2.5 分式方程及其解法&2.6 分式方程的实际应用-【一战成名新中考】2025广西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·广西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 5　 分式方程及其解法 (4 年 2 考,均在第 20 题考查) 考向 1　 解分式方程(2023. 20,2021. 20) 1. [2024 浙江]若 2 x-1 = 1,则 x= 　 　 　 　 . 2. 分式方程x +2 x-1 = 1 1-x 的解为 ( C ) A. x= -1　 　 B. x= 1　 　 C. x= -3　 　 D. x= -2 3. [2023 贵港期中]将关于 x 的分式方程 3 2x = 1 x-1 去 分母可得 ( A ) A. 3x-3 = 2x B. 3x-1 = 2x C. 3x-1 = x D. 3x-3 = x 4. 创新考法 解分式方程 2 x-1 = 2x 3x-3 - 1 的过程 如下: 解:去分母,得 6 = 2x-(3x-3),① 去括号,得 6 = 2x-3x-3,② 移项、合并同类项,得 x= -9,③ 因为 x= -9 时,各分母均不为 0, 所以,原分式方程的解是 x= -9. ④ 以上步骤中,最开始出错的一步是 ( B ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. [2023 广西 20 题 6 分]解分式方程: 2 x-1 = 1 x . 解:方程两边同乘 x(x-1),得 2x=x-1, 移项,解得 x=-1. 检验:当 x=-1 时,x(x-1)≠0, ∴ x=-1 是原分式方程的解. 6. [2024 福建]解方程: 3 x+2 +1 = x x-2 . 解:方程两边都乘(x+2)(x-2),得 3(x-2)+(x+2) (x-2)= x(x+2) . 去括号得,3x-6+x2-4=x2+2x, 解得 x=10. 检验:当 x=10 时,(x+2)(x-2)≠0, ∴ x=10 是原方程的解. 考向 2　 分式方程解的应用 7. 已知关于 x 的分式方程2x +m x-2 = 4 的解是 x = 1, 则 m 的值是　 　 　 　 . 变式 7-1 [2024 遂宁]分式方程 2 x-1 = 1- m x-1 的解为 正数,则 m 的取值范围是 ( B ) A. m>-3 B. m>-3 且 m≠-2 C. m<3 D. m<3 且 m≠-2 8. [2021 贺州]若关于 x 的分式方程 m+4 x-3 = 3x x-3 +2 有 增根,则 m 的值为 ( D ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 变式 8-1 　 易错 ∙∙ [2024 达州]若关于 x 的方程 3 x-2 - kx-1 x-2 = 1 无解,则 k 的值为　 -1 或 2　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 加练 1　 计算能力提升专练见本册 P110 61 分层作业本·广西数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 6　 分式方程的实际应用 (4 年 2 考) 1. [2022 北部湾经济区 10 题 3 分·人教九上 P20 探究 3 改编]《千里江山图》是宋代王希孟的作品,如 图,它的局部画面装裱前是一个长为 2. 4 米,宽 为 1. 4 米的矩形,装裱后,整幅图画宽与长的比 是 8 ∶13,且四周边衬的宽度相等,则边衬的宽度 应是多少米? 设边衬的宽度为 x 米,根据题意 可列方程 ( D ) A. 1. 4 -x 2. 4-x = 8 13 第 1 题图 B. 1. 4 +x 2. 4+x = 8 13 C. 1. 4 -2x 2. 4-2x = 8 13 D. 1. 4 +2x 2. 4+2x = 8 13 2. [2024 南宁模拟]某工厂现在平均每天比原计划 多生产 50 台机器,现在生产 600 台机器所需时 间与原计划生产 450 台机器所需时间相同,若 设现在平均每天生产机器 x 台,根据题意可列 分式方程为 ( C ) A. 450 x = 600 x+50 　 　 　 　 　 B. 450 x+50 = 600 x C. 450 x-50 = 600 x D. 450 x = 600 x-50 3. 端午期间,班主任王老师带领全班同学去距离 学校 25 km 的公园做活动,男生在班长的带领 下,骑自行车提前 80 min 出发,女生在王老师 的带领下乘公交车出发,结果两队同时到达, 若公交车的速度是自行车速度的 3 倍,设男生 队骑车的速度是 x km / h,可列方程为 ( D ) A. 25 3x -25 x = 80 B. 25 x -25 3x = 80 C. 25 3x -25 x = 4 3 D. 25 x -25 3x = 4 3 4. [2024 广元]我市把提升城市园林绿化水平作为 推进城市更新行动的有效抓手,从 2023 年开 始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造 多个小而美的“口袋公园”,现需要购买 A,B 两种绿植,已知 A 种绿植单价是 B 种绿植单价 的 3 倍, 用 6 750 元购买的 A 种绿植比用 3 000 元购买的 B 种绿植少 50 株. 设 B 种绿植 单价是 x 元,则可列方程是 ( C ) A. 6 750 3x -50 = 3 000 x B. 3 000 3x -50 = 6 750 x C. 6 750 3x +50 = 3 000 x D. 3 000 3x +50 = 6 750 x 5. [2024 南宁一模节选]我国第一届全国学生(青 年)运动会于 2023 年 11 月 5 日在广西南宁开 幕,吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具在市场 出现热销,已知 “壮壮” 比 “美美” 每个便宜 40 元,某商场用 6 400 元购买“壮壮”的数量是 用 4 800 元购买“美美”数量的 2 倍. 求购买一 个“美美”和一个“壮壮”各需多少元? 解:设购买一个 “美 美 ” 需 要 x 元,购买一个“壮 壮”需要(x-40)元, 由题意得,6 400 x-40 = 2×4 800 x , 解得 x=120, 经检验,x=120 是原方程的解,且符合题意, 则 x-40=80(元), 答:购买一个“美美”需要 120 元,购买一个“壮壮”需 要 80 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71 一战成名·广西数学 分 层 作 业 本 -1;综上可知 m 的取值范围是 m≥- 9 8 . 变式 5-4　 c>1　 【解析】∵ 一元二次方程 x2 -2x+c = 0 无实 数根,∴ Δ= ( -2) 2 -4c<0,∴ c>1. 6. B　 【解析】解法一:设方程的另一个根为 x2 ,则- 2+x2 = -2,解得 x2 = 0,将 x= -2 代入方程,得( -2) 2 +2×( -2) +m = 0,解得 m= 0. 解法二:设方程的另一个根为 a,∵ x= -2 是一元二次方程 x2 +2x+m = 0 的一个根, ∴ 4 - 4 +m = 0,解得 m = 0,则 -2a= 0,解得 a= 0. 7. A　 【解析】 ∵ x1 + x2 = - 2 1 = - 2,x1 · x2 = p,∴ 1 x1 + 1 x2 = x1 +x2 x1x2 = -2 p ,而 1 x1 + 1 x2 = 3,∴ -2 p = 3,∴ p= - 2 3 . 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 1. B　 2. 2　 3. D 4. 9　 【解析】设这种植物每个支干长出 x 个小分支,则主干 长出 x 个分支,根据题意得,1+x+x2 = 91,整理得,x2 +x-90 = 0,解得 x1 = 9,x2 = -10(不符合题意,舍去),∴ 这种植物 每个支干长出 9 个小分支. 5. D 6.解:(1)设该款壮族服饰销售量的年平均增长率为 x, 依题意,得 1 500(1+x) 2 = 2 160, 解得 x1 = 0. 2 = 20%,x2 = -2. 2(不合题意,舍去) . 答:该款壮族服饰销售量的年平均增长率为 20%; (2)设该款壮族服饰的实际售价为 y 元 /套, 依题意,得(y-100)[2 000-20(y-130)] = 72 000, 整理,得 y2 -330y+26 600 = 0, 解得 y1 = 140,y2 = 190, ∵ 要尽可能让顾客得到实惠, ∴ y= 140, 答:该款壮族服饰的实际售价应定为 140 元 /套. 命题点 5　 分式方程及其解法 1. 3　 2. C　 3. A　 4. B 5.解:方程两边同乘 x(x-1),得 2x= x-1, 移项,解得 x= -1. 检验:当 x= -1 时,x(x-1)≠0, ∴ x= -1 是原分式方程的解. 6.解:方程两边都乘(x+2)(x-2),得 3(x-2) +( x+2) ( x-2) = x(x+2) . 去括号得,3x-6+x2 -4 = x2 +2x, 解得 x= 10. 检验:当 x= 10 时,(x+2)(x-2)≠0, ∴ x= 10 是原方程的解. 7. -6　 【解析】把 x = 1 代入分式方程 2x+m x-2 = 4 中得, 2+m 1-2 = 4,2+m= -4,∴ m= -6. 变式 7-1　 B　 【解析】去分母得,2 = x-1-m,解得 x =m+3, 由方程的解为正数,得到 m+3>0,且 m+3≠1,则 m 的取值 范围为 m>-3 且 m≠-2. 8. D　 【解析】方程两边同时乘(x-3),得 m+4 = 3x+2( x-3), 解得 x = 1 5 m + 2, ∵ 方程有增根, ∴ x - 3 = 0, ∴ x = 3, ∴ 1 5 m+2 = 3,∴ m= 5. 变式 8-1　 -1 或 2　 【解析】去分母得,3-kx+1 = x-2,解得 x = 6 k+1 ,∵ 关于 x 的方程 3 x-2 -kx -1 x-2 = 1 无解,∴ 当 k+1 = 0 或 6 k+1 = 2 时,分式方程无解,解得 k= -1 或 k= 2,即 k= -1 或 k= 2 时, 3 x-2 -kx -1 x-2 = 1 无解. 命题点 6　 分式方程的实际应用 1. D　 2. C　 3. D　 4. C 5.解:设购买一个“美美”需要 x 元,购买一个“壮壮”需要( x -40)元,由题意得, 6 400 x-40 = 2 ×4 800 x , 解得 x= 120, 经检验,x= 120 是原方程的解,且符合题意, 则 x-40 = 80(元), 答:购买一个“美美” 需要 120 元,购买一个“壮壮” 需要 80 元. 命题点 7　 一元一次不等式(组) 1. D　 2. A　 3. C 变式 3-1　 x<1　 变式 3-2　 A　 变式 3-3　 B 4. B　 5. x<-2 6. -1(答案不唯一) 　 【解析】 x+2≥1①, 2x-1<5②,{ 解不等式①,得 x ≥-1,解不等式②,得 x<3,∴ 不等式组的解集为- 1≤x< 3,∴ 不等式组的整数解可以为-1,0,1,2. 7. C　 【解析】 x+5≥2x+3①, 3x-2(x-1) >3②,{ 解不等式①,移项,合并同 类项得,-x≥-2,系数化为 1 得,x≤2;解不等式②,去括号 得,3x-2x+2>3,移项,合并同类项得,x>1,故不等式组的 解集为 1<x≤2. ∴ 在数轴上表示正确的是选项 C. 8.解:去分母,得 x-1<2(x+1), 去括号,得 x-1<2x+2, 移项,得-1-2<2x-x, 解得 x>-3. 这个不等式的解集在数轴上表示如解图. 第 8 题解图 9.解: 5x-2<3x+3①, 2x-2 3 ≥x-1②,{ 解不等式①,得 x< 5 2 , 解不等式②,得 x≤1. ∴ 不等式组的解集为 x≤1. 10. C　 【解析】甲同学说:“至少 20 元. ”,乙同学说:“至多 15 元. ”,丙同学说:“至多 12 元. ”而三个人都说错了,则 x<20, x>15, x>12, { ∴ 15<x<20. 11. 12(v-3) >10(v+3)　 【解析】由题意得,从 A 到 B 的速度 为(v+3)千米 /时,从 B 到 A 的速度为( v-3)千米 /时,∵ 从 B 地匀速返回 A 地用了不到 12 小时,∴ 12( v- 3) > 10(v+3) . 12. B 13. a≤-3　 【解析】关于 x 的不等式组 x<3a+2, x<a-4{ 的解集是 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4