精品解析：四川省绵阳市三台县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

三台县2024年秋八年级期中教学质量监测试题 数学 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一个选项符合要求的） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“亦”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线，角平分线，高线 B. 角平分线，高线，中线 C. 角平分线，中线，高线 D. 高线，中线，角平分线 4. 在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A. （﹣3，﹣1） B. （﹣3，1） C. （﹣1，3） D. （3，1） 5. 如图将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 若一个多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 已知等腰中，其中一边长为，周长为，则其底边长为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 8. 下列说法中： ①等腰三角形的对称轴是底边上的高或顶角的平分线； ②直角三角形只有一条高； ③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形； ④成轴对称的两个三角形一定是全等三角形．其中正确的说法共有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 无法确定 10. 如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 11. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A. B. C. D. 12. 如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：；；；；点在的垂直平分线上，其中正确结论是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 周末小高同学全家去饭店吃饭，他发现饭店房间里放着一个儿童座椅（如图），他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，这样的设计利用的数学原理是_______． 14. 如图，是轴对称图形，且直线是对称轴，点E，F是线段上的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是 ___． 15. 如图，有两个长度相同滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是________________． 16. 如图所示，和角平分线相交于点P，，则的度数为__________． 17. 从的顶点作高线和角平分线，若与的夹角为，且，则的度数为_____． 18. 如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 _____秒时，与全等． 三、解答题：本题共6小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图，，，求证：是等腰三角形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别是，，． （1）求作，使与关于y轴对称，点A、B、C的对应点分别为D、E、F，并写出点D的坐标． （2）求的面积． 21. 如图，中，于点，平分，若，． （1）求的度数； （2）若点为线段上的任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 22. 如图，中，平分，且平分，于E，于F． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 23. 如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F． （1）求证：； （2）作，垂足为G，求证：． 24. 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． （1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． （2）【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三台县2024年秋八年级期中教学质量监测试题 数学 （满分100分，考试时间90分钟） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题给出的四个选项中只有一个选项符合要求的） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“亦”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念求解即可；根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、B、D选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三条边关系． 根据三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．只要判断最短的两边之和大于第三边，即可作出判断． 【详解】A选项：∵，∴这三条线段能组成三角形； B选项：∵，∴这三条线段不能组成三角形； C选项：∵，∴这三条线段能组成三角形； D选项：∵，∴这三条线段能组成三角形． 故选：B 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线，角平分线，高线 B. 角平分线，高线，中线 C. 角平分线，中线，高线 D. 高线，中线，角平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高线，根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解即可，解题的关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 【详解】解：由图的折叠方式可知，， 所以是的角平分线； 由图的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线； 由图的折叠方式可知，， 所以是的中线， 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，点P（3，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A. （﹣3，﹣1） B. （﹣3，1） C. （﹣1，3） D. （3，1） 【答案】D 【解析】 【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点P（3，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（3，1） 故选：D． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数． 5. 如图将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是平行线的性质以及三角形外角的性质，属于基础题型．解决这个问题时要综合应用两个性质．根据平行线的性质得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 根据三角形外角的性质可得：， ∴． 故选： 6. 若一个多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．根据多边形的内角和公式和外角和定理列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得，， 解得． 故这个多边形的边数是12． 故选：D． 7. 已知等腰中，其中一边长为，周长为，则其底边长为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系，当为三角形的腰时，则三角形的三边长分别为、、，根据三角形三边关系可知此时不能组成三角形，当为三角形底边时，则另两条边的长均为，根据三角形三边关系可知此时能组成三角形，所以等腰三角形的底边为． 【详解】解：是等腰三角形， 中有两条边相等， 当为三角形的腰时，则三角形的三边长分别为、、， ， 不能组成三角形； 当为三角形底边时，则另两条边的长均为， ， 能组成三角形， 等腰的底边长为． 故选：A． 8. 下列说法中： ①等腰三角形的对称轴是底边上的高或顶角的平分线； ②直角三角形只有一条高； ③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形； ④成轴对称的两个三角形一定是全等三角形．其中正确的说法共有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识．根据等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质逐一判定即可． 【详解】解：①等腰三角形的对称轴是底边上的高或顶角的平分线所在的直线，故原说法错误； ②直角三角形有三条高，故原说法错误； ③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形，故原说法正确； ④成轴对称的两个三角形一定是全等三角形，故原说法正确． 故选：B． 9. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小，再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD，问题得解. 【详解】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小． 由作图可知：AE平分∠BAC， ∵DC⊥AC，DP⊥AB， ∴DP＝CD＝2， ∴PD的最小值为2， 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 10. 如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，由折叠的性质和等边对等角推出，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 故选：A． 11. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、轴对称的性质及线段最短问题，熟练掌握等边三角形的对称性与线段最短模型的应用是解题的关键． 利用等边三角形的对称性，将转化为与相关的线段，结合“两点之间线段最短”确定取最小值的位置，再通过等边三角形的性质推导的度数． 【详解】解：由题意可知，当点、、共线，且时，取得最小值， 过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 12. 如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：；；；；点在的垂直平分线上，其中正确结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，根据同角的余角相等求出；再根据等角的余角相等可以求出；③只有时；根据等腰三角形三线合一的性质求出；根据等腰三角形三线合一的性质求出垂直平分，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，故正确； ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，故正确； ∵， ∴只有时，故错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴，故正确； 如图，设与交于点， 由得， ∴， ∵平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴点在的垂直平分线上，故正确； 综上所述，正确的结论是， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 周末小高同学全家去饭店吃饭，他发现饭店房间里放着一个儿童座椅（如图），他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，这样的设计利用的数学原理是_______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的性质，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 14. 如图，是轴对称图形，且直线是对称轴，点E，F是线段上的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是 ___． 【答案】9 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可得：阴影部分的面积等于面积的一半，即可解答． 【详解】解：∵是轴对称图形，且直线是对称轴， ∴，， ∴阴影部分的面积等于面积的一半， ∴（）． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，得出阴影部分的面积等于面积的一半是解题的关键． 15. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据判断出． 【详解】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题． 16. 如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，则． 【详解】解：∵和的角平分线相交于点P， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 从的顶点作高线和角平分线，若与的夹角为，且，则的度数为_____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，分两种情况：当时；当时；根据三角形内角和定理结合角平分线的定义计算即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】①当时，如图①． ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图②． ， ． ， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 18. 如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 _____秒时，与全等． 【答案】2或或12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分情况讨论是解题的关键：分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上，进行讨论求解即可． 【详解】解：与全等， 斜边斜边， 分四种情况： 当点在上，点在上，如图： ， ， ， 当点、都在上时，此时、重合，如图： ， ， ， 当点到上，点在上时，如图： ， ， ，不符合题意， 当点到点，点在上时，如图： ， ， ， 综上所述：点的运动时间等于2或或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 三、解答题：本题共6小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明，得到，即得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴是等腰三角形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别是，，． （1）求作，使与关于y轴对称，点A、B、C的对应点分别为D、E、F，并写出点D的坐标． （2）求的面积． 【答案】（1）图见解析； （2）11 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接各点，根据点D所在坐标系中的位置写出其坐标即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 点； 【小问2详解】 解：的面积为． 21. 如图，中，于点，平分，若，． （1）求度数； （2）若点为线段上的任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】（1） （2）的度数为或 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、与角平分线有关的计算、垂线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，由三角形外角的定义及性质得出，由垂线的定义得出，最后由三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）分两种情况：当时，当时，分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：平分，， ， ，， ， 于点， ， ； 【小问2详解】 解：如图，当时， ， ； 如图，当时， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 22. 如图，中，平分，且平分，于E，于F． （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）；理由见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、中垂线的性质和全等三角形的判定与性质的运用，解题关键是作辅助线构造全等三角形． （1）连接，由线段垂直平分线和角平分线的性质得到和，再根据证明，从而得到结论； （2）根据证明，从而得到，设，则，根据和得到关于的方程，解方程，从而求得AE的长度． 【小问1详解】 解：（1）解：，理由如下： 连接，， 平分，，， ，， 且平分， ， 在与中， ， ， ； 【小问2详解】 解：在和中， ， ， ， 设，则， ，，，， ，解得：， ，． 23. 如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F． （1）求证：； （2）作，垂足为G，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质以及等边三角形的性质等知识， （1）由等边三角形的性质得，，再证出，进而即可得解； （2）由，可得，由，可得，再由直角三角形的性质即可得解； 熟练利用全等三角形的判定得出是解题关键． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ，， 在和中 ， ， ； 【小问2详解】 证明：，垂足为， ， ． ， ， ∴． 24. 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． （1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． （2）【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 【答案】（1），； （2）见解析 （3）；见解析 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：，；； 【小问2详解】 解：如图2，在上取一点，使， ，， ，， ， ， ， ， 又，，， ， 设和交于点， ， ． 【小问3详解】 解：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得， 同理可证：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，证明是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $