精品解析：河北省邯郸市大名县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

大名一中2024年12月高二数学试题 出题人：张晓艳 审题人：曾艳青 一、单选题 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点沿着向量的方向移动到点Q，且，则点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，则这条直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 3 6. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的图象不关于原点对称 B. 曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 二、多选题 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 若对空间中任一点，有，则四点共面 B. 若，则向量的夹角是锐角 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 已知向量满足，且，则 10. 已知直线，圆，以下正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上仅有一个点到的距离为 11. 若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ） A. B. （，） C. D. 三、填空题 12. 若，则与向量同方向的单位向量的坐标为____________. 13. 定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为_______________. 14. 点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆上一动点，则的最小值为__________. 四、解答题 15. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：. （1）求C的面积； （2）若直线l：交C于A，B两点，求. 16 等差数列中， （1）求数列前n项和的最大值 （2）求数列前n项和为. 17. 如图所示，已知长方形中，为的中点将沿折起，使得. （1）求证：平面平面； （2）若点在线段上，且平面与平面所成锐二面角的余弦值为，试确定点的具体位置. 18. 如图，广东省某机器人比赛设计了一个矩形场地ABCD（含边界和内部，A为坐标原点），AD长10米，在AB边上距离A点4米的F处放一只电子狗，在距A点2米的E处放一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫“成功点”． （1）求在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程； （2）若P为矩形场地AD边上一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，求|AP|的取值范围． 19. 双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足. （1）当时，求双曲线的标准方程； （2）过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大名一中2024年12月高二数学试题 出题人：张晓艳 审题人：曾艳青 一、单选题 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求其焦点坐标. 【详解】由可得， 所以抛物线开口向上且， 所以，所以焦点坐标为. 故选：C. 2. 已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆中的关系求解即可. 【详解】由题意可得解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A 3. 已知点沿着向量方向移动到点Q，且，则点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设,，利用求出，得到的坐标，即可求出点的坐标. 【详解】设,，则， 由得，解得或（舍）， ∴， ∴， ∴，即. 故选：C. 4. 已知直线，则这条直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值求解直线倾斜角的范围． 【详解】直线的斜率． 因为直线的倾斜角为，则， 根据正切函数的性质可得． 故选：D． 5. 已知双曲线离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线准线可得，根据离心率可得顶点和渐近线，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的准线为， 则为双曲线的焦点，即， 又因为离心率为，可得， 且，解得， 取渐近线为，即，取顶点为， 所以的顶点到渐近线的距离为. 故选：A. 6. 已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组求解即可. 【详解】由对于任意都有知，数列为递减数列， 所以只需满足，解得， 故选：C 7. 若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【详解】由知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数的取值范围为. 故选：B. 8. 已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的图象不关于原点对称 B. 曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 【答案】D 【解析】 【分析】将代入方程，可判断A；结合方程，求解整点坐标，可判断B；联立方程组，结合其解唯一求出k的范围，判断C；结合方程以及距离公式可判断D. 【详解】对于A，结合曲线：，将代入， 方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A错误； 对于B，令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 故曲线经过的整点只能是，B错误； 对于C，直线与曲线：必有公共点， 因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解， 即只有一个解为，即时，无解， 故，即实数的取值范围为，C错误， 对于D，由，可得，时取等号， 则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D正确， 故选：D 二、多选题 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 若对空间中任一点，有，则四点共面 B. 若，则向量的夹角是锐角 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 已知向量满足，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理的推理可判断A；举出特例判断B；根据空间直角坐标系中点的特征判断C；根据向量模长的计算以及数量积的运算可判断D. 【详解】对于A，由于对空间中任一点，有， 而，故四点共面，A正确； 对于B，当同向时，，此时向量的夹角为0，不是锐角，B错误； 对于C，点关于平面对称的点的坐标是，C正确； 对于D，向量满足，且， 则，且， 解得，D错误， 故选：AC 10. 已知直线，圆，以下正确的是（ ） A. 与圆不一定存在公共点 B. 圆心到的最大距离为 C. 当与圆相交时， D. 当时，圆上仅有一个点到的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】数形结合，根据直线过定点判断直线与圆的位置关系判断A，根据定点到圆心的长度判断B，根据圆心到直线的距离小于半径列式判断C，根据圆心到直线的距离判断D. 【详解】由题意可得直线，即 所以直线过定点， 圆的圆心为，半径为， 如图所示， 选项A：根据图象易得与圆不一定存在公共点，故A说法正确； 选项B：当直线变化时，圆心到的最大距离为， 且，故B说法正确； 选项C：当与圆相交时，，解得，故C说法错误； 选项D：当时，直线，此时，圆心到直线的距离， 又圆的半径为，所以圆上仅有一个点到的距离为，故D说法正确； 故选：ABD 11. 若数列满足，，（，），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ） A. B. （，） C D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可. 【详解】对于A，由题可得，，，，，故A正确； 对于B，因为，又， 所以，即，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 若，则与向量同方向的单位向量的坐标为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量的模的计算求得向量的模，再由单位向量的定义求得答案. 【详解】解：因为，所以，所以与向量同方向的单位向量的坐标为， 故答案为：. 13. 定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为_______________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解. 【详解】由题意可知：（公和），则， 可得，可知数列是以2为周期的周期数列， 可得，，所以公和. 故答案为：7. 14. 点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆上一动点，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出的轨迹方程，再根据两圆相离可求线段和的最小值. 【详解】设，则，整理得到， 设该圆的圆心为，则，半径为， 而，圆的半径为，， 故圆与圆相离，故的最小值为， 当且仅当共线时且在之间时取最小值. 而的最小值为，当且仅当共线且在之间时取最小值， 故的最小值为， 故答案为： 四、解答题 15. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：. （1）求C的面积； （2）若直线l：交C于A，B两点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆C的方程可知的值，代入椭圆的面积公式即可； （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求解. 【小问1详解】 由椭圆C的方程可知，， 所以，椭圆C的面积； 【小问2详解】 联立，得， 设，则，， ∴， 所以，. 16. 等差数列中， （1）求数列的前n项和的最大值 （2）求数列的前n项和为. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算可得通项公式，然后利用求和公式及二次函数的性质即得； （2）根据通项公式可得各项的正负，然后结合等差数列求和公式即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得， ∴， 所以， 对称轴为，又， 所以时，最大，最大值为； 【小问2详解】 因为， 令，得， ∴当，时，，当，时，， 当，时， ； 当，时， ， ∴. 17. 如图所示，已知长方形中，为的中点将沿折起，使得. （1）求证：平面平面； （2）若点在线段上，且平面与平面所成锐二面角的余弦值为，试确定点的具体位置. 【答案】（1）证明见解析 （2）为的中点 【解析】 【分析】（1）根据平面几何知识易证，再由，根据线面垂直的判定定理得到平面，然后由面面垂直的判定定理即可证得平面平面； （2）由，过点作直线垂直于平面，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，再根据二面角的向量公式即可解出． 【小问1详解】 在矩形中，为中点， 又平面， 又平面平面平面. 【小问2详解】 因为，过点作直线垂直于平面，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： ， 设， 设，， ， 设平面的一个法向量， 而平面的一个法向量 设平面与平面所成锐二面角为， ，故为的中点. 18. 如图，广东省某机器人比赛设计了一个矩形场地ABCD（含边界和内部，A为坐标原点），AD长10米，在AB边上距离A点4米的F处放一只电子狗，在距A点2米的E处放一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫“成功点”． （1）求在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程； （2）若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，求|AP|的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件可得，设出点的坐标，进而求出轨迹方程. （2）由过点且与线段相交的直线与点M的轨迹相离求解即得. 【小问1详解】 分别以AD，AB为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，设成功点， 依题意，，即， 则，化简得， 所以这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是. 【小问2详解】 由（1）知，点M的轨迹是以为圆心，为半径的右半圆， 由电子狗在线段FP上总能逃脱，得直线与点M的轨迹在轴右侧且相离， 此时直线的斜率，方程为，即， 由，得，则有，即， 此时，而， 所以的取值范围是. 19. 双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足. （1）当时，求双曲线的标准方程； （2）过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值. 【答案】（1） （2）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）延长与交于，根据，得到，再设，利用双曲线的定义求解； （2）设，利用双曲线的定义得到两渐近线所在直线方程，设直线方程为，联立求得即可. 【小问1详解】 解：如图所示： 延长与交于， 因为， 所以， 设，则，即， ， 故方程为； 小问2详解】 设， 则， ， 两渐近线所在直线方程为：， 设直线方程为，将渐近线两侧平方与直线联立， 则可得，则， 则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$