精品解析： 四川省宜宾市兴文县2024-2025学年上学期九年级数学期中考试卷

2024年秋半期义务教育阶段教学学情诊断检测 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； B.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； C.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； D.形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查是相似形的定义，掌握相似性的定义是解题的关键． 2. 若方程□是关于的一元二次方程，则“□”可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程叫作一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴“”中是只含一个未知数的次项， 故符合题意的只有选项A； 故选：A． 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开放开的尽的因数或因式进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 4. 、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代值计算判断即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段，，，， ∴， ∴， 故选：D． 5. 若有意义，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列式进行计算即可求出的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：C． 6. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案． 【详解】解：方程即为， 在方程的两边都加上，得， 即． 故选：A． 7. 等式成立条件是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据代数式有意义的条件是、可得关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】解：等式成立， ， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为． 故选：D． 8. 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 22.5米 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．因此， ∵，即，∴楼高=10米．故选A． 9. 利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 一元二次方程的两个根为，且， 的值为， 故选：D． 10. 如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 11. 估计的值应在（ ） A. 6到7之间 B. 5到6之间 C. 4到5之间 D. 3到4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算．先利用二次根式的乘法得出，再估算出的取值范围，进而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 估计的值应在5到6之间， 故选：B． 12. 如图，小福在矩形左边分割出正方形，然后在矩形的一组对边，上分别取中点，分割出矩形和矩形，最后把矩形对半分割成矩形和矩形．若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程；设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【详解】解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 已知，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，二次根式的乘方，根据，代入数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14. 已知一元二次方程的一个根为，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值，根据是一元二次方程的一个根得出，将变形为，再把代入进行计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，，若，，，则的长是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此求出，则． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：6． 16. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 17. 实数在数轴上所对应点的位置如图所示，化简：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况，继而得出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴，，， 则 ， 故答案为：． 18. 如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过__________s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 分两种情况分别计算，①设经过x秒后，得，②设经过秒x后，得，代入用x表示的线段计算即可． 【详解】解：∵点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，cm，cm． ∴，， ①设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ②设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ∴经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）2；（2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程，掌握运算法则与一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算二次根式的乘除法、化简二次根式和绝对值，再合并同类二次根式即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：（1） ； （2） ∴或 ∴，． 20. 如图是学校的一块正方形绿地，其边长为m，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为m，宽为m，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米8元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：） 【答案】元 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键．先用正方形面积减去4个矩形的面积，计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费． 【详解】解：通道的面积为 （平方米）， ∴购买地砖需要花费元． 21. 有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． （1）每轮传染中平均一人传染了几人？ （2）如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染9个人 （2）1000人 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有100人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：，即： 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染9个人． 【小问2详解】 第一轮的患病人数为：人， 第二轮的患病人数为：人， 则，第三轮的患病人数为：人． 22. 如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，相交于点，已知，． （1）求的长； （2）当时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理与相似三角形的应用 （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2） 利用平行线性质得到,则，即，可求得的长，然后可求得的长，然后再利用，即可求得的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 23. 有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： （1）计算：． （2）已知． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值； （1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值；②将式子整理成，再代入，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 24. 已知一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）11或13 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； （3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴； 【小问3详解】 ①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： ， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的三边为：， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：； 综上：周长为11或13． 25. 如图，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M． (1)求证：△EDM∽△FBM； (2)若F是BC的中点，BD＝12，求BM的长； (3)若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP•BP＝BF•CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)BM＝4；(3)存在，∠CPF＝30°． 【解析】 【分析】(1)根据题意及中点的性质得出四边形CBED是平行四边形，根据平行的性质得出∠EDB＝∠FBM，∠DME＝∠BMF，从而得出△EDM∽△FBM； (2)根据(1)中三角形相似的比例关系即可推理得出答案; （3）先由角平分线的定义和平行线的性质可得DC＝BC，结合DP•BP＝BF•CD可证明△PDC∽△FBP，从而∠BPF＝∠PCD，利用三角形内角和及平角定义可证∠PDC＝∠CPF，然后通过证明△ADE是等边三角形，可进一步求出结论. 【详解】(1)证明：∵AB＝2CD，点E是AB的中点， ∴DC＝EB． 又∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∴ED∥BC． ∴∠EDB＝∠FBM． 又∵∠DME＝∠BMF， ∴△EDM∽△FBM； (2)解：∵△EDM∽△FBM， ∴， ∵F是BC的中点， ∴DE＝BC＝2BF， ∴DM＝2BM， ∴DB＝DM+BM＝3BM， ∵DB＝12， ∴BM＝DB＝×12＝4； (3)存在，∵DC∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴DC＝BC， ∵DP•BP＝BF•CD， ∴， ∴△PDC∽△FBP， ∴∠BPF＝∠PCD， ∵∠DPC+∠CPF+∠BPF＝180°， ∠DPC+∠PDC+∠PCD＝180°， ∴∠PDC＝∠CPF， ∵AD＝BC＝DC＝BE＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠AED＝60°， ∴∠EDB＝∠PDC＝30°， ∴∠CPF＝30°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，同时考查了三角形相似的判定及性质，等边三角形的判定与性质，难度适中．此题的综合性较强，需要灵活运用平行四边形的判定及性质，以及三角形相似的判定及性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋半期义务教育阶段教学学情诊断检测 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C D. 2. 若方程□是关于的一元二次方程，则“□”可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长可能为（ ） A. B. C. D. 5. 若有意义，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 6. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 等式成立条件是（ ） A. B. C. 且 D. 8. 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 22.5米 9. 利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 估计值应在（ ） A. 6到7之间 B. 5到6之间 C. 4到5之间 D. 3到4之间 12. 如图，小福在矩形的左边分割出正方形，然后在矩形的一组对边，上分别取中点，分割出矩形和矩形，最后把矩形对半分割成矩形和矩形．若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 已知，，则的值为__________． 14. 已知一元二次方程的一个根为，则的值是_________． 15. 如图，，若，，，则的长是______． 16. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 17. 实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简：___________． 18. 如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过__________s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 如图是学校的一块正方形绿地，其边长为m，现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为m，宽为m，并将花坛以外的地方全部修建成通道，且通道上要铺上造价为每平方米8元的地砖．若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？（参考数据：） 21. 有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． （1）每轮传染中平均一人传染了几人？ （2）如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 22. 如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，相交于点，已知，． （1）求长； （2）当时，求的长． 23. 有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： （1）计算：． （2）已知． ①求值； ②求的值． 24. 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 25. 如图，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M． (1)求证：△EDM∽△FBM； (2)若F是BC的中点，BD＝12，求BM的长； (3)若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP•BP＝BF•CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$