精品解析：四川省绵阳市江油市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋季九年级教学质量过程监测 数 学 试 题 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，试题卷4页，答题卷4页，共8页．满分100分．考试时间：90分钟． 2．答卷前请将答题卷的密封线内项目填写清楚．考试结束后请将答题卷交回． 第一卷 选择题（36分） 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求，请用2B铅笔在答题卷对应小方框内把你认为正确的选项填涂） 1. 如果一个正方形的面积为5，那么这个正方形的边长是（ ） A. B. 25 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，正方形的面积等于边长的平方，再根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积等于边长的平方，正方形的面积为5， ∴正方形的边长为， 故选：A． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键． 3. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形、轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 4. 关于一元二次方程的根的说法，正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 没有实数根 C. 两根之和为 D. 两根之积为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式可得出，进而可得出该方程没有实数根． 【详解】解：由题意可知：， ∴方程没有实数根，则不存在两根之和，两根之积， 故选：B． 5. 在同一坐标系中，抛物线与有相同的（ ） A. 开口方向 B. 形状 C. 对称轴 D. 顶点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，先写出两个抛物线的顶点坐标、对称轴、开口方向，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线，开口向上； 抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线，开口向下； ∴A、D选项不合题意；C选项符合题意； ∵， ∴两个抛物线形状不同，故B选项不合题意； 故选：C． 6. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段延长线上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟知图形旋转前后对应线段相等是解题的关键．由旋转的性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解；由旋转的性质可得， ∵点D在线段的延长线上， ∴， 故选：C． 7. 方程必有一个解是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，由题意得或或，再依次解出方程的解即可． 【详解】解：， 或或， 当时，， 当时，即，无实数根， 当时， ， 方程共有3个解，即， 故选：C 8. 已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 4 1 0 1 4 … 点、在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，关键是由表格判断自变量取值范围内，函数值的大小．由表格可知，，，由此可判断与的大小． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴． 故选：B． 9. 如图，抛物线交轴于点，交轴于点，且，则下列等式成立的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征是解决本题的关键，先求出，可得，再由可得，从而得出点A坐标为，再代入得，再变形即可结论． 【详解】解：在中，令，得， ， ∵， ∴， ∴点A坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知方程的两根分别为、，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后代入求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为、， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 11. 如图，点是等腰直角内一点，，如果，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，设，，把绕点C顺时针旋转，得到，得到是等腰直角三角形，，，进而得到，在中求出，再由是等腰直角三角形得到，，最后计算即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵等腰直角内一点，， ∴， 把绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A． 12. 二次函数，且与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意画出二次函数及的大致图象，观察图象即可得出结论． 【详解】解：二次函数与轴交点的横坐标为，将其图象往下平移2个单位长度可得到的图象，如图所示： ， 观察图象可知：， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的图象，依据题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题：（每小题3分，共18分．将答案填写在答题卷中对应的横线上） 13. 一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长．根据这个问题列出方程，并将所列方程化为一般形式，得：________． 【答案】． 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确掌握矩形的面积求法是解题关键．直接根据题意表示出宽，再根据矩形面积公式得出答案． 【详解】解：矩形的长为，则长为，可列方程为： ， 则． 故答案为：． 14. 经过，，三点的抛物线的解析式是：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，设二次函数的一般式，把三点坐标代入可解得答案． 【详解】解：设抛物线解析式为， ∵抛物线经过，，三点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 故答案为：． 15. 服装厂根据学生身高制作合身的校服，主要依据是人的体形中存在黄金分割数．一名身高的同学，冬装校服裤子的长度（理论值）为________ （用含根号的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割数为，且校服裤子的长度与身高比例等于黄金比例求解即可． 【详解】解：∵黄金分割数为，且校服裤子的长度与身高比例等于黄金比例， ∴冬装校服裤子的长度（理论值）为， 故答案为：． 16. 已知：如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是由一个点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为_____． 【答案】π﹣2． 【解析】 【分析】若连接正方形的对角线，可发现阴影部分的面积是圆（以A为圆心、正方形边长为半径的圆）与正方形的面积差，由此得解． 【详解】解：如图； ∵S弓形OB＝S弓形OD， ∴S阴影＝S扇形ABD﹣S△ABD＝π×22﹣×2×2 ＝π﹣2． 【点睛】此题的计算过程并不复杂，关键是能够发现弓形OD和弓形OB的关系． 17. 二次函数的图像如图所示，下列式子： ①，②，③，④，其中正确的有________（填编号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线的对称轴位置确定的范围，然后根据抛物线与x轴交点的个数及时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， 故①正确， 时，， ， ， 故②错误， 抛物线与轴有交点， ， ， 故③正确， 对称轴为直线， 故④正确， 故正确的有①③④， 故答案为：①③④． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数性质可得出点 的坐标， 求得直线 为 ，联立方程求得 的坐标，即可求得 的坐标，同理求得 的坐标，即可求得 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点 的坐标； 【详解】解：∵A点坐标为， ∴直线为， ∵， ∴直线为， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴直线为， 解得或， ∴， ∴ …， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键 三、解答题：（共46分，解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤） 19. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴，． 20. 在小正方形边长为1的网格图中，画有，，，． （1）画出以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的图形． （2）若点坐标为，在图中画出相应的直角坐标系． （3）若是点关于原点的对称点，则点的坐标为________． 【答案】（1） ：如图，为所作； （2） 如图； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点即可； （2）利用点坐标建立平面直角坐标系； （3）根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，点的坐标为． 故答案为：． 21. 新能源汽车节能、环保，越来越受到消费者喜爱．某新能源汽车厂近几年产量逐年增加，2021年产量为16万辆，2023年产量增加到49万辆． （1）从2021年到2023年，该新能源汽车厂年产量的平均增长率是多少？ （2）按照这个增长速度，预计在2024年，该新能源汽车厂产量可以达到多少万辆（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）平均增长率为 （2）万辆 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键． （1）从2021年到2023年，该新能源汽车厂年产量的平均增长率是x，根据2021年产量为16万辆，2023年产量增加到49万辆，列出方程进行求解即可； （2）利用2023年产量，根据增长率，求出2024年该新能源汽车厂产量即可． 【小问1详解】 解：设该新能源汽车厂在2021年到2023年中年产量的平均增长率为． 解这个方程得：，（不合题意，舍去） 答：从2021年到2023年，该新能源汽车厂年产量的平均增长率是； 【小问2详解】 解：预计该新能源汽车厂2024年产量：（万辆）． 22. 小米同学将等腰直角三角尺的直角顶点放在正方形对角线交点处，并连接、． （1）如图1，当点在上，点在上时，小米同学判定．你认为判定这两个三角形全等的依据是：__________． （2）在图1的基础上，将等腰直角三角尺绕点逆时针旋转度，如图2．小米同学发现：与有相互垂直的位置关系．请你判断小米的发现是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2） 小米的发现是正确的，理由如下： ∵等腰直角三角尺， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 延长与交于点， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正方形的性质； （1）根据，，证明即可； （2）同（1）一样证明得到，再证明即可得到． 【小问1详解】 解：∵等腰直角三角尺， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 23. 关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程；有两个实数根，则，列出关于k的不等式求解即可； （2）先由根与系数的关系得到，，再根据得到． 【小问1详解】 解：． ∵原一元二次方程有两个实数根， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴． ∴． 解得，． 又∵， ∴． 24. 进价为每件40元的某商品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．如何定价才能使利润最大？ 【答案】每件售价定为65元，能使利润最大 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设每件涨价元，则每件的利润是件，所售件数是件，总利润为；设每件降价a元，则每件的利润是元，所售件数是件，总利润为；根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】解：分涨价与降价两种情况讨论． （1）设每件涨价元，则每星期实际卖出件． 所得利润 即：， 因为销售额非负，涨价幅度非负，所以：． 当时，最大． （2）设每件降价元，则每星期实际卖出件． 所得利润， 因为每件赢利非负，降价幅度非负，所以：． 当时，最大． 答：每件售价定为65元（即：涨价5元），能使利润最大（每星期6250元）． 25. 如图，直线与顶点坐标为的抛物线相交于、两点，其中点在轴上． （1）求、两点的坐标． （2）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点．设线段长度为，点的横坐标为，写出与之间的函数关系式． （3）为何值时，线段长度最大？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、根据几何图形的意义求函数解析式等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题． （1）先求出，由抛物线的顶点为设抛物线的解析式为，再用待定系数法求出a的值即可； （2）用含的代数式分别表示点P、点Q的坐标，其纵坐标的差的绝对值即可表示线段的长； （3）将（2）中的函数关系式配方，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：对于直线，当时，， ∴． ∵抛物线顶点坐标为， 所以可设抛物线解析式为：． ∵抛物线经过点， ∴，得：． ∴抛物线解析式为． 解方程， 得：，． 当时，；当时，． ∴，； 【小问2详解】 解：∵轴，点在直线上，点在抛物线上， ∴点横坐标为时，点纵坐标为，点纵坐标为． ∴线段的长度． 即：； 【小问3详解】 解：由，配方得：． ， 当（点的横坐标为3）时，线段长度有最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季九年级教学质量过程监测 数 学 试 题 注意事项： 1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，试题卷4页，答题卷4页，共8页．满分100分．考试时间：90分钟． 2．答卷前请将答题卷的密封线内项目填写清楚．考试结束后请将答题卷交回． 第一卷 选择题（36分） 一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求，请用2B铅笔在答题卷对应小方框内把你认为正确的选项填涂） 1. 如果一个正方形的面积为5，那么这个正方形的边长是（ ） A. B. 25 C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于一元二次方程的根的说法，正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 没有实数根 C. 两根之和为 D. 两根之积为 5. 在同一坐标系中，抛物线与有相同的（ ） A. 开口方向 B. 形状 C. 对称轴 D. 顶点 6. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段延长线上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 方程必有一个解是（） A. B. C. D. 8. 已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 4 1 0 1 4 … 点、在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线交轴于点，交轴于点，且，则下列等式成立的是（） A. B. C. D. 10. 已知方程的两根分别为、，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2024 11. 如图，点是等腰直角内一点，，如果，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数，且与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题：（每小题3分，共18分．将答案填写在答题卷中对应的横线上） 13. 一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长．根据这个问题列出方程，并将所列方程化为一般形式，得：________． 14. 经过，，三点的抛物线的解析式是：_________． 15. 服装厂根据学生身高制作合身的校服，主要依据是人的体形中存在黄金分割数．一名身高的同学，冬装校服裤子的长度（理论值）为________ （用含根号的式子表示）． 16. 已知：如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是由一个点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为_____． 17. 二次函数的图像如图所示，下列式子： ①，②，③，④，其中正确的有________（填编号）． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为_______． 三、解答题：（共46分，解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤） 19. 解下列方程 （1） （2） 20. 在小正方形边长为1的网格图中，画有，，，． （1）画出以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的图形． （2）若点坐标为，在图中画出相应的直角坐标系． （3）若是点关于原点的对称点，则点的坐标为________． 21. 新能源汽车节能、环保，越来越受到消费者喜爱．某新能源汽车厂近几年产量逐年增加，2021年产量为16万辆，2023年产量增加到49万辆． （1）从2021年到2023年，该新能源汽车厂年产量的平均增长率是多少？ （2）按照这个增长速度，预计在2024年，该新能源汽车厂产量可以达到多少万辆（结果保留小数点后一位）？ 22. 小米同学将等腰直角三角尺的直角顶点放在正方形对角线交点处，并连接、． （1）如图1，当点在上，点在上时，小米同学判定．你认为判定这两个三角形全等的依据是：__________． （2）在图1的基础上，将等腰直角三角尺绕点逆时针旋转度，如图2．小米同学发现：与有相互垂直的位置关系．请你判断小米的发现是否正确，并说明理由． 23. 关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围． （2）若，求的值． 24. 进价为每件40元的某商品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．如何定价才能使利润最大？ 25. 如图，直线与顶点坐标为的抛物线相交于、两点，其中点在轴上． （1）求、两点的坐标． （2）点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点．设线段长度为，点的横坐标为，写出与之间的函数关系式． （3）为何值时，线段长度最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $