精品解析：四川省内江市威远县凤翔中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

威远县凤翔中学2025级初三（上）期半期检测 数学试题 A卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 将一元二次方程用配方法化为方程的形式，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5 6. 已知关于的一元二次方程的一个解为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 《长安三万里》以全新的思路，呈现出一幅由唐诗浸染而出的绚烂画卷，并于其中探讨了颇具深意的人心旅程，某日该电影的票房约为2亿无，第二、三天持续增长，三天的累计的票房约为6.62亿元，若第二、三天单日票房平均增长率相同，设该增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 对于实数，，，，我们定义运算，例如：，上述记号就叫做二阶行列式．若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，为上一点，连接，且交于点，，则（    ） A. B. C. D. 11. 在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 12. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（ ）． A. B. C. D. 2 二、填空（20分） 13. 若，则______． 14. 已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为______． 15. 已知是整数，则的最小整数值是______． 16. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为____________米． 三、解答题： 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程 （1） （2） 19. 如图，在的方格纸中，每个方格边长为，和都是格点三角形． （1）填空：______，______ （2）判断与是否相似，并说明你的结论． 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售．增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ 21. 如图，点是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． B卷 一、填空：（24分） 22. 若实数，，满足关系式，则的值为______ 23. 已知，则的值为______ 24. 已知、是一元二次方程的两实根、如果、满足，代数式的值为______． 25. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 二、解答题： 26. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有．．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得_____，___________； （2）若，且均为正整数，求的值． 27. 如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知、满足，，求的值； （2）已知、、满足，，求正数的最小值 28. 如图，平面直角坐标系中矩形两边、分别在轴和轴上，其中，，又、分别是边、上的动点，它们分别同时从、出发在边上匀速运动，点每秒运动2个单位，点每秒运动1个单位，其中一个动点到达端点则两动点立即停止运动． （1）当点运动到的中点时，求此时点的坐标； （2）连接，设运动时间为，记的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②写求当何值时，等于矩形面积的？ （3）若M为坐标平面内一点，在P、Q运动的过程中是否存在M使以A、P、Q和M为顶点的四边形是矩形．若存在直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远县凤翔中学2025级初三（上）期半期检测 数学试题 A卷 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的计算二次根式的乘除法，根据二次根式的运算法进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2. 最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故选：A． 3. 下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义进行解答即可. 【详解】解：根据最简二次根式的定义：“满足条件：（1）被开方数中不含开得尽方的因数和因式；（2）被开方数中不含分母.”可知，选项A、C、D中的二次根式都不是最简二次根式，只有B中的二次根式是最简二次根式. 【点睛】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义：“满足条件：（1）被开方数中不含开得尽方的因数和因式；（2）被开方数中不含分母.”是解题的关键. 4. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，结合一元二次方程的定义，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴实数的取值范围是且； 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握根的判别式求参数的值. 5. 将一元二次方程用配方法化为方程的形式，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法，将方程两边同时加上2，配方，求出h，k的值，代入计算即可，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解： ∴ ∴ ∴， 故选：A． 6. 已知关于的一元二次方程的一个解为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，将代入中即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的解为， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 7. 《长安三万里》以全新的思路，呈现出一幅由唐诗浸染而出的绚烂画卷，并于其中探讨了颇具深意的人心旅程，某日该电影的票房约为2亿无，第二、三天持续增长，三天的累计的票房约为6.62亿元，若第二、三天单日票房平均增长率相同，设该增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据“三天累计票房6.62亿元”列出一元二次方程即可；掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键． 【详解】解：设该增长率为x，则第二天单日票房为，第三天单日票房为， 根据题意可得出， 故选：C 8. 对于实数，，，，我们定义运算，例如：，上述记号就叫做二阶行列式．若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了定义运算，解一元二次次方程，利用题中的新定义列出关于一元二次方程，解方程即可求解，正确得出一元二次方程是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，整理得， 解得：，， 故选：． 9. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 10. 如图，在菱形中，为上一点，连接，且交于点，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．由条件可证明，结合面积比等于相似比的平方求可得相似比，可求得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 11. 在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键．由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可． 【详解】解：沿折叠，使点A落在点处， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又为的中点，， ∴， ， 即， ． 故选：B． 12. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，首先证明是的中位线，得到，然后由正方形的性质与勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即可求出的长度，最后代入即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴当最大时，最大，此时最大， ∵E是上的动点， ∴当点和点重合时，最大 ∴， ∴ ∴的最大值为 故选：A． 二、填空（20分） 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，掌握求解的方法是解题的关键； 由已知可设，然后代入所求式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴； 故答案为：． 14. 已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键． 先由数轴确定a、b、c的符号，再确定相关代数式的正负，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由图示可得：且，则， 所以 ． 故答案为． 15. 已知是整数，则的最小整数值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识点，确定n的取值范围成为解题的关键． 由结合题意可得是完全平方数，即，进而确定n的取值范围，然后取最小整数即可． 【详解】解：∵且是整数， ∴是整数， ∴是完全平方数． ∵， ∴， ∴n的最小整数值是0． 故答案为：0． 16. 我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为____________米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质．根据，得到，根据相似三角形的对应边成比例得到，又根据，得出，根据相似三角形的对应边成比例得到，列出等式，即可求出，的长． 【详解】解：如图：由题意得： 米，米，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴米， ∴． ∴米， ∴灯杆的高度为米， 故答案为：． 三、解答题： 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先说明，再根据平方差公式以及二次根式的性质化简，最后再按二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 18. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握公式法和因式分解法成为解题的关键． （1）直接运用公式法解答即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴，． 19. 如图，在的方格纸中，每个方格边长为，和都是格点三角形． （1）填空：______，______ （2）判断与是否相似，并说明你的结论． 【答案】（1）， （2） ，理由如下： ∵， ∴， ∴ ，， ∴ ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． （1）根据图形求出，根据勾股定理求出即可； （2）求出的值，求出和的值，再根据相似三角形的判定定理即可解答． 【小问1详解】 解：由图可知：， 根据勾股定理∶． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：略． 20. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售．增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价30元 【解析】 【分析】设每件衬衫应降价x元，然后根据商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数即可列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元． 根据题意得(45-x)(20+4x)=2100， 解得x1=10，x2=30． 因尽快减少库存，故x=30． 答：每件衬衫应降价30元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：利润=售价-进价，总利润=单个利润×数量．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 21. 如图，点是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的判定证得结论； （2）证明得到求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． B卷 一、填空：（24分） 22. 若实数，，满足关系式，则的值为______ 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性、方程组的解法等知识点，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据能开平方的数一定是非负数，得、，即，进而得到，即①，从而有，再根据算术平方根的非负性可得出②，③，联立①②③解方程组可得出m的值即可． 【详解】解：由题意可得，、，即， ∴，即①． ∴， ∴②，③，， 联立①②③得，， 得，， 将代入③，解得， 将，代入①得，，解得：． 故答案为：22． 23. 已知，则的值为______ 【答案】2020 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由，得，两边平方可得；再对变形后整体代入即可解答． 【详解】解：由，得， 两边平方可得：，即， ∴． 故答案为2020． 24. 已知、是一元二次方程的两实根、如果、满足，代数式的值为______． 【答案】1100 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得、，进而得到一元二次方程；再根据一元二次方程的解、根与系数的关系可得，然后运用等量代换、完全平方公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴，方程为， ∴， ∴ ， ． 故答案为：1100． 25. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ， ， E、F分别为边的中点， ． G为的中点， ， 在和中， ， ． ． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 二、解答题： 26. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有．．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得_____，___________； （2）若，且均为正整数，求的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定a的值． 【小问1详解】 解：∵ 【小问2详解】 ∴ ，且为正整数， 或， ，或． 【点睛】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键. 27. 如果方程的两个根是，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知、满足，，求的值； （2）已知、、满足，，求正数的最小值 【答案】（1）或2 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根与判别式的关系、解不等式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）由题意可得a，b是的解，根据一元二次方程根与系数的关系可得当时，，；时，分别代入求值即可； （2）由，，即a、b是方程的解，然后根据根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：∵a、b满足，， ∴a，b是的解， 当时，，， ∴， 当时，． 综上，的值为或2． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴a、b是方程的解， ∴，即， ∵c是正数， ∴， ∴， ∴， ∴正数c的最小值是4． 28. 如图，平面直角坐标系中矩形两边、分别在轴和轴上，其中，，又、分别是边、上的动点，它们分别同时从、出发在边上匀速运动，点每秒运动2个单位，点每秒运动1个单位，其中一个动点到达端点则两动点立即停止运动． （1）当点运动到的中点时，求此时点的坐标； （2）连接，设运动时间为，记的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②写求当何值时，等于矩形面积的？ （3）若M为坐标平面内一点，在P、Q运动的过程中是否存在M使以A、P、Q和M为顶点的四边形是矩形．若存在直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）点的坐标为； （2）①；②； （3）存在，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）由题意，，然后求出点Q的运动时间，再求出的长度，即可得到答案； （2）①先求出，，，然后利用间接法求面积，即可得到答案； ②先求出面积，然后得到一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）设，分两种情况：当时，当时，分别求得点的坐标即可． 【小问1详解】 解：运动到中点时，， ∴运动时间：， ∴， 故坐标为； 【小问2详解】 解：①时间为时，，，， ， 即； ②， ∴， 即， 解得：或， 又∵， ∴（不符合题意）， ∴； 【小问3详解】 解：设， 当时，如图， 则， ， ， ， △△， ，即， 解得：， 此时，，，， 四边形是矩形， ， 解得：， ； 当时，如图， 同理可得：△△， ，即， 解得：， ， ， 此时，，， 四边形是矩形， ， 解得：， ，； 综上所述，存在使以、、和为顶点的四边形是矩形．点的坐标为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的做出辅助线进行分析． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $