专题04 一次方程（组）-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题04 一次方程（组） 课标要求 考点 考向 1．掌握等式的性质． 2．能解一元一次方程；掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组． 3．能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程式刻画现实世界数量关系的有效模型． 4．能利用一次方程解决实际应用问题，并能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 一元一次方程（组） 考向一 解一次方程（组） 考向二 解决实际问题 考点一 一元一次方程（组） ►考向一 解一元方程（组） 1．（2020·北京·中考真题）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：两个方程相加可得， ∴， 将代入， 可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 2．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】根据总费用列出一个方程，根据单价关系列出一个方程，联立方程即可. 【详解】由题意得：4个篮球和5个足球共花费435元，可列方程：4x+5y=435，篮球的单价比足球的单价多3元，可列方程：x-y=3，联立得. 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键. 3．方程组的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组解的概念，将4组解分别代入原方程组，一一进行判断即可. 【详解】解：将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程， 故选D． 4．已知方程组，则代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得，据此求出代数式的值即可； 此题主要考查了解二元一次方程组的方法，解答此题的关键是注意观察方程组的两个方程和所求的代数式之间的关系． 【详解】解： ，得 故选：D． ►考向二 解决实际问题 解题模型 常见模型及关系： 打折销售问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量 购买分配问题：总费用=甲的数量×甲的单价+乙的数量×乙的单价 工程问题：工作量=工作效率×工作时间 行程问题：路程=速度×时间 5．（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 【答案】符合，理由见详解 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，根据汽车的，两类物质排放量之和原为建立方程求解即可． 【详解】解：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． 6．（2023·北京·中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）    【答案】边的宽为，天头长为 【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可． 【详解】解：设天头长为， 由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为， 边的宽为， 装裱后的长为， 装裱后的宽为， 由题意可得： 解得， ∴， 答：边的宽为，天头长为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系． 7．（2021·北京·中考真题）某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 ． 【答案】 2∶3 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、比例的性质 【分析】设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案． 【详解】解：设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得： ，解得：， ∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨）， ∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3； ∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料， ∵加工时间相同， ∴， 解得：， ∴； 故答案为，． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键． 1．（2024·北京大兴·一模）某公园门票价格如下表：某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为和．若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为 ， ． 购票人数 80以上 门票价格 20元人 16元人 13元人 【答案】 60 30 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由两次门票费用，列出方程组，可求解． 【详解】解：∵1170不能整除16， ∴两个部门的人数， 又1560不能整除16， ∴每个部门的人数不可能同时在之间， 由于，所以，当，则有： 解得， 故答案为：60，30． 2．（2024·北京顺义·二模）羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的2倍还多包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是 【分析】此题考查了一元一次方程的应用， 设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是， 由题意可得． 解得 ∴， 答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是． 3．（2024·北京昌平·二模）如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距设边空宽为，字宽为，字距为.再根据长的横幅列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：因为边空宽：字宽：字距， 所以设边空宽为，字宽为，字距为. 由题意可得：， 解得. 答：横幅字距为． 4．（2024·北京丰台·一模）小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题： (1)奉节到宜昌的水上距离是多少？ (2)李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由． 【答案】(1)奉节到宜昌的水上距离为 (2)李白不能在一日之内从白帝城到达江陵，见解析． 【分析】本题考查一元一次方程应用题，找到等量关系列方程是解题关键． （1）奉节到宜昌的水上距离为千米，根据李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多列出方程，解方程即可; （2）用两段时间之和计算即可. 【详解】（1）解：（1）设奉节到宜昌的水上距离是． 根据题意得：，解得． 答：奉节到宜昌的水上距离为． （2）∵， ∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵． 5．（2024·北京通州·一模）2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量． 【答案】非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找出等量关系列方程是解题关键，设非遗文献馆的坐席数为个，则少年儿童馆坐席数为个，山体阅览区的坐席数为个，根据坐席总数为1900个列方程解决即可． 【详解】解：设非遗文献馆的坐席数为个，则少年儿童馆坐席数为个，山体阅览区的坐席数为个， 根据题意得：， 解得，， 答：非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个． 6．（2024·北京房山·一模）在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长米，宽米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 【答案】预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设矩形菜园的宽为米，则长为，根据预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，可列一元一次方程，解得的值即为矩形菜园的宽，可求得预留通道的宽度． 【详解】解：设矩形菜园的宽为米，则矩形菜园的长为米． 由题意可得， ． 解得． ∴． 答：预留通道的宽度是米，矩形菜园的宽是米． 7．（2024·北京海淀·一模）商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； (2)表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； (3)记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）． 【答案】(1)， (2)，四 (3) 【分析】（1）由题意知，成本从小到大依次排序为；则甲商品这五周成本的平均数为，中位数为第3个位置的数，求解作答即可； （2）由题意知，第二周成本的涨跌幅为，第二周售价的涨跌幅为，可求；同理可求；；根据，作答即可； （3）由，可知改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，即，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，成本从小到大依次排序为； ∴甲商品这五周成本的平均数为， 中位数为第3个位置的数即中位数是， 故答案为：，； （2）解：由题意知，第二周成本的涨跌幅为， ∴第二周售价的涨跌幅为， 解得，； 同理，第四周成本的涨跌幅为，第四周售价的涨跌幅为， 解得，； 第五周成本的涨跌幅为，第五周售价的涨跌幅为， 解得，； ∵， ∴从第三周到第五周，甲商品第四周的售价最高， 故答案为：，四； （3）解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”， ∵， ∴改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性．熟练掌握平均数，中位数，一元一次方程的应用，方差与稳定性是解题的关键． 8．（2024·北京海淀·一模）下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．    【答案】每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元，根据花费10000元，其中包含安装费1270元列方程求解即可． 【详解】解：设每平方米木地板的价格为元，则每平方米瓷砖的价格为元． 厨房面积：， 卫生间面积：， 客厅面积：， 卧室面积：， 由题意可得，， 解得， ，． 答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元． 9．（2024·北京·模拟预测）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为，且空白区域两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A区域10元，B区域15元，C区域20元，铺贴三个区域共花费150元，求C区域的面积． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A区域的面积为，根据题意得出，解得，再求出C区域的面积即可． 【详解】解：设A区域的面积为， ， 解得， ， 答：C区域的面积是． 10．（2024·北京大兴·一模）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有，两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度． 【答案】每本书籍厚度为 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每本书籍厚度为，桌子高度为，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每本书籍厚度为，桌子高度为， 由题意可得：， 解得， 答：每本书籍厚度为． 11．（2024·北京顺义·一模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”正要组成都分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此． 下图是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置送出货物的质量如图1所示，称量货物甲时，秤砣在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在D处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，求这把杆秤的秤星E对应的刻度是多少克． 【答案】这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克． 【分析】题目主要考查二元一次方程的应用，设A处未挂物体时重a克，秤砣重b克，根据题意列出方程组求解，设这把杆秤的秤星E对应的刻度是x克，代入求解即可，根据题意列出方程组是解题关键． 【详解】解：设A处未挂物体时重a克，秤砣重b克， 根据题意得：， 解得：， 设这把杆秤的秤星E对应的刻度是x克， ∴， 解得：， ∴这把杆秤的秤星E对应的刻度是100克． 12．（2024·北京西城·一模）某学校组织学生社团活动，打算恰好用元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套元，象棋每套元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍?若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由． 【答案】购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 设购买x套围棋，y套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，依题意得，，计算求解，然后判断作答即可． 【详解】解：设购买x套围棋，y套象棋，假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍， 依题意得，，                                        解得，， ∵y不为正整数， ∴不合题意． 答：所购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍． 13．（2024·北京西城·模拟预测）如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．已知卡纸的长，宽，求每个栏目之间的中缝间距． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程，求出每个栏目宽是解题的关键． 设小正方形的边长为，根据题意可得，求得，即每个栏目宽为，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由图知， 即， ∴每个栏目的宽为． 则 故中缝的宽度为． 14．（2023·北京平谷·一模）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A、B两种货物各20箱到展馆，货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱80千克，B种货物每箱70千克，因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重160千克，则甲、乙两车各有 箱货物装错，到达展馆，为了尽快把货物区分开，乙车司机借来了一台最多可以称300千克的秤精选最优称重方案，根据被错装货物出现的所有可能情况，最多需要称 次就能把乙车上装错的货物区分出来． 【答案】 2 8 【分析】设甲、乙两车各有x箱货物装错，根据甲车比乙车的货物重160千克，可得，可得，将乙车上的货物平均分为5堆，每堆4箱，将5堆货物最多称4次，其中重量为280千克的堆里没有装错，可以判断出错误的堆数；装错的货物可以在1堆里，也可以在2堆里；如果装错的货物可以在1堆里，再最多称4次可以将装错的2箱货物区分出来；如果装错的货物可以在2堆里，再最多称3次可以将装错的2箱货物区分出来，所以最多需要称8次就能把乙车上装错的货物区分出来． 【详解】解：设甲、乙两车各有x箱货物装错，根据题意得： 解得：， 将乙车上的货物平均分为5堆，每堆4箱，将5堆货物最多称4次，其中重量为280千克的堆里没有装错，可以判断出错误的堆数；装错的货物可以在1堆里，也可以在2堆里；如果装错的货物可以在1堆里，先称两箱，如果这个两箱质量和为140或160千克，则可判断哪两箱是装错的，若这个两箱质量和为150千克，再选择这两箱中其中一箱称重量，就可以哪一箱是装错的，另两箱也同操作即可，最多称3次可以将装错的2箱货物区分出来；如果装错的货物可以在2堆里，每一堆都先称两箱，判断装错的在哪两箱中，然后在这两箱中称其中一箱就可以判断了，最多称4次可以将装错的2箱货物区分出来，所以最多需要称8次就能把乙车上装错的货物区分出来， 故答案为：2，8． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和推理，解题的关键是正确推理． 15．（2022·北京西城·模拟预测）我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况见表格，若按照这个百分比情况定制商品，至少定制小熊 个和钥匙扣 个，才能筹集到元资金即获得元利润． 小熊 钥匙扣 套装 进价 售价 购买意向 【答案】 【分析】设定制小熊、钥匙扣以及套装共件，根据小熊的利润，钥匙扣的利润与套装的利润和等于总利润元，列出方程，进行计算即可解答． 【详解】解：设定制小熊、钥匙扣以及套装共件，由题意得： ， 解得：， 单独买小熊：个， 单独买钥匙扣：个， 买套装：套， 至少定制小熊：个，定制钥匙扣：个， 至少定制小熊个，定制钥匙扣个． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握有关利润问题的等量关系是解题的关键． 16．（2022·北京密云·二模）某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示： （1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了 张宣传单； （2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择 图文社更省钱（填A或B）． 【答案】 800 B 【分析】（1）：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单，由题意知，，计算求解的值即可； （2）印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元，在B图文社印制需要元；比较费用的大小，进而可得答案． 【详解】（1）解：设街道居委会在A图文社印制了张宣传单，则在B图文社印制了张宣传单， 由题意知，， 解得，， 故答案为：800． （2）解：由题意知，印制5000张宣传单，在A图文社印制需要元； 在B图文社印制需要元； ∵， ∴B图文社更省钱， 故答案为：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于审清题意，正确的列方程求解． 17．（2022·北京东城·一模）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（ɡuǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为 尺，立夏的晷长为 尺． 【答案】 1 4.5 【分析】设相邻两个节气晷长减少的量为尺，由题意知，，计算求出相邻两个节气晷长减少或增加的量；根据立夏到夏至的减少量求解立夏的晷长即可． 【详解】解：设相邻两个节气晷长减少的量为尺， 由题意知，， 解得，， ∴相邻两个节气晷长减少或增加的量为1尺； ∵， ∴立夏的晷长为4.5尺； 故答案为：1；4.5． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意列方程． 18．（2023·北京平谷·二模）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A（绣球花）、B（祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为 元；若王先生选定了一个造型1作为中心图形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用个造型3填补空缺，若整个画面中，图案B个数不多于图案A数的2倍，且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的值 ． 【答案】 22 6（答案不唯一，6，7，8均可） 【分析】设A种图案成本每个x元，B种图案成本每个y元，根据造型1的成本64元，造型2的成本42元，列方程组，得出x、y的值，则由造型3的成本为元；再根据图案的个数不多于图案个数的2倍，且整体设计费用不超过500元，列不等式组，求得，然后由n为整数，得出n的值即可． 【详解】解：设A种图案成本每个x元，B种图案成本每个y元，根据题意，得 ，解得：， ∴(元)， 即造型3的成本为22元； 故答案为：22； 根据题意得：， 解得：， ∵n为整数， ∴，7，8， 故答案为：6（答案不唯一，6，7，8均可）． 【点睛】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，理解题意，列出方程组与不等式组是解题的关键． 19．（2023·北京昌平·二模）某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满. （1）要想使花费最少，需要 间两人间； （2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间. 【答案】 1 8 【分析】（1）要想使花费最少，则应尽可能多租三人间； （2）两人间打八折优惠时，应尽可能多租两人间，注意所有租住房间必须住满． 【详解】解：（1）由题意知，两人间每间200元，平均每人100元，三人间每间250元，平均每人元， 因此要想花费最少，则应尽可能多租三人间， 花费最少时，27个男生租9个三人间，23个女生可以租7个三人间和1个两个间， 故答案为：1； （2）两人间打八折优惠，则160元，平均每人80元， 此时，要想花费最少，则应尽可能多租两人间， 设27个男生租x个两个间，y个三个间，23个女生租m个两个间，n个三个间， 则，， 当，时，满足， 因此27个男生租12个两个间，1个三个间， 此时还剩两人间：（个）， 因此m可以取3，2，1，0， 当时，女生需要租三人间个，不合题意； 当时，女生需要租三人间个，不合题意； 当时，女生需要租三人间个，符合题意； 因此需要租三人间：（个）， 故答案为：8． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程，注意“所有租住房间必须住满”这一条件． 20．（2023·北京顺义·一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案 ；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是 ． 【答案】 二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）； 二人间3间，三人间1间，四人间4间． 【分析】设二人间、三人间分别需要间，间，则四人间需要间，则，整理得：，再利用方程的非负整数解可得答案；设住宿总费用为：元，而，则，再利用一次函数的性质解答即可． 【详解】解：设二人间、三人间分别需要间，间，则四人间需要间，则 ， 整理得：， ∵，，都为非负整数， ∴当时，，， ∴可行的住宿方案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间； 设住宿总费用为：元，而，则 ， ∵， ∴当最大，有最小值， ∵，，，都为非负整数， ∴时最大， 此时，； ∴最佳住宿方案为：二人间3间，三人间1间，四人间4间． 故答案为：二人间2间，三人间3间，四人间3间（答案不唯一）；二人间3间，三人间1间，四人间4间． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的整数解的应用，一次函数的应用，理解题意，构建方程与一次函数是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次方程（组） 课标要求 考点 考向 1．掌握等式的性质． 2．能解一元一次方程；掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组． 3．能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程式刻画现实世界数量关系的有效模型． 4．能利用一次方程解决实际应用问题，并能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 一元一次方程（组） 考向一 解一次方程（组） 考向二 解决实际问题 考点一 一元一次方程（组） ►考向一 解一元方程（组） 1．（2020·北京·中考真题）方程组的解为 ． 2．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为 ． 3．方程组的解为（ ） A． B． C． D． 4．已知方程组，则代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． ►考向二 解决实际问题 解题模型 常见模型及关系： 打折销售问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量 购买分配问题：总费用=甲的数量×甲的单价+乙的数量×乙的单价 工程问题：工作量=工作效率×工作时间 行程问题：路程=速度×时间 5．（2024·北京·中考真题）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 6．（2023·北京·中考真题）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）    7．（2021·北京·中考真题）某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为 ． 1．（2024·北京大兴·一模）某公园门票价格如下表：某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为和．若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为 ， ． 购票人数 80以上 门票价格 20元人 16元人 13元人 2．（2024·北京顺义·二模）羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的2倍还多包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 3．（2024·北京昌平·二模）如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 4．（2024·北京丰台·一模）小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题： (1)奉节到宜昌的水上距离是多少？ (2)李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由． 5．（2024·北京通州·一模）2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量． 6．（2024·北京房山·一模）在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长米，宽米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 7．（2024·北京海淀·一模）商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息： ．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为： ，； ．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半； ．甲、乙两种商品成本与售价信息如下： 甲商品的成本与售价信息表 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 成本 售价 m n p 乙商品的成本与售价统计图 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________； (2)表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高； (3)记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）． 8．（2024·北京海淀·一模）下图是某房屋的平面示意图．房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖．将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元．若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是，求每平方米木地板和瓷砖的价格．    9．（2024·北京·模拟预测）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为，且空白区域两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A区域10元，B区域15元，C区域20元，铺贴三个区域共花费150元，求C区域的面积． 10．（2024·北京大兴·一模）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有，两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度． 11．（2024·北京顺义·一模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”正要组成都分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此． 下图是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置送出货物的质量如图1所示，称量货物甲时，秤砣在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在D处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是．根据图中所给数据，求这把杆秤的秤星E对应的刻度是多少克． 12．（2024·北京西城·一模）某学校组织学生社团活动，打算恰好用元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套元，象棋每套元．所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍?若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由． 13．（2024·北京西城·模拟预测）如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．已知卡纸的长，宽，求每个栏目之间的中缝间距． 14．（2023·北京平谷·一模）某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A、B两种货物各20箱到展馆，货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱80千克，B种货物每箱70千克，因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重160千克，则甲、乙两车各有 箱货物装错，到达展馆，为了尽快把货物区分开，乙车司机借来了一台最多可以称300千克的秤精选最优称重方案，根据被错装货物出现的所有可能情况，最多需要称 次就能把乙车上装错的货物区分出来． 15．（2022·北京西城·模拟预测）我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况见表格，若按照这个百分比情况定制商品，至少定制小熊 个和钥匙扣 个，才能筹集到元资金即获得元利润． 小熊 钥匙扣 套装 进价 售价 购买意向 16．（2022·北京密云·二模）某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示： （1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了 张宣传单； （2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择 图文社更省钱（填A或B）． 17．（2022·北京东城·一模）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（ɡuǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为 尺，立夏的晷长为 尺． 18．（2023·北京平谷·二模）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A（绣球花）、B（祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为 元；若王先生选定了一个造型1作为中心图形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用个造型3填补空缺，若整个画面中，图案B个数不多于图案A数的2倍，且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的值 ． 19．（2023·北京昌平·二模）某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满. （1）要想使花费最少，需要 间两人间； （2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间. 20．（2023·北京顺义·一模）某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案 ；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$