，结合复数减法的运算法则逐一判断即可. 【详解】A：根据共轭复数的定义，本选项正确； B：取，，满足，但，故本选项错误； C：设，，，由，得，即，，所以，即，故本选项正确； D：取，，则，，此时且，故D不正确． 故选：AC 5．ACD 【解析】由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D 【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B说法错误；,可表示点到原点的距离,故C说法正确；,可表示表示点到原点的距离,即坐标为的向量的模,故D说法正确, 故选:ACD 【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模 6． 【分析】设，再根据复数的模及复数的加减法运算化简即可得解. 【详解】设， 由，得， 所以，解得（舍去） 所以. 故答案为：. 考点四：复数的乘、除运算 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）若复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（21-22高一下·福建福州·期中）多项式在复数集中因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）若复数z满足（i为虚数单位），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．z的共轭复数 D．z是方程的一个根 5．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期末）若复数（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 6．（2024·湖南·二模）关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（    ） A．在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称 B． C．必为实数，必为纯虚数 D．若复数为实系数一元二次方程的一根，则也必是该方程的根 二、多选题 7．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（   ） A．的共轭复数为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C．若，则的最大值是 D．的虚部为 8．（24-25高三上·河北秦皇岛·期中）已知，，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则（   ） A．该方程存在实数根 B．， C．对应的点在第四象限 D． 9．（23-24高三上·全国·开学考试）若关于的方程有两个不等复数根和，其中（i是虚数单位），则下面四个选项正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（23-24高一下·天津河北·期末）i是虚数单位，复数 ． 11．（23-24高一下·陕西商洛·期末）已知a，b均为实数，，则 . 12．（2023·浙江温州·三模）已知，复数（i是虚数单位），若，则 ， . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D A D B D AC BCD ACD 1．B 【分析】利用复数的乘法、除法运算结合复数的概念计算即可. 【详解】， 因为复数是纯虚数，所以，所以. 故选：B． 2．D 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出复数，再利用复数模的意义求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：D 3．A 【分析】首先求出方程的复数根，即可得解； 【详解】解：对于方程，因为， 所以有两个虚根，即，， 所以； 故选：A 4．D 【分析】设，根据复数的几何意义和相等复数的概念求出a，b，结合复数的几何意义和共轭复数的概念和复数范围内方程的根依次计算即可求解. 【详解】A：设，则， 可得解得所以，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：解方程，即， 解得或，故D正确. 故选：D 5．B 【分析】先利用复数的除法将复数表示为一般形式，于是可得出复数的虚部． 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：B． 6．D 【分析】利用复数的几何意义可判断A正确，时可排除BC，易知当一元二次方程有两实根时正确，若可得方程两根互为共轭复数，即D正确. 【详解】对于选项A，表示复数和的点关于实轴对称，故A错误： 对于选项B和选项C，当时均不成立，故BC错误； 对于选项D，若方程的可得为实数，即，符合题意； 若，则方程的两个复数根为和， 此时两根互为共轭复数，因此D正确. 故选：D 7．AC 【分析】利用复数的四则运算化简复数， 对于A，利用共轭复数的定义可判断；对于B，利用复数的几何意义可判断；对于C，利用复数模的三角不等式可判断；对于D，利用复数的概念可判断. 【详解】因为，所以， 对于A，利用共轭复数的定义可知，故A正确； 对于B，复数在复平面内对应的点在第三象限，故B错误； 对于C，由复数模的三角不等式可得，故C正确； 对于D，的虚部为，故D错误. 故选：AC 8．BCD 【分析】将代入方程，再由复数相等得到方程组，即可求出、的值，即可判断A、B；利用韦达定理求出，即可判断C；再根据复数代数形式的除法运算化简，求出其模，即可判断D. 【详解】由是方程的根，得， 整理得，因此，解得， 所以方程为，故B正确； 对于A，根据方程，可得，所以方程无实数根，故A错误； 对于C，D，方程，由韦达定理可知，得， 对应的点为，在第四象限， ，所以，故C，D正确． 故选：BCD． 9．ACD 【分析】根据韦达定理可得，，即可结合选项逐一求解. 【详解】由题可知，，所以，，故A正确；，均为虚数，不能比较大小，故B错误；，故C正确；，故D正确. 故选：ACD 10． 【分析】根据复数的除法运算即可. 【详解】. 故答案为： 11．21 【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】根据可得到， 故，，求得， 所以. 故答案为：21 12． 【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式，利用求出，利用模长公式求出模长即可. 【详解】， 因为，故，得， 故. 故答案为：；. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（23-24高一下·江苏·期末）已知复数，则的实部是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高三上·江苏苏州·期中）在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·四川·期中）已知复数，为的共轭复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·云南昆明·期中）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的取就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 8．（24-25高三上·江苏苏州·期中）设，为复数，且，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·云南昆明·期中）关于复数，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆 C．如果，那么是纯虚数 D．若复数满足，则在复平面对应的点是 10．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知虚数是方程的两个不同的根，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知i是虚数单位，若，则（   ） A．复数z的虚部为 B． C．复数z对应的点在第二象限 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024高三·全国·专题练习）= . 13．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知复数（其中i为虚数单位），则 ． 14．（2024·吉林长春·一模）若，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·全国·开学考试）已知复数． (1)若，求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 16. (15分) （23-24高一下·重庆九龙坡·期中）（1）已知复数是关于x的方程的一个根，求实数p，t的值． （2）已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值． 17. (15分) （24-25高一下·全国·课前预习）已知是方程（b，c为实数）的一个根． (1)求b，c的值； (2)试判断是不是方程的根． 18. (17分) （24-25高二上·江苏无锡·期中）已知复数（R），为实数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值. 19. (17分) （24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）设是虚数，是实数，且，． (1)求的值以及的实部的取值范围； (2)求证为纯虚数； (3)求的最小值, 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A A C D C ABD AC 题号 11 答案 AD 1．A 【分析】利用复数的乘方及除法运算求出，进而求出其实部. 【详解】依题意，， 所以的实部为. 故选：A 2．B 【分析】根据复数的乘法运算可得，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】, 所以复数在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B 3．C 【分析】利用复数的除法运算和几何意义求解即可. 【详解】， 复数与关于虚轴对称，故. 故选：C 4．A 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的概念可得结果. 【详解】因为，则，因此，的虚部为. 故选：A. 5．A 【分析】根据复数除法的运算法则，结合充分性、必要性、线虚数的定义进行判断即可. 【详解】当，均为纯虚数时，设，，则有， 当时，显然，但是，都不是纯虚数”， 因此“，均为纯虚数”是“为实数”的充分不必要条件， 故选：A 6．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的几何意义得答案． 【详解】∵， 由复数与对应的点关于虚轴对称， ∴． 故选：C. 7．D 【分析】设，由复数的几何意义和模长公式可得，结合的范围，即可得出答案. 【详解】解析：设，则， ， 所以， 因为，所以， 所以的最大值为. 故选：D. 8．C 【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，， 对于A，因为， 所以， 且，所以，故A正确； 对于B，因为，，， 则，， 所以，故B正确； 对于C，若，例如，，满足， 但，，即，故C错误； 对于D，因为， 所以，， 所以，故D正确. 故选：C. 9．ABD 【分析】运用复数幂的周期性可判断A项，运用复数的模的几何意义可判断B项 ，运用复数分类可判断C项，运用复数运算及几何意义可判断D项. 【详解】对于A选项，由虚数单位的定义，，则，故A项正确； 对于B选项，设在复平面内的点为，由，即，点在以为圆心，1为半径的圆上，故B项正确； 对于C选项，若，那么是实数，故C项错误； 对于D选项，，所以在复平面对应的点是，故D项正确． 故选：ABD． 10．AC 【分析】解出方程的两个不同的根，逐项判断选项. 【详解】由，得，则， 则. 故选：AC 11．AD 【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数虚部的定义、几何意义、共轭复数的定义以及复数模的运算公式逐一判断即可. 【详解】， 故其虚部为，．复数z对应的点为，在第四象限， ， 故选：AD 12． 【分析】根据的周期性进行求值计算. 【详解】观察原式 ． 故答案为： 13．/ 【分析】根据除法求出，求出后可求. 【详解】由题设有，故，故， 故答案为： 14． 【分析】利用复数的运算法则求解. 【详解】由于， 则 所以，，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：复数运算的常用技巧在解题中的运用，若，则； 若，则，，. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数定义和复数的乘除运算法则化简求出，再求其模长即得； （2）利用复数的几何意义求出，和，由两向量的夹角公式即可求得. 【详解】（1） （2）依题意向量 于是有 为与的夹角， ， 16．（1）或；（2） 【分析】（1）根据题意复数满足方程，带入化简后利用复数相等列出等式即可求解； （2）由条件得，进而求出，再分别求出与的坐标和模长，再用夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为复数是关于x的方程的一个根， 所以， 整理得， 当时，代入可得， 当时，有， 解得， 综上：或 . （2）由已知，化简可得， 即，所以 ， ∴， . ∴， 设与的夹角为， 则， 即与的夹角的余弦值为． 17．(1)； (2)是方程的根. 【分析】（1）利用方程根的定义，结合复数相等求出. （2）把代入方程，计算判断方程成立. 【详解】（1）由是方程的根，得，即， 而b，c为实数，，解得， 所以. （2）由（1）知方程为， 把代入方程左边，得，因此方程成立， 所以是方程的根． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据复数为实数求出，代入化简后求复数模即可； （2）由复数是实系数方程的根代入求出，再结合所在象限舍去不合适的值. 【详解】（1）由，为实数，则为实数，      所以，即，，             所以. （2）由在复平面内对应的点在第四象限， 所以，          又为实系数方程的根， 则， 所以，，       又，所以. 19．(1)， (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）设，借助复数运算法则及复数模长公式计算即可得解； （2）结合（1）中所得计算可得的实部为零，即可得证； （3）结合（1）、（2）中所得，化简计算后结合基本不等式即可得. 【详解】（1）设， 则 因为是实数，所以，即， 因为，所以，即，且， 由，得，解得， 即的实部的取值范围为； （2）∵， ， 因为，， 所以为纯虚数； （3） ， 由， 故， 当且仅当，即时，取最小值1． 学科网（北京）股份有限公司 $$