专题05 一元二次方程-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题05 一元二次方程 课标要求 考点 考向 1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程． 2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等． 3．了解一元二次方程的根与系数的关系． 4．能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程式刻画现实世界数量关系的有效模型； 5．能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理． 一元二次方程 考向一 一元二次方程根的判别式 考向二 一元二次方程的实际应用 考点一 一元二次方程 ►考向一 一元二次方程根的判别式 1．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 2．（2023·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D．9 3．（2022·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2020·北京·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． ►考向二 一元二次方程的实际应用 解题技巧 平均增长率（下降率）问题：设a为基础量，b为变化后的量，则有， 利润问题：总利润=（售价-成本）销售数量 注：需要验根，检验是否符合实际意义. 5．（2024·北京朝阳·一模）燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？    6．某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）．      (1)分别求出y与x，W与x的函数解析式； (2)当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价； (3)为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？ 7．（2024·北京·三模）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 1．（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 2．（2024·北京平谷·二模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京大兴·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根、则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 4．关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 5．已知关于x的方程 （1）求证：方程总有两个实数根 （2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围 6．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0． （1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 8．关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2-1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 9．阅读下列材料： 北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业． 2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%． 根据以上材料解答下列问题： (1)用折线图将2011－2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据； (2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约_____________亿元，你的预估理由_____________． 10．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．    （1）求证：方程总有两个实数根；    （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 11．（2024·北京·模拟预测）关于的方程，有个实数根．某数学小组对根与系数的关系进行探究． 当时，这一性质也称作韦达定理 设：该方程的两个实数根为和 有，展开得①______ 又由题知 故②______ (1)请你补全证明过程； (2)当，求（用系数表示）； (3)直接写出的值（用系数表示）． 12．（2024·北京西城·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 13.（2024·北京朝阳·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 14．（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 15.（2024·北京房山·二模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为3，求的值． 16．（2024·北京顺义·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程 课标要求 考点 考向 1．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程． 2．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等． 3．了解一元二次方程的根与系数的关系． 4．能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程式刻画现实世界数量关系的有效模型； 5．能利用一元二次方程解决实际应用问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理． 一元二次方程 考向一 一元二次方程根的判别式 考向二 一元二次方程的实际应用 考点一 一元二次方程 ►考向一 一元二次方程根的判别式 1．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 2．（2023·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 3．（2022·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 解得，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 4．（2020·北京·中考真题）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式， ∴， 解得：． 故答案为： ►考向二 一元二次方程的实际应用 解题技巧 平均增长率（下降率）问题：设a为基础量，b为变化后的量，则有， 利润问题：总利润=（售价-成本）销售数量 注：需要验根，检验是否符合实际意义. 5．（2024·北京朝阳·一模）燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？    【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键． 设每张桌面的宽为尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每张桌面的宽为尺， 根据图形可得：小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺， 故可得， 解得：，（舍去）， ∴， 答：长桌的长为尺． 6．某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）．      (1)分别求出y与x，W与x的函数解析式； (2)当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价； (3)为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)20元/件或30元/件 (3)商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数，以及一元二次方程的应用． （1）设出一次函数解析式，将分别代入解析式，求出k、b的值即可确定y与x之间的解析式；求出每件利润，乘以总数量即可得到利润的函数关系式； （2）令可得一元二次方程，求解即可； （3）将问题转化为二次函数最大值的问题解答． 【详解】（1）解：由题意可设，     则 解得， 所以． 所以，， 即． （2）解：由题意可得，． 解得． 答：该商品的定价是20元/件或30元/件． （3）解：因为，由二次函数图象性质可知，W有最大值． 当时， （元）． 答：商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元． 7．（2024·北京·三模）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 【答案】车道的宽为4米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设车道宽度为米，根据停车位总占地面积为390平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设车道宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：车道的宽为4米． 1．（2024·北京·三模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，判断即可； （2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∴或， ∴， ∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍， ∴或， 解得或（舍去）， ∴a的值为4． 2．（2024·北京平谷·二模）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，可知，然后解不等式即可． 【详解】关于的一元二次方程有两个实数根 ，， 故选：D． 3．（2024·北京大兴·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根、则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程方程根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据，方程有两个不相等的实根；，方程有两个相等的实根；，方程无实根，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故选：B ． 4．关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【答案】，此时方程的根为 【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0， 解得：m≤1， ∵m为正整数， ∴m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0， 解得：x1=x2=1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键． 5．已知关于x的方程 （1）求证：方程总有两个实数根 （2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）证出根的判别式即可完成； （2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围. 【详解】（1）证明： ∴方程总有两个实数根 （2） ∴ ∴ ∵方程有一个小于1的正根 ∴ ∴ 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 6．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0． （1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1． 【分析】（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可. 【详解】（1）解：由题意：． ∵， ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）答案不唯一，满足（）即可，例如： 解：令，，则原方程为， 解得：． 【点睛】考查一元二次方程根的判别式， 当时，方程有两个不相等的实数根. 当时，方程有两个相等的实数根. 当时，方程没有实数根. 7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 【答案】（1）k＜；（2）2 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； （2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值． 【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得：k＜； （2）∵k为正整数， ∴k=1或2． 当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意； 当k=2时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意． ∴k的值为2． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． 8．关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2-1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）m＞-；（2）x1=0，x2=-3． 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程+（2m+1）x+﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴Δ==4m+5＞0， 解得：m＞； （2）m=1，此时原方程为+3x=0， 即x（x+3）=0， 解得：=0，=﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，解一元二次方程，解决此题的关键是正确的计算． 9．阅读下列材料： 北京市正围绕着“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心”的定位，深入实施“人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略．“十二五”期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业． 2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的12.2%．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长9.1%，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2749.3亿元，占地区生产总值的13.1%，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的13.4%． 根据以上材料解答下列问题： (1)用折线图将2011－2015年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据； (2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约_____________亿元，你的预估理由_____________． 【答案】(1)作图见解析 (2)3471.7，用近3年的平均增长率估计2016年的增长率 【分析】（1）找出题中数据，画出折线图即可； （2）只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可．如：近三年平均增长率作为预估依据，以此为依据时，设2013年到2015年的平均增长率为x，根据题意可求出x，即可求出2016年北京市文化创意产业实现增加值． 【详解】（1）2011－2015年北京市文化创意产业实现增加值如下图所示： （2）设2013年到2015年的平均增长率为x， 则， 解得：，（舍） ∴估计2016年的增长率为， ∴预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约亿元． ∴预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约为亿元，依据为近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据． 故答案为：，近三年平均增长率作为预测2016年数据的依据． 【点睛】本题考查折线统计图，一元二次方程的实际应用．也考查学生的阅读能力，处理数据的能力． 10．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．    （1）求证：方程总有两个实数根；    （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）正整数m的值为1或2 【分析】（1）先计算判别式的值得到，再根据非负数的值得到，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值． 【详解】（1）证明：∵m≠0， =m2﹣4m+4 =（m﹣2）2， 而（m﹣2）2≥0，即， ∴方程总有两个实数根； （2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0， x﹣1=0或mx﹣2=0， ∴x1=1，x2=， 当m为正整数1或2时，x2为整数， 即方程的两个实数根都是整数， ∴正整数m的值为1或2． 11．（2024·北京·模拟预测）关于的方程，有个实数根．某数学小组对根与系数的关系进行探究． 当时，这一性质也称作韦达定理 设：该方程的两个实数根为和 有，展开得①______ 又由题知 故②______ (1)请你补全证明过程； (2)当，求（用系数表示）； (3)直接写出的值（用系数表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，一元二次方程的根与系数的关系，整式的规律探究等知识．熟练掌握多项式乘多项式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）按照步骤求解作答即可； （2）当，，设该方程的三个实数根为，和，则，展开得，，即，计算求解即可； （3）由（1）可知，，由（2）可知，，进而可推导一般性规律为，然后作答即可． 【详解】（1）解：， 展开得， 又由题知， 故； （2）解：当，， 设该方程的三个实数根为，和， ∴， 展开得，， ∴， 解得，； （3）解：由（1）可知，， 由（2）可知，， ∴可推导一般性规律为， ∴的值为． 12．（2024·北京西城·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据判别式大于0即可求出答案． （2）先求出的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ； （2）解：由（1）可知：， 此时方程为：， ， ，． 13.（2024·北京朝阳·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)给出一个满足条件的m的值，并求出此时方程的根． 【答案】(1)； (2)取，此时，．（答案不唯一） 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求出m的值范围是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根列出判别式，再解不等式即可得到答案； （2）按照（1）中的范围取m的值，代入原方程，解方程即可． 【详解】（1）解：依题意，得． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴． 即． ∴． （2）取． 此时方程为 解得，． 14．（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． 【详解】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 15.（2024·北京房山·二模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的差为3，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）先解方程得出，根据该方程的两个实数根的差为3，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， 该方程总有两个实数根． （2）解：原方程可化为， ，（也可用求根公式求出两根） ， ， 该方程的两个实数根的差为3， ． ． 16．（2024·北京顺义·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根是 【知识点】一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及解一元二次方程。解题的关键是：（1）牢记“当时，方程两个实数根”；（2）掌握解一元二次方程的方法． （1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，由此可证出方程总有两个不相等的实数根； （2）将代入方程，解得，将代入方程得到然后解方程即可求出另一根． 【详解】（1）证明： ， ， ， 方程总有两个不相等实数根． （2）解：将代入方程，解得 将代入方程得到 解得， 所以方程的另一个根是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$