1.5 分式及其运算-【一战成名新中考】2025广西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

一战成名·广西数学 分 层 作 业 本 变式 11-2　 A　 【解析】∵ (3a+b) (a+ 2b) = 3a2 + 6ab+ab+ 2b2 = 3a2 +7ab+2b2 ,∴ 若要拼一个长为 3a+b、宽为 a+2b 的 矩形,则需要 C 类纸片的张数为 7. 12.解:原式= x2 +2xy+y2 +x2 -2xy = 2x2 +y2 , 当 x= 1,y= -2 时,原式= 2×12 +( -2) 2 = 6. 13.解:原式= x2 -y2 +y2 -2y = x2 -2y, 当 x= 1,y= 1 2 时, 原式= 12 -2× 1 2 = 0. 14.解:原式= 4a2 -b2 -(4a2 -ab+4ab-b2 ) = 4a2 -b2 -4a2 +ab-4ab+b2 = -3ab. 当 a= - 2 ,b= 2 时,原式= -3×( - 2 ) ×2 = 6 2 . 15. a(a+5) 16. (x+1) 2 17. (a+2b)(a-2b)　 变式 17-1　 (x+ 1 2 )(x- 1 2 ) 18. D　 【解析】∵ a+b = 3,ab = 1,∴ a3b+ 2a2b2 +ab3 = ab(a2 + 2ab+b2 )= ab(a+b) 2 = 1×32 = 9. 19. 14　 【解析】解法一:∵ x = 2 是关于 x 的一元一次方程 ax+b= 3 的解,∴ 2a+b = 3,∴ 原式 = (2a+b) 2 +2(2a+b) - 1 = 32 +2×3-1 = 14. 解法二:∵ 2a+ b = 3, ∴ b = 3 - 2a, ∴ 4a2 + 4ab + b2 + 4a + 2b-1 = 4a2 +4a(3-2a) +(3-2a) 2 +4a+2(3-2a) -1 = 4a2 + 12a-8a2 +9-12a+4a2 +4a+6-4a-1 = 14. 命题点 5　 分式及其运算 1. D　 2. A　 变式 2-1　 0 变式 2-2　 0(答案不唯一) 　 【解析】∵ 分式 1 x+1 的值为正 数,∴ x+1>0,∴ x>-1,∴ 满足题意的 x 的值可以为 0. 变式 2-3　 -1　 3. B　 变式 3-1　 A　 4. 1 变式 4-1　 A　 【解析】 3x x-1 - 3 x-1 = 3x -3 x-1 = 3(x -1) x-1 = 3. 变式 4-2　 -x-2 5.解:原式= (x+1)(x-1)· 1 2(x+1) = x -1 2 , ∴ 当 x= 3 时,原式= 3-1 2 = 1. 6.解:原式= (x-3) 2 (x+3)(x-3) · x+2 x-3 = x +2 x+3 , 当 x= 1 时,原式= 1+2 1+3 = 3 4 . 7.解:原式= x2 -1 x · x x+1 = (x +1)(x-1) x · x x+1 = x-1. 8.解:原式= (x+2)(x-2) x2 · x x+2 + 3 x = x -2 x + 3 x = x +1 x , 当 x= 3 时,原式= 3+1 3 = 4 3 . 9.解:原式= 1- a-3 a · a(a+1) (a+3)(a-3) = 1- a+1 a+3 = a +3 a+3 -a +1 a+3 = 2 a+3 , 当 a= 4 时,原式= 2 4+3 = 2 7 . 10.解:原式= (a+b) 2 a+b ÷a +b ab = (a +b) 2 a+b · ab a+b =ab, 当 a= 2 +1,b= 2 -1 时, 原式= ( 2 +1)( 2 -1)= 2-1 = 1. 11.解:原式= x-1-1 x-1 ÷ x -2 (x-1) 2 = x -2 x-1 · (x-1) 2 x-2 = x-1, ∵ x-1≠0,x-2≠0, ∴ x≠1,x≠2, 当 x= 3 时,原式= 2. 12.解:原式= ( x xy - y xy ) ÷( x2 xy - y 2 xy ) = x -y xy ÷x 2 -y2 xy = x -y xy · xy x2 -y2 = x -y xy · xy (x+y)(x-y) = 1 x+y , ∵ x= 2-y, ∴ x+y= 2, ∴ 原式= 1 x+y = 1 2 . 13. B 14.解:(1)③; (2) 2x x2 -4 - 1 x-2 = 2x (x+2)(x-2) - 1 x-2 = 2x (x+2)(x-2) - x +2 (x+2)(x-2) = 2x -x-2 (x+2)(x-2) = x -2 (x+2)(x-2) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 一战成名·广西数学 分 层 作 业 本 = 1 x+2 , 当 x= 3 时,原式= 1 5 . 综合与实践 1.解:(1) π;【解法提示】圆的周长为 C = πd = 1·π = π,∴ OO′= π,∵ O 是原点,∴ O′表示的数为 π. (2)∵ 点 A、B 分别表示 1, 2 , ∴ AB= 2 -1, ∵ AB=CO,CO= -x, ∴ -x= 2 -1,即 x= 1- 2 , ∴ (x+ 2 ) 2 +(x- 1) 2 = ( 1- 2 + 2 ) 2 +( 1- 2 - 1) 2 = 1+ 2 = 3; (3)能,理由如下:设矩形的长为 5x cm,则宽为 4x cm, 由题意可得,5x·4x= 300, ∴ x= 15 (负值已舍去), 即矩形纸片的长为 5 15 cm,宽为 4 15 cm, 而正方形的边长为 400 = 20 cm, ∵ 3< 15 <4, ∴ 15<5 15 <20, ∴ 能裁出一块面积为 300 cm2 的矩形纸片. 2.解:(1)0;【解法提示】∵ s= 9+0+5+4+1+2 = 21,t = 6+2+1 +2+6+0 = 17,∴ m= 3s+t= 3×21+17 = 80,∴ n = 80,∴ Y = n- m= 0,即校验码 Y 的值为 0. (2)59+a;【解法提示】∵ s= 9+2+0+0+1+5 = 17,t = 6+1+0 +1+0+a= 8+a,∴ m= 3s+t= 51+8+a= 59+a. (3)0 或 5. 【解法提示】设这个数字为 x,∵ s = 9+1+8+7+8 +9 = 42,t= 6+3+8+x+8+9 = 34+x,∴ m = 3s+t = 42×3+34+x = 160+x,∴ n= 160 或 170,∴ 160-(160+x) = x,解得 x = 0, 或 170-(160+x)= x,解得 x= 5. 综上,这个数字是 0 或 5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 1. C 2. C　 【解析】设“▲”的质量为 z. 根据甲天平,得 x+y = y+2z ①;根据乙天平,得 x+z= x+2y②. 根据等式的基本性质 1, 将①的两边同时减 y,得 x= 2z③;根据等式的基本性质 1, 将②的两边同时减 x,得 z= 2y④;根据等式的基本性质 2, 将④的两边同时乘以 2,得 2z= 4y,∴ x= 4y. 3. A　 4. A 5.解:去括号,得 4-x= 6-3x, 移项,得 3x-x= 6-4, 合并同类项,得 2x= 2, 系数化为 1,得 x= 1. 6.解: x+2y= 3①, x-2y= 1②,{ ①+②得,2x= 4,解得 x= 2, 将 x= 2 代入①得 y= 1 2 , ∴ 方程组的解是 x= 2, y= 1 2 .{ 7. C 8. D　 【解析】 ∵ 关于 x, y 的方程组 mx+ny= 7, 2mx-3ny= 4{ 的解为 x= 1, y= 2,{ ∴ m+2n= 7①, 2m-6n= 4②,{ ①+②得 3m-4n= 11. 9. C　 【解析】设所缺的部分为 x,则 2y- 1 2 = 1 2 y-x,把 y = - 5 3 代入,解得 x= 3. 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 1. B　 2. D　 3. A　 4. A 5. 380　 【解析】若一个月用电量为 180 kW·h,则电费为 180×0. 5 = 90(元),若一个月用电量为 350 kW·h,则电费 为 180×0. 5+(350-180) ×0. 6 = 192(元),∵ 216>192,∴ 小 丽家 2 月份用电量超过 350 kW·h. 设小丽家 2 月份用电 量为 x kW·h,依题意得:180×0. 5+(350-180) ×0. 6+( x- 350) ×0. 8 = 216, 解得 x = 380. ∴ 小丽家 2 月份用电量为 380 kW·h. 6.解:(1)设 A 种型号节能灯的单价为 x 元,B 种型号节能灯 的单价为 y 元, 由题意得, x+2y= 40, 2x+3y= 70,{ 解得 x= 20, y= 10,{ 答:A 种型号节能灯的单价为 20 元,B 种型号节能灯的单 价为 10 元; (2)设购买 A 种型号节能灯 m 盏,B 种型号节能灯 n 盏, ∴ 20m+10n= 50,即 2m+n= 5, ∵ m、n 均为正整数, ∴ m= 1, n= 3{ 或 m= 2, n= 1,{ ∴ 共有两种购买方案,分别是:方案①:购买 A 种型号节 能灯 1 盏,B 种型号节能灯 3 盏;方案②:购买 A 种型号节 能灯 2 盏,B 种型号节能灯 1 盏. 命题点 3　 一元二次方程及其解法 1. B　 2. A 3.解:移项,得 x2 -2x-3 = 0, 因式分解,得(x-3)(x+1)= 0, ∴ x1 = 3,x2 = -1. 4.解:a= 1,b= -3,c= -2, ∴ Δ= b2 -4ac= ( -3) 2 -4×1×( -2)= 17>0, ∴ x= -( -3) ± 17 2×1 , 即 x1 = 3+ 17 2 ,x2 = 3- 17 2 . 5. B 变式 5-1　 C　 【解析】∵ 方程 x2 -4x+c= 0,a= 1,b= -4,c= c, ∴ Δ= b2 -4ac= ( -4) 2 -4×1×c= 0,∴ 4c= 16,解得 c= 4. 变式 5-2　 A　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(m+1) x2 - 2x+1 = 0 有两个不相等的实数根,∴ 4- 4(m+ 1) > 0,解得 m<0,且 m+ 1≠0,即 m≠- 1. ∴ m 的取值范围是 m< 0 且 m≠-1. 变式 5-3　 C　 【解析】当 m+1 = 0 时,此时方程为 x-2 = 0,该 方程有解,此时 m= -1;当 m+ 1≠0 时,则方程(m+ 1) x2 + x-2 = 0 为一元二次方程,其判别式为 Δ = 12 - 4(m+ 1) × ( -2)= 9+8m,∵ 方程(m+1)x2 +x-2 = 0 有实数根,∴ 9+8m ≥0,解得 m≥- 9 8 ;此时 m 的取值范围是 m≥- 9 8 且 m≠ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 分层作业本·广西数学 　 第 一 章 数 与 式 命题点 5　 分式及其运算 (4 年 3 考,仅 2024 年未考) 考向 1　 分式及其性质(4 年 3 考,仅 2024 年未考) 1. [2023 北海期末]下列代数式,不是分式的是 ( D ) A. 1 +x a 　 　 　 B. y 3+y 　 　 　 C. s v 　 　 　 D. m 2 2. [2023 广西 3 题 3 分]若分式 1 x+1 有意义,则 x 的 取值范围是 ( A ) A. x≠-1 B. x≠0 C. x≠1 D. x≠2 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 变式组合练 变式 2-1 [2022 北部湾经济区 14 题 2 分]当 x = 　 　 　 　 时,分式 2x x+2 的值为零. 变式 2-2 开放性试题 [2024 吉林省卷]当分式 1 x+1 的值为正数时,写出一个满足条件的 x 的值为　 　 　 　 . 变式 2-3 [2024 贺州期中] 当 x = 1 时,分式 x x-2 的值是　 　 　 　 . 考向 2　 分式的化简与求值 3. 计算 3x x-1 ·x -1 3 的结果等于 ( B ) A. 3 B. x C. x x-1 D. 3 x2 -1 变式 3-1 计算 x2 -1 x+1 ÷x-1 x 的结果等于 ( A ) A. x B. 1 x C. x x-1 D. x +1 x 4. [2024 湖北省卷]计算 m m+1 + 1 m+1 的结果是　 　 　 　 . 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 变式组合练 变式 4-1 [2024 天津]计算 3x x-1 - 3 x-1 的结果 等于 ( A ) A. 3　 　 B. x　 　 C. x x-1 　 　 D. 3 x2 -1 变式 4-2 [2024 威海]计算: 4 x-2 + x 2 2-x =　 -x-2　 . 5. [2024 贵州]先化简,再求值:(x2 -1) · 1 2x+2 ,其 中 x= 3. 解:原式=(x+1)(x-1)· 1 2(x+1) =x-1 2 , ∴当 x=3 时,原式=3 -1 2 =1. 6. 先化简,再求值:x 2 -6x+9 x2 -9 ÷x-3 x+2 ,其中 x= 1. 解:原式= (x -3) 2 (x+3)(x-3) ·x +2 x-3 =x+2 x+3 , 当 x=1 时,原式=1 +2 1+3 = 3 4 . 7. [2024 甘孜州]化简:(x- 1 x ) ÷x +1 x . 解:原式=x 2-1 x · x x+1 =(x+1)(x-1) x · x x+1 =x-1. 8. [2024 湖南省卷]先化简,再求值: x2 -4 x2 · x x+2 + 3 x ,其中 x= 3. 解:原式=(x +2)(x-2) x2 · x x+2 + 3 x =x-2 x + 3 x =x+1 x , 当 x=3 时,原式=3 +1 3 = 4 3 . 9. [2024 盐城]先化简,再求值:1- a-3 a ÷a 2 -9 a2 +a ,其中 a= 4. 解:原式=1-a -3 a · a(a +1) (a+3)(a-3) =1-a +1 a+3 =a+3 a+3 -a+1 a+3 = 2 a+3 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 分层作业本·广西数学 　 第 一 章 数 与 式 10. [2024 南宁段考]先化简,再求值: a2 +2ab+b2 a+b ÷ ( 1 b + 1 a ),其中 a= 2 +1,b= 2 -1. 解:原式=(a +b) 2 a+b ÷a+b ab =(a+b) 2 a+b · ab a+b =ab, 当 a= 2 +1,b= 2 -1 时, 原式=( 2 +1)( 2 -1)= 2-1=1. 11. [2024 遂宁]先化简:(1- 1 x-1 ) ÷ x -2 x2 -2x+1 ,再从 1,2,3 中选择一个合适的数作为 x 的值代入 求值. 解:原式=x -1-1 x-1 ÷ x-2 (x-1) 2 =x-2 x-1 ·(x -1) 2 x-2 =x-1, ∵ x-1≠0,x-2≠0, ∴ x≠1,x≠2, 当 x=3 时,原式=2. 12. [2024 青海]先化简,再求值:( 1 y - 1 x ) ÷ ( x y - y x ),其中 x= 2-y. 解:原式=( x xy - y xy )÷( x 2 xy -y 2 xy ) =x-y xy ÷x 2-y2 xy =x-y xy · xy x2-y2 =x-y xy · xy (x+y)(x-y) = 1 x+y , ∴ x+y=2, ∴原式= 1 x+y = 1 2 . 13. [2022 玉林] 若 x 是非负整数,则表示 2x x+2 - x2 -4 (x+2) 2 的值的对应点落在下图数轴上的范 围是 ( B ) 第 13 题图 A. ①　 　 B. ②　 　 C. ③　 　 D. ①或② 14. 关注学习过程 [2024 乐山]先化简,再求值: 2x x2 -4 - 1 x-2 ,其中 x= 3. 小乐同学的计算过程 如下: 解: 2x x2 -4 - 1 x-2 = 2x (x+2)(x-2) - 1 x-2 ①………………… = 2x (x+2)(x-2) - x+2 (x+2)(x-2) ②……… = 2x-x+2 (x+2)(x-2) ③………………………… = x+2 (x+2)(x-2) ④………………………… = 1 x-2 , ⑤………………………………… 当 x= 3 时,原式= 1. (1)小乐同学的解答过程中,第　 ③　 步开始 出现了错误; (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 加练 1　 计算能力提升专练见本册 P110 9