07空间点、直线、平面之间的位置关系-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教2019A版专用）

07空间点、直线、平面之间的位置关系（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 4 考点一：平面 4 考点二：空间中直线与直线的位置关系 11 考点三：空间中直线与平面的位置关系 17 考点四：空间中平面与平面的位置关系 22 【自学检测】 27 自学概念 1. 平面的概念、画法与表示 (1)平面的概念 ①直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉，但它们都不是平面，而是平面的一部分. ②抽象理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄、没有大小. (2)平面的画法与表示 ①画法：在立体几何中，平面通常画成一个平行四边形.当平面水平放置时，通常将平行四边形的锐角画成45°，且使横边长等于其邻边长的2倍(如图①)，当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线(如图②). ②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.如图③. ③如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD. 2. 基本事实及应用 (1)点、线、面之间的关系 ①直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内. ②直线、平面都可以看成点的集合.点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P∉l；点P在平面α内，记作P∈α；点P在平面α外，记作P∉α；直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l不在平面α内，记作l⊄α. (2)平面的基本事实及推论 基本 事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 推论1　经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面(图①). 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②). 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③). 3. 空间中两条直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义：不同在任何一个平面内的两条直线. ②异面直线的画法 ③异面直线的判定方法 方法 内容 定义法 不同在任何一个平面内的两条直线 反证法 既不平行，也不相交的两条直线 (2)空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 4. 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 定义 图形语言 符号语言 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A 直线与平面平行 没有公共点 a∥α 5. 空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 α∥β 没有公共点 两个平面相交 α∩β＝l 有一条公共直线 自学考点 考点一：平面 一、单选题 1．（22-23高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·青海海东·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四条首尾相连的线段确定一个平面 C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D．空间两两相交的三条直线在同一平面内 3．（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 4．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点的距离相等，则线段的长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一下·全国·课后作业）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．不共线3点确定一个平面 C．过一条直线的平面有无数多个 D．两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段 7．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（　　） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 三、填空题 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②四边形是平面图形，③三条直线两两相交则确定一个平面，④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是 . 9．（23-24高二上·上海普陀·期中）4条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线 时，才是一个平面图形． 10．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）从点O引三条射线OA、OB、OC，其两两间的夹角为60°、90°、120°，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C B A AC BC ABC 1．B 【分析】根据平面的有关概念进行分析，从而确定正确答案. 【详解】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确. 在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误. 直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误. 所以正确的个数为个. 故选：B 2．C 【分析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断. 【详解】对于选项A：如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误； 对于选项B：例如三棱锥，可以得到四条首尾相连的线段，但不是平面图形，故B错误； 对于选项C：因为两条平行直线确定一个平面， 若一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内， 所以这三条直线在同一平面内，故C正确； 对于选项D：例如三棱锥三条侧棱，可以得到两两相交的三条直线，但这三条直线不共面，故D错误. 故选：C 3．B 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【详解】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 4．A 【分析】根据题意，得到动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线，取的中点，结合，即可求解. 【详解】如图所示，因为点到点的距离相等， 可得动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线， 又因为，直线与平面所成角为， 取的中点，可得，则线段的最小值为. 故选：A.    5．AC 【分析】根据平面的基本性质及空间位置关系的画法判断即可． 【详解】对于A：点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故A正确； 对于B：直线在平面外，则直线与平面平行（没有交点），或直线与平面相交（有一个交点，记为）， 则所对应的图形如下所示： 故B错误； 对于C：由B可知C正确，故C正确； 对于D：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线， 三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形， 故D错误. 故选：AC 6．BC 【分析】根据平面的公理，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，当点在直线上时，这个点和这条直线不能确定一个平面，A错误； 对于B，不共线3点确定一个平面，正确； 对于C，过一条直线的平面有无数多个，正确； 对于D，两个平面的公共点组成的集合，是一条直线，D错误， 故选：BC 7．ABC 【分析】分点与点，重合及点不与点重合，分别作出平面，即可得答案. 【详解】解：当点与点重合时，截面图形为等边三角形，如图（1）； 当点与点重合时，截面图形为矩形，如图（2）； 当点不与点重合时，当分别为的中点， 则截面图形为等腰梯形，不可能为正方形，如图（3）． 故选：ABC. 8．①②③ 【分析】根据平面的基本性质和推论，对题目中的命题进行分析，或举反例判断即可. 【详解】①过不共线的三点有且只有一个平面. 若三点共线，则过三点的平面有无数个，不能确定平面，故①错误； ②四边形可能是平面图形也可能是空间图形.    如图三棱锥中，四边形不是平面图形，故②错误； ③三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 如图三棱锥中，三条直线两两相交，且交于一点， 可确定平面，平面，平面三个平面，故③错误； ④平面是无限延展的，如图，两个相交平面把空间分成四个区域，故④正确.    故答案为：①②③. 9．相交 【分析】应用空间想象，讨论对角线不相交、相交两种情况分析得结论. 【详解】当两条对角线不相交时，四边形的四个顶点不共面，故不是平面图形，如下图，    对角线不相交，即为空间四边形； 当两条对角线相交时，四边形的四个顶点共面，是平面图形，如下图，    对角线相交，即为平面四边形； 故答案为：相交 10． 【分析】画出图象，结合余弦定理求得所求的最小的夹角. 【详解】不妨设，与夹角，与夹角，与夹角， 画出图象如下图所示， 其中的角平分线分别是， 则分别是的中点， 中，， 中，，， 中，， 利用余弦定理可得， 同理可得， 所以最小角的余弦值为，， 也即最小角为. 故答案为： 考点二：空间中直线与直线的位置关系 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 2．（2024高二上·北京·学业考试）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 3．（22-23高一下·广东东莞·期末）正方体中，与所成角为的直线是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二上·河南焦作·开学考试）如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 5．（23-24高一下·吉林·期中）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C．直线与异面 D．直线与异面 6．（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（    ） A． B． C．MN与AB是异面直线 D．BF与CD成角 三、填空题 7．（2024高三·全国·专题练习）以下四个命题中，真命题的个数为 ． （1）不共面的四点中，其中任意三点不共线； （2）若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面； （3）若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； （4）依次首尾相接的四条线段必共面． 8．（23-24高二·全国·课后作业）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若EFGH是矩形，则BD与AC的位置关系是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D D BD AD ACD 1．D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面,则可能平行（图1）,也可能相交（图2）,也与可能异面（图3）, 故选：D. 2．D 【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可. 【详解】易知三棱柱为直三棱柱， 由图易判断与异面，AB错误； 因为,与相交但不垂直，所以与直线不垂直，C错误； 由图可判断与直线是异面直线，D正确. 故选：D 3．D 【分析】根据正方体的几何结构，以及异面直线所成角的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，在正方体中， 对于A中，，所以与所成的角，即为与所成的角， 在等腰直角中，可得，所以与所成的角为，不符合题意； 对于B中，在直角中，可得,不符合题意； 对于C中，连接，由正方形，可得， 又由正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以，所以与所成的角为，不符合题意； 对于D中，正方体中，连接，可得， 所以与所成的角，即为与所成的角， 在等边中，可得，即与所成的角为，符合题意. 故选：D.    4．BD 【分析】判定异面直线的方法：①根据它的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．”②定义法：不在任何同一个平面内的．两条直线称为异面直线；③反证法：既不平行又不相交的直线即为异面直线；逐项判断即可得结论． 【详解】异面直线的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．” 根据异面直线的判定定理可知：在图②④中，直线、是异面直线； 在图①中，由、均为棱的中点可知：； 在图③中，、均为棱的中点，四边形为梯形，则与相交． 故选：BD． 5．AD 【分析】根据题意，画出该正方体的直观图，结合正方体的结构特征依次分析选项，综合可得答案. 【详解】根据题意，画出该正方体的直观图， 对于A，易得，A正确； 对于B，与异面，B错误； 对于C，直线与相交，C错误； 对于D，直线与异面，D正确. 故选：AD. 6．ACD 【分析】根据给定的展开图，还原正方体，再结合线线垂直、平行及异面直线的意义判断即可. 【详解】将正方体的展开图还原，如图， 对于A，连接，显然，则四边形是平行四边形， ，而，因此，A正确； 对于B，由，得， 则，而，因此，B错误； 对于C，平面，平面，，平面， 因此MN与AB是异面直线，C正确； 对于D，由选项B知，，因此BF与CD成角，D正确. 故选：ACD 7．1 【分析】 对（1）利用反证法即可证明；对（2）若A，B，C共线则反驳该结论；对（3）直线b，c可能存在异面的情况；对（4）空间四边形可以不在一个平面内. 【详解】 对（1），可以用反证法证明：假设任意3点均共线， 不妨设A，B， C 共线， 则由一直线和一直线外的点确定一个平面， 知 A ，B， C ，D共面， 这与题设矛盾，∴题目成立，得证．故（1）正确； 对（2），从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C三点共线，则结论不正确，故（2）错误； 对（3），共面不具有传递性，直线b，c可能异面，故（3）错误； 对（4），∵此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．故（4）错误. 故答案为：1. 8．相互垂直 【分析】根据题意，作图可得答案. 【详解】 根据题意，作图，根据图中所示，因为，且，所以，，直接可以得到BD与AC的位置关系是相互垂直. 故答案为：相互垂直 考点三：空间中直线与平面的位置关系 一、单选题 1．（2023高一·江苏·专题练习）已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线．若m，n均与l既不平行．也不垂直，则m与n的位置关系是（    ） A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行 2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 二、多选题 4．（23-24高二上·河北唐山·期末）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（    ） A． B．与所成的角为 C． D．与所成的角为 5．（24-25高二上·河北保定·开学考试）已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题为真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，相交，则 三、填空题 6．（24-25高二·上海·随堂练习）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D D D AD BC 1．D 【分析】假设m⊥n，然后利用已知条件推理，得到m⊥l，这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立；假设m∥n，利用线面平行的性质定理进行推导，得到m∥l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，从而得到答案． 【详解】解：①假设m⊥n，因为n与l既不垂直，也不平行，所以n∩l＝O 过O在β内作直线c⊥l，如图所示 因为α⊥β，所以c⊥α，又因为m⊂α，所以c⊥m 又因为m⊥n，c∩n＝O，所以m⊥β，l⊂β，所以m⊥l 这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立 所以m与n不垂直，同理n与m也不垂直； ②假设m∥n，则m∥β，m⊂α，α∩β＝l 所以m∥l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾 故假设不成立，所以m与n不平行． 综上所述，m与n的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行． 故选：D． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于采用反证法，结合直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，得出的位置关系. 2．D 【分析】 确定直线和平面至少有一个交点，得到答案. 【详解】直线，又平面，故直线和平面至少有一个交点，故或. 故选：D 3．D 【分析】根据空间中线面的位置关系对每个选项逐一判断. 【详解】A选项，当时，在直线上，除了之外，其余点有无数个都不在内，故A选项错误； B选项，若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，B选项错误； C选项，若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面，C选项错误； D选项，若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行，D选项正确. 故选：D 4．AD 【分析】根据平面展开图还原为正方体，AD选项结合空间之间的位置关系即可判断，BC结合异面直线的成角即可求出结果. 【详解】 A选项，因为，且，所以，故A正确； B选项，因为，所以与所成的角为，故B错误； C选项，因为，且，所以，故C错误； D选项，因为，所以或其补角为与所成的角，又因为，所以为等边三角形，因此，且异面直线成角的范围为，所以为与所成的角，因此与所成的角为，故D正确； 故选：AD. 5．BC 【分析】根据直线与平面的平行的判定与性质判定A，由线面垂直的性质判断B，根据线面垂直的性质判断C，由线面平行的判定判断D. 【详解】对于A，若，，则直线可能相交或平行或异面，故A错误. 对于B，若，则，故B正确. 对于C，若，则或，故C正确. 对于D，若相交，则或与相交，故D错误. 故选：BC 6．BD 【分析】根据题意，直线分别为平面、平面内的直线，所以直线的交点一定在平面与平面的交线上，故得解. 【详解】由题意，且， 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面 因为点分别在上，而是平面内的直线， 所以平面，平面， 所以直线平面， 所以平面， 因此，直线与的公共点在平面与平面的交线上， 因为平面平面， 所以点直线． 故答案为：BD. 考点四：空间中平面与平面的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二·上海·课堂例题）平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 2．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知，是两个平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（23-24高三上·陕西宝鸡·期中）已知，是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面，平行的是（    ） A．，是平面内两条直线，且， B．，是两条异面直线，，，且， C．面内不共线的三点到的距离相等 D．面，都垂直于平面 二、多选题 4．（2023·江苏南京·一模）如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（    ）    A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．三点共线 5．（23-24高一下·河北衡水·阶段练习）已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（    ） A．截面的面积是 B．点和点到平面的距离不相等 C．若平面，则点的轨迹的长度是 D．若平面，则点的轨迹的长度是 三、填空题 6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）给出下列命题：（1）不在同一直线上的三点确定一个平面； （2）垂直于同一个平面的两个平面平行； （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （4）若直线，，则； （5）若平面上有三个不共线的点到平面的距离相等，则． 写出所有真命题的序号 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C B B BCD ACD 1．C 【分析】根据已知得既在平面上又在平面可得答案. 【详解】因为直线与直线相交于点，，所以平面， 又点在平面上，所以平面， 因为平面，点在直线上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线. 故选：C.    2．B 【分析】根据空间中平行关系或垂直关系的转化逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于选项AB：若，，则，故A错误；B正确； 对于选项C：若，，则或，故C错误； 对于选项D：若，，则，故D错误； 故选：B. 3．B 【分析】中，没有与交于一点，不能判断；中，根据异面直线的定义和线面平行、面面平行的判断方法，能判断；中，举例说明不一定成立；中，，都垂直于平面时，两平面、的位置关系可能平行或相交． 【详解】解：对于，，是平面内两条直线，且，，没有与交于一点，不能判断； 对于，，是两条异面直线，，，且，，能判断； 因为，所以在内存在直线，又，所以； 又，是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线； 又，所以； 对于，因为内不共线的三点到的距离相等，此三点在两平面相交时也可以找出， 所以不能判断； 对于，因为，都垂直于平面时，两平面、的位置关系可能是平行或相交， 所以不能判断． 故选：． 【点睛】本题考查了判断面面平行的应用问题，也考查了推理论证能力与空间想象能力． 4．BCD 【分析】根据长方体的几何性质，结合线面公理，可得答案. 【详解】对于A，连接，，，如下图：    在长方形，由为对角线的中点，则， 则平面平面， 由平面，平面，则， 在长方体中，平面，由平面， 所以与异面，故A错误； 对于B，由选项A可知：，，易知平面，故B正确； 对于C，由选项A可知：，，易知平面，故C正确； 对于D，由选项A可知：，故D正确. 故选：BCD. 5．ACD 【分析】取中点为，截面为等腰梯形，求其面积即可；平面过线段的中点，即可作出判断；过点分别做与平面，平面平行的平面，从而明确点的轨迹，得到长度. 【详解】取中点为，易得，即截面为等腰梯形， 又 ∴截面的面积是，故A正确； 连接，与交于点，则点为的中点， 而平面过线段的中点， ∴点和点到平面的距离相等，故B错误； 取的中点为，取的中点为，连接， 易得平面平面，即点的轨迹为，且，故C正确； 同样易知平面平面，即点的轨迹为，且，故D正确； 故选：ACD 6．（1）（4） 【分析】根据平面的性质、平行和垂直关系的相关定理、空间四边形的概念依次判断各个选项即可. 【详解】对于（1），不共线的三点确定唯一的一个平面，（1）正确； 对于（2），垂直于同一个平面的两个平面可能平行或相交，（2）错误； 对于（3），若四边形为空间四边形，则两组对边分别相等也不是平行四边形，（3）错误； 对于（4），若两条平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也一定与第三条直线垂直，（4）正确； 对于（5），若平面上的不共线的三个点分布在平面的两侧，此时三点到平面的距离相等，但与相交，（5）错误. 故答案为：（1）（4）. 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 2．（24-25高二上·天津·期中）正方体中，为中点，则直线，所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·江西景德镇·阶段练习）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体、它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则下列说法错误的是（    ） A．该二十四等边体的表面积为 B．平面 C．直线与的夹角为 D．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E，满足关系式 4．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分 5．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）    A．10 B．15 C． D． 6．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 8．（2023高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（    ） A．已知直线，若，则. B．设是两条不同的直线，是一个平面，若，，则. C．若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． D．若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）如图，在正方体中，､､､､､分别是棱､､､､､的中点，则下列结论错误的是（    ）    A．直线和平行，和异面 B．直线和平行，和相交 C．直线和相交，和异面 D．直线和异面，和异面 10．（23-24高一下·广东·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（    ） A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 11．（23-24高一下·江苏南通·期末）已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·上海·期中）在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有n条，则 13．（21-22高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点A、B在平面的同一侧，点平面，BC与平面所成的角为，则点A到平面的最大距离是 ．    14．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 16. (15分) （24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 17. (15分) （22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，已知在平面内，过该角的顶点A引平面的斜线，且使，求证：斜线在平面内的射影平分．    18. (17分) （23-24高一下·北京·期末）如图，在正方体中，是棱上一点，且． (1)试画出过三点的平面截正方体所得截面； (2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线． 19. (17分) （2023·广西·三模）如图，在四棱锥底面，． (1)证明：平面平面; (2)求与平面所成角的正弦值． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D A C B B CD ABD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】作出辅助线，得到，所以四边形为平行四边形，求出经过、、的截面为平行四边形. 【详解】取的中点，连接， 因为棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为， 所以，， 故， 所以四边形为平行四边形， 故经过、、的截面为平行四边形. 故选：D 2．C 【分析】取的中点，可证得，从而（或其补角）为直线，所成的角，利用余弦定理及同角的三角函数关系式求解即可. 【详解】取的中点，连接，， ∵，∴为平行四边形，∴， ∵为中点，为中点，∴， ∴，∴（或其补角）为直线，所成的角. 设正方体的棱长为2，则， ，， ∴， ∴， ∴直线，所成角的正弦值为. 故选：C. 3．B 【分析】由三角形和正方形面积公式即可求出二十四等边体的表面积，线面垂直判定定理，利用平移求异面直线夹角，推理分析即可判断结果. 【详解】对于A，，，，故A正确； 对于B，由图可知,,但BF与AB和AE都不垂直，所以QH不可能与平面ABE垂直，故B错误； 对于C，由图可知，而直线AH与AD的夹角为，所以直线与的夹角为，故C正确； 对于D，该半正多面体的顶点数为12、面数为14、棱数为24，满足，故D正确； 故选：B. 4．D 【分析】对于A，与相交、平行或异面；对于B，或；对于C，由于直线未必相交，故无法判定与平行；对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分． 【详解】直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面， 对于A，若，，则与相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，且，，由于直线未必相交，所以与不一定平行，故C错误； 对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分，故D正确 故选：D． 5．A 【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可． 【详解】分别在棱上取点，使得， 连接，根据正方体特征及平行公理，易证，， 则平面截该正方体所得的截面图形是五边形. 由题中数据，知道，，可得. 故选：A.    6．C 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接，在正方体中，， 所以为异面直线与所成的角， 而，即为等边三角形， 所以，即异面直线与所成的角是. 故选：C.    7．B 【分析】将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 8．B 【分析】根据线线、线面的位置关系，结合平面的基本性质、直观想象判断各项正误即可. 【详解】A：若面的相交直线，此时，满足，但不成立，错； B：由，，根据线面垂直的性质定理易知，对； C：如下图，若，且相交但不垂直，此时并不垂直面中的任意直线，错；    D：如下图，若，则在面中所有平行于的直线（无数条）都与垂直，但不成立，错.    故选：B 9．CD 【分析】利用平行线的传递性可判断出直线和平行，利用三角形全等可证得和相交，由异面直线的定义可判断出和异面，即可得出合适的选项. 【详解】如下图所示：    因为､分别为､的中点，则，同理可证， 在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则，所以，， 延长交直线于点， 因为，则， 又因为，，所以，，所以，， 延长交的延长线于点，同理可证， 因为，所以，，即点､重合， 所以，､相交， 由异面直线的定义结合图形可知，､异面，故AB对，CD均错. 故选：CD. 10．ABD 【分析】选项A，先求出圆台的高，进而求出圆台的母线与底面所成的角即可；选项B，由圆台的侧面积公式求解即可；选项C，由圆台的体积公式求解即可；选项D，设球心到下底面的距离为，由勾股定理得，求解即可. 【详解】对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线为， 所以圆台的高为：， 根据线面角定义求出母线与底面所成角，A正确； 对于B，由圆台的侧面积公式， 求得圆台的侧面积为：，B正确； 对于C，由圆台的体积公式， 求得圆台体积为：，C错误； 对于D，由题意可知球心在下底面下方，设球心到下底面的距离为， 由勾股定理得，解得， 则该球的半径为，所以该球的表面积为，D正确． 故选：ABD. 11．BCD 【分析】根据题意，由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A选项，令，，若，则一定有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误； 对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确； 对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确； 对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，如图所示， 因为，，，，所以， 又因为，所以，同理：， 又因为，、， 所以，故D项正确. 故选：BCD. 12．5 【分析】由异面直线的性质结合图形观察可得. 【详解】观察可得，与直线异面的直线有，共5条， 所以. 故答案为：5. 13．30 【分析】作出辅助线，判断出当四点共面时，点A到的距离最大，进而算出AC，最后得到答案． 【详解】如图，过作⊥，交于B1，过A作⊥，交于，    因为在中，,， 则，当四点共面时，点A到的距离最大． 因为⊥，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即A到的最大距离为30． 故答案为：30． 14．相交 【分析】根据平面与平面的位置关系判断出正确答案. 【详解】在正方体中，E为的中点，所以与不平行， 则延长与BB′必相交于一点，设交点为H， 所以，， 又平面，平面， 所以平面，H∈平面， 故平面与平面相交． 故答案为：相交 15．(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 16．(1)菱形； (2)证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得； （2）运用反证法思路，先假设和共面，即共面，与题设产生矛盾，得出假设不成立即可. 【详解】（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； （2）假设和不是异面直线，则与平行或相交， 即与确定一个平面，则，，，， 这与四边形为空间四边形矛盾，故和是异面直线. 17．证明见解析 【分析】过点做的垂线, 在Rt、Rt、Rt中表示出、、,并找出其中的关系，即证明出最小角定理，再运用求证即可. 【详解】证明：设点在平面内的射影为点，则为在平面内的射影．    如图过点做的垂线交于点, 由平面，可得，又且点M，面,面，故面，因此. 在Rt中，令，则， 在Rt中，令，, 在Rt中，令，， , 即最小角定理（三余弦定理），因此有 ， ， 由可得，且， 因此，即平分． 18．(1)作图见解析 (2)证明见解析；为面与面的交线 【分析】（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结，即可得到截面； （2）根据两平面有公共点，可知两面相交；延长，设它们交于点，可证得在两面交线上，由此可知交线为. 【详解】（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结， 则平面就是过三点的平面截正方体所得截面． （2）平面，平面， 平面平面，即平面与平面相交． 延长，设它们交于点， 直线，直线平面，平面． 直线，直线平面，平面． 为面与面的交线． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）计算，，根据勾股定理得到，再证明平面，得到答案. （2）作，垂直为，连接 ，确定为与平面所成的角，计算，得到答案. 【详解】（1），，，则，． 中，， 故，故， 又因为底面，底面，所以， 又因为，平面，平面， 底面，故平面平面， 另解：平面，平面，故， 过做的垂线，垂足为，连接，则， ，，， 在中，，，即， 又， 平面，故平面， 平面，故平面平面， （2）作，垂直为，连接 ， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，故为与平面所成的角， 中，，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 07空间点、直线、平面之间的位置关系（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 4 考点一：平面 4 考点二：空间中直线与直线的位置关系 6 考点三：空间中直线与平面的位置关系 8 考点四：空间中平面与平面的位置关系 9 【自学检测】 11 自学概念 1. 平面的概念、画法与表示 (1)平面的概念 ①直观理解：课桌面、黑板面、教室地面、平静的水面等都给我们以平面的直观感觉，但它们都不是平面，而是平面的一部分. ②抽象理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄、没有大小. (2)平面的画法与表示 ①画法：在立体几何中，平面通常画成一个平行四边形.当平面水平放置时，通常将平行四边形的锐角画成45°，且使横边长等于其邻边长的2倍(如图①)，当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线(如图②). ②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.如图③. ③如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD. 2. 基本事实及应用 (1)点、线、面之间的关系 ①直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内. ②直线、平面都可以看成点的集合.点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P∉l；点P在平面α内，记作P∈α；点P在平面α外，记作P∉α；直线l在平面α内，记作l⊂α；直线l不在平面α内，记作l⊄α. (2)平面的基本事实及推论 基本 事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 推论1　经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面(图①). 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②). 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③). 3. 空间中两条直线的位置关系 (1)异面直线 ①定义：不同在任何一个平面内的两条直线. ②异面直线的画法 ③异面直线的判定方法 方法 内容 定义法 不同在任何一个平面内的两条直线 反证法 既不平行，也不相交的两条直线 (2)空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 4. 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 定义 图形语言 符号语言 直线在平面内 有无数个公共点 a⊂α 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A 直线与平面平行 没有公共点 a∥α 5. 空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两个平面平行 α∥β 没有公共点 两个平面相交 α∩β＝l 有一条公共直线 自学考点 考点一：平面 一、单选题 1．（22-23高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·青海海东·开学考试）下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个平面 B．四条首尾相连的线段确定一个平面 C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D．空间两两相交的三条直线在同一平面内 3．（22-23高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 4．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点的距离相等，则线段的长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一下·全国·课后作业）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．不共线3点确定一个平面 C．过一条直线的平面有无数多个 D．两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段 7．（2024高一下·全国·专题练习）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（　　） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 三、填空题 8．（24-25高二上·上海·阶段练习）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②四边形是平面图形，③三条直线两两相交则确定一个平面，④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是 . 9．（23-24高二上·上海普陀·期中）4条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线 时，才是一个平面图形． 10．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）从点O引三条射线OA、OB、OC，其两两间的夹角为60°、90°、120°，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是 ． 考点二：空间中直线与直线的位置关系 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 2．（2024高二上·北京·学业考试）如图，在三棱柱中，底面是的中点，则直线（    ） A．与直线相交 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．与直线是异面直线 3．（22-23高一下·广东东莞·期末）正方体中，与所成角为的直线是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二上·河南焦作·开学考试）如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 5．（23-24高一下·吉林·期中）如图，这是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C．直线与异面 D．直线与异面 6．（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（    ） A． B． C．MN与AB是异面直线 D．BF与CD成角 三、填空题 7．（2024高三·全国·专题练习）以下四个命题中，真命题的个数为 ． （1）不共面的四点中，其中任意三点不共线； （2）若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面； （3）若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； （4）依次首尾相接的四条线段必共面． 8．（23-24高二·全国·课后作业）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若EFGH是矩形，则BD与AC的位置关系是 ． 考点三：空间中直线与平面的位置关系 一、单选题 1．（2023高一·江苏·专题练习）已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线．若m，n均与l既不平行．也不垂直，则m与n的位置关系是（    ） A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行 2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知点直线，又平面，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24高一下·黑龙江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 D．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行 二、多选题 4．（23-24高二上·河北唐山·期末）一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（    ） A． B．与所成的角为 C． D．与所成的角为 5．（24-25高二上·河北保定·开学考试）已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题为真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，相交，则 三、填空题 6．（24-25高二·上海·随堂练习）在空间四边形的边上分别取点，如果相交于一点，那么一定在直线 上． 考点四：空间中平面与平面的位置关系 一、单选题 1．（23-24高二·上海·课堂例题）平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 2．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知，是两个平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（23-24高三上·陕西宝鸡·期中）已知，是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面，平行的是（    ） A．，是平面内两条直线，且， B．，是两条异面直线，，，且， C．面内不共线的三点到的距离相等 D．面，都垂直于平面 二、多选题 4．（2023·江苏南京·一模）如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（    ）    A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．三点共线 5．（23-24高一下·河北衡水·阶段练习）已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，点在四边形内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（    ） A．截面的面积是 B．点和点到平面的距离不相等 C．若平面，则点的轨迹的长度是 D．若平面，则点的轨迹的长度是 三、填空题 6．（23-24高二上·上海浦东新·期中）给出下列命题：（1）不在同一直线上的三点确定一个平面； （2）垂直于同一个平面的两个平面平行； （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （4）若直线，，则； （5）若平面上有三个不共线的点到平面的距离相等，则． 写出所有真命题的序号 ． 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（   ） A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．平行四边形 2．（24-25高二上·天津·期中）正方体中，为中点，则直线，所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·江西景德镇·阶段练习）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体、它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则下列说法错误的是（    ） A．该二十四等边体的表面积为 B．平面 C．直线与的夹角为 D．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E，满足关系式 4．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分 5．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则（    ）    A．10 B．15 C． D． 6．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 8．（2023高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（    ） A．已知直线，若，则. B．设是两条不同的直线，是一个平面，若，，则. C．若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． D．若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）如图，在正方体中，､､､､､分别是棱､､､､､的中点，则下列结论错误的是（    ）    A．直线和平行，和异面 B．直线和平行，和相交 C．直线和相交，和异面 D．直线和异面，和异面 10．（23-24高一下·广东·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（    ） A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 11．（23-24高一下·江苏南通·期末）已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·上海·期中）在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有n条，则 13．（21-22高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点A、B在平面的同一侧，点平面，BC与平面所成的角为，则点A到平面的最大距离是 ．    14．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 16. (15分) （24-25高二上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 17. (15分) （22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，已知在平面内，过该角的顶点A引平面的斜线，且使，求证：斜线在平面内的射影平分．    18. (17分) （23-24高一下·北京·期末）如图，在正方体中，是棱上一点，且． (1)试画出过三点的平面截正方体所得截面； (2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线． 19. (17分) （2023·广西·三模）如图，在四棱锥底面，． (1)证明：平面平面; (2)求与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$