预习12讲 平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练）-2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019必修第二册）

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册） 预习12讲 平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练） ①数量积的最值（范围）问题 ②模的最值（范围）问题 ③夹角的最值（范围）问题 一、平面向量中的最值（范围）问题 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种： 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； 二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决． 题型一：数量积的最值（范围）问题 【题型精练】 一、单选题 1．如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 2．已知点M为外接圆O上的任意一点，，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3．在中，点是边的中点，且，点满足（），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆的半径为1，过圆外一点作一条切线与圆相切于点，，为圆上一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（    ） A．6 B．3 C． D． 二、填空题 6．在长方形中，，，点P为长方形内部的动点，且，当最小时， . 7．在中，，，点为边的中点，点在边上运动，则的最大值为 . 8．如图，在四边形中，已知，点在边上，则的最小值为 . 9．正方形的边长为2，点和分别是边和上的动点（与四点不重合），且，则的取值范围为 . 三、解答题 10．已知中，,，是线段上一点，且，是线段上的一个动点. (1)若，求（用的式子表示）； (2)求的取值范围. 题型二：模的最值（范围）问题 【题型精练】 一、单选题 1．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．7 2．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知中，，，，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知菱形的边长为，则的取值范围是 ． 6．已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的中点，则的值为 ，若点E是AB边上的动点，则的最大值为 ． 7．已知平面向量，，满足，，，且，则的最大值为 ． 三、解答题 8．如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N． (1)若，求证：C、M、N三点共线； (2)若，求的最小值． 9．如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为2. (1)设，求的值； (2)若点在边上运动（包括端点），则求的最大值. 题型三：夹角的最值（范围）问题 【题型精练】 一、单选题 1．已知平面向量满足，，，，则与夹角的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．已知是平面向量，满足，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 ．若，则余弦值的最小值为 ． 5．已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册） 预习12讲 平面向量中的最值（范围）问题（精讲+精练） ①数量积的最值（范围）问题 ②模的最值（范围）问题 ③夹角的最值（范围）问题 一、平面向量中的最值（范围）问题 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种： 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根