1.3 二次根式及其运算(含无理数的估值)-【一战成名新中考】2025广西中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·广西数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 3　 二次根式及其运算(含无理数的估值) (4 年 3 考,均在填空题考查) 要点归纳 要点 1 平方根、算术平方根、立方根的对比 名称 a(a>0) a(a= 0) a(a<0) 总结 平方根 ± a 0 无 正 数 有 两 个 平 方 根, 它 们 互 为 ①　 相反数　 ; 平方根等于本身的数是②　 0　 算术平方根 a 0 无 算 术 平 方 根 等 于 本 身 的 数 是 ③　 0 和 1　 立方根 3 a 0 ④　 3 a 　 任意一个实数只有一个立方根,且 与原数同号;立方根等于本身的数 是⑤　 -1、0、1　 注:①∵ (±10) 2 = 100,∴ 100 的平方根是±10. 附表:百以内的完全平方数及其平方根 完全平方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 平方根 0 ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 ±6 ±7 ±8 ±9 ±10 ②∵ 43 = 64,∴ 64 的立方根是 4. 附表:千以内的完全立方数(含对应的负数)及其立方根【2022 年版课标变化内容】 完全立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 000 立方根 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 完全立方数 — -1 -8 -27 -64 -125 -216 -343 -512 -729 -1 000 立方根 — -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 要点 2 二次根式 概念 一般地,形如 a (a≥0)的式子叫作二次根式,a 叫作被开方数 有意义的条件 被开方数 a⑥　 ≥　 0 最简二次根 式的条件 (1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式 化为最简二次根式后,被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根 式. 如: 12 (化简后为 2 3 )与 3 就是同类二次根式 8 基础夯实练·广西数学 第 一 章 　 数 与 式 续表 性质 (1)双重非负性: a≥0(a≥0); (2)( a ) 2 = ⑦　 a　 (a≥0); (3) a2 = | a | = a(a≥0), -a(a<0),{ 注:只有当 a≥0 时, a 2 =( a ) 2; (4) ab = a· b (a≥0,b≥0); (5) a b = a b (a≥0,b>0) 运算 (1)乘法运算: a· b = ⑧　 ab 　 (a≥0,b≥0); (2)除法运算: a b = a b 或 a ÷ b = ⑨　 a÷b 　 (a≥0,b>0); (3)加、减运算本质:同类二次根式运算 步骤一:化简为最简二次根式;步骤二:合并同类二次根式. 切记: a + b≠ a+b (a>0,b>0); (4)混合运算:先乘除,再加减;有括号先算括号里的(或先去掉括号) 易错警示:二次根式运算的最终结果应化为最简􀪍􀪍二次根式 非负数 (1)常见非负数: | a | (a 是任意实数),a2n(a 是任意实数,n 为正整数), a (a≥0); (2)若 a2 + | b | + c = 0,则 a= 0,b= 0,c= 0 要点 3 无理数的估值 (1)关键点:m2 <a<n2(m>0,a>0,n>0)→m< a <n; (2)确定无理数在哪两个整数之间 例 1　 估计 7的值在 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 和 1 之间 B. 1 和 2 之间 C. 2 和 3 之间 D. 3 和 4 之间 解题步骤 备注 ①先对无理数平方 ( 7 ) 2 = 7 ②找出平方后与所得数字相邻 的两个开得尽方的整数比较 大小 ⑩　 4　 <7<􀃊􀁉􀁓　 9　 ③对两个整数开方即可 􀃊􀁉􀁔　 2　 < 7 <􀃊􀁉􀁕　 3　 ①熟记常见的平方数:1,4,9, 16,25,36,…; ②若无理数为 n a形式,需先转 化为 an2 再估值,不容易出错 【答案】􀃊􀁉􀁖　 C 　 9 基础夯实练·广西数学 第 一 章 　 数 与 式 (3)确定无理数离哪个整数较近 例 2　 下列整数中,与 7最接近的是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解题步骤 图示理解法 ①确定无理数在哪两个相邻整 数之间 2< 7 <3 ②求这两个整数的平均数 1 2 ×(2+3)= 􀃊􀁉􀁗　 2. 5　 ③若平均数的平方小于该无理 数的平方,则该无理数更接近 较大的那个整数 ∵ 2. 52 = 6. 25,6. 25<7, ∴ 7 离􀃊􀁉􀁘　 3　 更近 【答案】􀃊􀁉􀁙　 C　 注:常见无理数的近似值: 2 ≈1. 414, 3 ≈1. 732, 5 ≈2. 236,黄金分割比 5 -1 2 ≈0. 618. 随堂练习 1. 当下列式子有意义时,求 x 的取值范围. (1) x-4 :　 　 　 　 　 ;　 　 (2) 2 -x x-1 :　 　 　 　 　 ;　 　 (3) x -1 2-x :　 　 　 　 　 . 2. 计算: (1) 18 = 　 　 　 　 　 ; (2) 3 27 = 　 　 　 　 　 ; (3) - ( -3) 2 = 　 　 　 　 　 ; (4) 12 - 3 = 　 　 　 　 　 ; (5) 2 × 3 = 　 　 　 　 　 ; (6) 4 3 ÷ 1 3 = 　 　 　 　 　 ; (7)( 3 + 2 ) × 6 = 　 　 　 　 　 . 3. 估算 x= 8值的大小正确的是 (　 B　 ) A. 1<x<2　 　 　 　 　 B. 2<x<3　 　 　 　 　 C. 3<x<4　 　 　 　 　 D. 5<x<6 变式 3-1 　 若 m= 1+　 8 ,则 m 在　 3　 和　 4　 两个相邻的整数之间. 变式 3-2 　 8的整数部分是 a,小数部分是 b,则 a-2b 的值是　 6-4 2 　 . 4. 若 | 2a-4 | +(3-b) 2 + 3c+7 = 0,则 a+b+c= 　 　 　 　 　 . 温馨提示:请完成《分层作业本》P5 习题 01 参考答案 命题点4 第一章 数与式 代数式、整式与因式分解 要点归纳 命题点1 实数的相关概念及大小比较 1 要点归纳 ①不循环 ②-3m ③盈利50元 ④亏损80元 am+an+bm+bn⑧a'-b?a”+2ab+b} - ⑧0 0 -1 随堂练习 1.(1)(1-45%)x;(2)a+10 相等 对称 -a 大 a=-b 1 +1 2. 3;-4 2 10{ ②大 ①②=② 3.(1)’;(2) 6ab;(3)-a’;(4) 8a’;(5) 2a’;(6)3x} 随堂练习 (7) 2a-2ab;(8)4-b:(9)-6x+9 1. (1)②③;(2)①③; (3)③④;(4)①②③④7; 4. 15.+13 变式4-1 1 变式4-2 8 (5)⑧0 5.(1)y(x-2y);(2)(4a-1)?;(3)(3+x)(3-x) 6. 解:解法-:原式=x{+2x+1---x =x+1. 当x=2024时,原式=2024+1=2025 3.(1)7.05×10;(2)5.07×10*; 解法二:原式=(x+1)(x+1-x) (3)3.3×10”*;(4)5.4×10 =x+1. 4.(1)①<;②;③<;④;; 当x=2024时,原式=2024+1=2025 $$ (2)d.a;(3)-b>b-1 命题点5 分式及其运算 命题点2 实数的运算 要点归纳 要点归纳 ①B0 ②A=0且B-0 ③B0.C+0.D0 ③”④1 ①na ② 1 # b-a r-1 ⑧x+1x-2b adtbc 随堂练习 & 1.(1)1;(2)-8:(3)-6:(4)12;(5)1;(6)-2;(7)4 (x-2)(x-1)(x+1)(x-1)(x+2)(x-2) 随堂练习 2.解:(1)原式=2+4=6 1.x5 2.x=1 (2)原式=-1t(-1)+8-8=1+1=2- 1 (3)原式=4-4x1=1. (4)原式=2x(-1)+1+1=-2+1=-1. 过4. 解:原式-1-3.-9-2-+10 命题点3 二次根式及其运算 =r-1 -9 (含无理数的估值) .(x-1)) x-3 x-1 要点归纳 x-1(x+3)(x-3)x+3' ①相反数 ②0 ③0和1④/ -1、0、1> =2+35 a ③va va 4 9 2 3 C 2.5 3C 第二章 方程(组)与不等式(组) 随堂练习 1.(1)x>4;(2)x>1;(3)x>1且x≠2 命题点1 一次方程(组)及其解法 2. (1)32;(2)3;(3)-3;(4)3;(5)6;(6)2 要点归纳 (7)3/2+2/3 例2 解法-:13-4y,2(13-4y)+3y=16,y=2. 将y-2代入③中,x=5. (=5. 3.B 变式3-1 3.4 变式3-2 6-4/2 =2 119