专题02 整式与因式分解-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题02 整式与因式分解 课标要求 考点 考向 1．借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义． 2．能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示． 3．会求代数式的值，能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算． 4．了解整数指数幂的意义和基本性质. 5．理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算，能进行简单的整式乘法运算． 6．能推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能进行简单计算 7．能用提公因式法、公式法进行因式分解． 代数式、整式 考向一 列代数式 考向二 代数式求值 考向三 整式的相关概念 考向四 整式的运算 考向五 图形规律探索 因式分解 考向一 分解因式 考点一 代数式、整式 ►考向一 列代数式 1．（2024·北京朝阳·二模）甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为 ；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是 ．（填“”，“”或“”） ►考向二 代数式求值 解题技巧/易错易混 运用单项式乘多项式，多项式乘多项式，将题目中的代数式进行化简 注：代数式求值时， （1）熟练背诵法则； （2）运用完全平方公式、平方差公式展开化简； （3）注意符号 2．（2022·北京·中考真题）已知，求代数式的值． ►考向三 整式的相关概念 3．下列结论中，正确的是（   ） A．代数式是二次三项式 B．与是同类项 C．单项式系数是，次数是1 D．代数式的常数项是3 4．多项式是 次 项式． 5．写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①系数是负数；②次数是5．这个单项式可以是： ． ►考向四 整式的运算 解题技巧 （1）合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键 （2）利用数形结合的思想解答实际问题. 6．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 7．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 8．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2021·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 10.如图所示，将四个大小相同的小正方形按如图所示的方式放置变为一个大正方形，根据图形中阴影部分的面积，可以验证（   ） A． B． C． D． 11.如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，，则阴影部分的面积为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 12.在学习整式乘法这一章时，我们经常利用图形面积得到关于整式乘法或因式分解的等式． (1)如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为 ； (2)小明用四个如图3所示的小长方形，拼成如图4所示的大正方形． ①根据图4的图形面积，可以得到的一个等式是 ； ②利用①中的等式，解决问题：若，求一个小长方形的周长． 13.在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； (2)利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知，，求的值； ②已知，求的值． ►考向五 图形规律探索 14.（2023·北京石景山·二模）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：    ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置，标注字母e的卡片写有数字 ． 15．（2023·北京顺义·二模）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是 ，丙的三张牌上的数字是 ． 16．（2023·北京海淀·模拟预测）为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为，，，，，的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下： 大礼包编号 一等奖（个） 二等奖（个） 三等奖（个） 总奖品数（个） 1 5 4 10 2 3 3 8 3 1 4 8 4 2 5 11 5 1 3 9 3 4 5 12 该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案 （写出要购买的大礼包编号） 17．（2022·北京朝阳·二模）围棋是一种起源于中国的棋类游戏，在春秋战国时期即有记载，围棋棋盘由横纵各19条等距线段构成，围棋的棋子分黑白两色，下在横纵线段的交叉点上．若一个白子周围所有相邻（有线段连接）的位置都有黑子，白子就被黑子围住了．如图1，围住1个白子需要4个黑子，固住2个白子需要6个黑子，如图2，围住3个白子需要8个或7个黑子，像这样，不借助棋盘边界，只用15个黑子最多可以围住 个白子． 考点二 因式分解 ►考向一 分解因式 18．（2024·北京·中考真题）分解因式： . 19．（2023·北京·中考真题）分解因式：= . 20．（2021·北京·中考真题）分解因式： ． 1．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京石景山·二模）若，则代数式的值为 ． 3．已知，求代数式的值． 4．（2024·北京顺义·一模）小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究： 将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则 （用含n的代数式表示，其中n为自然数）． 5．（2022·北京石景山·一模），，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为 ． 6．（2023·北京海淀·三模）在表中，我们把第行第列的数记为（其中，都是不大于5的正整数），对于表中的每个数，规定如下：当时，；当时，．例如：当，时，．按此规定， ；表中的25个数中，共有 个1；计算的值为 ． 7．（2024·北京西城·模拟预测）已知，求代数式的值． 8．（2024·北京海淀·二模）已知，求代数式的值． 9．（2024·北京平谷·一模）已知，求代数式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式与因式分解 课标要求 考点 考向 1．借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义． 2．能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示． 3．会求代数式的值，能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算． 4．了解整数指数幂的意义和基本性质. 5．理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算，能进行简单的整式乘法运算． 6．能推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能进行简单计算 7．能用提公因式法、公式法进行因式分解． 代数式、整式 考向一 列代数式 考向二 代数式求值 考向三 整式的相关概念 考向四 整式的运算 考向五 图形规律探索 因式分解 考向一 分解因式 考点一 代数式、整式 ►考向一 列代数式 1．（2024·北京朝阳·二模）甲、乙、丙三个同学做游戏，他们同时从写有整数（）的三张卡片中各拿一张，获得与卡片上的数字相同数量的糖果后完成一次游戏，然后再按照此方式继续进行这个游戏．如果他们做了次游戏后，甲共获得颗糖果，乙共获得颗糖果，丙共获得颗糖果，并且知道在最后一次游戏中，丙拿到的是写有整数的卡片，那么的值为 ；第一次游戏时，乙拿到的卡片上写有的整数是 ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【知识点】整式的加减运算、列代数式 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，理解数量关系，掌握整式的运用方法是解题的关键． 根据题意可得，，结合均为正整数，可确定的取值范围，再根据每次游戏可能得结果进行推测即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，且为正整数， 当时，，不符合题意； 当时，， ∵是正整数， ∴为正整数， ∴当时，， ∵丙共获得颗糖果，且丙的卡片上写的是正数， ∴丙在前两次获得的糖果为颗， ∵甲共获得颗，乙共获得颗， ∴前两次中，甲共获得颗，乙获得颗， ∴前两次丙比乙多获得的糖果数为（颗）， ∵丙第一次获得糖果数至少为， ∴第一次乙获得糖果数至少为（颗），即， ∵乙三次共获得颗， ∴乙第一次获得糖果数至少为，即， ∴乙第一次获得糖果数为， 故答案为：． ►考向二 代数式求值 解题技巧/易错易混 运用单项式乘多项式，多项式乘多项式，将题目中的代数式进行化简 注：代数式求值时， （1）熟练背诵法则； （2）运用完全平方公式、平方差公式展开化简； （3）注意符号 2．（2022·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 【答案】５ 【分析】先根据，得出，将变形为，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将变形为，是解题的关键． ►考向三 整式的相关概念 3．下列结论中，正确的是（   ） A．代数式是二次三项式 B．与是同类项 C．单项式系数是，次数是1 D．代数式的常数项是3 【答案】A 【分析】本题考查多项式的相关概念、单项式的系数和次数、以及同类项的概念，掌握相关概念对选项逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、代数式是二次三项式，故A项正确，符合题意； B、与相同字母的次数不同，不是同类项，故B项错误，不符合题意； C、单项式系数是，次数是，故C项错误，不符合题意； D、代数式的常数项是，故D项错误，不符合题意； 故选：A． 4．多项式是 次 项式． 【答案】 五 三/3 【分析】本题考查了多项式的知识，每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的概念求解． 【详解】解：多项式是五次三项式． 故答案为：五，三． 5．写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①系数是负数；②次数是5．这个单项式可以是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．据此求解即可． 【详解】根据题意可得，这个单项式可以是：． 故答案为：（答案不唯一）． ►考向四 整式的运算 解题技巧 （1）合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键 （2）利用数形结合的思想解答实际问题. 6．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义及合并同类项法则，正确理解同类项的定义及合并同类项法则是解题的关键．根据同类项的定义及合并同类项法则即可判断答案． 【详解】A、与不是同类项，所以A选项错误，不符合题意； B、与是同类项，合并同类项得0，所以B选项正确，符合题意； C、，所以C选项错误，不符合题意； D、与不是同类项，所以D选项错误，不符合题意． 故选：B． 7．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方等知识，根据幂的运算法则逐项计算即可得到答案． 【详解】解：A、，故选项A运算错误，不符合题意； B、，故选项B运算错误，不符合题意； C、，故选项C运算错误，不符合题意； D、，故选项D运算正确，符合题意． 故选：D． 8．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方运算法则；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 9．（2021·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】先对代数式进行化简，然后再利用整体思想进行求解即可． 【详解】解： = =， ∵， ∴， 代入原式得：原式=． 【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式，熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键． 10.如图所示，将四个大小相同的小正方形按如图所示的方式放置变为一个大正方形，根据图形中阴影部分的面积，可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，四个阴影小正方形可以拼成边长为的正方形，阴影部分的面积还等于边长为a的正方形的面积减去之间十字架的面积，由此列等式即可． 【详解】解：阴影部分的面积是四个阴影小正方形的面积和，由拼图可得四个阴影小正方形可以拼成边长为的正方形，因此面积为， 阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去之间十字架的面积，即：， 因此有， 故选A． 11.如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若，，则阴影部分的面积为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查整式混合运算的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键．根据大三角形的面积减小三角形的面积等于阴影部分面积，可列出算式，再结合完全平方公式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：阴影部分面积为 ． 故选A． 12.在学习整式乘法这一章时，我们经常利用图形面积得到关于整式乘法或因式分解的等式． (1)如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为 ； (2)小明用四个如图3所示的小长方形，拼成如图4所示的大正方形． ①根据图4的图形面积，可以得到的一个等式是 ； ②利用①中的等式，解决问题：若，求一个小长方形的周长． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）用代数式，分表表示图1，图2中的面积，即可求解， （2）①用代数式，分表表示图3，图4中的面积，即可求解，②将，代入求出，根据长方形周长公式，即可求解， 本题考查了平方差公式，解题的关键是：用代数式表示出图形中的面积． 【详解】（1）解：由图1得：， 由图2得：， 根据面积相等，得到：， （2）解：①由图3得：， 由图4得：， 根据面积相等，得到：， ②∵，， ∴，解得：， 所以小长方形的周长为：． 13.在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． (1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； (2)利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）①利用（1）的结论可得：，然后进行计算即可解答； ②设，，则，，然后利用（1）的结论进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：阴影部分的面积， 即； （2）①由（1）可得：， ∵，， ∴，解得：； ②设，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． ►考向五 图形规律探索 14.（2023·北京石景山·二模）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：    ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母 的位置，标注字母e的卡片写有数字 ． 【答案】 B 4 【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案． 【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片， 白卡片数字1摆在了标注字母B的位置， 黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，； 第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾， 第一行中C为白2； 第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾， 第二行中c为白3， 第二行中a为黑2，b为黑3； 第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾， 第二行中e为白4． 故答案为：①B，②4． 【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置． 15．（2023·北京顺义·二模）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是 ，丙的三张牌上的数字是 ． 【答案】 【分析】根据题意先分析出甲的可能结果，然后结合乙的三个奇数，筛选出合适的，最后再按照乙丙的三张牌数字和相同进行分配即可． 【详解】解：已知红桃有数字共计张牌 甲的三张牌数字之和为的情况有、、三种组合， 张牌中共有个奇数，乙的三张牌上的数字都是奇数， 甲最多只能有一个奇数，只有符合， 乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同， 乙的三张牌数字为，丙的三张牌数字为， 故答案为：； 【点睛】本题考查了数字类组合运算，按照题目进行逐步筛选和分析是解题关键． 16．（2023·北京海淀·模拟预测）为了鼓励本次模拟练习取得进步的同学，某班决定给该部分同学发放奖品，学习用品商店为了提高营业额，将商品打包促销（每个大礼包限购1个），老师发现了编号分别为，，，，，的六个大礼包中均含有老师需要的一、二、三等奖的奖品，每个大礼包中的各类奖品数量如下： 大礼包编号 一等奖（个） 二等奖（个） 三等奖（个） 总奖品数（个） 1 5 4 10 2 3 3 8 3 1 4 8 4 2 5 11 5 1 3 9 3 4 5 12 该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，请同学们帮助老师写出满足条件的购买方案 （写出要购买的大礼包编号） 【答案】各买一个（答案不唯一） 【分析】根据该班需要的总的奖品个数不超过41个，且一等奖的个数不少于8个，不超过14个，二等奖的个数不少于7个，不超过13个，且三等奖的个数最多，进行判断即可． 【详解】解：当购买各一个时： 一等奖的个数为：，，满足题意； 二等奖的个数为：，，满足题意； 三等奖的个数为：，，满足题意； 奖品总个数为：，满足题意； 故答案为：各买一个（答案不唯一）． 【点睛】本题考查有理数的加法的实际应用．解题的关键是根据题意，列出算式，进行求解． 17．（2022·北京朝阳·二模）围棋是一种起源于中国的棋类游戏，在春秋战国时期即有记载，围棋棋盘由横纵各19条等距线段构成，围棋的棋子分黑白两色，下在横纵线段的交叉点上．若一个白子周围所有相邻（有线段连接）的位置都有黑子，白子就被黑子围住了．如图1，围住1个白子需要4个黑子，固住2个白子需要6个黑子，如图2，围住3个白子需要8个或7个黑子，像这样，不借助棋盘边界，只用15个黑子最多可以围住 个白子． 【答案】21 【分析】根据题意可得到黑子的个数为4=4×1，最多可以围住白子的个数为1=2×12-2×1+1，黑子的个数为6=4×2-2，最多可以围住白子的个数为2=2×22-4×2+2；黑子的个数为7=4×2-1，最多可以围住白子的个数为3=2×22-3×2+1；黑子的个数为8=4×2，最多可以围住白子的个数为5=2×22-2×2+1；黑子的个数为9=4×3-3，最多可以围住白子的个数为6=2×32-5×3+3，由此可设黑子的个数为4n-x，其中0≤x≤3，得到当x=0时，最多可以围住白子的个数为2n2-2n+1；当x=1时，最多可以围住白子的个数为2n2-3n+1；当x=2时，最多可以围住白子的个数为2n2-4n+2；当x=3时，最多可以围住白子的个数为2n2-5n+3即可求解． 【详解】解：根据题意得：黑子的个数为4=4×1，最多可以围住白子的个数为1=2×12-2×1+1， 黑子的个数为6=4×2-2，最多可以围住白子的个数为2=2×22-4×2+2， 黑子的个数为7=4×2-1，最多可以围住白子的个数为3=2×22-3×2+1， 黑子的个数为8=4×2，最多可以围住白子的个数为5=2×22-2×2+1， 黑子的个数为9=4×3-3，最多可以围住白子的个数为6=2×32-5×3+3， ∴可设黑子的个数为4n-x，其中0≤x≤3， 当x=0时，最多可以围住白子的个数为2n2-2n+1； 当x=1时，最多可以围住白子的个数为2n2-3n+1； 当x=2时，最多可以围住白子的个数为2n2-4n+2； 当x=3时，最多可以围住白子的个数为2n2-5n+3； ∴当黑子的个数为15=4×4-1时，最多可以围住白子的个数为2×42-3×4+1=21个． 故答案为：21 考点二 因式分解 ►考向一 分解因式 18．（2024·北京·中考真题）分解因式： . 【答案】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 19．（2023·北京·中考真题）分解因式：= . 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）= 考点：分解因式 点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式． 20．（2021·北京·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 1．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 2．（2024·北京石景山·二模）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式和单项式乘以多项式运算的化简求值， 首先由得到，然后根据平方差公式和单项式乘以多项式运算法则化简，最后代数求解即可． 【详解】∵ ∴ ． 故答案为：． 3．已知，求代数式的值． 【答案】，-2 【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把变形后，整体代入求值即可． 【详解】解：原式= ∵， ∴， ∴， ∴原式=． 【点睛】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键． 4．（2024·北京顺义·一模）小明观看了纸牌魔术表演，非常感兴趣，并做了如下实验和探究： 将几张纸牌摞起来（从上面分别记为第1张，第2张，第3张），先将第1张牌放到整摞牌的下面，再去掉第2张牌；继续将第3张牌放在整摞牌的下面，再去掉第4张牌……如此循环往复，最终到只留下一张纸牌为止．例如，若将4张纸牌摞起来，按上述规则操作，陆续去掉第2张，第4张，第3张，最终留下第1张纸牌．将8张纸牌摞起来，按上述规则操作，最终留下的是第 张纸牌；将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌，则 （用含n的代数式表示，其中n为自然数）． 【答案】 1 【分析】题目主要考查规律探索，理解题意，找出相应的规律是解题关键 8张纸牌顺序从上到下为，(将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮)，1，2，3，4，5，6，7，8，按照规则依次即可得出结果；根据题意找出相应规律即可得出结果． 【详解】解：8张纸牌顺序从上到下为，(将1张牌放到牌底，去掉下一张视为一轮)，1，2，3，4，5，6，7，8， 前四轮去掉了2，4，6，8， 还剩下4张纸牌从上至下为1，3，5，7， 再经过2轮去掉3，7， 还利2张纸牌、从上至下为1，5， 再经过1轮，去掉5， 最终剩下的是原来的第1张纸牌； 由条件中4张纸牌，按上述规则操作后，最后留下的第1张纸牌， 将m张纸牌摞起来，按上述规则操作，若最终留下的是第1张纸牌， ∴； 故答案为：1；． 5．（2022·北京石景山·一模），，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为 ． 【答案】 【分析】设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为，根据最大正方形的面积计算即可． 【详解】设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为： ∵， ∴ ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式与几何图形，利用数形结合思想表示图形的边长是解题的关键． 6．（2023·北京海淀·三模）在表中，我们把第行第列的数记为（其中，都是不大于5的正整数），对于表中的每个数，规定如下：当时，；当时，．例如：当，时，．按此规定， ；表中的25个数中，共有 个1；计算的值为 ． 【答案】 0 15 1 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据当时，．当时，进行解答即可；由图表中可以很容易知道等于1的数有15个． 【详解】解：由题意，很容易发现，从i与j之间大小分析： 当时，， ∴； 当时，， 由图表可知共有15个1； ， ∵是不大于5的正整数， ∴， ∴． 故答案为：0；15；1． 【点睛】本题考查数字的变化，理解当时，．当时，，是解题的关键． 7．（2024·北京西城·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式，多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算，即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，代数式求值，等式的性质，完全平方公式等知识点，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键． 8．（2024·北京海淀·二模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据可得出，代数式提因式得到，再用平方差公式即可得出，即可得到答案． 【详解】解：， 即， 9．（2024·北京平谷·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算单项式乘多项式及求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和单项式乘多项式展开，再合并同类项，然后将变形为，最后代入计算即可． 【详解】解： 原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$