专题01 实数及其运算-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

专题01 实数及其运算 课标要求 考点 考向 1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）． 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 5．能运用有理数的运算解决简单的问题． 6．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值． 7．能用有理数估计一个无理数的大致范围． 有理数 考向一 正负数与具有相反意义的量 考向二 数轴、相反数、绝对值、倒数 考向三 有理数的加减运算 考向四 有理数的混合运算 考向五 科学记数法和有效数字 实数 考向一 平方根与立方根 考向二 实数的相关性质与运算 考向三 新定义实数运算 考点一 有理数 ►考向一 正负数与具有相反意义的量 1．举出一个数字“”表示正负之间分界点的实际例子，如 ． 2．如果向东走5米记作米，那么向西走10米可记作 米． 3．中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为元，那么亏损20元记为 元． ►考向二 数轴、相反数、绝对值、倒数 易错易混提醒 （1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点） （2）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 （3）数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. 4．的相反数是（ ） A． B． C． D．9 【详解】相反数．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此－9的相反数是9．故选D． 5．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 7．实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（    ） A．2 B．-1 C．-2 D．-3 ►考向三 有理数的加减运算 解题技巧/易错易混 规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算 步骤：（1）减法化加法； （2）省略括号和加号； （3）运用加法运算律使计算简便； （4）运用有理数加法法则进行计算。 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行： （1）同号的先结合； （2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合； （3）互为相反数的两数相结合； （4）能凑成整数的两数相结合； （5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加 8．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 9．2024年9月5日，中非合作论坛在北京举行，为了确保本次论坛的顺利进行，长安街沿线加强警力巡逻，某巡警早上从南礼士路口出发，骑摩托车在东西走向的长安街上巡逻，最终到达A处，规定向东为正，向西为负，当天行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． (1)通过计算说明A处在南礼士路口的什么方向？距离南礼士路口有多远？ (2)若巡警所骑摩托车行驶1千米耗油升，则这一天摩托车共耗油多少升？ ►考向四 有理数的混合运算 解题技巧 多个有理数相乘的法则及规律： （1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。 确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。 （2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0. 注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘 10.（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 11．某公园划船项目收费标准如下： 船型 两人船 （限乘两人） 四人船 （限乘四人） 六人船 （限乘六人） 八人船 （限乘八人） 每船租金 （元/小时） 90 100 130 150 某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 元． 12．（2024·北京·模拟预测）小明与小李讨论小区、学校和超市的距离． 小明：我从家到学校需要5分钟，从家到超市需要7分钟 小李：那你从学校到超市需要多少分钟呢？ 小明：大约是分钟吧 假设小明行走的速度恒定不变，小明可能推测的a取值范围为 13．（2024·北京西城·二模）在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选手胜一场得3分．负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选手的成绩记为（分），则的最小值为 ；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛环节的平局总数至少为 场． ►考向五 科学记数法和有效数字 14．（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（2023·北京·中考真题）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 16．（2011·北京·中考真题）我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（　　） A．66.6×107 B．0.666×108 C．6.66×108 D．6.66×107 考点二 实数 ►考向一 平方根与立方根 17．（2021·北京·中考真题）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 18.（2024·北京门头沟·一模）在中，，，，点P在线段上（不与B、C两点重合），如果的长度是个无理数，则的长度可以是 ．（写出一个即可） ►考向二 实数的相关性质与运算 19．（2022·北京西城·二模）在同一条数轴上分别用点表示实数，0，，，则其中最左边的点表示的实数是（    ） A． B．0 C． D． 20．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（    ） A．-3 B．-2 C．-1 D．1 21．实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． ►考向三 新定义实数运算 22．（2024·北京·模拟预测）对于最小的，使得任意个人中必定存在个人均相互认识或存在个人互相不相识．我们称．下列表述错误的是？（    ） A． B． C． D．我不能在考场上计算出的值 23．（2024·北京·模拟预测）对于实数，我们用表示不超过的最大整数．下列表述错误的是？（    ） A． B．函数的最大值为1，最小值为0 C．函数不存在对称轴 D．随着的增大，函数和函数越来越接近 1．如果表示向东走，则表示 ． 2．（2023·北京石景山·一模） ． 3．（2024·北京东城·二模）若实数的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·北京海淀·二模）有A，B，C，D，E，F 六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，记作一个“卡牌组合”（不考虑顺序）．将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表： 卡牌类型 A B C D E F 数量（张） 4 10 3 10 1 2 根据以上信息，可知： ① n= ； ② 拥有“卡牌组合” 的人数最少（横线上填出三张卡牌的类型）． 5．（2024·北京石景山·二模）如图，交通示意图中的A，B，C是产地（用■表示，旁边的数字表示产量，单位：吨），D，E，F是销地（用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨），产地与销地之间的线段旁小括号内的数字表示运货单价（单位：百元/吨）．在不考虑其他因素的前提下，将产地B的8吨货物全部运往销地，最少的运费为 元；将A，B，C三个产地的产品全部运往销地，且每个销地的货物量恰好为该销地的销量，则调运的最小运费为 元． 6．（2024·北京西城·模拟预测）微粒子是指具有极小质量和体积的物质粒子，可以分为原子、分子、离子等．世纪年代，美国物理学家默里·盖尔曼和·茨威格各自独立提出了中子、质子这一类粒子是由更基本的单元——夸克组成的，夸克的半径大约为米，将化成科学记数法为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·北京丰台·二模）已知，，，，那么精确到的近似值是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·北京海淀·二模）由，，我们可以确定是两位数．根据类似的想法，由于1225个位上的数是5，我们能确定个位上的数是 ，如果只看1225的前两位12，而，，我们能确定十位上的数是 ． 9．（2024·北京丰台·一模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 10．（2024·北京平谷·一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示： 阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段 工序 所需时间/分钟 加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短 在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元． 11．（2024·北京石景山·一模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 12．（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案 （按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要 ． 13．（2024·北京通州·一模）某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作． 工作代码 工作名称 持续时间（天） 前期工作 A 张贴海报、收集作品 7 无 B 购买展览用品 3 无 C 打扫展厅 1 无 D 展厅装饰 3 C E 展位设计与布置 3 ABD F 展品布置 2 E G 宣传语与环境布置 2 ABD H 展前检查 1 FG （1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要 天； （2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要 天． 14．（2024·北京西城·一模）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为 ，第37个空格所填入的数为 ． 37 15．（2024·北京海淀·一模）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 16．（2023·北京朝阳·二模）甲、乙两个商家销售某款电子产品，原价都是100元/件． 甲商家的促销方式为： 购买件数（单位：件） 1～5 6～10 11～15 16～20 20以上 每件价格（单位：元） 95 90 85 80 75 乙商家的促销方式为： 购买件数（单位：件） 1～8 9～16 17～24 24以上 每件价格（单位：元） 90 85 80 75 若A公司在甲商家一次性购买10件该款电子产品，则购买的总费用为 元； 若B公司分三次购买该款电子产品共35件，且每次至少购买5件，则购买的总费用最少为 元． 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 实数及其运算 课标要求 考点 考向 1．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小． 2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）． 3．理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）． 4．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算. 5．能运用有理数的运算解决简单的问题． 6．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．能求实数的相反数与绝对值． 7．能用有理数估计一个无理数的大致范围． 有理数 考向一 正负数与具有相反意义的量 考向二 数轴、相反数、绝对值、倒数 考向三 有理数的加减运算 考向四 有理数的混合运算 考向五 科学记数法和有效数字 实数 考向一 平方根与立方根 考向二 实数的相关性质与运算 考向三 新定义实数运算 考点一 有理数 ►考向一 正负数与具有相反意义的量 1．举出一个数字“”表示正负之间分界点的实际例子，如 ． 【答案】0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一） 【分析】根据数学中0表示数的意义解答即可． 【详解】在实际中，数字“0”表示正负之间分界点，如：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）． 故答案为：0℃可以表示温度正负分界等（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了正数和负数的意义，熟练掌握既不是正数，也不是负数的0的意义是解本题的关键．0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 2．如果向东走5米记作米，那么向西走10米可记作 米． 【答案】 【分析】本题主要考查正负数的意义，此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东走记为正，则向西走就记为负，由此直接得出结论即可． 【详解】解：如果向东走5米，记作米，那么向西走10米记作米． 故答案为：． 3．中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为元，那么亏损20元记为 元． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：盈利元记作元，那么亏损元可记作元， 故答案为：． ►考向二 数轴、相反数、绝对值、倒数 易错易混提醒 （1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点） （2）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 （3）数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. 4．的相反数是（ ） A． B． C． D．9 【答案】D 【详解】相反数．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此－9的相反数是9．故选D． 5．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意； B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意； C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意； D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．（2022·北京·中考真题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上的点的特征即可判断． 【详解】解：点a在2的右边，故a>2，故A选项错误； 点b在1的右边，故b>1，故B选项错误； b在a的右边，故b>a，故C选项错误； 由数轴得：2<a<1.5，则1.5<a<2，1<b<1.5，则，故D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 7．实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（    ） A．2 B．-1 C．-2 D．-3 【答案】B 【分析】先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， ， ∴， 观察四个选项，只有选项B符合. 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义，确定b的取值范围是解题关键． ►考向三 有理数的加减运算 解题技巧/易错易混 规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算 步骤：（1）减法化加法； （2）省略括号和加号； （3）运用加法运算律使计算简便； （4）运用有理数加法法则进行计算。 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行： （1）同号的先结合； （2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合； （3）互为相反数的两数相结合； （4）能凑成整数的两数相结合； （5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加 8．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运用各个运算法则是解题关键． （1）直接根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）利用乘法运算律求解即可； （3）直接根据有理数的乘除混合运算法则计算即可； （4）先计算有理数的乘方运算，绝对值，然后计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式： ． 9．2024年9月5日，中非合作论坛在北京举行，为了确保本次论坛的顺利进行，长安街沿线加强警力巡逻，某巡警早上从南礼士路口出发，骑摩托车在东西走向的长安街上巡逻，最终到达A处，规定向东为正，向西为负，当天行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，，，． (1)通过计算说明A处在南礼士路口的什么方向？距离南礼士路口有多远？ (2)若巡警所骑摩托车行驶1千米耗油升，则这一天摩托车共耗油多少升？ 【答案】(1)A处在南礼士路口的东侧，距南礼士路口5千米 (2)升 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，正数与负数，以及绝对值的运用，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）先对题中行驶情况的数据求和，根据其正负可得方向，根据数值可得距离； （2）先对题中行驶情况的数据的绝对值求和，再用其乘，即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴A处在南礼士路口的东侧，距南礼士路口5千米． （2）解：（千米）， （升）， 故这一天摩托车共耗油升． ►考向四 有理数的混合运算 解题技巧 多个有理数相乘的法则及规律： （1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。 确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。 （2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0. 注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘 10.（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【难度】0.4 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 11．某公园划船项目收费标准如下： 船型 两人船 （限乘两人） 四人船 （限乘四人） 六人船 （限乘六人） 八人船 （限乘八人） 每船租金 （元/小时） 90 100 130 150 某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 元． 【答案】380 【分析】分析题意，可知，八人船最划算，其次是六人船，计算出最总费用最低的租船方案即可. 【详解】租用四人船、六人船、八人船各1艘，租船的总费用为（元） 故答案为380. 【点睛】考查统筹规划，对船型进行分析，找出总费用最低的租船方案即可. 12．（2024·北京·模拟预测）小明与小李讨论小区、学校和超市的距离． 小明：我从家到学校需要5分钟，从家到超市需要7分钟 小李：那你从学校到超市需要多少分钟呢？ 小明：大约是分钟吧 假设小明行走的速度恒定不变，小明可能推测的a取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减应用，解题的关键是需要进行分类讨论，求出最大（小）值，即可确定范围． 【详解】解：当学校与超市在小明家的同一侧且三者到同一条直线上时，小明从学校到超市需要分钟， 当学校与超市在小明家的两侧且三者到同一条直线上时，小明从学校到超市需要分钟， 故， 故答案为：． 13．（2024·北京西城·二模）在某次比赛中，5位选手进入决赛环节，决赛赛制为单循环形式（每两位选手之间都赛一场）．每位选手胜一场得3分．负一场得0分，平局得1分．已知这次比赛最终结果没有并列第一名，获得第一名的选手的成绩记为（分），则的最小值为 ；当获得第一名的选手的成绩恰好为最小值时，决赛环节的平局总数至少为 场． 【答案】 6 4 【分析】本题考查规律型，数字的变化类，根据比赛要求求出总的场次，即可得出所有选手的得分总和的范围，再分析出每名选手的比赛场次，根据题意分析出没有并列第一名，且需要求第一名选手成绩的最小值，此条件下，可得有一名选手至少赢一场，就可与其他选手拉开差距，且此时第一名的成绩也可以尽可能的小，进行计算即可的出结论﹒ 【详解】解：已知5名选手，两两之间只比赛一场， 则共比赛场次为： (场)， 因为胜场得分3分，负一场得分0分，若平局，则两位选手各得1分， 因此10场全为胜场时，所有选手的总分最高为： (分) ， 10场全为平局时，所有选手的总分最少为： (分)， 因为没有并列第一名，且需要求第一名选手成绩的最小值， 所以当10场中9平1胜时，即有一名选手赢一场，就可与其他选手拉开差距， 此时所有选手的总分为：（分）， 此条件下可得第一名的成绩为： (分)， 则m的最小值为6； 当10场中9胜1平时，所有选手总分为：（分）， 当10场中8胜2平时，所有选手总分为：（分）， 当10场中7胜3平时，所有选手总分为：（分）， …… 依次类推，可知：所有选手的总分越大时，平局的场次越少， 即在第一名为6分时，总分越大时，平局得场次就越小， 当第一名为6分，其余四位选手均为5分时，所有选手此时的总分最大， 且为：（分）， 当10场中6胜4平时，所有选手总分为：（分）， 故平局是数最少为4场， 故答案为：6，4． ►考向五 科学记数法和有效数字 14．（2024·北京·中考真题）为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】， 故选D． 15．（2023·北京·中考真题）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值． 16．（2011·北京·中考真题）我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（　　） A．66.6×107 B．0.666×108 C．6.66×108 D．6.66×107 【答案】C 【详解】665 575 306≈6.66×108． 故选C． 考点二 实数 ►考向一 平方根与立方根 17．（2021·北京·中考真题）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】由题意可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 18.（2024·北京门头沟·一模）在中，，，，点P在线段上（不与B、C两点重合），如果的长度是个无理数，则的长度可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了垂线段最短，无理数的定义，解题的关键是掌握垂线段最短，以及无理数的定义． 根据垂线段最短得出，则，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 则 ∴， ∴的长度可以是， 故答案为：（答案不唯一，） ►考向二 实数的相关性质与运算 19．（2022·北京西城·二模）在同一条数轴上分别用点表示实数，0，，，则其中最左边的点表示的实数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上的数右边的总比左边的大，找出最左边的点即可． 【详解】解：∵|−4|=4，3<<4，则-4<−<-3， ∴−<-1.5<0<|−4|， ∴最左边的点表示的实数是−， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，熟记数轴上的数右边的总比左边的大是解题的关键． 20．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（    ） A．-3 B．-2 C．-1 D．1 【答案】A 【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为-2，据此可得a=-2-1=-3． 【详解】解：∵点C在原点的左侧，且CO=BO， ∴点C表示的数为-2， ∴a=-2-1=-3． 故选A． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 21．实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在数轴上的位置，结合有理数的乘法、加法，绝对值的意义可得答案． 【详解】解：由题意得：， 由题意可得，，所以A错误， 由，则，所以B错误， 由，则，即 所以C正确， ∵，，∴所以D错误， 故选择：C． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数的加法与乘法结果的符号的确定，绝对值的大小，掌握以上知识是解题的关键． ►考向三 新定义实数运算 22．（2024·北京·模拟预测）对于最小的，使得任意个人中必定存在个人均相互认识或存在个人互相不相识．我们称．下列表述错误的是？（    ） A． B． C． D．我不能在考场上计算出的值 【答案】D 【详解】解：A．根据再同一个社交群中，无论找个相互认识的人，还是找个相互不认识的人，只是换了一种角度，结果相同，故，正确，不符合题意； B．在两个人的情况下，如果两个人相互认识，，如果两个人相互不认识，，故正确，不符合题意； C．在一个8个人的群体中，根据数的性质，必定存在3个人相互认识或者3个人相互不认识，故正确，不符合题意； D．虽然对于较大的数，，计算比较困难，但不意味着不能被计算出来，说法太绝对，故错误，符合题意； 故选：D． 23．（2024·北京·模拟预测）对于实数，我们用表示不超过的最大整数．下列表述错误的是？（    ） A． B．函数的最大值为1，最小值为0 C．函数不存在对称轴 D．随着的增大，函数和函数越来越接近 【答案】B 【详解】解：A．正确，不符合题意； B．函数没有最大值，最小值为0，故表述错误，符合题意； C．当时，，当时，，故函数不存在对称轴，正确，不符合题意； D．随着的增大，函数和函数的函数值越来越接近0，正确，不符合题意； 故选：B． 1．如果表示向东走，则表示 ． 【答案】向西走 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：正数表示向东，则负数就表示向西，由此得出表示向西． 【详解】解：如果表示向东走，那么表示向西． 故答案为：向西走． 【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 2．（2023·北京石景山·一模） ． 【答案】 【分析】绝对值的化简，按照化简对象是正数，负数，零，这三种情形逐一对号入座，按照原则化简即可． 【详解】∵表示的绝对值的相反数，， ∴． 故答案为： 3．（2024·北京东城·二模）若实数的取值范围在数轴上的表示如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质，化简绝对值，根据绝对值的性质与不等式的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，故A不符合题意； ∵， ∴，故B符合题意； ∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意； 故选：B 4．（2022·北京海淀·二模）有A，B，C，D，E，F 六种类型的卡牌，每位同学有三张不同类型的卡牌，记作一个“卡牌组合”（不考虑顺序）．将n位同学拥有的卡牌按类型分别统计，得到下表： 卡牌类型 A B C D E F 数量（张） 4 10 3 10 1 2 根据以上信息，可知： ① n= ； ② 拥有“卡牌组合” 的人数最少（横线上填出三张卡牌的类型）． 【答案】 10 BDE 【分析】先求出所有卡牌的数量，再除以每位同学拥有的卡牌数量即可求出同学人数n；根据卡牌的数量和同学人数分析这些同学所拥有的“卡牌组合”并计算人数，再选择人数最少的即可． 【详解】解：所有卡牌的数量为4+10+3+10+1+2=30． 同学人数n为30÷3=10． ∵B型卡牌和D型卡牌各有10张，且每位同学有三张不同类型的卡牌， ∴每位同学一定有1张B型卡牌和1张D型卡牌． ∵A型卡牌有4张，C型卡牌牌有3张，E型卡牌有1张，F型卡牌有2张， ∴拥有“卡牌组合”BDA的有4人，拥有“卡牌组合”BDC的有3人，拥有“卡牌组合”BDE的有1人，拥有“卡牌组合”BDF的有2人． ∵1<2<3<4， ∴拥有“卡牌组合”BDE的人数最少． 故答案为：10；BDE． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数的加法运算，有理数的除法运算，熟练掌握这些知识点是解题关键． 5．（2024·北京石景山·二模）如图，交通示意图中的A，B，C是产地（用■表示，旁边的数字表示产量，单位：吨），D，E，F是销地（用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨），产地与销地之间的线段旁小括号内的数字表示运货单价（单位：百元/吨）．在不考虑其他因素的前提下，将产地B的8吨货物全部运往销地，最少的运费为 元；将A，B，C三个产地的产品全部运往销地，且每个销地的货物量恰好为该销地的销量，则调运的最小运费为 元． 【答案】 2400 6000 【分析】本题考查了地点统筹优化问题，同时考虑到运费和销售地的销量是解题的关键． 将产地B的8吨货物全部运往销地D，或一部分运往销地D，一部分运往销地F，运费都是一样，则可求最少运费； A地的5吨必然运往D，B地要运吨到D，剩下的吨运往E地，C地的运5吨到F，运吨到E，这样每个销地的货物量恰好为该销地的销量，可使运费最少，求解即可． 【详解】解：将产地B的8吨货物全部运往销地最少的运费为： （元）， 故答案为：； A地的5吨必然运往D，B地要运吨到D，剩下的吨运往E地，C地的运5吨到F，运吨到E，这样每个销地的货物量恰好为该销地的销量，可使运费最少，则最少运费为： （元）， 故答案为：． 6．（2024·北京西城·模拟预测）微粒子是指具有极小质量和体积的物质粒子，可以分为原子、分子、离子等．世纪年代，美国物理学家默里·盖尔曼和·茨威格各自独立提出了中子、质子这一类粒子是由更基本的单元——夸克组成的，夸克的半径大约为米，将化成科学记数法为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定；解题时只要明确用科学记数法可以表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左起第一个不为的数字前面的的个数所决定即可； 【详解】解： 故选：B 7．（2023·北京丰台·二模）已知，，，，那么精确到的近似值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据无理数的估算确定的取值范围，再利用四舍五入找出近似值即可． 【详解】解：， ， ，， 精确到的近似值是， 故选B． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 8．（2022·北京海淀·二模）由，，我们可以确定是两位数．根据类似的想法，由于1225个位上的数是5，我们能确定个位上的数是 ，如果只看1225的前两位12，而，，我们能确定十位上的数是 ． 【答案】 5 3 【分析】根据题意，以题目给出的思路和方法进行推理得出答案，5的任何次方尾数均是5，则可求解①，根据题意确定1225的平方根是两位数，再根据3的平方和4的平方即可确定②． 【详解】∵5的任何次方尾数均是5， ∴1225的平方根的个位数是5， ∵，，9＜12＜16， ∴1225的平方根的十位数是3， 故答案为：5，3． 【点睛】考查了实数的意义，平方根的意义以及尾数的特征等知识，阅读理解题目提供的解题方法是解答本题的关键． 9．（2024·北京丰台·一模）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是 （填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元． 【答案】 ① 1010 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键． （1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修，修复时间最短，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总停产时间：分钟， ②总停产时间：分钟， ③总停产时间：分钟， 故答案为：①； （2）一名修理工修按D，E，C的顺序修，另一名修理工修按B，A的顺序修， 分钟， （元） 故答案为：1010． 10．（2024·北京平谷·一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示： 阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段 工序 所需时间/分钟 加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短 在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题得到关键．求出各个阶段的工序最长时间和即可求出加工该件艺术品最少需要的时间；在准备阶段若缩短分钟，在制作阶段若缩短分钟，最后分钟则看两个阶段谁投入的费用少，即可求解． 【详解】解：一共有三个阶段，各阶段内的几个工序可以同时进行， 则加工该件艺术品最少需要：（分钟）； 需将加工时间缩短到分钟，则共需要缩短分钟， 在准备阶段若缩短分钟，则需要投入（元）， 在制作阶段若缩短分钟，则需要投入（元）， 还要分钟，在准备阶段缩短分钟需要投入（元），在制作阶段缩短分钟需要投入（元），， 综上，最少投入为：（元）， 故答案为：，． 11．（2024·北京石景山·一模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下： ①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行； ②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤； ③每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备 所需时间/分钟 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 分钟． 【答案】 43 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式求出甲单独完成一间客房的清洁工作，需要的时间即可；按照题目要求让甲完成四间客房的打扫卫生工作，同时乙，丙完成另外三项工作，最后一间客房的另外三项工作由甲、乙、丙同时完成，计算出时间即可． 【详解】解：甲单独完成一间客房的清洁工作，需要的时间为： （分钟）， 甲先完成第1间客房的卫生打扫工作，然后乙完成第1间客房的更换客用物品和检查设备，丙完成第1间客房整理床铺工作，完成后再等2分钟，开始第1间客房的更换客用物品和检查设备，乙完成后再进行第2间客房整理床铺工作，完成后再等1分钟，开始第3间客房的更换客用物品和检查设备，丙完成第2间客房工作后，马上再完成第3间客房整理床铺工作，当甲完成第四间客房打扫卫生工作后，三个人同时完成剩余的三项工作，这样所需要的时间为： （分钟）， 即甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要43分钟． 故答案为：26；43． 12．（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下： ①每台设备同一时间只能加工一件工艺品； ②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工； ③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：）如下表所示：    （1） 若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20，请写出一种满足条件的加工方案 （按顺序写出工艺品的编号）； （2） A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要 ． 【答案】 答案不唯一，如BCA 15 【分析】本题考查了有理数的加法，概率的分析应用是解题的关键． （1）罗列出6种情况，选择符合题意的即可； （2）罗列出6种情况，进行比较大小即可． 【详解】按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要， 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要； 按照顺序加工，需要． （1）总时长不超过20，可以按照顺序加工； （2）通过比较发现，最短时间为15． 13．（2024·北京通州·一模）某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作． 工作代码 工作名称 持续时间（天） 前期工作 A 张贴海报、收集作品 7 无 B 购买展览用品 3 无 C 打扫展厅 1 无 D 展厅装饰 3 C E 展位设计与布置 3 ABD F 展品布置 2 E G 宣传语与环境布置 2 ABD H 展前检查 1 FG （1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要 天； （2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要 天． 【答案】 4 13 【分析】本题考查了优化问题，即如何在最短的时间内完成工作，实现最优效果． （1）根据表格知，完成“展厅装饰 ”要完成C、D两项工作，故可得到至少需要的天数； （2）由表格知，完成A的时间里，可同时完成B、C、D的工作，可进行E的工作，则可进行G、H的工作，从而完成整个工作，从而可得最短总工作时间． 【详解】解：（1）由表格知，在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要（天）； 故答案为：4； （2）完成本次展览会所有筹备工作的路径为：，最短总工期需要的天数为：（天）； 故答案为为：13． 14．（2024·北京西城·一模）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则第2个空格所填入的数为 ，第37个空格所填入的数为 ． 37 【答案】 1 19 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的和，由此即可得． 【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数， ∴第2个空格所填入的数为1， ∵前36个数的和是第37个数的倍数， ∴这37个数的和也是第37个数的倍数， 又∵ ， ∴第37个空格所填入的数为19， 故答案为：1，19． 15．（2024·北京海淀·一模）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 【答案】 鲁班锁； 1，2，3 【分析】本题主要考查了逻辑推理： （1）根据小云参与了所有活动．可得小云第一个挑战必定成功，再由只挑战成功一个，可得小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，即可； （2）根据题意可得小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，然后分三种情况讨论，即可． 【详解】解：∵小云参与了所有活动． ∴小云第一个挑战必定成功， ∵小云只挑战成功一个， ∴小云第一个挑战成功需要得到4个“币”， ∴挑战成功的活动名称为鲁班锁； 故答案为：鲁班锁； （2）∵小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功， ∴小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败， 若第一次挑战华容道， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为； 若第一次挑战魔方， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为； 若第一次挑战鲁班锁， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为； 综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3． 故答案为：1，2，3 故答案为：38． 16．（2023·北京朝阳·二模）甲、乙两个商家销售某款电子产品，原价都是100元/件． 甲商家的促销方式为： 购买件数（单位：件） 1～5 6～10 11～15 16～20 20以上 每件价格（单位：元） 95 90 85 80 75 乙商家的促销方式为： 购买件数（单位：件） 1～8 9～16 17～24 24以上 每件价格（单位：元） 90 85 80 75 若A公司在甲商家一次性购买10件该款电子产品，则购买的总费用为 元； 若B公司分三次购买该款电子产品共35件，且每次至少购买5件，则购买的总费用最少为 元． 【答案】 900 2775 【分析】根据题意可知A公司在甲商家一次性购买10件该款电子产品，购买的单价为90元每件，由此即可求出购买费用；根据题意可知以元每件购买的件数要尽可能的多，则以75元购买的件数为件，然后剩下10件分两次购买，每次购买5件，据此求出最少费用即可． 【详解】解：由题意得，A公司在甲商家一次性购买10件该款电子产品，则购买的总费用为元； 由题意得，所有促销方式中，单价最低为元每件，因此要想总费用最小，那么再保证三次购买该款电子产品共35件，且每次至少购买5件的前提下，以元每件购买的件数要尽可能的多， ∴以75元购买的件数为件，然后剩下10件分两次购买，每次购买5件， ∴购买的总费用最少为， 故答案为：900，2775． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$