03平面向量的应用-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

03平面向量的应用（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 4 考点一：平面向量在几何、物理中的应用 4 考点二：余弦定理 9 考点三：正弦定理 14 考点四：余弦定理、正弦定理应用举例 19 【自学检测】 28 自学概念 1.用向量方法解决平面几何的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.向量在平面几何中的应用 ①证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). ②证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). ③求夹角问题，用夹角公式：cos θ＝(θ为a与b的夹角). ④求线段的长度或说明线段相等，利用向量模的公式：|a|＝＝或||＝(A(xA，yA)，B(xB，yB)). 3. 向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等. (2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解. (3)动量mv是向量的数乘运算. (4)功是力F与所产生的位移s的数量积. 4.余弦定理的表示及其推论 ①文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C. 推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 5. 解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 6.正弦定理的表示 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. ②符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径). 7. 正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin__C； ②sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； ④＝＝ ＝＝2R； ⑤asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A. 8.基线的概念与选取原则 ①基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线. ②选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 9. 测量中相关角的概念 ①仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示. ②方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示). ③方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示). 自学考点 考点一：平面向量在几何、物理中的应用 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江金华·期末）哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（    ） A．60° B．90° C．120° D．150° 2．（2023高一·全国·专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 二、多选题 3．（2023·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ） A． B． C．若，则 D． 4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 三、填空题 5．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 6．（24-25高三上·湖南岳阳·开学考试）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C C BD AD 1．C 【分析】结合物理相关知识，利用三角形和向量夹角的知识即可解答. 【详解】根据力的平衡，的合力为，如图所示： 由于，且的夹角为， 则为等边三角形，则， 则与重物重力之间的夹角为. 故选：C 2．C 【分析】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，同理证明即可求解. 【详解】，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即，点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上； ，分别表示在边和上的单位向量，可设为和， 则，则当时，即， 点在的角平分线上，故是的内心. 故选：C. 3．BD 【分析】A选项，可举出反例，当不共线且为负数时，；B选项，根据定义得到B正确；C选项，根据题意得到共线；D选项，结合正弦函数的值域得到D正确. 【详解】对于A，，， 若不共线,且为负数，则，而， 此时，故A错误； 对于B，由定义知，，故B正确； 对于C，若，则，共线，故C错误； 对于D，由定义知，又， 故，当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：BD 4．AD 【分析】由奔驰定理可判断A选项，利用重心结论可判断B选项； 由外心可知，即可判断C选项； 由内心可知，满足勾股定理，D选项正确. 【详解】对于A，由奔驰定理可得，， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若是的重心，， 因为，所以，即共线，故B错误． 对于C，当为的外心时，， 所以， 即，故C错误． 对于D，当为的内心时，（为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：AD. 5．/ 【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设，是中点， 则, 由可得,故， 所以， 故当时，取到最小值， 故答案为： 6． 【分析】解法一：根据平面向量线性运算及数量积的定义即可求解；解法二：建立直角坐标系，由向量数量积的坐标运算公式即可求解． 【详解】解法一：由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值． 解法二：以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得 则，且， 所以当时，取到最小值为． 故答案为：． 考点二：余弦定理 一、单选题 1．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）在中，角A，，的对边分别是，，，且面积为，若，则角等于(    ) A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）的内角对应的边分别为，若，则（    ） A． B． C．或 D．无解 3．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 4．（23-24高一下·广东云浮·期末）记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．外接圆的面积为 5．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2024·北京·三模）在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为 ． 7．（24-25高三上·北京·期中）在中，．则的值是 ；的最大值是 ． 四、解答题 8．（2024·河北·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 9．（23-24高二上·云南·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)若，，是的中点，求. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B C D AC ACD 1．B 【分析】结合余弦定理和三角形面积公式即可求角C. 【详解】由题可知，， 由余弦定理可知， ，， ∵，﹒ 故选：B﹒ 2．C 【分析】根据给定条件利用余弦定理列出方程求解即得. 【详解】在中，因， 于是由余弦定理得：， 即，解得或. 故选：C 3．D 【分析】将已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简变形可求得结果. 【详解】， ， ，． ，即． ，，即． 故选：D 4．AC 【分析】对于A，运用余弦定理求解即可；对于B,C,D借助正弦定理求解即可. 【详解】对于A，由，得，解得或（舍去），故A正确. 对于B、C，因为，所以，解得，故B错误，C正确. 对于D，设外接圆的半径为，因为，所以外接圆的面积为，故D错误. 故选：AC. 5．ACD 【分析】利用余弦定理和倍角公式得出或，结合角的范围及函数值可得答案. 【详解】依题可得，即，则或， 因为，所以或或． 故选：ACD 6． 【分析】由余弦定理、基本不等式得出的范围即可得解. 【详解】， 当且仅当，即为等边三角形时，，又  ． 故答案为：. 7． / 【分析】利用余弦定理求得，从而求得；利用三角恒等变换的知识求得的最大值. 【详解】由，得， 所以为锐角，且. ， ，，所以当，即时， 取得最大值为. 故答案为：； 8．(1) (2) 【分析】（1）将余弦定理代入已知式化简即可； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. 【详解】（1）， 由余弦定理得，， 所以，， . 又，. （2）因为的面积为，即， . 由余弦定理得. 解得. 所以周长为. 9．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理化简，求解即可； （2）根据中点有，再平方后利用向量的数量积公式求解即可. 【详解】（1）根据余弦定理可得，， 即，， 所以； （2）由（1）可知，，所以， 因为是边的中点,所以, 所以. 考点三：正弦定理 一、单选题 1．（24-25高三上·江西抚州·期中）在中，若，则角（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·北京房山·期中）在中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A．4π B．8π C．16π D．64π 二、多选题 4．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是钝角三角形 5．（24-25高三上·云南·阶段练习）在中，设的对边分别为，为延长线上一点，的平分线交直线于，若，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 三、填空题 6．（2024·福建·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则 . 7．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知在中，角的对边分别为，满足，则的面积的范围为 . 四、解答题 8．（24-25高三上·山西长治·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)若D是BC边上一点，且，，求的值． 9．（24-25高二上·江苏南京·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D C C ABD ACD 1．D 【分析】根据正弦定理，正弦的二倍角公式以及三角形的内角和即可求得. 【详解】由正弦定理可知，可化为， 又，则，即， 再根据正弦定理可知，， 又，即，则， 又，所以. 故选：D. 2．C 【分析】利用正弦定理先求B，再根据三角形内角和计算即可. 【详解】利用正弦定理可知，解之得， 因为，所以，则， 或，则. 根据大边对大角，以上两种情况都符合题意. 故选：C 3．C 【分析】根据正弦定理边角化可得，即可求解余弦值，进而可得正弦值，利用正弦定理即可得半径求解. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 设，，， ，则， 由正弦定理得，，即， 则外接圆面积为， 故选：C． 4．ABD 【分析】对于A，利用函数单调性判断；对于B，由正弦定理判断；对于C，求出判断即可；对于D，由正弦定理得，再利用余弦定理判断. 【详解】对于A，若，因为函数在上为单调函数，所以， 所以为等腰三角形，所以A正确； 对于B，若，可得，由正弦定理， 可得，可得，所以B正确； 对于C，因为，所以符合条件的有0个，所以C不正确； 对于D，若，由正弦定理得， 则，因为，所以， 所以是钝角三角形，所以D正确. 故选：ABD. 5．ACD 【分析】A选项由正弦定理验证结果；B选项由余弦定理验证结果；C选项由三角形面积公式验证结果；D选项由多个三角形面积的关系得出结果. 【详解】A选项：因为，，，所以，所以A选项正确； B选项：由余弦定理得，，因为，所以，所以B选项错误； C选项：的面积为，所以C选项正确； D选项：因为的平分线交直线于，， 所以， 所以，即， 解得，所以D选项正确． 故选：ACD． 6．2 【分析】先由二倍角公式和余弦定理得，从而解得. 【详解】根据题意，， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理，， 即解得或（舍）， 所以. 故答案为：2 7． 【分析】根据三角形面积公式以及三角形内角正弦值的范围即可求解. 【详解】由题知，， 因为， 所以， 所以的面积为. 故答案为： 8．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得； （2）首先可得，记，设，，利用锐角三角函数及正弦定理得到，，再由余弦定理得到，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 所以，又，所以； （2）因为，记，则， 因为，设，， 在中，，即， 在中，，所以，所以， 所以，即， 在中由余弦定理有，整理得，即， 所以，即. 9．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解； （2）利用余弦定理和面积公式求解. 【详解】（1）因为，边化角可得， ， 即， 又因为， 且， 所以，因为，所以. （2）由余弦定理，， 所以，即，所以， 所以的面积为. 考点四：余弦定理、正弦定理应用举例 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·开学考试）在中，已知，则下列说法正确的是（） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 2．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 3．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一下·江西萍乡·期中）已知的内角所对的边分别为,则下列命题正确的是（    ） A．若,则一定为等腰三角形 B．若,则 C．若,则的最大内角为 D．若为锐角三角形,则 5．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）在中，D在线段上，且，，若，，则（   ） A． B．的面积为 C．为锐角三角形 D．的周长为 6．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）八一广场是南昌市的心脏地带，江西省最大的城市中心广场，八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文，东、南、西三面各有一幅反映武装起义的人物浮雕．塔身正面为“八一南昌起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成．八一南昌起义纪念塔的建成，表达了亿万人民永远缅怀老一辈无产阶级革命家创建和培育解放军的丰功伟绩，鼓励国人进行新的长征．现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为纪念塔最顶端，B为纪念塔的基座（即B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、D两点，测得CD的长为m．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、、、、，则根据下列各组中的测量数据，能计算出纪念塔高度AB的是（    ）        A．m、、、 B．m、、、 C．m、、、 D．m、、、 三、填空题 7．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是 .（仰角为直线与平面所成的角）      8．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 四、解答题 9．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 10．（2023高三·全国·专题练习）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角A的大小． (2)若，求c的取值范围． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B B ACD ABD ACD 1．B 【分析】根据正弦定理逐项判断即可. 【详解】因为，由正弦定理得， 对于，当时，，由且可知，，可得， 所以为钝角三角形,错误； 对于，当时，，即为直角，正确； 对于，当时，，可知不存在，三角形不存在，错误； 对于，当时，，又，所以，所以， 显然不可能是等腰三角形，D错误. 故选：B. 2．B 【分析】在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求出，得到答案. 【详解】在中，，，，则， 由正弦定理得，即，故，解得. 在中，，，， 则由余弦定理得 ， 所以，即灯塔C与D处之间的距离为海里. 故选：B. 3．B 【分析】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【详解】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 4．ACD 【分析】对于A由正弦定理角化边即可判断;对于B根据余弦函数的单调性即可判断;对于C先确定最大角,再利用余弦定理求解即可;对于D,先根据为锐角三角形得到,再利用正弦函数的单调性即可判断. 【详解】对于A,由正弦定理得:,所以一定为等腰三角形,故A正确; 对于B,因为,又在时为减函数,所以,故B错误; 对于C,因为,所以角为最大角, 设,由余弦定理得: , 因为,所以,故C正确; 对于D,若为锐角三角形,则, 即, 因为, 所以, 因为函数在时为增函数, 所以,故D正确. 故选:ACD. 5．ABD 【分析】A选项，设，则，由余弦定理列出方程，得到，故，由正弦定理得到；B选项，由三角形面积公式进行求解；C选项，利用同角三角函数关系得到，利用余弦定理得到；D选项，利用，得到D正确. 【详解】A选项，设，则， 由余弦定理得， 解得，负值舍去，故， 由正弦定理得， 其中， 故，解得，A正确； B选项，， ，B正确； C选项，由于，故为锐角， 又，故，故， 在中，由余弦定理得 ， 故， 因为，故在中，最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，C错误； D选项，的周长为，D正确. 故选：ABD 6．ACD 【分析】根据解三角形的条件，逐项判断可解三角形求出塔高AB的选项即可. 【详解】对于A：由m，、可以解，又，可求塔高度AB； 对于B：在中，由，无法解三角形，在中，由，无法解三角形， 在中，已知两角、无法解三角形，所以无法解出任意三角形，故不能求塔高度AB； 对于C：由，、可以解，可求AC，又，即可求塔高度AB； 对于D：由，可求，在中，由正弦定理可求BC， 在中，由BC，可求AB．即D项可求塔高AB． 故选：ACD．    7． 【分析】根据仰角的定义，作图，利用图中的几何关系列出函数式，借助二次函数求解作答. 【详解】过点在平面内作直线的垂线，垂足为点，如图，    则由仰角的定义得 ， 由题意 ，设，则 ， 当点与不重合时，在 中， ， 当点与重合时，上式也成立， 在 中，   ， 当时， 取最大值， 综上，的最大值为. 故答案为：. 8． 【分析】使用余弦定理求出后，再使用余弦定理、基本不等式和三角形面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理，， ∵，∴. 由余弦定理及基本不等式，， ∴，当且仅当时取等号， ∴当且仅当时，的面积的最大值为. 故答案为：. 9．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理得：． ，可得：, ，且是锐角三角形， ，可得：． （2）,，． ，,． ． . 10．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可得，结合余弦定理即可求解； （2）根据正弦定理结合两角和的正弦公式，即可由得，即可求解. 【详解】（1）由已知条件及正弦定理，得， 即．整理得． 由余弦定理，得． 又因为，所以． （2）由正弦定理，得． 又，，所以． 因为为锐角三角形，所以 解得． 所以，则， 所以，即c的取值范围为 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·贵州铜仁·开学考试）在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（   ）． A． B． C． D． 5．（2024·甘肃白银·一模）位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023高二下·河北·学业考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·四川成都·期末）的内角的对边分别为，下列结论正确的是（    ） A．若，则角 B．存在，使成立 C．若，则为等腰或直角三角形 D．若，则有两解 10．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．在中，若，则必是等腰直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则 D．在中，若，则必是等边三角形 11．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为 ． 13．（23-24高一下·上海·期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是 ． 14．（23-24高一下·广西柳州·开学考试）三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）在中， (1)求角A的大小； (2)若，求证：为直角三角形. 16. (15分) （24-25高三上·北京·期中）如图，在中，，，平分交于点D，． (1)求的值； (2)求的长度； (3)求的面积． 17. (15分) （23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求B的大小； (2)若是的中线，求的最小值． 18. (17分) ．（23-24高一下·四川乐山·期末）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且______． (1)求角； (2)求面积的取值范围． 在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. (17分) （23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C A B C C ACD BCD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】由向量共线定理得到，两边平方求出，得到答案. 【详解】因为D为AB的中点，所以， 又，所以， 因为三点共线，设， 即， 故，所以， 解得， 两边平方得 ， 故. 故选：A 2．B 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以， 即，所以在上，故的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点， 因为向量在向量上的投影向量为， 故, 由于为锐角，所以 故选：B． 3．C 【分析】根据已知及余弦边角关系可得，进而有，即可求目标函数值. 【详解】由题设，易知，又，则， 所以. 故选：C 4．C 【分析】由正弦定理角化边，再由余弦定理求，可得角. 【详解】由，根据正弦定理有， 所以，有， 根据余弦定理，有，由，所以． 故选：C. 5．A 【分析】由余弦定理求解即可； 【详解】如图，由题可知. 在中，由余弦定理可得海里， 所以乙船至少需要航行的海里数为. 故选：A. 6．B 【分析】由已知及余弦定理求，再应用平方关系求正弦值. 【详解】由题设， 由三角形内角性质，知. 故选：B 7．C 【分析】由正弦定理求出，结合，故，所以. 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 又，故，所以. 故选：C 8．C 【分析】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 其中， 所以， 因为，所以， 故， 因为，所以， 故为直角三角形. 故选：C 9．ACD 【分析】利用正弦定理、二倍角公式、解三角形的知识进行判断. 【详解】选项A：由正弦定理得： 又余弦定理得 故又故故选项A正确， 选项B：因为在中，故故选项B错误， 选项C：当时，或即或故为等腰或直角三角形，故选项C正确， 选项D：又则若，则有两解正确，故选项D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】A由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B的数量关系；B由，则，结合正弦函数的单调性可得证；C由正弦定理的边角关系判断；D利用余弦定理，结合已知得，进而判断△的形状. 【详解】A：由题设，可得， 又，则或，故为等腰或直角三角形，错误； B：在锐角中，，则， 又在单调递增，所以，正确； C：若，由大角对大边知，又，可知，正确； D：由题设，，故，即，又， 可知，故必是等边三角形，正确. 故选：BCD 11．ACD 【分析】利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解． 【详解】对于A，，则，由正弦定理可得， ，故A正确； 对于B，由正弦定理， ，此时无解，故B错误； 对于C，，又且， ，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确； 对于D：，， ，， ，或，若，，则， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：ACD． 12．/ 【分析】建立平面直角坐标系，求出相应向量的坐标，由数量积的坐标运算可得，再由二次函数的最值知识即可求得. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 则， 因为， 所以， 所以当时，取得最大值. 故答案为：. 13．70 【分析】根据题意得到，然后两边平方求解. 【详解】解：由题意得， 所以， 两边同时平方得， 所以， 故答案为：70 14． 【分析】先由余弦定理得到，由平面向量基本定理得到，两边平方，结合向量数量积运算法则得到答案. 【详解】由余弦定理得， ，两边平方得， 故. 故答案为： 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理代入计算，即可得到关系，再由勾股定理，即可判断. 【详解】（1）在中，， 可得，即有， ，. （2）证明：由（1）知，又， 由余弦定理得， ，即， 为直角三角形． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解； （2）由（1）可求出，判断出为等腰三角形，进而求得. （3）根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 所以， 因为， 所以； （2）由（1）得， 由题设，，即为等腰三角形， 所以. （3）， 所以的面积. 17．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和得到，结合求出； （2）先求出，在中，由正弦定理得，故当时，求出最小值. 【详解】（1）由正弦定理得， 又， 故， 即， 又，故， 故，， 又，故； （2）因为，为的中线， 所以， 又， 在中，由正弦定理得，即， 故， 故当时，取得最小值，最小值为. 18．(1) (2) 【分析】（1）若选①利用余弦定理计算可得；若选②利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）由正弦定理可得，，由面积公式转化为角的三角函数，利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）若选①：∵，， ∴，∴， ∵，∴． 若选②：∵， ∴， ∴， ∴，∵，∴． （2）由正弦定理知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵，，∴， ∴，∴，∴． 19．（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （Ⅱ）由（1）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意，函数， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是，. （Ⅱ）由（1）可得，因为，可得， 由正弦定理可知，所以，， 由及为锐角三角形，解得， 则 . 因为，可得，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03平面向量的应用（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 4 考点一：平面向量在几何、物理中的应用 4 考点二：余弦定理 5 考点三：正弦定理 6 考点四：余弦定理、正弦定理应用举例 8 【自学检测】 10 自学概念 1.用向量方法解决平面几何的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.向量在平面几何中的应用 ①证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). ②证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). ③求夹角问题，用夹角公式：cos θ＝(θ为a与b的夹角). ④求线段的长度或说明线段相等，利用向量模的公式：|a|＝＝或||＝(A(xA，yA)，B(xB，yB)). 3. 向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等. (2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解. (3)动量mv是向量的数乘运算. (4)功是力F与所产生的位移s的数量积. 4.余弦定理的表示及其推论 ①文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C. 推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 5. 解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 6.正弦定理的表示 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. ②符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径). 7. 正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin__C； ②sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； ④＝＝ ＝＝2R； ⑤asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A. 8.基线的概念与选取原则 ①基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线. ②选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 9. 测量中相关角的概念 ①仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示. ②方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示). ③方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图2所示). 自学考点 考点一：平面向量在几何、物理中的应用 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江金华·期末）哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（    ） A．60° B．90° C．120° D．150° 2．（2023高一·全国·专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 二、多选题 3．（2023·湖北·二模）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ） A． B． C．若，则 D． 4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 三、填空题 5．（24-25高三上·河北邢台·期中）已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 6．（24-25高三上·湖南岳阳·开学考试）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 考点二：余弦定理 一、单选题 1．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）在中，角A，，的对边分别是，，，且面积为，若，则角等于(    ) A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）的内角对应的边分别为，若，则（    ） A． B． C．或 D．无解 3．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 4．（23-24高一下·广东云浮·期末）记的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．外接圆的面积为 5．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2024·北京·三模）在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为 ． 7．（24-25高三上·北京·期中）在中，．则的值是 ；的最大值是 ． 四、解答题 8．（2024·河北·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 9．（23-24高二上·云南·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)若，，是的中点，求. 考点三：正弦定理 一、单选题 1．（24-25高三上·江西抚州·期中）在中，若，则角（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·北京房山·期中）在中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在中，若，且，则的外接圆的面积为（    ） A．4π B．8π C．16π D．64π 二、多选题 4．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是钝角三角形 5．（24-25高三上·云南·阶段练习）在中，设的对边分别为，为延长线上一点，的平分线交直线于，若，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 三、填空题 6．（2024·福建·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则 . 7．（24-25高三上·四川德阳·阶段练习）已知在中，角的对边分别为，满足，则的面积的范围为 . 四、解答题 8．（24-25高三上·山西长治·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)若D是BC边上一点，且，，求的值． 9．（24-25高二上·江苏南京·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 考点四：余弦定理、正弦定理应用举例 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·开学考试）在中，已知，则下列说法正确的是（） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 2．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 3．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一下·江西萍乡·期中）已知的内角所对的边分别为,则下列命题正确的是（    ） A．若,则一定为等腰三角形 B．若,则 C．若,则的最大内角为 D．若为锐角三角形,则 5．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）在中，D在线段上，且，，若，，则（   ） A． B．的面积为 C．为锐角三角形 D．的周长为 6．（23-24高一下·广西河池·阶段练习）八一广场是南昌市的心脏地带，江西省最大的城市中心广场，八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文，东、南、西三面各有一幅反映武装起义的人物浮雕．塔身正面为“八一南昌起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成．八一南昌起义纪念塔的建成，表达了亿万人民永远缅怀老一辈无产阶级革命家创建和培育解放军的丰功伟绩，鼓励国人进行新的长征．现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为纪念塔最顶端，B为纪念塔的基座（即B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、D两点，测得CD的长为m．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、、、、，则根据下列各组中的测量数据，能计算出纪念塔高度AB的是（    ）        A．m、、、 B．m、、、 C．m、、、 D．m、、、 三、填空题 7．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是 .（仰角为直线与平面所成的角）      8．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）在中，、、三个内角所对的边依次为、、，且，若，则的面积的最大值为 四、解答题 9．（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 10．（2023高三·全国·专题练习）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角A的大小． (2)若，求c的取值范围． 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·贵州铜仁·开学考试）在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（   ）． A． B． C． D． 5．（2024·甘肃白银·一模）位于某海域处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东且与甲船相距30海里的处的乙船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江西·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023高二下·河北·学业考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·四川成都·期末）的内角的对边分别为，下列结论正确的是（    ） A．若，则角 B．存在，使成立 C．若，则为等腰或直角三角形 D．若，则有两解 10．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．在中，若，则必是等腰直角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则 D．在中，若，则必是等边三角形 11．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为 ． 13．（23-24高一下·上海·期中）作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是 ． 14．（23-24高一下·广西柳州·开学考试）三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）在中， (1)求角A的大小； (2)若，求证：为直角三角形. 16. (15分) （24-25高三上·北京·期中）如图，在中，，，平分交于点D，． (1)求的值； (2)求的长度； (3)求的面积． 17. (15分) （23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足． (1)求B的大小； (2)若是的中线，求的最小值． 18. (17分) ．（23-24高一下·四川乐山·期末）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且______． (1)求角； (2)求面积的取值范围． 在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. (17分) （23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$