专题04 二次根式（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（安徽专用）

专题04 二次根式 课标要求 考点 考向 1、了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，能用根号表示二次根式，会判断一个根式是否为最简二次根式，以及确定几个二次根式是否为同类二次根式. 2、理解二次根式的性质，并能运用这些性质进行化简和计算. 3、掌握二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则，会进行简单的四则运算，包括将二次根式化为最简二次根式后，进行同类二次根式的合并，以及利用乘除法则进行化简计算等. 4、明确二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于0，能根据这个条件确定函数自变量的取值范围，或解决相关的不等式问题. 5、能用二次根式解决一些简单的实际问题，如在几何图形的计算、物理公式的应用等场景中，列出含有二次根式的表达式并求解. 二次根式概念 考向一 二次根式定义与性质 考向二 二次根式有意义 二次根式运算 考向一 二次根式混合运算 考向二 二次根式应用 考点一 二次根式概念 ►考向一 二次根式定义与性质 易错易混 （1）被开方数的条件：1、非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即a≥0。因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。2、唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。 （2）最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件：1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2. 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2。那么，这个根式叫做最简二次根式。 1．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北咸宁·一模）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． ►考向二 二次根式有意义 1．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）要使有意义，则实数x的取值范围是 ． 3．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 考点二 二次根式运算 ►考向一 二次根式混合运算 易错易混提醒 （1） 加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。 （2） 乘法：二次根式可以进行乘法运算。两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。 （3） 分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化 1．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 2．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 5．（2024·甘肃·中考真题）计算：． 6．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：． ►考向二 二次根式应用 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．8 3．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 4．（2024·河北·中考真题）情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 1．（2024·安徽合肥·一模）甲袋中装着分别标有数字2，，，的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号“”、“”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽·二模）安安同学在正三角形中放入正方形和正方形（两个正方形不重叠），使得在边AB上，点P，N分别在边上．下列说法正确的是（　　） A．两个正方形边长和的最小值为 B．两个正方形的边长差为3 C．两个正方形面积和的最小值为 D．两个正方形面积和的最大值为 3．（2021·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线y=2（x-a） +2a与四边形OABC的边有交点时a的取值范围是（     ） A．-1≤a≤0 B． C． D． 4．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，已知是等腰直角三角形，，，点在边上，连接，以为边在右侧作正方形，连接，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·安徽蚌埠·三模）下列运算正确的是（       ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽·三模）函数的自变量的取值范围是 ． 7．（2024·安徽阜阳·三模）若式子有意义，则x的取值范围为 ． 8．（2024·安徽淮北·三模）观察下列二次根式的化简过程： ； ； ； … 回答下列问题： (1)______； (2)，当无穷大时，最接近的整数是多少？ 9．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 10．（2024·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中． 11．（2024·安徽亳州·二模）先化简，再求值：，其中． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式 课标要求 考点 考向 1、了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，能用根号表示二次根式，会判断一个根式是否为最简二次根式，以及确定几个二次根式是否为同类二次根式. 2、理解二次根式的性质，并能运用这些性质进行化简和计算. 3、掌握二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则，会进行简单的四则运算，包括将二次根式化为最简二次根式后，进行同类二次根式的合并，以及利用乘除法则进行化简计算等. 4、明确二次根式有意义的条件，即被开方数大于或等于0，能根据这个条件确定函数自变量的取值范围，或解决相关的不等式问题. 5、能用二次根式解决一些简单的实际问题，如在几何图形的计算、物理公式的应用等场景中，列出含有二次根式的表达式并求解. 二次根式概念 考向一 二次根式定义与性质 考向二 二次根式有意义 二次根式运算 考向一 二次根式混合运算 考向二 二次根式应用 考点一 二次根式概念 ►考向一 二次根式定义与性质 易错易混 （1）被开方数的条件：1、非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即a≥0。因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。2、唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。 （2）最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件：1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2. 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2。那么，这个根式叫做最简二次根式。 1．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 2．（2024·湖北咸宁·一模）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，分式的乘方，同底数幂的乘法，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．无意义，故该选项不正确，不符合题意；     B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意；     D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：B． ►考向二 二次根式有意义 1．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题． 【详解】解：由题知，， 解得， 故答案为：C． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）要使有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 3．（2024·山东烟台·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 考点二 二次根式运算 ►考向一 二次根式混合运算 易错易混提醒 （1） 加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。 （2） 乘法：二次根式可以进行乘法运算。两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。 （3） 分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化 1．（2024·江苏南通·中考真题）计算的结果是（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选B． 2．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 3．（2024·湖南长沙·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则． 【详解】解：A、 ，计算正确； B、不能合并，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算错误； 故选A． 4．（2024·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 5．（2024·甘肃·中考真题）计算：． 【答案】0 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】． 6．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，先根据二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． ►考向二 二次根式应用 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，设 ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A 2．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】D 【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵，（三点共线时取等号）， ∴的最大值为， 故选D 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析 【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长； 解决问题：利用作差法比较三种方案即可． 题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键． 【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d， ∴每行铲的路径长为， ∵每列有k个籽，呈交错规律排列， ∴相当于有行， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：；；； 方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d， ∴每列铲的路径长为， ∵每行有n个籽，呈交错规律排列，， ∴相当于有列， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：； 方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着铲相当于有n条线段长，同时有个， ∴铲除全部籽的路径总长为：； 解决问题 由上得：， ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长； ， ∵， 当时， ， ， ∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗． 4．（2024·河北·中考真题）情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【答案】（1）；（2），；的长为或． 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． （1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可； （2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可． 【详解】解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，， ∵正方形的边长为， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）∵为等腰直角三角形，； ∴， ∴， ∵， ， ∴； 如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，，符合要求， 或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线， 此时，， ∴， 综上：的长为或． 1．（2024·安徽合肥·一模）甲袋中装着分别标有数字2，，，的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号“”、“”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用列表法求概率，列表得到所有的情况总数，找出结果是有理数的情况数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：由题可列表如下： 乘法运算结果 2 2 加法运算结果 2 2 由表可知：总共有24种结果，其中结果是有理数的有8种， 结果是有理数的概率为， 故选：B． 2．（2023·安徽·二模）安安同学在正三角形中放入正方形和正方形（两个正方形不重叠），使得在边AB上，点P，N分别在边上．下列说法正确的是（　　） A．两个正方形边长和的最小值为 B．两个正方形的边长差为3 C．两个正方形面积和的最小值为 D．两个正方形面积和的最大值为 【答案】D 【分析】连接，设正方形、正方形的边长分别为，求得面积和的表达式为：，再结合（2）的结论，即可求出这两个正方形面积和的最大值和最小值了． 【详解】解：如图，连接，则． 设正方形、正方形的边长分别为，它们的面积和为S，则，， ∴， ∴． 延长交于点G，则， 在中，由勾股定理，． ∵，即， ∴， ∴， ∴，故选项A、B不正确； ∴． ①当时，即时，S最小． ∴；故选项C不正确； ②当最大时，S最大． 即当a最大且b最小时，S最大． ∵， 由（2）知，，． ∴ ．故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了等边三角形的性质，正方形的性质，二次函数的性质等知识，解题关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 3．（2021·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线y=2（x-a） +2a与四边形OABC的边有交点时a的取值范围是（     ） A．-1≤a≤0 B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次函数与四边形OABC的交点为各端点，求得对应a的值，进而确定a的取值范围，得到答案． 【详解】解：∵点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线过点A（-2，0）时，解得：a=-1或a=-4； 当抛物线过点B（-2，-2）时，解得：a=或a=； 当抛物线过点C（0，2）时，解得：a=或a=； 当抛物线经过原点（0，0）时，解得：a=0或a=-1； 抛物线y=2（x-a） +2a， ∵2＞0，开口向上，最小值为2a，直线BC为y=2， ∴2a≤2，即a≤1 ∵＜-4＜＜-1＜＜0＜ ∴当抛物线y=2（x-a） +2a与四边形OABC的边有交点时a的取值： ≤a≤ 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、解一元二次方程、坐标与图形、二次根式的运算，利用二次函数与四边形的端点相交确定对应的a的临界值是解题的关键． 4．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，已知是等腰直角三角形，，，点在边上，连接，以为边在右侧作正方形，连接，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作交于点G，交交于点M，过点F作交的延长线于点H，根据正方形的性质利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，然后根据等腰直角三角形利用证明，根据全等三角形的性质得出，可得出，根据勾股定理可得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作交于点G，交交于点M，过点F作交的延长线于点H，则， 四边形是正方形 ， ， 等腰直角三角形 又， 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 5．（2023·安徽蚌埠·三模）下列运算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的乘方，二次根式的化简，合并同类项解答即可． 本题考查了幂的乘方，二次根式的计算，合并同类项，熟练掌握运算公式和性质是解题的关键． 【详解】A. ，正确，符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C. 无法计算，错误，不符合题意；     D. ，错误，不符合题意； 故选A． 6．（2024·安徽·三模）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是二次根式的性质、函数自变量的取值范围，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式中被开方数不能小于零即可求解． 【详解】解：根据二次根式的性质可得：中， 解得， 函数中自变量的取值范围是． 故答案为：． 7．（2024·安徽阜阳·三模）若式子有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 8．（2024·安徽淮北·三模）观察下列二次根式的化简过程： ； ； ； … 回答下列问题： (1)______； (2)，当无穷大时，最接近的整数是多少？ 【答案】(1) (2)当无穷大时，接近 【分析】本题考查数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算，分式的混合运算， （1）根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可； （2）根据（1）中的结论：，求出，再进行求解； 掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为任意的正整数， ∴ ， ∴ ， ∴； （2）由（1）有： ， ∴当无穷大时，接近． 9．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查规律探索，根据已知的式子总结出等式与序数的关系是解题的关键．由已知的等式，总结规律求解即可． （1）由已知的等式，即可归纳出规律； （2）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解： （2）原式 ． 10．（2024·安徽合肥·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式进行因式分解，分母有理化等知识．熟练掌握分式的化简求值，完全平方公式，分母有理化是解题的关键． 先利用完全平方公式进行因式分解，然后计算乘法，最后进行减法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ； 将代入得，原式． 11．（2024·安徽亳州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简运算问题，掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据分式的运算法则化简分式，再代入求值即可． 【详解】解：原式． 当时，原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$