精品解析：重庆市万州第三中学等多校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

重庆高一数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第五章第一节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为，，所以， 又，所以. 故选：A 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设结合全称量词命题的否定为特称量词命题即可得解. 【详解】全称量词命题的否定为. 故选：B. 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的单调性，求得的取值范围，即求解. 【详解】由对数函数的性质，可得， 所以. 故选：A. 4. 将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的概念即可求解. 【详解】将钟表的分针拨快20分钟，时针顺时针旋转， 所以时针转过的角度为. 故选：B. 5. 已知函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性即可得解. 【详解】函数， ，解得或， 令，， 因为，为增函数， 所以的增区间为. 故选：C 6. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数与函数的图象关于轴对称，即可得到答案. 【详解】因为函数与函数的图象关于轴对称. 所以D选项符合. 故选：D 7. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一，结合已知，利用基本不等式求出的最小值，即为的最大值，再求解不等式即可； 解法二，，结合已知，利用基本不等式其最小值，即为的最大值，再求解不等式即可. 【详解】解法一：， 当且仅当，即时，等号成立， 恒成立，. 解法二： ， 当且仅当，即时，等号成立， 恒成立， . 故选：D 8. 已知函数，定义在上的函数满足，对任意的，均有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据方程组的方法求函数是解析式，再根据不等式恒成立转化为，再转化为二次函数问题，即可求解. 【详解】， 函数在区间单调递减，所以的最大值为， 对任意的，均有成立， 对任意的恒成立， 对任意的恒成立， ，解得：. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键一是求函数的解析式，关键二是利用不等式恒成立，转化为求的最值. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象必过定点 B. C. 方程的解集为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，以及对数方程，即可判断选项. 【详解】A.令，则，所以函数得到图象必过定点，故A正确； B.，则，故B正确； C.由题意可知，，解得：，所以解集为，故C错误； D.当时，，所以，D错误. 故选：AB. 10. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的的值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】构造，由题设和可得为上的奇函数和减函数，分，求解不等式. 【详解】令，由题意知在上为减函数. 因为为上的偶函数，所以为上的奇函数. 又在上为减函数，，所以在上为减函数. ①当时，即， 所以，所以， 所以，解得； ②当时，即， 所以， 所以，所以，解得. 综上，或. 故选：BD. 11. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题都可以转换为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合以上观点，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 是单调函数 C. 的值域为 D. 方程无实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对称性的定义，即可判断A，根据条件将函数构造为两点间距离，即可判断BCD. 【详解】. 设，则. 对于 ， ， 图象的对称轴为直线，故A正确； 对于B，当三点共线时，即时，取得最小值，所以不单调，故B错误； 对于C，由题知，， 的值域为，故C正确； 根据选项C，对于D，设，方程等价于， 即，解得或， 又，矛盾 所以方程无实数解，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指、对数运算公式，即可求解. 【详解】原式. 故答案为：. 13. 已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形弧长和半径的关系，将扇形面积表示为关于的二次函数，求最值. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，， 则， 当时，扇形面积最大，最大值为. 故答案为： 14. 设函数若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________；的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据解析式作出函数的图象，条件方程有四个不相等可转化为的图象与的图象有四个交点，观察图象确定的范围，结合图象确定与的关系，利用表示，利用换元法求其最值. 【详解】当时，， 的图象关于直线对称，画出的图象，如图所示. 方程有四个不相等的实根， 的图象与有个交点， 由图可知，即的取值范围为. 不妨设， 由的图象可知，， 所以，化简得，且. 又， 则 . 令，则， ， 当时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将方程有四个不相等的实根，转化为函数的图象与直线的图象有四个交点，再通过做函数图象确定的范围. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据两个集合交、并、补的定义即可计算求解； （2）根据集合的包含关系，分和两种情况列式求解即可. 【小问1详解】 若，则， 所以， ， 故或. 【小问2详解】 因为，所以. ①当时，，解得，满足题意； ②当时，，解得. 综上，实数的取值范围是. 16. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）解不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求实数的值； （2）由（1），易知为上的单调递增函数，利用单调性解不等式. 【小问1详解】 为上的奇函数，则， 即， 整理可得，解得 【小问2详解】 由（1）， 易知为上的单调递增函数. 因为为奇函数，不等式， 可化为， 所以， 即，所以. 令，解得或. 若，则无解；若，则；若，则. 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 17. 已知定义在上的函数满足，且当时，. （1）求的值，并证明是偶函数； （2）解不等式. 【答案】（1）；，证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）令和，可求的值，再令，可得，得证； （2）任取且，则，根据条件判定函数的单调性计算即可解不等式. 【小问1详解】 令，则，得； 令，则，得. 易知的定义域关于原点对称，令， 则， 所以是偶函数. 【小问2详解】 因为是偶函数，所以只考虑定义域在上的单调性. 任取且， 因为，所以， 则. 因为，所以，所以， 则在上单调递增， 所以， 即. 又为偶函数，有， 所以，则，解得， 故不等式的解集为. 18. 有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据，如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②. （1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式. （2）现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）. （i）求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）. （ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 【答案】（1）选择函数模型①， （2） （i），在上单调递增. （ii）因为，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车要在服务区充电，否则不能到达B地. 设行驶时间与充电时间分别为（单位：），总和为. 若能到达地，则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即，则， 所以总时间 当且仅当，即时，等号成立， 所以电动该汽车从A地到达B地的最少用时为. 【解析】 【分析】（1）根据与的数据关系，选择函数关系式，再代入数据，即可求解； （2）（ⅰ）根据（1）的结果，求耗电量的函数解析式；（ⅱ）根据的单调性求整个路程耗电量的最小值，即可判断是否需要充电，根据公式初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，列式求解. 【小问1详解】 与的函数关系，在定义域内单调递增，由增长速度可知，选择函数模型① 由题意，有解得 所以. 【小问2详解】 （i）由题意，， 所以函数在上单调递增. （ii）略 19. 某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异.通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念.定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数.对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）.小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数. （1）设函数，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）试判断在上的凹凸性，并说明理由； （3）设，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 因为，， 所以，故判断在上为凹函数， 证明如下： ，可知， 则 ， 所以在上为凹函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）结合单调性化简不等式得，由条件可得，由此确定结论； （2）判断函数的凹凸性，结合凹函数的定义证明结论； （3）结合（2）判断为凹函数，结合琴生不等式求的最值. 【小问1详解】 已知，所以在上单调递增. 要使不等式恒成立，即不等式恒成立， 即， 所以，即. ①当时，因为，所以，所以； ②当时，，又，所以，则，所以. 综上，实数的取值范围是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令. 由（2）可知在上为凹函数， 所以在上为凹函数. 由， 得. 由琴生不等式可得， 即， 可得，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆高一数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第五章第一节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 将钟表的分针拨快20分钟，则时针转过的角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，定义在上的函数满足，对任意的，均有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象必过定点 B. C. 方程的解集为 D. 10. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的的值可以为（ ） A. B. C. 1 D. 2 11. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题都可以转换为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合以上观点，对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 是单调函数 C. 的值域为 D. 方程无实数解 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________. 13. 已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是__________. 14. 设函数若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________；的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）解不等式. 17. 已知定义在上的函数满足，且当时，. （1）求的值，并证明是偶函数； （2）解不等式. 18. 有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据，如下表所示： 60 70 80 90 100 8.8 11 13.6 16.6 20 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②. （1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式. （2）现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）. （i）求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）. （ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值. 19. 某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异.通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念.定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数.对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）.小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数. （1）设函数，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）试判断在上的凹凸性，并说明理由； （3）设，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $