专题06 分式方程-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题06 分式方程 课标要求 考点 考向 1．能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 2.能解可化为一元一次方程的分式方程； 3．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理 分式方程 考向一 分式方程及其解法 考向二 分式方程的实际应用 考点一 分式方程 ►考向一 分式方程及其解法 易错易混提醒 分式方程的增根与无解并非同一概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根. 1．（2024·北京·中考真题）方程的解为 . 2．（2023·北京·中考真题）方程的解为 ． 3．（2022·北京·中考真题）方程的解为 ． ►考向二 分式方程的实际应用 解题技巧 购买问题： 工程问题： 行程问题： 注：列分式方程解实际应用题必须验根，既要检验是否为原方程的增根（原方程的增根要舍去），又要看是否符合实际情况. 4．列方程或方程组解应用题：某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由 于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积． 5．为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年成平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计2015年底，全市将租赁点多少个？ 6．（2014·北京·中考真题）列方程或方程组解应用题： 小马自驾私家车从地到地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费. 1．（2021·北京·中考真题）方程的解为 ． 2．（2024·北京西城·模拟预测）方程的解为 ． 3．（2024·北京·模拟预测）方程 的解为 ． 4．（2024·北京·模拟预测）方程的解为 ． 5．（2024·北京·三模）方程的解为 ． 6．（2024·北京平谷·二模）方程的解为 ． 7．（2024·北京西城·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 8．列方程或方程组解应用题： 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量． 9．列方程或方程组解应用题： 京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？ 10．（2024·北京西城·模拟预测）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多元，用元购进的鲜肉粽比用元购进的红枣粽重千克．求该商场每千克红枣粽进价是多少元？ 11．（2024·北京朝阳·二模）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 13.（2024·北京海淀·二模）我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 14．（2024·北京·一模）《清明上河图》是北宋画家张择端的作品，是中国十大传世名画之一．如图是某书画家的一幅局部临摹作品，装裱前是长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 分式方程 课标要求 考点 考向 1．能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型； 2.能解可化为一元一次方程的分式方程； 3．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理 分式方程 考向一 分式方程及其解法 考向二 分式方程的实际应用 考点一 分式方程 ►考向一 分式方程及其解法 易错易混提醒 分式方程的增根与无解并非同一概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根. 1．（2024·北京·中考真题）方程的解为 . 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 2．（2023·北京·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 3．（2022·北京·中考真题）方程的解为 ． 【答案】x=5 【分析】观察可得最简公分母是x(x+5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解． 【详解】解： 方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5, 解得：x=5, 经检验：把x=5代入x(x+5)=50≠0. 故答案为：x=5. 【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根. ►考向二 分式方程的实际应用 解题技巧 购买问题： 工程问题： 行程问题： 注：列分式方程解实际应用题必须验根，既要检验是否为原方程的增根（原方程的增根要舍去），又要看是否符合实际情况. 4．列方程或方程组解应用题：某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由 于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积． 【答案】2.5平方米 【分析】设每人每小时的绿化面积x平方米，根据“增加2人后完成的时间比原来的时间少3小时”为等量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每人每小时的绿化面积x平方米，由题意，得： 解得：x=2.5． 经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意．． 答：每人每小时的绿化面积2.5平方米． 5．为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用．到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个．预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年成平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计2015年底，全市将租赁点多少个？ 【答案】预计到2015年底，全市将有租赁点1000个 【分析】设2015年底全市租赁点有x个．根据“2013年成平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．”列方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设2015年底全市租赁点有x个． ， 解得：x＝1000， 经检验：x＝1000是原方程的解，且符合实际情况． 答：预计到2015年底，全市将有租赁点1000个． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 6．（2014·北京·中考真题）列方程或方程组解应用题： 小马自驾私家车从地到地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费. 【答案】纯电动车行驶一千米所需电费为0.18元 【详解】试题分析：此题的等量关系是：A地到B地的路程是不变的， 即： 试题解析：设新购买的纯电动汽车每行驶一千米所需电费为x元. 由题意得： 解得：x=0.18 经检验0.18为原方程的解 答:纯电动车行驶一千米所需电费为0.18元. 考点：分式方程的应用 1．（2021·北京·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解． 【详解】解： ， ∴， 经检验：是原方程的解． 故答案为：x=3． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 2．（2024·北京西城·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解题步骤是解题的关键； 根据分式方程解题步骤解题即可求解． 【详解】解： 两边乘得： 去括号： 将代入， 即 经检验， 是该分式方程的解， 故答案为：． 3．（2024·北京·模拟预测）方程 的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， ∴是原方程的解， 故答案为：． 4．（2024·北京·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程，解方程后检验即可得到答案． 【详解】解： 两边都乘以得，， 解得，， 当时，， ∴是分式方程的解， 故答案为： 5．（2024·北京·三模）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，进行计算求解并检验即可得到答案． 【详解】解：去分母得，， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 6．（2024·北京平谷·二模）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得：， 移项，得： 合并得，， 解得，， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故答案为：． 7．（2024·北京西城·二模）某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程． 【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元， 依题意得，， 故选：C． 8．列方程或方程组解应用题： 据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量． 【答案】一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克 【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x－4）毫克，根据关键语句“若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，”可得方程，解方程即可得到答案．注意最后一定要检验． 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克， 则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x－4）毫克， 由题意得：， 解得：x=22． 经检验：x=22是原分式方程的解． 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 9．列方程或方程组解应用题： 京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？ 【答案】小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米． 【分析】设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，根据已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的，可列方程求解． 【详解】设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米， ∴=×， 解得x=27， 经检验：x=27是原方程的解，且符合题意． 答：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米． 【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系，根据乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的列方程求解． 10．（2024·北京西城·模拟预测）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多元，用元购进的鲜肉粽比用元购进的红枣粽重千克．求该商场每千克红枣粽进价是多少元？ 【答案】该商场每千克红枣粽进价是元 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确找出相等关系是解题的关键． 设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元，根据用元购进鲜肉粽的数量和用元购进红枣粽的重千克，列分式方程求解即可； 【详解】解：设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元， 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 该商场每千克红枣粽进价是元； 答：该商场每千克红枣粽进价是元． 11．（2024·北京朝阳·二模）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解 【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩． 由题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意．   答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 13.（2024·北京海淀·二模）我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运用，理解题意中的数量关系，设中间弦长为，列式求解即可，掌握分式的运用是解题的关键． 【详解】解：根据相邻弦长的倒数差相等，设中间弦的长度为， ∴， 解得，， 检验，当时，原式有意义， ∴中间弦的长度为 ． 14．（2024·北京·一模）《清明上河图》是北宋画家张择端的作品，是中国十大传世名画之一．如图是某书画家的一幅局部临摹作品，装裱前是长为，宽为的矩形，装裱后，整幅图画长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．    【答案】 【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题．设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设边衬的宽度为．依题意，得 ＝，   解得：． 经检验，是原方程的解且符合实际意义． 答：边衬的宽度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$