1.4 代数式、整式与因式分解-【一战成名新中考】2025广西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

null基础夯实练·广西数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 4　 代数式、整式与因式分解 (必考,每年必考 2 道) 要点归纳 要点 1 代数式及求值 代数式 用基本运算符号将数或表示数的字母连接所成的式子,称为代数式. 单独的一 个数或一个字母也是代数式 列代 数式 关键是找出问题中的数量关系. 牢记一些公式,如:路程 = 速度×时间,总价 = 数 量×单价,售价= 标价×折扣;抓住关键词语,如:大、小、多、少、倍、分、增长、下 降等 易错警示:多项式后面带单位时,要用括号括起来,如:(x+y)人 代数式 求值 直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按原来的运算顺序计算求值. 如: 已知 a= 2,则 2a+3 = 7 整体代入法: ①观察已知关系式和所求代数式的关系; ②将所求代数式变形后与已知关系式中含字母的部分(有时需对已知关系式 变形)成倍数关系,一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式; ③将所求代数式中的一部分看成一个整体用已知关系式中相同代数式的值进 行替换 要点 2 代数推理【2022 年版课标新增内容】 课标例题:设 abcd 是一个四位数,求证:若 a+b+c+d 可以被 3 整除,则这个数可以被 3 整除. 证明:abcd= 1 000a+100b+10c+d = (999a+99b+9c) + (a+b+c+d),显然(999a+99b+9c)能 被 3 整除,因此,如果(a+b+c+d)能被 3 整除,那么 abcd 就能被 3 整除. 要点 3 整式的相关概念 单 项 式 概念 数或字母的积的式子,单独的一个数或一个字母也是单项式 系数 单项式中的数字因数 次数 一个单项式中,所有字母的指数的和 例: 叫作五次单项式 多 项 式 概念 几个单项式的和 项 多项式中的每个单项式叫作多项式的项,其中不含 字母的项叫作常数项 次数 多项式中次数最高项的次数 例: 叫作四次三项式 整式 单项式和多项式统称为整式 11 基础夯实练·广西数学 第 一 章 　 数 与 式 要点 4 整式的运算 整式的 加减法 (1)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫作同类项. 例 如:8n 与 5n,2a2b 与-7a2b 是同类项(几个常数项也是同类项); (2)把同类项合并成一项叫作合并同类项. 整式加减的本质就是先去括号,再 合并同类项. 例如:8n+5n= 13n,-7a2b+2a2b= -5a2b 幂的 运算 (1)同底数幂的乘法:am·an = ①　 am+n 　 (m,n 都是整数); (2)幂的乘方:(am) n = ②　 amn 　 (m,n 都是整数); (3)积的乘方:(ab)m = ③　 ambm 　 (m 是整数); (4)同底数幂的除法:am÷an = ④　 am-n 　 (a≠0,m,n 都是整数,且 m>n); (5)负指数幂:a-p = ⑤　 　 　 　 　 (a≠0,p 为整数); (6)零指数幂:a0 = ⑥　 1　 (a≠0) 整式的 乘法 (1) 单 项 式 与 单 项 式 相 乘: - 2am · an = -2a2mn; (2)单项式与多项式相乘:m(a+b+c)= ma+ mb+mc; (3)多项式与多项式相乘:(a+b)(m+n)= ⑦　 am+an+bm+bn　 ; (4)乘法公式: ①平方差公式: a+b( ) a-b( ) =⑧　 a2-b2　 ; ②完全平方公式: a±b( ) 2 =⑨　 a2±2 ab+b2　 整式的 除法 (1)单项式除以单项式:a3m2 ÷(-2am)= - 1 2 a2m; (2)多项式除以单项式:(3a2b-ab2 +b)÷b= 3a2-ab+1 整式混 合运算 的顺序 先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的,整式运算的结果是 单项式或多项式 注:数的运算律在整式的运算中依然成立. 例　 先化简,再求值:(x+2) 2 -(x3 +3x) ÷x,其中 x= -2. 答题规范 21 基础夯实练·广西数学 第 一 章 　 数 与 式 要点 5 因式分解 概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式 方 法 提公因式法 (1)ma+mb+mc=m(a+b+c); (2)公因式的确定 系数:取各项系数的最大公约数 字母:取各项相同的字母 指数:取各项相同字母的最低次数 ì î í ï ï ï ï 公式法 a2 -b2 因式分解 平方差公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a+b)(a-b) 　 a2 ±2ab+b2 因式分解 完全平方公式 􀜩 􀜨􀜑􀜑􀜑􀜑􀜑 (a±b) 2 一般步骤 一提(提公因式);二套(套乘法公式);三检验(检验是否分解彻底) 拓展十字相乘法:x2 +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 如:x2 +5x+6 =(x+2)(x+3). 随堂练习 1. 用代数式表示: (1)某班共有 x 名学生,其中女生人数占 45%,那么男生人数是　 　 　 　 ; (2)若一个两位整数的个位数字是 a,十位数字是 b,则这个两位数应表示为　 a+10b　 . 2. 单项式-3πx3 的次数是　 　 　 　 ; 多项式 x2 -3xy2 -4 的次数是　 　 　 　 ,常数项是　 　 　 　 . 3. 计算下列式子. (1)a2·a4 = 　 　 　 　 ;　 　 　 (2)2a·3ab= 　 　 　 　 ;　 　 (3)( -a) 3 = 　 　 　 　 ; (4)(2a2) 3 = 　 　 　 　 ; (5)2a10 ÷a2 = 　 　 　 　 ; (6)6x3y6 ÷2xy2 = 　 　 　 　 ; (7)2a(a-b)= 　 　 　 　 ;　 　 　 　 (8)(2a+b)(2a-b)= 　 　 　 　 ; (9)(x-3) 2 = 　 　 　 　 . 4. [人教八上 P112 习题第 7 题改编]已知 a+b= 5,ab= 3,则 a2b+ab2 = 　 　 　 　 ,a-b= 　 　 　 　 . 变式 4-1 　 已知(a+b) 2 = 2 024,(a-b) 2 = 2 020,则ab= 　 　 　 　 . 变式 4-2 　 若 a- 1 a = 6 ,则 a2 + 1 a2 = 　 　 　 　 . 5. 将下列各式进行因式分解. (1)xy-2y2 = 　 　 　 　 　 ;　 　 　 　 　 　 　 (2)16a2 -8a+1 = 　 　 　 　 　 ; (3)9-x2 = 　 　 　 　 　 . 6. 多解法 ∙∙∙ 先化简,再求值:(x+1) 2 -x(x+1),其中 x= 2 024. 解:解法一:原式=x2+2x+1-x2-x =x+1, 当 x=2 024 时,原式=2 024+1=2 025. 　 　 　 解法二:原式=(x+1)(x+1-x) =x+1, 当 x=2 024 时,原式=2 024+1=2 025. 温馨提示:请完成《分层作业本》P6~ 7 习题 31