精品解析：四川省自贡市富顺县西区九年制学校(富顺县安和实验学校) 2024-2025学年上学期九年级11月考试数学试题

2024-2025学年度上期第一次学情调查 九年级数学试卷 （满分150分 时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共48分） 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共计48分，只有一个选项符合题目要求） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，解题的关键是判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、不是一元二次方程，故此选项错误； D、中，当时，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：B． 2. 函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是( ) A. a≠0，b≠0，c≠0 B. a<0，b≠0，c≠0 C. a>0，b≠0，c≠0 D. a≠0 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：根据二次函数定义中对常数a，b，c的要求，只要a≠0，b，c可以是任意实数，故选D． 3. 用配方法解方程：，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．对方程移项得，方程两边同时加上4，再利用完全平方公式将等号左边的式子配成完全平方即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 4. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次方程，再根据腰长、底长进行分情况讨论，从而得到其周长． 【详解】解：方程变形得：， 解得：，， 当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去； 当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法、等腰三角形的性质，注意分类讨论． 5. 关于的一元二次方程的根的情况（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．根据根的判别式即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 抛物线y=﹣3x2+12x﹣7的顶点坐标为（ ） A. （2，5） B. （2，﹣19） C. （﹣2，5） D. （﹣2，﹣43） 【答案】A 【解析】 【详解】把抛物线解析式化为顶点式y=﹣3x2+12x﹣7=﹣3（x﹣2）2+5， ∴顶点坐标为（2，5）， 故选A． 【点睛】二次函数的性质． 7. 若是方程的两根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出和是解答本题的关键．根据是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，即可求值． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ， ， ， 故选：D． 8. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，结合一元二次方程二次项系数不为，则可求得k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：， 又∵一元二次方程中，， ∴的取值范围是且， 故选：B． 9. 二次函数对于x的任何值都恒为负值的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数对于x的任何值都恒为负值，抛物线开口向下，，二次函数与x轴没有交点，方程没有实数根，即可． 【详解】解：∵二次函数对于x的任何值都恒为负值， ∴抛物线开口向下，， 二次函数与x轴没有交点， 方程没有实数根， ∴， ∴． 故选择D． 【点睛】本题考查抛物线的函数值符号问题，掌握抛物线开口方向，以及抛物线与x轴的交点情况是解题关键． 10. 抛物线的图象上有三个点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．根据二次函数的性质可知抛物线开口方向向上，对称轴为，由在图象中轴上的点离对称轴越远，说明值越大”，将问题转化为比较的大小关系，即可得到答案． 【详解】解：根据二次函数的性质可知， 抛物线开口方向向上，对称轴为， 因为在图象中轴上的点离对称轴越远，说明值越大，且 所以， 故选：B． 11. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是一次函数图象与二次函数图象的知识，识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 对于选项A、C，由结合a的正、负性，判断二次函数的图象的开口方向与直线应经过的象限，是否存在矛盾，由此即可作出判断； 对于选项B、D，由二次函数的图象的开口方向和对称轴得到a、b的正负性，判断此时直线是否与y轴的正半轴还是负半轴相交，由此即可作出判断． 【详解】解：A．由二次函数的图象可知，此时直线必经过二、四象限，故A可排除； B．由二次函数的图象可知，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，则，此时直线应经过二、三、四象限，故B满足题意； C．由二次函数的图象可知，此时直线必经过一、三象限，故C可排除； D．由二次函数的图象可知，此时直线应经过一、二、三象限，选项D可排除． 故选：B． 12. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断． 【详解】∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y＞0， 即a-b+c＞0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a， ∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标为（1，n）， ∴=n， ∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确； ∵抛物线与直线y=n有一个公共点， ∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点， ∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共102分） 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是____． 【答案】y=3（x﹣1）2﹣2 【解析】 【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，即可得答案． 【详解】抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位， 所得到的抛物线是y=3（x-1）2-2， 故答案为y=3（x-1）2-2. 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 14. 若，是方程的两个根，则代数式___________． 【答案】 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的根与系数的关系和代数式求值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 若二次函数的图象经过原点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握点在函数图象上，则点的坐标满足函数表达式．把代入求解，再结合二次函数二次项系数不等于，即可求解． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， ∵是二次函数， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 16. 某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小枝干，主干、枝干和小枝干共111根，设主干长出枝干的根数为，则方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． 根据题意找出等量关系即可列出方程，主干+支杆+小分支． 【详解】解：设主干长出枝干的根数为， 则， 故答案为：． 17. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑，当时，通过解一元一次方程可得出方程有解，即符合题意；当时，由根的判别式，可求出k的取值范围综上即可得出结论． 【详解】当，即时，原方程为， 解得：， 符合题意； 当，即时，有， 解得：且． 综上所述：k的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑是解题的关键． 18. 当时，直线与抛物线只有1个交点，则的取值范围__________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用二次函数性质进行解答即可．根据直线与抛物线有交点，根据二次函数性质解答即可． 【详解】解：． ∵和时，，时，，顶点坐标为， 当时，与抛物线有1个交点， 则或， 故答案为：或． 三、解答题（共8个题，共78分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接利用配方法求解即可； （2）对方程移项得，将等号左边的式子提取公因式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，． 【小问2详解】 ， ， ， 或， ，． 20. 已知抛物线经过三点． （1）求二次函数的解析式； （2）列表画出二次函数的图象，并写出当在什么范围内时，． 【答案】（1） （2） 列表如下： x ….. 0 1 2 3 ….. y ….. 0 0 ….. 函数图象如下所示： 当时，则x的取值范围为或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）由（1）及描点法可画出函数图象，然后根据函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知二次函数解析式为， 由图象可知：当时，则x的取值范围为或． 21. 已知：关于的方程的两个实数根分别是和 （1）求的取值范围； （2）若，且为整数，求的值 【答案】（1） （2）或0 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握一元二次方程有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和无实数根是解题的关键． （1）由方程有两个实数根，则其判别式大于或等于0可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）利用根与系数的关系表示出题目中的条件，结合（1）可求得的取值范围，可求得的值． 【小问1详解】 解：方程有两个实数根分别是和， ， 解得； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可知：，， ， ， ， 由（1）知， ， 是整数， 或0． 22. 推导二次函数的顶点式，并写出顶点，需写出详细过程． 【答案】 解： ， 即顶点式为， ∴顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题考查将二次函数一般式改为顶点式与二次函数的性质，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法将进行变形为即可求解． 【详解】略 23. 已知：关于x的方程x2+（m-2）x+m-3=0． （1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足2x1+x2=m+1，求m的值． 【答案】 （1）证明：△=（m-2）2-4×（m-3）， =m2-6m+16， =（m-3）2+7＞0， ∴无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）x1+x2=-（m-2）， 2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1， ∴x1=m+1+m-2=2m-1， 把x1代入方程有： （2）0， 【解析】 【分析】（1）△=（m-2）2-4×（m-3）=（m-3）2+7＞0，无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数关系可得：（2m-1）2+（m-2）（2m-1）+m-3=0. 【详解】（1）略 （2m-1）2+（m-2）（2m-1）+m-3=0， 整理得： 6m2-m=0， 6m（m-）=0， ∴m 1=0，m 2=． 【点睛】一元二次方程有两个同号的实数根，即此方程的实数根有两个，并且这两个根符号相同，则判别式△>0．运用根与系数关系. 24. 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：． （1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝进价×销售量） 【答案】（1）35元 （2）销售单价应定为30元或40元 （3）3600元 【解析】 【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润（定价进价）销售量，从而列出关系式； （2）令，然后解一元二次方程，从而求出销售单价； （3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本． 【详解】解：（1）由题意，得：， ， ， 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． （2）由题意，得：， 解这个方程得：，， 答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元． （3）， 抛物线开口向下， 当时，， ， 当时，， 设成本为（元，由题意，得：， ， 随的增大而减小， 当时，， 答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元． 【点睛】本题考查二次函数的性质及其应用，解题的关键是还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． 25. 阅读材料：基本不等式当且仅当时，等号成立，其中我们把叫正数的算术平均数，叫正数的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具． 例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，∴，即 ∴．当且仅当时，有最小值，最小值为2； 请根据阅读材料解答下列问题： （1）若，函数，当为何值时，函数有最值，并求出其最值． （2）若时，求式子的最值，并说明此时的值． （3）时，式子成立吗？说明理由． 【答案】（1）当时，函数有最小值，且最小值为 （2）的最小值为；此时 （3） 解：式子不成立．理由： ∵， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，且最小值为2， ∵， ∴不等式不能取等号， 即不等式不成立． 【解析】 【分析】本题考查基本不等式的应用，二次根式混合运算，解题的关键是理解题意，学会仿照例子解决问题． （1）仿照材料中的例子求解即可； （2）仿照材料中的例子利用二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）仿照材料中的例子求出时，有最小值2，根据，不能取到最小值2，得出时，，原等式不成立． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 当且仅当， 解得：，负值舍去， 经检验：是方程的解， ∴当时，函数有最小值，最小值为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴当取最小值时，取最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， ∴的最小值为， 解方程得：，（舍去）， 经检验是方程的解， ∴当时，的最小值为； 【小问3详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，过点的直线与轴交于点，交抛物线于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图1，点是直线上方第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； （3）如图2，若点在抛物线上，点在轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 【答案】（1），，， （2）； （3），，， 【解析】 【分析】（1）令，求出二次函数图象与轴的交点，令，求出一次函数与轴的交点，联立二次函数和一次函数解析式，求出抛物线与直线的交点，即可得到点，，的坐标； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，交于点，利用，将三角形的面积转化为二次函数，求最值即可； （3）分点在轴上方，点在轴下方，两种情况讨论，利用平行四边形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 当时，， 解得：， ∴； ，当时：， ∴； 联立二次函数和一次函数解析式，得： ，整理得：， 解得：， 当时， ∴； 【小问2详解】 如图1，过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，交于点， 设，则， ∴ ∴ ， 当时，有最大值为； 【小问3详解】 ①当点在轴上方时，如图2，以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 则，，由对称性得到，即，故， ∴，； ②当点在轴下方时，如图3： 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， ∵以，，，为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入抛物线解析式得：， 解得：或， ∴或， ∴，． 符合条件的点有：，，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上期第一次学情调查 九年级数学试卷 （满分150分 时间120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共48分） 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共计48分，只有一个选项符合题目要求） 1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是( ) A. a≠0，b≠0，c≠0 B. a<0，b≠0，c≠0 C. a>0，b≠0，c≠0 D. a≠0 3. 用配方法解方程：，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　） A. 12 B. 15 C. 12或15 D. 不能确定 5. 关于的一元二次方程的根的情况（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 抛物线y=﹣3x2+12x﹣7的顶点坐标为（ ） A. （2，5） B. （2，﹣19） C. （﹣2，5） D. （﹣2，﹣43） 7. 若是方程的两根，则的值为（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 8. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 二次函数对于x的任何值都恒为负值的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的图象上有三个点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线和直线在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 非选择题（共102分） 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是____． 14. 若，是方程的两个根，则代数式___________． 15. 若二次函数的图象经过原点，则的值为___________． 16. 某树主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小枝干，主干、枝干和小枝干共111根，设主干长出枝干的根数为，则方程为__________． 17. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 18. 当时，直线与抛物线只有1个交点，则的取值范围__________． 三、解答题（共8个题，共78分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知抛物线经过三点． （1）求二次函数的解析式； （2）列表画出二次函数的图象，并写出当在什么范围内时，． 21. 已知：关于的方程的两个实数根分别是和 （1）求的取值范围； （2）若，且为整数，求的值 22. 推导二次函数的顶点式，并写出顶点，需写出详细过程． 23. 已知：关于x的方程x2+（m-2）x+m-3=0． （1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足2x1+x2=m+1，求m的值． 24. 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：． （1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝进价×销售量） 25. 阅读材料：基本不等式当且仅当时，等号成立，其中我们把叫正数的算术平均数，叫正数的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具． 例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，∴，即 ∴．当且仅当时，有最小值，最小值为2； 请根据阅读材料解答下列问题： （1）若，函数，当为何值时，函数有最值，并求出其最值． （2）若时，求式子的最值，并说明此时的值． （3）时，式子成立吗？说明理由． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，过点的直线与轴交于点，交抛物线于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图1，点是直线上方第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； （3）如图2，若点在抛物线上，点在轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $