第11讲 一次函数的应用（练习，15题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第三章 数与式 第11讲 一次函数的应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 最优方案问题 👉题型02 最值问题 👉题型03 行程问题 👉题型04 工程问题 👉题型05 分配问题 👉题型06 分段计费问题 👉题型07 调运问题 👉题型08 计时问题 👉题型09 体积问题 👉题型10 几何问题 👉题型11 新考法：新情景问题 👉题型12 新考法：与现实有关的热考问题 👉题型13 新考法：新考法问题 👉题型14 新考法：跨学科问题 👉题型15 新考法：中考预测题 👉题型01 最优方案问题 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 2．（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校将举办一年一度的运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒乒乓球标价25元．体育用品店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打九折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒． (1)请直接写出两种优惠方案实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式； (2)如果学校需要购买20盒乒乓球，选择哪种优惠方案更省钱？ 4．（2024·云南昆明·模拟预测）在乡村振新活动中，某网络电商企业响应党的号召，利用互联网拓宽销售渠道，解决农产品“卖难”问题．该网络电商企业从一农户鲜花种植基地购进甲、乙两种鲜花进行销售，其中甲鲜花的单价为40元/束，乙鲜花购进费用（元）与乙鲜花购进数量（束）符合如图所示的函数关系．（其中，且为整数） (1)求出乙鲜花购进费用（元）与乙鲜花购进数量（束）的函数关系； (2)若企业打算购进两种鲜花共150件，且乙鲜花的数量不少于40束，且甲鲜花数量不少于乙鲜花数量的一半，则如何设计购进方案，才能使总购进费用最少？最少的购进费用是多少？ 👉题型02 最值问题 5．（2024·辽宁·模拟预测）辽宁省是中国著名的水果产区之一，很多地区的水果还被列为地标性水果，如大连樱桃、小凉山西瓜、鞍山南果梨、绥中白梨、东港草莓、盖州苹果、庄河歇马杏、朝阳大枣、熊岳葡萄等．某果园今年种植的樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该樱桃上市第x天时，日销售量P(单位：与x 之间的函数关系为，樱桃单价y(单位：元)与x之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y关于x 的函数解析式； (2)设日销售额为W元，当时，求W 的最大值． 6．（2024·福建泉州·模拟预测）某文具店准备购进型号的文具一共100件，两种文具的进价和售价情况如下表：     价格型号 进价（元/件） 售价（元/件） 型 10 12 型 15 23 (1)问该文具店应如何进货，使得进货款恰好是1340元？ (2)若购进这两种文具全部售完后，获得利润不超过进货款总数的，求该文具店可获利润的最大值．（注：利润=售价-进价） 7．（2024·湖南·模拟预测）央视春晚是当之无愧的顶级晚会，龙年春晚分会场之一花落长沙，长沙首次站在春晚的舞台，向全世界释放千年古城的魅力，展示青春朝气的风采，为了让社区群众有更好的观看体验，某街道办计划购买A、B两种晚会道具布置社区街道，A道具和B道具共购买55支，且A道具不少于B道具的2倍，已知A道具每支9元，B道具每支6元． (1)采购组计划将预算经费450元全部用于购买两种道具，可购买A道具和B道具各多少支? (2)规划组认为有比450元更省钱的购买方案，请求出购买总数不变的情况下，两种道具总费用的最小值． 8．（2024·湖北十堰·一模）超市销售一种水果，进价为20元/件，经过市场调查发现，该水果的日销售量（件）与当天的销售单价（元/件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单件（元/件） 20 30 40 日销售量（件） 400 300 200 (1)求与的关系式； (2)求该水果每天获得的利润（元）的最大值； (3)春节前夕，批发商调整进货价格，该水果的进价变为元，该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过41元/件，在实际销售过程中，发现该水果每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值． 👉题型03 行程问题 9．（2024·陕西汉中·三模）在一条笔直的道路上依次有三地，小明从地跑步到达地，休息后按原速跑步到达地．小明距地的距离与时间之间的函数图象如图所示． (1)从地到地的距离为______； (2)求出段的函数表达式： (3)求小明距地时所用的时间． 10．（2024·河北·模拟预测）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求出线段和线段的解析式； (2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇； (3)当时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有多少分钟？ 11．（2024·湖南长沙·模拟预测）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 12．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）一条高速公路上依次有、、三地，甲车由地匀速驶往地，到达地后调头（调头的时间忽略不计）再按原路原速驶往地，乙车由地驶往地，两车同时出发，同时到达目的地．两车距、两地中点的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)甲车的速度是_____千米／时,在图中的(   )内填上正确的数； (2)求甲车由地到中点地的过程中的与之间的函数关系式,并直接写出自变量取值范围； (3)两车出发多少小时，相距500km？请直接写出答案． 👉题型04 工程问题 13．（2024·广东茂名·二模）某施工队承接了一项修路任务，每天下班前登记施工进度，列表记录了开工天以来的修路情况，其中表示开工的天数（单位：天），表示剩余未修道路长度（单位：千米）．为描述剩余未修道路长度与开工数的关系，现有以下三种函数关系式可供选择，，． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式； (2)若想要比原计划提前一天完成施工任务，求之后几天平均每天比原计划多修的长度． 14．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3000 乙 2000 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于?求该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 15．（2024·贵州黔东南·模拟预测）为稳步推进5G网格建设，深化共建共享，项目承包单位派遣甲、乙两队合作完成的工程，已知甲队每天完成的工程量是乙队的倍；当两队各完成的工程时，甲队比乙队少用天． (1)甲、乙两队每天完成的工程量分别是多少千米? (2)两队合作完成此项工程，若甲队参与施工天，则乙队参与施工________天（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若甲队单独施工一天的费用是万元，乙队单独施工一天的费用是万元，且要求两队施工的天数之和不超过天，应如何安排甲、乙两队施工的天数，施工总费用最少?并求出最少费用. 16．（2024·河南驻马店·三模）河南省为加快高速公路建设，需要有甲、乙两个工程队共同完成某段高速公路的修建．已知甲工程队单独完成此项工程比乙队单独完成此项工程多用15天，且甲队60天的工作量和乙队40天的工作量相同． (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若施工方案是甲队先单独施工x天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成，已知甲队的施工费用为每天3.5万元，乙队的施工费用为每天6.5万元，求施工总费用y（万元）关于x 的函数解析式． (3)在（2）的条件下，若要求在27天内完成该项工程，如何制定施工方案可使总费用最少，最少费用为多少万元？ 👉题型05 分配问题 17．（2024·山东青岛·模拟预测）自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台． (1)求 A，B型设备每台的价格分别是多少元． (2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案． 18．（2024·广东梅州·模拟预测）五华，这片士地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元． (1)求每个足球和足球锥形桶的单价； (2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 19．（2024·云南昆明·二模）为调动实习员工工作的积极性，某公司出台了两种工资方案，实习员工任选其中一种方案与公司签订合同．方案一：月工资y（单位：元）与生产的产品数量x（单位：件）的函数关系如图所示；方案二：每生产一件产品可得25元． (1)选择了工资方案一的实习员工甲，第一个月生产了60件产品，他该月得到的工资是多少元？ (2)某月实习员工乙发现，他选择方案一比选择方案二月工资多450元，求乙员工该月生产产品的数量． 20．（2024河南省模拟）神舟十七号飞船即将荣耀归来，为激发同学们对航天事业的兴趣，学校组织了一场以“飞天”为主题的文艺晚会，打算购买一些“飞天”装饰挂件与专属航天印章送给学生留作纪念．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且都只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；用100元购买挂件的盒数与用75元购买印章的盒数相同． (1)求每盒挂件和每盒印章的价格分别为多少元? (2)如果给每位学生分发2个挂件与2个印章．设购买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发，则______（用含a代数式表示）； (3)累计购买超过850元后，超出850元的部分有6折的优惠．学校以（2）中的配套方式购买，共需要花费w元，求w关于a的函数关系式．若该校某年级有750名学生，则需要购买挂件与印章各多少盒?共需要多少费用? 👉题型06 分段计费问题 21．（2024·陕西西安·模拟预测）某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元，乘车费与行驶路程之间的函数关系如图所示． (1)填空：________，________； (2)设乘客乘坐出租车的路程为x（）千米时，乘车费为y元． ①求y与x之间的函数关系式； ②王叔叔乘坐出租车到达目的地后，出租车共行驶了千米，则王叔叔应付多少元乘车费？ 22．（2024·陕西榆林·二模）世界水日为每年的3月22日，宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某市节约用水，采取阶梯分段收费标准，已知用户每月用水量不超过15吨时，水费为a元/吨，每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系如图所示． (1)填空：__________； (2)当用水量x超过15吨时，求y与x之间的函数表达式； (3)若某用户3月份交水费45元，求该用户3月份的用水量． 23．（2024西安市模拟）某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）与行驶路程（千米）呈分段函数关系： 当时，蓄电池剩余电量（千瓦时）与行驶路程（千米）成一次函数关系，如下表： 行驶路程/千米 0 24 48 72 … 蓄电池剩余电量/千瓦时 60 56 52 48 … 当时，蓄电池剩余电量（千瓦时）与行驶路程（千米）的函数关系式是：. (1)根据表格中的数据求时与的函数关系式； (2)求该电动汽车充满电后能行驶的最大里程. 24．（2024·陕西西安·模拟预测）国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下： 甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费） 乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）． 根据以上信息，解决下列问题： (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式； (2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算． 25．（2024·云南楚雄·模拟预测）某校八年级开展了关于《哪一款手机资费套餐更合适》的项目学习，以下是小明同学活动报告的部分内容． 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 元 分钟 元/ 元/分 元 分钟 套餐说明： （1）月资费月费超出套餐资费（流量超出费语音超时费）； （2）套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费 访谈内容 收集并整理妈妈近六个月的话费账单，发现她语音通话很少，每月最多不超过分钟 建立模型 （1）语音通话没有超出套餐内容，所以只需研究流量与手机资费的关系．设妈妈每月手机资费（元），每月使用流量（）． 套餐：当时，； 套餐：当时， ． （2）为了直观比较，在同一平面直角坐标系中（如图）画出两个函数的图象 根据以上报告内容，解决下列问题： (1)当时，求套餐每月手机资费（元）与每月使用流量（）之间的关系式，并在给出的平面直角坐标系中，画出套餐的大致图像． (2)小明妈妈每月至少使用流量 ，那么她选择哪个套餐更合适？ 👉题型07 调运问题 26．（2023·河南安阳·模拟预测）新郑大枣“甜如蜜”，作为河南的名片，新郑大枣已经远销海内外．现外地某经销商准备从新郑购进A，B两种不同包装的大枣，已知购进3件A包装和2件B包装的大枣需要850元；购进2件A包装和3件B包装的大枣，需要900元． (1)求A，B两种包装的大枣的进货单价分别是多少元？ (2)若该经销商购进A包装的大枣300件，B包装的大枣200件，并且准备把这些大枣全部运往甲、乙两家分店来进行销售，已知每件A运往甲、乙两家店的运费分别是15元和20元，每件B运往甲、乙两家店的运费分别是20元和18元．根据往年的销售情况，该经销商决定向甲店运260件大枣，向乙店运240件大枣． ①设该经销商运往甲店的A包装的大枣x（件），所花的总运费为w（元），请写出w关于x的函数关系式； ②怎样调运A，B两种包装的大枣可使总运费最低？最低费用是多少？ 27．（2023·天津河东·一模）某蔬菜公司要从A市调运两车蔬菜运往B市．已知A市离B市，甲、乙两辆货车同时沿同一路线从A市出发前往B市，且行驶过程中甲车速度保持不变．乙车行驶时发生故障，此时甲车刚好到达B市．乙车在发生故障地原地维修，甲车在B市停留了，卸载蔬菜后原路行驶了到达乙车发生故障地，用了把乙车的蔬菜装上甲车，然后甲车立即沿原路行驶了到达B市，在此过程中乙车一直在发生故障地维修．甲车离A市的距离与行驶所用时间之间的对应关系如图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开A市的时间/ 1 5 离A市的距离/ (2)填空： ①A市到乙车发生故障地的距离为_______； ②当两车之间的距离是时，甲车离开A市的时间为________． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 28．（2023·浙江宁波·一模）某次干旱灾情，甲地急需抗旱用水万吨，乙地万吨，现有、两水库决定各调出万吨水支援甲、乙两地抗旱，已知从水库到甲地千米，到乙地千米；从水库到甲地千米，到乙地千米． (1)设从水库调往甲地水量为万吨，完成下表，并直接写出的取值范围是_______． 调入地 水量/万吨 调出地 甲 乙 总计 总计 (2)若调运水的费用为元/万吨·千米，求调运总费用的最小值． 29．（2024保定市模拟）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表 月份 销售量/件 销售额/元 冰墩墩 雪容融 第1个月 第2个月 (1)求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格． (2)若某公司购进冰墩墩件，雪容融件，准备把这些吉祥物全部运往甲、乙两地销售．已知每件冰墩墩运往甲、乙两地的运费分别为元和元；每件雪容融运往甲、乙两地的运费分别为元和元．若运往甲地的吉祥物共件，运往乙地的吉祥物共件． ①设运往甲地的为冰墩墩件，总运费为元，请写出与的函数关系式； ②怎样调运、两种吉祥物可使总运费最少？最少总运费是多少元？ 👉题型08 计时问题 30．（2024·陕西西安·模拟预测）漏刻是中国古代的一种计时工具，其工作原理主要基于水位的均匀变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．小宇所在的兴趣小组复制了一个漏刻模型，下面是他们研究过程中记录的数据，其中表示小棍露出的部分（单位：），表示时间（单位：）． 0 10 20 30 40 2 2.6 3.2 3.8 4.4 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并顺次连接各点；再确定符合实际的函数类型，求出相应的函数表达式； (2)当小棍露出部分为时，求对应的时间的值． 31．（2024·陕西西安·模拟预测）如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某校八年级的综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）．上午，在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，收集甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22    (1)在平面直角坐标系中，描出了以表中各组对应值为坐标的点．根据描出的点，可判断：甲容器的水面高度与流水时间之间的关系是初中阶段学过的____函数，并求出该函数表达式； (2)请计算当时间为9：10时，甲容器中水面的高度下降了多少？ 32．（2024·河南郑州·三模）水龙头关闭不严会造成滴水．为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据． 时间 5 10 15 20 25 水量 17 32 47 77 (1)探究：根据上表中的数据，拟用下面三个函数模型模拟水量与时间的关系：①，②，③，你认为选用函数_______（填序号）模拟最合理（不必说明理由），并求出相应的函数表达式和漏记的值； (2)应用： ①兴趣小组用量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？ ②成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用多少天？（结果保留一位小数） 👉题型09 体积问题 33．（2023·陕西汉中·二模）在做测量液体密度的实验中，晓华想对比甲，乙两种液体．他利用天平测出液体和量杯的总质量（），记录此时液体的体积x（），并根据实验数据画出甲、乙两种液体的总质量（）与液体的体积（）之间的函数关系图像如图．    (1)求乙种液体的总质量（）与液体的体积x（）之间的函数关系式； (2)当甲，乙两种液体的体积都为时，甲液体的总质量比乙液体的总质量多多少克？ 34．（2023·福建厦门·二模）下面是小明同学的一则日记，请仔细阅读，并完成相应的任务： 年*月*日　　星期日 利用一次函数知识解决化学问题 今天我看到一则化学实验材料： 如图1，在一支的试管中充满了和的混合气体，将其倒立在盛有足量水的烧杯中，这里会发生化学反应．    ① 当和的体积比为时，和恰好完全反应．如果反应后仍有剩余，则会和水继续发生化学反应． ② 化学反应②中参与反应的与生成的的体积比为． 根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反应前试管中混合气体中的体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模型解决这个问题． 设原混合气体中的体积为，的体积为，完全反应后试管内乘余气体的体积为． 情况一：由反应①可知，当和的体积比为时，和恰好完全反应，此时． 情况二：当时，由反应①可知全部参加反应，过量，参加反应①的的体积，剩余的体积为． 因为不溶于水，故完全反应后试管内剩余气体的体积，即． 在平面直角坐标系中画出当时的函数图象如图2所示．    情况三：当时，由反应①可知全部参与反应，过量，参与反应①的的体积为，剩余的和水发生反应②，产生不溶于水的气体． 任务： (1)根据材料中的内容，求出当时，y与x的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出该函数图象；    (2)当完全反应后试管内剩余气体的体积为时，求原混合气体中的体积． 👉题型10 几何问题 35．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图矩形中，，点为边上的三等分点，动点从点出发，沿折线方向运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出时的取值范围． 36．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，已知直线经过点、点，点P是x轴上一个动点，过点C、P作直线． (1)求直线的表达式； (2)已知点，当时，求点P的坐标； (3)设点P的横坐标为m，点，是直线上任意两个点，若时，有，请直接写出m的取值范围． 37．（2024·河北秦皇岛·一模）在平面直角坐标系中，点，，直线与y轴相交于点C． (1)如图1，当A，B关于y轴对称，且直线经过点A时，求k的值． (2)如图2，当时，直线与线段存在交点P（不与点A，B重合），且，求m的取值范围． 38．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x上，在y轴上，的长分别是的两个根（），于点E，交于点D．动点P从点A出发，以每秒一个单位长度的速度向点C运动，到点C停止，过点P作的平行线，交于点M，令的面积为s． (1)求点B的坐标； (2)求s关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)在直线上是否存在点M，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 👉题型11 新考法：新情景问题 39．（2024·山东临沂·模拟预测）2024甲辰龙年前夕，临沂市政府出台《临沂市进一步提振扩大消费的若干政策措施》，提出了14项具体促消费措施，助力消费市场较快恢复．在某社区，王大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低元，每天可多销售1箱． (1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式； (2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，王大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？ 40．（2024·云南昆明·三模）今年的澜沧江一湄公河合作大理马拉松（简称“2024澜湄大理马拉松”），将于5月19日在美丽的云南大理开跑，这是一场结合了自然风光、历史文化和民族风情的国际性马拉松赛事，旨在促进澜湄流域国家的合作与交流．以下是本次马拉松赛事的一些信息： 项目 距离 报名费 马拉松 42.159千米 200元/人 半程马拉松 21.0975千米 150元/人 欢乐跑 5.2千米 80元/人 亲子跑 2千米 60元/人 (1)据了解，某中学有若干名同学报名参加了本次活动欢乐跑和亲子跑中的一个项目，他们共花费了报名费640元，完成挑战后他们跑过的距离总和为34千米．请求出该中学报了欢乐跑和亲子跑的同学各有几人？ (2)已知在跑马拉松过程中，人体内消耗的水分y（单位：）与运动距离x（单位：）之间的函数关系如图所示，其中． ①请求出y与x之间的函数关系式； ②为了避免身体出现脱水现象，一般情况下体内消耗水分达时就要适当补水分，求起跑后距离起点多少千米时需要第一次补水？ 41．（2024·辽宁·一模）2024年初，哈尔滨旅游异常火热，海南的假期研学团队准备组织“小金橘”团去哈尔滨玩冰赏雪活动，在众多旅行社中有、两家旅行社积极参与并给出了优惠措施，假设本次“小金橘”团队共有人，、旅行社收费报价为、，下图所示是他们的函数图象，请根据图象信息回答下列问题： (1)在两家旅行社收费相同时，需要参活动的人数为多少？ (2)你能否求出、关于的函数关系式？ (3)据统计本次统计参加活动的“小金橘”共有50人，你认为选择哪家旅行社合算？ 42．（2024·河南·模拟预测）在2024的“”来临之际，某商场计划采购一批甲和乙两种厨房小家电．已知乙种家电的进价比甲种家电的进价每件多100元，用1万元购进甲种家电的件数与用1.2万元购进乙种家电的件数相同．请解答下列问题： (1)这两种家电每件的进价分别是多少元？ (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？ (3)在（2）的条件下，甲、乙两种家电分别在进价的基础上提价、进行销售，这100件家电全部售完，能获得的最大利润是多少？ 👉题型12 新考法：与现实有关的热考问题 43．（2024·江苏泰州·三模）为了解某新能源汽车的充电速度，实验小组调查研究发现：当汽车充电率（充电率）满足时，用该品牌汽车专用充电桩充电，汽车充电率与充电时间（单位：）的函数图象是折线；用公共充电桩充电时，汽车充电率与充电时间（单位：）的函数图象是线段．研究表明：为保护电池寿命，当充电率超过时，品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同．根据以上信息，回答下列问题： (1)求的函数解析式． (2)若该汽车充电率从至，用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用多少时间？ 44．（2024·河北邯郸·二模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）．现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知点坐标是，斜坡的坡角为．    (1)请直接写出小明在斜坡上的跑步速度． (2)求段关于的函数解析式； (3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过的时长．（参考数据：，，） 45．（2024·广东深圳·模拟预测）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要200元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要180元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为60元，每个“天宫”模型的售价为45元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 46．（2024·陕西咸阳·模拟预测）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．某单位计划在端午节前购买某品牌的粽子发放给员工．经询价，已知甲、乙两超市都以80元/盒的价格销售该品牌粽子，并且同时在做促销活动． 甲超市：办理本超市会员卡（卡费200元），商品全部打七折销售． 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若该单位购买此品牌粽子x盒，在甲、乙超市所需总费用分别为元、元，与x之间的函数图象如图所示，回答下列问题： (1)分别求出、与x（）之间的函数关系式； (2)若该单位准备购买100盒粽子，你认为在哪家超市购买更划算？ 47．（2024·陕西西安·模拟预测）近几年，网约车逐步成为人们日常出行的主要方式之一，它大幅度的提高了人们的出行效率，节省了出行时间和金钱成本．图中反映某网约车平台收费（元）与所行驶的路程（千米）的函数关系，根据图中的信息解答下面问题： (1)求直线的表达式； (2)小张乘坐网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），小张从家到机场需要多长时间？ 👉题型13 新考法：新考法问题 48．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的 ． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 49．（2024·山西太原·模拟预测）请仔细阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 树的胸径与树高的关系 胸径和树高是树木重要的测量因子，也是反映森林生长状况的重要参数．由于测量树高比测量胸径更加费时、费力，且误差更大，因此实际测量时，多采用树高-胸径模型来估算树木的高度． 技术人员查阅相关资料，发现柳树在某段成长时期，其树高y（单位：m）可以看成胸径x（单位：）的一次函数．下表是他们在当地收集到的“一号”柳树树高与胸径的数据： 胸径 16 21 23 28 35 42 树高 7.2 8.4 9 10.7 11.2 11.7 根据表中的数据，他们在如图所示的平面直角坐标系中描出了坐标点，发现这六个点并不在一条直线上，继续查阅资料，找到如下解决办法： 设树高y与胸径x的函数关系式为，将表格中的数据按x的值从小到大排序后，均分为两组代入得到 第一组：； 第二组：； 分别将两组中的三个式子相加，得到方程组解得，从而得到“一号”柳树树高y与胸径x的一次函数模型为， 技术人员只要测量出“一号”柳树的胸径，就可以利用这个一次函数模型来估算“一号”柳树的高度．    任务： (1)以上材料中，主要运用的数学思想是___________（从下面的选项中选择两个即可）． A．模型思想    B．公理化思想    C．统计思想 (2)技术人员在当地收集到“二号”柳树的树高y与胸径x的数据如下： 胸径： 14 18 25 32 38 45 树高 4.5 5.8 7.55 9.3 10.75 12.3 ①请你参照材料中的方法，求“二号”柳树的树高y与胸径x的一次函数模型（函数表达式）． ②一段时间后技术人员测得“二号”柳树胸径为，查阅相关资料发现，此时对应树高超过才算生长良好，请你判断“二号”柳树生长是否良好． 50．（2023·重庆沙坪坝·二模）如图，在四边形中，，，过点A作于点E，，动点P从点B出发，沿运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，的面积为． (1)请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 51．（2024·陕西商洛·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，以及汽车电池需要多久能充满，某综合实践小组设计了两组实验． 实验一：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如下表： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量 100 60 50 30 实验二：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，发现y与t之间满足关系式． 【建立模型】 （1）观察发现实验一是一次函数模型，请结合表中的数据，求出e与s之间的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶一段距离后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 👉题型14 新考法：跨学科问题 52．（23-24九年级下·福建福州·期中）【综合与实践】 常言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得： ．其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤陀与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数解析式． 53．（2024·陕西西安·模拟预测）在物理课上，小明学习完液体压强公式“”后，他知道是一个常数，当液体密度一定时，压强会随着浸在液体中深度的变化而变化，即压强是浸在液体中深度的函数，课间他看到老师将甲、乙两种密度不同的液体（，且互不相容）依次倒入同一量筒中，老师通过利用电子传感器，测的不同深度时液体的压强，并绘制了如图所示的函数图象． (1)甲液体底部的压强有______； (2)求直线的函数解析式． 👉题型15 新考法：中考预测题 54．（2024·湖南娄底·模拟预测）2023年1月8日电，我国首次散船进口巴西玉米，标志着巴西玉米输华走廊正式打通，对加强中巴农业合作、维护全球农业供应链安全稳定等产生积极深远影响． (1)今年8月，我国从巴西和美国进口玉米共100万吨，用去227500万元，若从巴西进口玉米2500元/吨，从美国进口玉米2000元/吨，则8月份从两国各进口玉米多少万吨？ (2)若我国计划11月份需从巴西和美国进口玉米共160万吨，从巴西进口玉米总量不少于从美国进口玉米总量，且总费用不超过380000万元，再以2830元／吨的价格全部售出，问从巴西进口多少玉米才能获得最大利润，最大利润是多少？ 55．（2024·河北沧州·模拟预测）某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行器所在海拔高度（单位：）与上升时间（单位：）满足一次函数关系，部分数值如表： 上升时间(单位：） … 5 15 … 海拔高度（单位：） … 10 20 … 乙飞行器从海拔的高度，以的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态． (1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度（单位：）与上升时间(单位：）之间的函数关系式； (2)①求甲飞行器的初始高度； ②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明理由； (3)若甲飞行器因为电量不足，上升后，减速为继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，设两个飞行器的高度差为（单位：）．请直接写出：当，h最多为多少米？ 56．（2024·四川成都·模拟预测）某学校为让学生养成“终身体育”的良好习惯，举办了校园运动会．运动会上的参赛选手努力拼搏、团结进取，展现了新时代学生蓬勃向上的良好精神风貌．为表彰取得优异成绩的参赛选手，学校计划购入甲、乙两种体育文创产品，已知每件乙种文创产品的价格比每件甲种文创产品的价格多10元，且用300元购进甲种文创产品的数量与用400元购进乙种文创产品的数量相同． (1)求甲、乙两种文创产品的单价； (2)若学校一次性购进甲、乙两种文创产品共200件，且要求购进甲种文创产品的件数不超过乙种文创产品件数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？求出购买文创产品的最少费用及相应的购买方案． 57．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，梯形的下底在x轴的正半轴上，线段，的长是方程的两个根，且，，边长为3的正方形在梯形右侧，边也在x轴的正半轴上，点N与点C重合． (1)求线段所在直线的解析式 (2)点N从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿折线段向终点O运动，正方形也随之运动．设运动时间为t秒，连结、，求的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围 (3)在（2）的条件下，是否存在使的面积等于的面积的情况？若存在，直接写出运动时间t的值；若不存在，请说明理由 1．（2024·山东济南·中考真题）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 3．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 4．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 5（2024·吉林·中考真题）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 6．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：    (1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，求的值． 1．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． (1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度； (2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 2．（2024·四川广安·中考真题）某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元． (1)求，两种花卉的单价． (2)该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 4．（2024·四川德阳·中考真题）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如下表： 价格 A B 进价（元/件） 94 146 售价（元/件） 120 188 (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ (2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？ 5．（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 6．（2023·湖北黄石·中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，． (1)求，的值； (2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式． 当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元? 当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围． 7．（2023·山东潍坊·中考真题）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．    (1)从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式； (2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 8．（2023·陕西·中考真题）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种树的胸径为时，树高为． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当这种树的胸径为时，其树高是多少？ 9．（2023·四川·中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式． 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A 免费 B 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式； (2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； (3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． 10．（2023·湖北随州·中考真题）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元 (1)___________， ___________； (2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式； (3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？ 11．（2023·新疆·中考真题）随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满元返元 (1)当购物金额为元时，选择超市______（填“”或“”）更省钱； 当购物金额为元时，选择超市______（填“”或“”）更省钱； (2)若购物金额为（）元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ (3)对于超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为%（注：）．若在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明． $$第三章 数与式 第11讲 一次函数的应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 最优方案问题 👉题型02 最值问题 👉题型03 行程问题 👉题型04 工程问题 👉题型05 分配问题 👉题型06 分段计费问题 👉题型07 调运问题 👉题型08 计时问题 👉题型09 体积问题 👉题型10 几何问题 👉题型11 新考法：新情景问题 👉题型12 新考法：与现实有关的热考问题 👉题型13 新考法：新考法问题 👉题型14 新考法：跨学科问题 👉题型15 新考法：中考预测题 👉题型01 最优方案问题 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 【答案】(1)品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； (2)该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，利用数量总价单价，结合“用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台”，可列出关于的分式方程，解之检验后，可得出品牌电脑的单价，再将其代入即可求出品牌电脑的单价； （2）设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑，根据买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设学校购买这些电脑需要元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，根据题意得：， 化简得 解得：，（舍去）， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴品牌电脑的单价是万元元，则品牌电脑的单价是万元即元． 答：品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； （2）解：设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑， 根据题意得：， 解得：． 设学校购买这些电脑需要元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为（元）．此时， ∴该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 2．（2024·江西南昌·模拟预测）剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元 (2) (3)甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查一次函数和一元一次方程的应用： （1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意列方程，解方程即可； （2）购进甲种剪纸装饰套乙种剪纸装饰套，总费用元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则利润为 根据随的增大而增大， 且为非负整数可得当时，取最大值． 【详解】（1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意，得 解得 ， ∴甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元． （2）设购进甲种剪纸装饰套， 则购进乙种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，根据题意，得 ， 即 ∴与之间的函数关系式为； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 即 ， ∴随的增大而增大 ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过元， ，即， 解得， ∵为非负整数 ∴当 时，取最大值，(元)， 此时套， 即商家购进甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某校将举办一年一度的运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价80元，一盒乒乓球标价25元．体育用品店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打九折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍10副，乒乓球盒． (1)请直接写出两种优惠方案实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式； (2)如果学校需要购买20盒乒乓球，选择哪种优惠方案更省钱？ 【答案】(1)， (2)选择方案甲更省钱 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据所给优惠方案分别计算对应的函数关系式即可； （2）根据（1）所求，求出当时，两个函数的函数值，比较即可得到答案． 【详解】（1）解；由题意，得， ； （2）解：当时， （元）， （元）， ∵， ∴选择方案甲更省钱． 4．（2024·云南昆明·模拟预测）在乡村振新活动中，某网络电商企业响应党的号召，利用互联网拓宽销售渠道，解决农产品“卖难”问题．该网络电商企业从一农户鲜花种植基地购进甲、乙两种鲜花进行销售，其中甲鲜花的单价为40元/束，乙鲜花购进费用（元）与乙鲜花购进数量（束）符合如图所示的函数关系．（其中，且为整数） (1)求出乙鲜花购进费用（元）与乙鲜花购进数量（束）的函数关系； (2)若企业打算购进两种鲜花共150件，且乙鲜花的数量不少于40束，且甲鲜花数量不少于乙鲜花数量的一半，则如何设计购进方案，才能使总购进费用最少？最少的购进费用是多少？ 【答案】(1)与的函数关系式为 (2)购进甲鲜花的数量为50束，乙鲜花的数量为100束时，总购进费用最少 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． （1）分和两种情况分别求得函数解析式即可； （2）购进乙鲜花的数量为束，则购进甲鲜花的数量为束，先根据题意列不等式组求得a的取值范围，再列出总购进费用W与a的函数关系式，最后根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 将代入，得，解得. 当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 将，代入，得 ，解得. 当时，与的函数关系式为． 综上所述，与的函数关系式为． （2）解：设购进乙鲜花的数量为束，则购进甲鲜花的数量为束， 根据题意，得，解得，且为整数. .    ， 随的增大而减小， 当时，有最小值， （元）.     购进甲鲜花的数量为：（束）． 答：购进甲鲜花的数量为50束，乙鲜花的数量为100束时，总购进费用最少． 👉题型02 最值问题 5．（2024·辽宁·模拟预测）辽宁省是中国著名的水果产区之一，很多地区的水果还被列为地标性水果，如大连樱桃、小凉山西瓜、鞍山南果梨、绥中白梨、东港草莓、盖州苹果、庄河歇马杏、朝阳大枣、熊岳葡萄等．某果园今年种植的樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该樱桃上市第x天时，日销售量P(单位：与x 之间的函数关系为，樱桃单价y(单位：元)与x之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y关于x 的函数解析式； (2)设日销售额为W元，当时，求W 的最大值． 【答案】(1) (2)2340 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法． （1）分当时和当时两种情况，前一种情况直接由图可知，后一种情况用待定系数法求出与之间的函数关系式即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出的最大值，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，由图可知：， 当时，设与之间的函数关系式为， 将点，代入，得， 解得， ∴与之间的函数关系式为． 综上所述：与之间的函数关系式为 （2）解：当时，， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为． 当时， ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为： ． ∵， ∴当时，的最大值为2340． 6．（2024·福建泉州·模拟预测）某文具店准备购进型号的文具一共100件，两种文具的进价和售价情况如下表：     价格型号 进价（元/件） 售价（元/件） 型 10 12 型 15 23 (1)问该文具店应如何进货，使得进货款恰好是1340元？ (2)若购进这两种文具全部售完后，获得利润不超过进货款总数的，求该文具店可获利润的最大值．（注：利润=售价-进价） 【答案】(1)购进型号文具32件，购进型号文具68件 (2)当文具店购进A型号文具50件时，所获利润最大，最大值为500元 【分析】本题考查了一次函数的应用以及不等式的应用，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购进型号文具件，购进型号文具件，再列出方程组计算，即可作答． （2）先根据题意列式得出，因为获得利润不超过进货款总数的，所以，则，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设购进型号文具件，购进型号文具件， 依题意，得 解得 答：应购进型号文具32件，购进型号文具68件． （2）解：若购进型号文具件，则购进型号文具件， 由题意，得：所获利润， ∵ ∴解得， 由题意，得 随着的增大而减小 则当时， 当文具店购进A型号文具50件时，所获利润最大，最大值为500元． 7．（2024·湖南·模拟预测）央视春晚是当之无愧的顶级晚会，龙年春晚分会场之一花落长沙，长沙首次站在春晚的舞台，向全世界释放千年古城的魅力，展示青春朝气的风采，为了让社区群众有更好的观看体验，某街道办计划购买A、B两种晚会道具布置社区街道，A道具和B道具共购买55支，且A道具不少于B道具的2倍，已知A道具每支9元，B道具每支6元． (1)采购组计划将预算经费450元全部用于购买两种道具，可购买A道具和B道具各多少支? (2)规划组认为有比450元更省钱的购买方案，请求出购买总数不变的情况下，两种道具总费用的最小值． 【答案】(1)购买A道具40支，B道具15支； (2)购买两种道具总费用的最小值为441元． 【分析】本题考查的是二元一次不定方程的整数解、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组得到答案； （2）设购买A道具m支，购买B道具支，购买两种道具总费用为w，根据题意求出m的范围，列出w关于m的一次函数解析式，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设购买A道具x支，购买B道具y支， 由题意得：， 解得：， 答：购买A道具40支，B道具15支； （2）解：设购买A道具m支，购买B道具支，购买两种道具总费用为w， 由题意得：， 解得：， 由题意的：， ∵， ∴w随m的最大而增大， ∵， ∴当时，w取最小值，此时， 答：购买两种道具总费用的最小值为441元． 8．（2024·湖北十堰·一模）超市销售一种水果，进价为20元/件，经过市场调查发现，该水果的日销售量（件）与当天的销售单价（元/件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单件（元/件） 20 30 40 日销售量（件） 400 300 200 (1)求与的关系式； (2)求该水果每天获得的利润（元）的最大值； (3)春节前夕，批发商调整进货价格，该水果的进价变为元，该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过41元/件，在实际销售过程中，发现该水果每天获得的利润随的增大而增大，求的最小值． 【答案】(1) (2)4000元 (3)22元 【分析】本题考查一次函数解析式的应用、二次函数的应用等知识，理解题意，正确找出等量关系是解题的关键． （1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值即可； （3）根据“日销售利润日销售量（销售单价成本单价）”列出函数解析式，求出函数对称轴为，再根据在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，且，得出，求解，从而得出结论． 【详解】（1）解：设与的关系式为， 根据题意，将点、代入， 可得，解得， ∴与的关系式为； （2）根据题意，该水果每天获得的利润 ， ∵ ∴当时，该水果每天获得的利润取最大值，最大值为4000元； （3）由题意，可得， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随的增大而增大，且， ∴，解得， ∴最小值为22． 故答案为：22． 👉题型03 行程问题 9．（2024·陕西汉中·三模）在一条笔直的道路上依次有三地，小明从地跑步到达地，休息后按原速跑步到达地．小明距地的距离与时间之间的函数图象如图所示． (1)从地到地的距离为______； (2)求出段的函数表达式： (3)求小明距地时所用的时间． 【答案】(1)1500 (2)段的函数表达式为； (3)小明距地时所用的时间为． 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据，可以计算出从地到地的距离； （2）先计算出小明跑步的速度，即可计算出小明从地到地用的时间，从而可以写出点的坐标，再根据点的坐标，即可得到段的函数表达式； （3）令（2）中的值为750，求出相应的的值，即可得到小明距地时所用的时间． 【详解】（1）解：由图象可得， 从地到地的距离为：， 故答案为：1500； （2）解：由图象可得， 小明的跑步速度为：， 小明从地到地用的时间为：， 点的坐标为， 设段的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即段的函数表达式为； （3）解：令，， 解得， 即小明距地时所用的时间为． 10．（2024·河北·模拟预测）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题： (1)求出线段和线段的解析式； (2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇； (3)当时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有多少分钟？ 【答案】(1)； (2) (3)分钟 【分析】本题考查了一次函数与行程问题的函数图像，涉及了一元一次方程，掌握待定系数法是解题关键． （1）设线段的解析式为：，将代入即可求解；设线段的解析式为：，由题意求出，将点代入即可求解； （2）设甲、乙两个机器人经过分钟后相遇，由图可知：，据此即可求解； （3）分别计算当甲、乙两个机器人相遇前和相遇后，甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间，即可求解； 【详解】（1）解：由图设线段的解析式为：， 将代入得：， 解得：； ∴线段的解析式为：； 设线段的解析式为：， 由题意得：乙 “基础模式”下的运动速度为：米/分钟， ∴“全速模式”的速度为米/分钟， ∴， 将点代入得：， 解得：， ∴线段的解析式为：； （2）解：设甲、乙两个机器人经过分钟后相遇， 由（1）可知：甲机器人的速度为米/分钟， 由图可知：， 解得：； 即：分钟后甲、乙两个机器人相遇； （3）解：当甲、乙两个机器人相遇前，他们的距离逐渐缩小； 当时，甲、乙两个机器人的距离为：米， 设出发两分钟后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米， 则，解得：； ∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有：分钟； 当甲、乙两个机器人相遇后，他们的距离逐渐增大； 设相遇后再过分钟，甲、乙两个机器人的距离为米， 令，解得：； ∴甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟； 综上所述：甲、乙两个机器人之间的距离不超过米的时间有分钟； 11．（2024·湖南长沙·模拟预测）图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 【答案】(1) (2)①；②追上时兄妹俩离家米远 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）根据“速度=路程÷时间”计算即可； （2）①根据时间=路程+速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可； ②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论． 【详解】（1）由可知哥哥的速度为：. （2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：. ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴； ②由（1）可知：哥哥的速度为100， ∴设所在直线为， 将代入得：， 解得. ∴所在直线为：. 当时，. ∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍， ∴妹妹的速度是160米/分. ∴设妹妹返回时得解析式为， ∵妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家时， ∴ 将代入得， 解得， ∴. 令，则有， 解得， ∴妹妹能追上哥哥， 此时哥哥所走得路程为：（米）. 兄妹俩离家还有（米）， 即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家米远． 12．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）一条高速公路上依次有、、三地，甲车由地匀速驶往地，到达地后调头（调头的时间忽略不计）再按原路原速驶往地，乙车由地驶往地，两车同时出发，同时到达目的地．两车距、两地中点的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)甲车的速度是_____千米／时,在图中的(   )内填上正确的数； (2)求甲车由地到中点地的过程中的与之间的函数关系式,并直接写出自变量取值范围； (3)两车出发多少小时，相距500km？请直接写出答案． 【答案】(1)100， (2) (3)，， 【分析】本题是一次函数的应用，考查了待定系数法，一元一次方程，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由题意可得，到中点的距离为300千米，，之间的距离为120千米，可求甲车的速度； （2）利用待定系数法可求解析式； （3）分三种情况讨论，由相距km，列出方程可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，，到中点的距离为300千米，，之间的距离为（千米）， 甲车的速度是（千米时）， （小时）， 图中的括号内应填的数为4.2； 故答案为：100，4.2； （2）解：（小时） ∴甲车到中点时用时1.2小时 设所求解析式为， 将和代入中，得， 解得， 所求解析式为； （3）解：由题意可得：乙的速度为（千米时）， 当甲车由地匀速驶往地时， 两车相距， ， 解得：； 当甲车从到点，且没有相遇时， 两车相距km， ， 解得：； 当甲车到达点时，， （小时）， ； 答：两车出发，，小时，相距km． 👉题型04 工程问题 13．（2024·广东茂名·二模）某施工队承接了一项修路任务，每天下班前登记施工进度，列表记录了开工天以来的修路情况，其中表示开工的天数（单位：天），表示剩余未修道路长度（单位：千米）．为描述剩余未修道路长度与开工数的关系，现有以下三种函数关系式可供选择，，． (1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式； (2)若想要比原计划提前一天完成施工任务，求之后几天平均每天比原计划多修的长度． 【答案】(1)图见解析， (2)之后几天平均每天比原计划多修千米 【分析】题目主要考查一次函数的应用及待定系数法确定函数解析式，理解题意，确定函数解析式是解题关键． （1）在坐标系中描出点，根据图象选择一次函数，利用待定系数法确定函数解析式即可． （2）令，由得，，所以按照原计划还需天可修完，还有千米，平均每天需要修千米．因为要提前一天完成任务，所以之后几天需要每天修（千米）．因为（千米），所以之后几天平均每天比原计划多修千米． 【详解】（1）解：描点如图， 根据图象选择函数， 将，代入得 得， 解得， ． （2）令，由得，， 按照原计划还需天可修完，还有千米，平均每天需要修千米． 要提前一天完成任务， 之后几天需要每天修（千米）． （千米）， 之后几天平均每天比原计划多修千米． 14．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3000 乙 2000 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于?求该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 【答案】(1)300 (2)该段时间内体育中心至少需要支付元施工费用 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解题的关键是，找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系得出关于的函数关系式． （1）根据“甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等”得出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，根据“完成的施工面积不少于”列出不等式，得出，设该段时间内体育中心需要支付元施工费用，得出关于的函数关系式，由一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 的值是； （2）解：设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天， 由题意得：， 解得：， 设该段时间内体育中心需要支付元施工费用， 则，即， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值， 该段时间内体育中心至少需要支付元施工费用． 15．（2024·贵州黔东南·模拟预测）为稳步推进5G网格建设，深化共建共享，项目承包单位派遣甲、乙两队合作完成的工程，已知甲队每天完成的工程量是乙队的倍；当两队各完成的工程时，甲队比乙队少用天． (1)甲、乙两队每天完成的工程量分别是多少千米? (2)两队合作完成此项工程，若甲队参与施工天，则乙队参与施工________天（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，若甲队单独施工一天的费用是万元，乙队单独施工一天的费用是万元，且要求两队施工的天数之和不超过天，应如何安排甲、乙两队施工的天数，施工总费用最少?并求出最少费用. 【答案】(1)甲队每天完成的工程量为，乙队每天完成的工程量为． (2) (3)安排甲队施工天，乙队施工天，总费用最少，最少费用为万元 【分析】本题考查分式方程，一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意，得到等量关系，列出方程，进行计算，掌握一次函数的图象和性质，即可． （1）设乙队每天完成，则甲队每天完成，根据题意，列出方程，即可； （2）根据题意，甲队参与施工天，得甲队完成的工程量为：，推出乙队完成的工程量为：，再根据工作效率乘以工作时间等于工作总量，即可； （3）设施工的总费用为元，则；根据施工天数总和不超过30天，得；最后根据一次函数的增减性，即可． 【详解】（1）设乙队每天完成，则甲队每天完成 ∴ 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴甲队每天完成的工程量为． 答：甲队每天完成的工程量为，乙队每天完成的工程量为． （2）∵甲队参与施工天， ∴甲队完成的工程量为：， ∴乙队完成的工程量为：， ∴乙队施工的天数为：， 故答案为：． （3）设施工的总费用为元， ∴， ∵施工天数总和不超过天， ∴， ∴， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， ∴（万元）， ∴乙队施工的天数为：， 答：安排甲队施工天，乙队施工天，总费用最少，最少费用为万元． 16．（2024·河南驻马店·三模）河南省为加快高速公路建设，需要有甲、乙两个工程队共同完成某段高速公路的修建．已知甲工程队单独完成此项工程比乙队单独完成此项工程多用15天，且甲队60天的工作量和乙队40天的工作量相同． (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)若施工方案是甲队先单独施工x天，剩下的工程由甲、乙两队合作完成，已知甲队的施工费用为每天3.5万元，乙队的施工费用为每天6.5万元，求施工总费用y（万元）关于x 的函数解析式． (3)在（2）的条件下，若要求在27天内完成该项工程，如何制定施工方案可使总费用最少，最少费用为多少万元？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要45 天，乙队单独完成此项工程需要30天 (2) (3)甲队先施工15 天后，甲、乙两队再共同施工12天，总费用最少，最少费用为 172.5 万元 【分析】此题主要考查分式方程的应用和解法，一次函数的性质等知识，正确的列出分式方程、求出费用与时间之间的函数关系式是解决问题的关键． （1）设乙队单独完成此项工程需a天，则甲队单独完成此项工程需要天，根据甲队60天的工作量和乙队40天的工作量相同，列出方程即可求解； （2）设甲、乙两队合作完成剩下的工程需要p天，根据题意得到p与x的关系，根据题意即可写出y与x的关系式； （3）根据施工期定为天内完成得到x的取值范围，再根据一次函数的性质求出y的最小值． 【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需a天，则甲队单独完成此项工程需要天，根据题意得 解得， 经检验，是原分式方程的根 答：甲队单独完成此项工程需要45 天，乙队单独完成此项工程需要30天； （2）解：设甲、乙两队合作完成剩下的工程需要p天，则       ； （3）解：由题意得 解得                                                    且， ∴ y随 x 的增大而减小， ∴当时，y 最小，最小值为172.5， 则（天）， 答：甲队先施工15 天后，甲、乙两队再共同施工12天，总费用最少，最少费用为 172.5 万元． 👉题型05 分配问题 17．（2024·山东青岛·模拟预测）自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台． (1)求 A，B型设备每台的价格分别是多少元． (2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案． 【答案】(1)，型设备单价分别是2200，2000元 (2)，当购买12台型设备，则购买型设备48台时，购买费用最低 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键． （1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解； （2）设购买台型设备，购买型设备台，根据题意建立一元一次不等式，求得最小整数解；根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用． 【详解】（1）解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元， 根据题意得：， 解得，经检验是原方程的解， ∴型设备的单价为元； 答：，型设备单价分别是2200，2000元； （2）设购买台型设备， 购买型设备台，依题意，．解得， 的最小整数解为12， 购买总费用为元，， ， ，随的增大而增大， 时，取得最小值，此时． 答：当购买12台型设备，则购买型设备48台时，购买费用最低． 18．（2024·广东梅州·模拟预测）五华，这片士地孕育了深厚的足球文化．从亚洲球王李惠堂到近年来唯一的县级中超球队梅州客家，他们的存在不仅彰显了五华足球的历史，更推动了当地体育事业的蓬勃发展．五华某校致力于发展足球运动，决定加大投入购买足球和足球锥形桶．在商场发现若购买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元． (1)求每个足球和足球锥形桶的单价； (2)根据学校计划，该中学需足球、足球锥形桶共120个，且足球的数量不少于足球锥形桶数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元 (2)当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一次函数的应用等知识． （1）设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元，根据“买20个足球和40个足球锥形桶需要花费1800元，且购买1个足球锥形桶比1个足球少花30元”列出方程组，解方程组即可求解； （2）设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元，根据题意列出函数关系式，根据题意得到，根据一次函数性质即可得到当时，，问题得解． 【详解】（1）解：设每个足球的价格是x元，每个足球锥形桶的价格是y元． 依题意，得， 解得：， 答：每个足球的价格是50元，每个足球锥形桶的价格是20元； （2）解：设学校购买了足球a个，需要的总费用为W元， 则， 由题意得：， ∴， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，， （个）． 答：当购买40个足球，80个足球锥形桶时，总费用最少，最低费用为3600元． 19．（2024·云南昆明·二模）为调动实习员工工作的积极性，某公司出台了两种工资方案，实习员工任选其中一种方案与公司签订合同．方案一：月工资y（单位：元）与生产的产品数量x（单位：件）的函数关系如图所示；方案二：每生产一件产品可得25元． (1)选择了工资方案一的实习员工甲，第一个月生产了60件产品，他该月得到的工资是多少元？ (2)某月实习员工乙发现，他选择方案一比选择方案二月工资多450元，求乙员工该月生产产品的数量． 【答案】(1)1800元 (2)70个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确求出解析式是解题关键． （1）由待定系数法求出方案一中，当时，月工资y(元)与生产产品(件)的关系式为，根据代入即可解决问题； （2）根据选择方案一比选择方案二月工资多450元，列出一元一次方程，解方程即可 【详解】（1）设当时，月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为， 由图象知点，， 代入得：， 解得：， 月工资y（元）与生产的产品数量x（件）的关系式为， 当时 ， 答：他该月得到的工资是1800元． （2）解：由题意可知，当时，不满足题意； 当时，， 解得：， 所以该实习员工生产产品的件数为70件． 20．（2024河南省模拟）神舟十七号飞船即将荣耀归来，为激发同学们对航天事业的兴趣，学校组织了一场以“飞天”为主题的文艺晚会，打算购买一些“飞天”装饰挂件与专属航天印章送给学生留作纪念．已知每盒挂件有30个，每盒印章有20个，且都只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多10元；用100元购买挂件的盒数与用75元购买印章的盒数相同． (1)求每盒挂件和每盒印章的价格分别为多少元? (2)如果给每位学生分发2个挂件与2个印章．设购买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发，则______（用含a代数式表示）； (3)累计购买超过850元后，超出850元的部分有6折的优惠．学校以（2）中的配套方式购买，共需要花费w元，求w关于a的函数关系式．若该校某年级有750名学生，则需要购买挂件与印章各多少盒?共需要多少费用? 【答案】(1)每盒挂件为40元，每盒印章为30元 (2) (3)需要购买50盒挂件与75盒印章，共需要2890元 【分析】本题考查了分式方程的应用，分段函数及一次函数的应用，能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键． （1）设每盒挂件的价格为x元，则每盒印章为元，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． （2）根据配套问题，a盒挂件与b盒印章恰好分发配套，列出用含a的代数式表示b即可． （3）根据累计购买炒超过850元后，超出850元的部分有6折的优惠，分段可求得解析式，据此即可解答． 【详解】（1）解：设每盒挂件的价格为x元，则每盒印章为元， 根据题意，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：每盒挂件为40元，每盒印章为30元． （2）∵a盒挂件与b盒印章恰好能配套分发， ∴， ∴． （3）当，即时，， 当，即时，， ∴， ∵挂件需要（个），印章需要（个）， ∴需要购买挂件（盒），印章（盒）， ∴总费用（元）． 答：需要购买50盒挂件与75盒印章，共需要2890元． 👉题型06 分段计费问题 21．（2024·陕西西安·模拟预测）某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元，乘车费与行驶路程之间的函数关系如图所示． (1)填空：________，________； (2)设乘客乘坐出租车的路程为x（）千米时，乘车费为y元． ①求y与x之间的函数关系式； ②王叔叔乘坐出租车到达目的地后，出租车共行驶了千米，则王叔叔应付多少元乘车费？ 【答案】(1)；3 (2)① ②元 【分析】（1）根据函数图象解答即． （2）①根据图象信息，解析式为，代入解答即可； ②根据千米大于3千米，选择解析式计算即可． 本题考查了待定系数法，函数图象信息处理，函数值的计算，熟练掌握待定系数法，函数值的计算是解题的关键． 【详解】（1）根据函数图象信息，得；； 故答案为：；3． （2）①根据图象信息，设解析式为， 根据题意，得， 解得， 故解析式为． ②根据千米大于3千米， 当时， ． 答：应支付费用为元． 22．（2024·陕西榆林·二模）世界水日为每年的3月22日，宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某市节约用水，采取阶梯分段收费标准，已知用户每月用水量不超过15吨时，水费为a元/吨，每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系如图所示． (1)填空：__________； (2)当用水量x超过15吨时，求y与x之间的函数表达式； (3)若某用户3月份交水费45元，求该用户3月份的用水量． 【答案】(1)2 (2) (3)20吨 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，以及一次函数解析式的求解，熟悉一次函数图象和性质是解决问题的关键． （1）用户每月用水量不超过15吨时，y与x之间的函数图象是直线，为一次函数．当水量15吨时，水费为30元，所以水费a等于总的水费除以用水量． （2）当用水量x超过15吨时，y与x之间的函数图象是直线，为一次函数，过两点、，用待定系数法求解析式即可． （3）根据图象可知，交水费45元时，对应的横坐标用水量超过了15吨，因此将水费代入第二问的解析式即可求用水量． 【详解】（1）解：当每月用水量不超过15吨时，y与x之间的函数图象是一条过原点的线段，为一次函数， 当吨时，元， 水费元/吨． （2）解： 当用水量x超过15吨时，根据y与x之间的函数图象可知，是关于的一次函数，设其解析式为∶，过点、，代入解析式得 ，解得， 当用水量x超过15吨时，y与x之间的函数表达式为． （3）解：由可知该用户3月份用水量超过15吨， 令， 解得， 该用户3月份的用水量为20吨． 23．（2024西安市模拟）某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）与行驶路程（千米）呈分段函数关系： 当时，蓄电池剩余电量（千瓦时）与行驶路程（千米）成一次函数关系，如下表： 行驶路程/千米 0 24 48 72 … 蓄电池剩余电量/千瓦时 60 56 52 48 … 当时，蓄电池剩余电量（千瓦时）与行驶路程（千米）的函数关系式是：. (1)根据表格中的数据求时与的函数关系式； (2)求该电动汽车充满电后能行驶的最大里程. 【答案】(1) (2)220千米 【分析】（1）设，任意选取两点坐标代入计算即可． （2）根据时，蓄电池剩余电量（千瓦时）与行驶路程（千米）的函数关系式是：，令，计算即可． 【详解】（1）设， 把点分别代入解析式，得 ， 解得， 故时与的函数关系式． （2）根据时，蓄电池剩余电量（千瓦时）与行驶路程（千米）的函数关系式是：， 令，得， 解得， 故最大里程为220千米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 24．（2024·陕西西安·模拟预测）国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下： 甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费） 乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）． 根据以上信息，解决下列问题： (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式； (2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算． 【答案】(1)， (2)当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算 【分析】此题考查了一次函数的综合运用，解题关键是用待定系数法求出一次函数的解析式． （1）根据两家公司的费用计算方法求解即可； （2）结合两个一次函数解析式，分为三种情况：，，，分别求出对应x的值可判断哪个方案合算． 【详解】（1）解：根据题意，， 当时，， ∴，； （2）解：时，，选择乙公司比较合算， 时，，选择乙公司比较合算， 时，，选择乙公司比较合算； 当时， 当时，， 解得， 此时选择甲乙公司一样合算； 当时，且， 解得， 此时选择乙公司合算； 当时，， 解得， 此时选择甲公司合算； ∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算． 25．（2024·云南楚雄·模拟预测）某校八年级开展了关于《哪一款手机资费套餐更合适》的项目学习，以下是小明同学活动报告的部分内容． 项目主题 哪一款手机资费套餐更合适 调查方式 资料查阅，实际访谈 调查内容 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 语音 流量 语音 元 分钟 元/ 元/分 元 分钟 套餐说明： （1）月资费月费超出套餐资费（流量超出费语音超时费）； （2）套餐内，流量和语音均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费 访谈内容 收集并整理妈妈近六个月的话费账单，发现她语音通话很少，每月最多不超过分钟 建立模型 （1）语音通话没有超出套餐内容，所以只需研究流量与手机资费的关系．设妈妈每月手机资费（元），每月使用流量（）． 套餐：当时，； 套餐：当时， ． （2）为了直观比较，在同一平面直角坐标系中（如图）画出两个函数的图象 根据以上报告内容，解决下列问题： (1)当时，求套餐每月手机资费（元）与每月使用流量（）之间的关系式，并在给出的平面直角坐标系中，画出套餐的大致图像． (2)小明妈妈每月至少使用流量 ，那么她选择哪个套餐更合适？ 【答案】(1)，见解析 (2)当时，选择套餐更合适 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是数形结合． （1）根据月资费月费流量超出费，可得套餐中每月手机资费（元）与每月使用流量（）之间的关系式，再根据函数解析式作图即可； （2）由（1）的图像进行判断可以得解． 【详解】（1）解：由题意，得． 画出套餐的大致图像如答图： （2）根据图像可知，当时，选择套餐更合适． 👉题型07 调运问题 26．（2023·河南安阳·模拟预测）新郑大枣“甜如蜜”，作为河南的名片，新郑大枣已经远销海内外．现外地某经销商准备从新郑购进A，B两种不同包装的大枣，已知购进3件A包装和2件B包装的大枣需要850元；购进2件A包装和3件B包装的大枣，需要900元． (1)求A，B两种包装的大枣的进货单价分别是多少元？ (2)若该经销商购进A包装的大枣300件，B包装的大枣200件，并且准备把这些大枣全部运往甲、乙两家分店来进行销售，已知每件A运往甲、乙两家店的运费分别是15元和20元，每件B运往甲、乙两家店的运费分别是20元和18元．根据往年的销售情况，该经销商决定向甲店运260件大枣，向乙店运240件大枣． ①设该经销商运往甲店的A包装的大枣x（件），所花的总运费为w（元），请写出w关于x的函数关系式； ②怎样调运A，B两种包装的大枣可使总运费最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)150元和200元 (2)①；②当时，运费最低为8300元 【分析】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是根据投资总费用＝购进商品的费用+运费列出函数关系式． （1）设A，B两种包装的大枣的进货单价分别是m和n元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）①根据投资总运费运往甲、乙两地运费之和列出函数关系式即可； ②根据函数的性质判断最佳运输方案并求出最低费用． 【详解】（1）设A，B两种包装的大枣的进货单价分别是m和n元． 由题意，得． 解得 答：A，B两种包装的大枣的进货单价分别是150元和200元． （2）①， ， 解得． 即； ②是x的一次函数，且， 随x的增大而减小． 当时，运费最低，最低费用为（元）． 答：当时，运费最低为8300元． 27．（2023·天津河东·一模）某蔬菜公司要从A市调运两车蔬菜运往B市．已知A市离B市，甲、乙两辆货车同时沿同一路线从A市出发前往B市，且行驶过程中甲车速度保持不变．乙车行驶时发生故障，此时甲车刚好到达B市．乙车在发生故障地原地维修，甲车在B市停留了，卸载蔬菜后原路行驶了到达乙车发生故障地，用了把乙车的蔬菜装上甲车，然后甲车立即沿原路行驶了到达B市，在此过程中乙车一直在发生故障地维修．甲车离A市的距离与行驶所用时间之间的对应关系如图．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开A市的时间/ 1 5 离A市的距离/ (2)填空： ①A市到乙车发生故障地的距离为_______； ②当两车之间的距离是时，甲车离开A市的时间为________． (3)当时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【答案】(1)，， (2)①；②3，或 (3) 【分析】（1）先求出甲车的行驶速度，再按照题意分别求解即可； （2）①根据卸载蔬菜后原路行驶了到达乙车发生故障地，用全程减去甲车两小时行驶的路程即可得到答案；②先求出乙车行驶速度，设甲车离开离开A市的时间为t，分三种情况分别求解即可； （3）分，，三段分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，甲车的行驶速度为， 则离开A市1小时离A市的距离为 离开A市小时离A市的距离为 离开A市小时离A市的距离为， 故表格填写如下： 离开A市的时间/ 1 5 10 离A市的距离/ 100 500 500 400 500 （2）①A市到乙车发生故障地的距离为， 故答案为： ②乙车行驶速度为：， 设甲车离开离开A市的时间为t， 在乙车出故障前：， 解得, 甲车返回乙车发生故障地过程中：， 解得， 甲车从乙车发生故障地离开过程中：， 解得， 即当两车之间的距离是时，甲车离开A市的时间为3小时或小时或小时； 故答案为：3，或 （3）解：当时，设y关于x的函数解析式为，把点代入得， ， 解得， ∴， 当时，， 当时，设y关于x的函数解析式为，把点代入得， ， 解得， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用、一元一次方程的应用、从函数图象获取信息等知识，读懂题意并熟练掌握待定系数法是解题的关键． 28．（2023·浙江宁波·一模）某次干旱灾情，甲地急需抗旱用水万吨，乙地万吨，现有、两水库决定各调出万吨水支援甲、乙两地抗旱，已知从水库到甲地千米，到乙地千米；从水库到甲地千米，到乙地千米． (1)设从水库调往甲地水量为万吨，完成下表，并直接写出的取值范围是_______． 调入地 水量/万吨 调出地 甲 乙 总计 总计 (2)若调运水的费用为元/万吨·千米，求调运总费用的最小值． 【答案】(1)，表格见解析 (2)元 【分析】（1）根据由到甲和乙的总和是万吨，即可表示出由到乙是万吨，再根据到甲的总和是万吨，即可表示，再根据题意列出不等式组，解之可得的取值范围； （2）首先用表示出调运量的和，根据调运总费用＝调运水的费用×调运量的和，再根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 调入地 水量/万吨 调出地 甲 乙 总计 总计 依题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是. 故答案为：。 （2）设从水库调往甲地水量为万吨，依题意，得： ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，调运总费用最小，最小值为（元）， ∴调运总费用的最小值为元。 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。正确把调运总费用表示成的函数是解题的关键． 29．（2024保定市模拟）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表 月份 销售量/件 销售额/元 冰墩墩 雪容融 第1个月 第2个月 (1)求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格． (2)若某公司购进冰墩墩件，雪容融件，准备把这些吉祥物全部运往甲、乙两地销售．已知每件冰墩墩运往甲、乙两地的运费分别为元和元；每件雪容融运往甲、乙两地的运费分别为元和元．若运往甲地的吉祥物共件，运往乙地的吉祥物共件． ①设运往甲地的为冰墩墩件，总运费为元，请写出与的函数关系式； ②怎样调运、两种吉祥物可使总运费最少？最少总运费是多少元？ 【答案】(1)此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元 (2)① ；②运往甲地的为冰墩墩件，运往乙地的为冰墩墩件，运往甲地的为雪容融件，运往乙地的为雪容融件，调运两种吉祥物可使总运费最少，最少总运费是元 【分析】（1）设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，利用销售总额=销售单价×销售数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设运往甲地的为冰墩墩件，总运费为元，则运往乙地的为冰墩墩件，运往甲地的为雪容融件，运往乙地的为雪容融件，根据题意列出函数关系式即可求解； ②根据一次函数的性质，结合自变量的范围，即可求解． 【详解】（1）解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元， 依题意得：， 解得：； 答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元． （2）①设运往甲地的为冰墩墩件，总运费为元，则运往乙地的为冰墩墩件，运往甲地的为雪容融件，运往乙地的为雪容融件， ∴， ∴ ， ②∵ ， ，当时，最小，最小值为（元） 答：运往甲地的为冰墩墩件，运往乙地的为冰墩墩件，运往甲地的为雪容融件，运往乙地的为雪容融件，调运两种吉祥物可使总运费最少，最少总运费是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组与函数关系式是解题的关键． 👉题型08 计时问题 30．（2024·陕西西安·模拟预测）漏刻是中国古代的一种计时工具，其工作原理主要基于水位的均匀变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．小宇所在的兴趣小组复制了一个漏刻模型，下面是他们研究过程中记录的数据，其中表示小棍露出的部分（单位：），表示时间（单位：）． 0 10 20 30 40 2 2.6 3.2 3.8 4.4 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并顺次连接各点；再确定符合实际的函数类型，求出相应的函数表达式； (2)当小棍露出部分为时，求对应的时间的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的应用． （1）依据题意，根据表格中数据描点连线即可画图，再由待定系数法求函数解析式； （2）依据题意，把代入（1）中解析式，求出x即可． 【详解】（1）解：描点，连接如图所示： 由图象可知，是时间的一次函数， 故设， 将点，代入函数表达式，得 解得  ． 与的函数表达式为  ． （2）解：当时，则有  ， 解得， 故当小棍露出部分为时，对应的时间的值为． 31．（2024·陕西西安·模拟预测）如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某校八年级的综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）．上午，在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，收集甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22    (1)在平面直角坐标系中，描出了以表中各组对应值为坐标的点．根据描出的点，可判断：甲容器的水面高度与流水时间之间的关系是初中阶段学过的____函数，并求出该函数表达式； (2)请计算当时间为9：10时，甲容器中水面的高度下降了多少？ 【答案】(1)图见解析，一次， (2)14厘米 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）依据题意，根据数据作图即可判断得解；又设水面高度y与流水时间x之间的函数关系式为，进而代入数据可以建立方程组得解； （2）依据题意，结合（1）的解析式求出此时水面的高度，然后可以判断． 【详解】（1）解：由题意得，作图如下．    ∴甲容器的水面高度与流水时间之间的关系是初中阶段学过的一次函数． 故答案为：一次． 又设水面高度y与流水时间x之间的函数关系式为, 把,代入得：， 解得， ∴水面高度h与流水时间t之间的函数关系式为． （2）解：由题意，当时间为时，经过的时间， ∴， ∴流水时间为70分钟时，水面高度为16厘米． ∴甲容器中水面的高度下降了的距离为：（厘米）． 答：甲容器中水面的高度下降了的距离为14厘米． 32．（2024·河南郑州·三模）水龙头关闭不严会造成滴水．为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据． 时间 5 10 15 20 25 水量 17 32 47 77 (1)探究：根据上表中的数据，拟用下面三个函数模型模拟水量与时间的关系：①，②，③，你认为选用函数_______（填序号）模拟最合理（不必说明理由），并求出相应的函数表达式和漏记的值； (2)应用： ①兴趣小组用量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？ ②成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用多少天？（结果保留一位小数） 【答案】(1)②；； (2)①没有滴满；②2.7天 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练用待定系数法求一次函数是解题的关键． （1）由题意可得，应该用一次函数模拟水量与时间的关系，根据待定系数法求得解析式即可解答； （2）①将代入函数解析式，即可解答； ②计算水龙头一天的漏水量，再除以成年人每天需要的饮水量即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，应该用一次函数模拟水量与时间的关系，故选函数②， 把代入函数解析式可得， ， 解得， 水量与时间的解析式为， 故漏记的； （2）解：①将代入函数解析式，可得， 在第30分钟量筒没有滴满； ②由题意知水龙头每分钟滴水为， 水龙头一天的漏水量为， 天， 答：这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用天． 👉题型09 体积问题 33．（2023·陕西汉中·二模）在做测量液体密度的实验中，晓华想对比甲，乙两种液体．他利用天平测出液体和量杯的总质量（），记录此时液体的体积x（），并根据实验数据画出甲、乙两种液体的总质量（）与液体的体积（）之间的函数关系图像如图．    (1)求乙种液体的总质量（）与液体的体积x（）之间的函数关系式； (2)当甲，乙两种液体的体积都为时，甲液体的总质量比乙液体的总质量多多少克？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设乙种液体的总质量（）与液体的体积x（）之间的函数关系式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入得，根据函数图像可知甲液体的体积为时，，进而即可求解． 【详解】（1）设乙种液体的总质量（）与液体的体积x（）之间的函数关系式为， 将分别代入得， ， 解得：， ∴； （2）将代入得， ∵（）， ∴甲液体的总质量比乙液体的总质量多． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 34．（2023·福建厦门·二模）下面是小明同学的一则日记，请仔细阅读，并完成相应的任务： 年*月*日　　星期日 利用一次函数知识解决化学问题 今天我看到一则化学实验材料： 如图1，在一支的试管中充满了和的混合气体，将其倒立在盛有足量水的烧杯中，这里会发生化学反应．    ① 当和的体积比为时，和恰好完全反应．如果反应后仍有剩余，则会和水继续发生化学反应． ② 化学反应②中参与反应的与生成的的体积比为． 根据以上材料，我有如下思考：化学反应结束后试管中剩余气体的体积与化学反应前试管中混合气体中的体积存在怎样的关系？经过分析，我可以建立一次函数模型解决这个问题． 设原混合气体中的体积为，的体积为，完全反应后试管内乘余气体的体积为． 情况一：由反应①可知，当和的体积比为时，和恰好完全反应，此时． 情况二：当时，由反应①可知全部参加反应，过量，参加反应①的的体积，剩余的体积为． 因为不溶于水，故完全反应后试管内剩余气体的体积，即． 在平面直角坐标系中画出当时的函数图象如图2所示．    情况三：当时，由反应①可知全部参与反应，过量，参与反应①的的体积为，剩余的和水发生反应②，产生不溶于水的气体． 任务： (1)根据材料中的内容，求出当时，y与x的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出该函数图象；    (2)当完全反应后试管内剩余气体的体积为时，求原混合气体中的体积． 【答案】(1)；图象见解析 (2)或 【分析】（1）当时，进行的反应是②，根据题意可知反应①消耗的，进而得出当时，y与x的函数关系式，根据自变量取值范围画出图象． （2）分情况讨论①当时，②当时，时，分别代入相应的函数关系式计算． 【详解】（1）解：当时，进行的反应是②， 反应①消耗的 ， 剩下的气体满足 ， 当时，y与x的函数关系式为． 函数图象如下图所示：    （2）解：①当时，y与x的函数关系式为， 时，则， ②当时，y与x的函数关系式为， 是，则． 答：原混合气体中的体积为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是理解题意列出函数解析式． 👉题型10 几何问题 35．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图矩形中，，点为边上的三等分点，动点从点出发，沿折线方向运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用描点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）结合图象列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵点为边上的三等分点（）， ∴，， 分两种情况：①当时，即点P在边上，则 ； ②当时，即点P在边上，则 ， ∴ ； 综上，关于的函数解析式为：； （2）解：用描点法作出函数图象即可， 当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：根据函数图象， 当，则，解得：， ； 当，则，解得：， ； 综上，时的取值范围为或． 【点睛】此题考查了求函数解析式，一次函数的图象和性质，矩形的性质，画一次函数图象，矩形的性质，三角形面积，求不等式解集．数形结合和分类讨论是解题的关键． 36．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，已知直线经过点、点，点P是x轴上一个动点，过点C、P作直线． (1)求直线的表达式； (2)已知点，当时，求点P的坐标； (3)设点P的横坐标为m，点，是直线上任意两个点，若时，有，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识． （1）由待定系数法可求解析式； （2）求出，设点，由面积公式可求解； （3）结合图象可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， ∵、点在直线上， ∴ 解得 ∴； （2）∵，， ∴， 过点C作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点， ∴， ∴或， ∴P的坐标为或； （3）过点C作轴于E， ∵， ∴， ∵的图象是y随x的增大而减小，经过， ∴当点P在的左侧时，符合题意， ∴． 37．（2024·河北秦皇岛·一模）在平面直角坐标系中，点，，直线与y轴相交于点C． (1)如图1，当A，B关于y轴对称，且直线经过点A时，求k的值． (2)如图2，当时，直线与线段存在交点P（不与点A，B重合），且，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标，关键是对一次图数图象和性质的掌握； （1）根据A，B关于y轴对称可求出m的值，再把点A的坐标代入中即可求出k的值； （2）先求出点P横坐标，再根据点P不与点A，B重合，且，求出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵点，，A，B关于y轴对称， ∴，解得： ∴ ∵直线经过点A， ∴，解得． （2）当时，即，解得，即 ∵，，，点P不与点A，B重合 ∴，解得： ∴m的取值范围是． 38．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x上，在y轴上，的长分别是的两个根（），于点E，交于点D．动点P从点A出发，以每秒一个单位长度的速度向点C运动，到点C停止，过点P作的平行线，交于点M，令的面积为s． (1)求点B的坐标； (2)求s关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； (3)在直线上是否存在点M，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或 【分析】题目主要考查解一元二次方程，一次函数的应用及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点进行分情况分析是解题关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据坐标与图形求解即可； （2）根据题意得出运动总的时间为7秒，然后分两部分求出面积与t的函数关系式即可； （3）根据相似三角形的判定和性质得出，，然后分三种情况分析：当时，当时，当时，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：， ∵的长分别是的两个根（）， ∴， ∵矩形， ∴； （2）由（1）得：， ∴点P在上的运动时间为秒，在上的运动时间为3秒，运动总的时间为7秒， 当点P在上运动时，即时， ， ∴； 当点P在上运动时，即时， ， ∴； 综上可得：； （3）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， 过点P作的平行线，交于点M， ∴点M在线段上， 当时，如图所示：过点M作轴交AB于H， ∴，，， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示：过点M作轴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示：过点M作轴， 同理得 综上可得：点M的坐标为或或 ． 👉题型11 新考法：新情景问题 39．（2024·山东临沂·模拟预测）2024甲辰龙年前夕，临沂市政府出台《临沂市进一步提振扩大消费的若干政策措施》，提出了14项具体促消费措施，助力消费市场较快恢复．在某社区，王大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低元，每天可多销售1箱． (1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式； (2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，王大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)7箱，140元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决． （1）根据题意列出，得到结果． （2）根据销售利润=销售量（售价进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润． 【详解】（1）解：由题意得 ∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是（，且x为整数）． （2）解：设王大爷销售这种水果每天获得的利润为w元 则 ∵ ∴抛物线开口向下 ∵对称轴是直线 ∴当时，w的值随x值的增大而增大 ∵x为正整数，∴此时，当时， 当时，w的值随x值的增大而减小 ∵x为正整数，∴此时，当时， ∵ ∴王大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元． 40．（2024·云南昆明·三模）今年的澜沧江一湄公河合作大理马拉松（简称“2024澜湄大理马拉松”），将于5月19日在美丽的云南大理开跑，这是一场结合了自然风光、历史文化和民族风情的国际性马拉松赛事，旨在促进澜湄流域国家的合作与交流．以下是本次马拉松赛事的一些信息： 项目 距离 报名费 马拉松 42.159千米 200元/人 半程马拉松 21.0975千米 150元/人 欢乐跑 5.2千米 80元/人 亲子跑 2千米 60元/人 (1)据了解，某中学有若干名同学报名参加了本次活动欢乐跑和亲子跑中的一个项目，他们共花费了报名费640元，完成挑战后他们跑过的距离总和为34千米．请求出该中学报了欢乐跑和亲子跑的同学各有几人？ (2)已知在跑马拉松过程中，人体内消耗的水分y（单位：）与运动距离x（单位：）之间的函数关系如图所示，其中． ①请求出y与x之间的函数关系式； ②为了避免身体出现脱水现象，一般情况下体内消耗水分达时就要适当补水分，求起跑后距离起点多少千米时需要第一次补水？ 【答案】(1)该中学有5名同学报了欢乐跑，有4名同学报了亲子跑 (2)①；②起跑后距离起点9.5千米时需要第一次补水 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的实际应用： （1）设该中学有x名同学报了欢乐跑，有y名同学报了亲子跑，根据他们共花费了报名费640元，完成挑战后他们跑过的距离总和为34千米，列出方程组进行求解即可； （2）①分和两段，分别求出函数解析式即可；②求出时的的值即可． 【详解】（1）解：设该中学有x名同学报了欢乐跑，有y名同学报了亲子跑，由题意可列方程组为 ， 解得． 答：该中学有5名同学报了欢乐跑，有4名同学报了亲子跑． （2）①由题图知，当时，设函数关系式为， 则，，即； 当时，设函数关系式为， 由得， 即． 与x之间的函数关系式为． ②令，则，解得． 答：起跑后距离起点9.5千米时需要第一次补水． 41．（2024·辽宁·一模）2024年初，哈尔滨旅游异常火热，海南的假期研学团队准备组织“小金橘”团去哈尔滨玩冰赏雪活动，在众多旅行社中有、两家旅行社积极参与并给出了优惠措施，假设本次“小金橘”团队共有人，、旅行社收费报价为、，下图所示是他们的函数图象，请根据图象信息回答下列问题： (1)在两家旅行社收费相同时，需要参活动的人数为多少？ (2)你能否求出、关于的函数关系式？ (3)据统计本次统计参加活动的“小金橘”共有50人，你认为选择哪家旅行社合算？ 【答案】(1)当参加活动的人数为30人时，两家旅行社收费相同； (2)关于的函数关系式是；关于的函数关系式是 (3)如果共有50人参加时，选择B家旅行社合算． 【分析】 本题考查一次函数的应用、方案选择问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象和图象中的数据可以得到当参加活动的人数为多少时，两家旅行社收费相同； （2）根据函数图象中的数据可以求得、关于的函数关系式； （3）根据函数图象可以得到如果共有50人参加时，选择哪家旅行社合算． 【详解】（1） 由图象可得， 当参加活动的人数为30人时，两家旅行社收费相同； （2） 设关于的函数关系式是， ，得， 即关于的函数关系式是； 设关于的函数关系式是， ，得， 即关于的函数关系式是； （3） 由图象可得， 当时，B旅行社比较合算， 如果共有50人参加时，选择B家旅行社合算． 42．（2024·河南·模拟预测）在2024的“”来临之际，某商场计划采购一批甲和乙两种厨房小家电．已知乙种家电的进价比甲种家电的进价每件多100元，用1万元购进甲种家电的件数与用1.2万元购进乙种家电的件数相同．请解答下列问题： (1)这两种家电每件的进价分别是多少元？ (2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过54000元，则该商场至少购进甲种家电多少件？ (3)在（2）的条件下，甲、乙两种家电分别在进价的基础上提价、进行销售，这100件家电全部售完，能获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元 (2)该商场至少购进甲种家电件 (3)这100件家电全部售完，能获得的最大利润是元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元，根据“用1万元购进甲种家电的件数与用1.2万元购进乙种家电的件数相同”列出分式方程，计算即可得出答案； （2）设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，根据“总金额不超过54000元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； （3）设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，利润为元，先求出两种家电销售的利润，再表示出关于的表达式，结合一次函数的性质额得出答案． 【详解】（1）解：设甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴（元）， ∴甲种家电每件的进价是元，则乙种家电每件的进价是元； （2）解：设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件， 由题意得：， 解得：， ∴该商场至少购进甲种家电件； （3）解：设该商场购进甲种家电件，则购进乙种家电件，利润为元， ∵在（2）的条件下，甲、乙两种家电分别在进价的基础上提价、进行销售， ∴甲种家电的利润为：（元），乙种家电的利润为：（元）， ∴， ∵， ∴随的减小而增大， ∴当时，有最大值，最呆滞为（元）， ∴这100件家电全部售完，能获得的最大利润是元． 👉题型12 新考法：与现实有关的热考问题 43．（2024·江苏泰州·三模）为了解某新能源汽车的充电速度，实验小组调查研究发现：当汽车充电率（充电率）满足时，用该品牌汽车专用充电桩充电，汽车充电率与充电时间（单位：）的函数图象是折线；用公共充电桩充电时，汽车充电率与充电时间（单位：）的函数图象是线段．研究表明：为保护电池寿命，当充电率超过时，品牌专用充电桩的充电速度与公共充电桩充电速度相同．根据以上信息，回答下列问题： (1)求的函数解析式． (2)若该汽车充电率从至，用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用多少时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式是解题的关键． （1）待定系数法求的函数解析式即可； （2）由题意，设的函数解析式为，待定系数法求的函数解析式为，将代入，可求，则充电率从至，品牌专用充电桩充电时间为，将代入，可求，则充电率从至，公共充电桩充电时间为，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：设的函数解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的函数解析式为； （2）解：由题意，设的函数解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的函数解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴充电率从至，品牌专用充电桩充电时间为， 将代入得，， 解得，， ∴充电率从至，公共充电桩充电时间为， ∵， ∴用品牌专用充电桩比公共充电桩充电少用． 44．（2024·河北邯郸·二模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）．现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知点坐标是，斜坡的坡角为．    (1)请直接写出小明在斜坡上的跑步速度． (2)求段关于的函数解析式； (3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过的时长．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的运用，行程问题，解直角三角形的运用，掌握一次函数图象的性质，解直角三角形的方法是解题的关键． （1）根据解直角三角形可求的值，根据无人机的速度可求出时间，由此即可求解； （2）运用待定系数法即可求解； （3）根据无人机与小明的路程，分别求值的解析式，根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：已知点坐标是，，无人机速度为，如图所示，作于点，    ∴，， 在中，， 无人机从的时间为：， ∴小明在斜坡上的跑步速度为； （2）解：， ∴， ∴，且， 设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线所在直线的解析式为； （3）解：设直线的解析式为，且， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵无人机与小明之间距离不超过， ∴在段时，，即， 解得，； 在段时，， 解得，； ∴， ∴ ∴小明沿方向运动，无人机与小明之间距离不超过的时长为． 45．（2024·广东深圳·模拟预测）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要200元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要180元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为60元，每个“天宫”模型的售价为45元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元 (2)当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元 【分析】（1）设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元．由题意得，解方程组即可． （2）设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元．由题意得，．结合一次函数的性质，不等式的解集，整数解，解答即可． 本题考查了方程组的应用，一次函数的性质，不等式的应用，熟练掌握方程组的解法，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元． 由题意得， 解得． 答：每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元． （2）设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元． 由题意得，． ， 解得，， ∵， ∴w随m的增大而增大．由题意知，m取整数． ∴当 时，w取得最大值，为（元）． ∴当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元． 46．（2024·陕西咸阳·模拟预测）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．某单位计划在端午节前购买某品牌的粽子发放给员工．经询价，已知甲、乙两超市都以80元/盒的价格销售该品牌粽子，并且同时在做促销活动． 甲超市：办理本超市会员卡（卡费200元），商品全部打七折销售． 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若该单位购买此品牌粽子x盒，在甲、乙超市所需总费用分别为元、元，与x之间的函数图象如图所示，回答下列问题： (1)分别求出、与x（）之间的函数关系式； (2)若该单位准备购买100盒粽子，你认为在哪家超市购买更划算？ 【答案】(1)． (2)在甲超市购买更划算 【分析】本题考查一次函数的应用，有理数大小的比较的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）甲超市，根据活动方案：所购食品费用；乙超市，根据购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售，结合图形，当时，设，根据由图象，把，代入求解即可； （2）当时，算出、的值再比较即可； 【详解】（1）解：根据题意，得． 设， ∵， 由题意得： 解得 ． （2）解：当时，， ， ， 在甲超市购买更划算． 47．（2024·陕西西安·模拟预测）近几年，网约车逐步成为人们日常出行的主要方式之一，它大幅度的提高了人们的出行效率，节省了出行时间和金钱成本．图中反映某网约车平台收费（元）与所行驶的路程（千米）的函数关系，根据图中的信息解答下面问题： (1)求直线的表达式； (2)小张乘坐网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），小张从家到机场需要多长时间？ 【答案】(1)直线的表达式为； (2)小张从家到机场需要30分钟． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法即可求得； （2）把代入函数关系式求出的值，然后根据网约车的速度可得答案． 【详解】（1）解：设直线为， 把，代入得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米， 把代入得，， 解得， （分钟）． 故小张从家到机场需要30分钟． 👉题型13 新考法：新考法问题 48．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的 ． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 【答案】(1)图见解析；； (2) (3)此时双层部分的长度为 【分析】（1）直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值； （2）根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可； （3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量、满足一次函数关系． 设、为常数，且， 将，和，代入， 得， 解得， ． 当背带都为单层部分时，； 当背带都为双层部分时，，即， 解得， 的取值范围是； （2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， 总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， ∴； （3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，， 背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为， 手到地面的距离为， 设小明爸爸的身高为． 臂展和身高一样，且肩宽为， 小明爸爸一条胳膊的长度为， ， 解得， 根据任务2，得， 解得， 此时双层部分的长度为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及求一次函数解析式，画一次函数图象，求一次函数值，理解题意，利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键． 49．（2024·山西太原·模拟预测）请仔细阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 树的胸径与树高的关系 胸径和树高是树木重要的测量因子，也是反映森林生长状况的重要参数．由于测量树高比测量胸径更加费时、费力，且误差更大，因此实际测量时，多采用树高-胸径模型来估算树木的高度． 技术人员查阅相关资料，发现柳树在某段成长时期，其树高y（单位：m）可以看成胸径x（单位：）的一次函数．下表是他们在当地收集到的“一号”柳树树高与胸径的数据： 胸径 16 21 23 28 35 42 树高 7.2 8.4 9 10.7 11.2 11.7 根据表中的数据，他们在如图所示的平面直角坐标系中描出了坐标点，发现这六个点并不在一条直线上，继续查阅资料，找到如下解决办法： 设树高y与胸径x的函数关系式为，将表格中的数据按x的值从小到大排序后，均分为两组代入得到 第一组：； 第二组：； 分别将两组中的三个式子相加，得到方程组解得，从而得到“一号”柳树树高y与胸径x的一次函数模型为， 技术人员只要测量出“一号”柳树的胸径，就可以利用这个一次函数模型来估算“一号”柳树的高度．    任务： (1)以上材料中，主要运用的数学思想是___________（从下面的选项中选择两个即可）． A．模型思想    B．公理化思想    C．统计思想 (2)技术人员在当地收集到“二号”柳树的树高y与胸径x的数据如下： 胸径： 14 18 25 32 38 45 树高 4.5 5.8 7.55 9.3 10.75 12.3 ①请你参照材料中的方法，求“二号”柳树的树高y与胸径x的一次函数模型（函数表达式）． ②一段时间后技术人员测得“二号”柳树胸径为，查阅相关资料发现，此时对应树高超过才算生长良好，请你判断“二号”柳树生长是否良好． 【答案】(1)AC (2)①，②不良 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）根据题意即可得出结论； （2）①根据材料中方法求出二号柳树的树高与胸径的一次函数模型即可；②把代入①中解析式求出与14比较即可． 【详解】（1）解：主要运用的数学思想是模型思想与统计思想， 故选：AC； （2）解：①设树高与胸径的函数关系式为，将表格中的数据按的值从小到大排序后，均分为两组代入得到： 第一组：，，； 第二组：，，． 分别将两组中的三个式子相加，得到方程组， 解得， “二号”柳树树高与胸径的一次函数模型为； ②当时，， “二号”柳树生长良好． 50．（2023·重庆沙坪坝·二模）如图，在四边形中，，，过点A作于点E，，动点P从点B出发，沿运动，到达点D时停止运动．设点P的运动路程为x，的面积为． (1)请直接写出与x之间的函数关系式以及对应的的取值范围； (2)请在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线的图象如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出当时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)画图见解析，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3)当时的取值范围为：或 【分析】（1）当点在上运动时，由，即可求解；当点在上运动时，同理可解； （2）通过取点描点连线绘制图象即可；再观察函数图象即可求解； （3）观察函数图象即可求解； 【详解】（1）解：，， 则， 即， 则四边形为矩形， 在中，，，则， 则矩形为边长为4的正方形， 当点在上运动时， 过点作于点， 则， 当点在上运动时， 同理可得：， 即； （2）当时，，当时，，当时，； 将上述坐标描点连线绘制图象如下： 从图象看，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）从图象看，当时的取值范围为：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的判别和性质、面积的计算等，其中（1），要注意分类求解，避免遗漏． 51．（2024·陕西商洛·模拟预测）【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，以及汽车电池需要多久能充满，某综合实践小组设计了两组实验． 实验一：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如下表： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示电量 100 60 50 30 实验二：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，发现y与t之间满足关系式． 【建立模型】 （1）观察发现实验一是一次函数模型，请结合表中的数据，求出e与s之间的函数表达式； 【解决问题】 （2）某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地，若电动汽车行驶一段距离后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】（1） ；（2）35分钟 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据表格数据，待定系数法求出函数解析式即可； （2）先计算行驶后ｅ的值，然后求出增加的电量，最后根据增加的电量y与t之间满足关系式，求出时间t即可． 【详解】解：（1）设e与s之间的函数表达式为，将，代入，得： ， 解得， ∴e与s之间的函数表达式为； （2）由题意得，若在满电的情况下行走， 当时，， ∴走完全程电量显示，即走完全程共需电量，到达目的地后显示电量， 故汽车充电增加电量为， 当时，， ∴电动汽车在服务区充电35分钟． 👉题型14 新考法：跨学科问题 52．（23-24九年级下·福建福州·期中）【综合与实践】 常言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得： ．其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤陀与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数解析式． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解． 【详解】解：（1）由题意得：，， ∴， ∴； （2）由题意得：，， ∴， ∴； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； （4）由任务一可知：，， ∴， ∴． 53．（2024·陕西西安·模拟预测）在物理课上，小明学习完液体压强公式“”后，他知道是一个常数，当液体密度一定时，压强会随着浸在液体中深度的变化而变化，即压强是浸在液体中深度的函数，课间他看到老师将甲、乙两种密度不同的液体（，且互不相容）依次倒入同一量筒中，老师通过利用电子传感器，测的不同深度时液体的压强，并绘制了如图所示的函数图象． (1)甲液体底部的压强有______； (2)求直线的函数解析式． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据函数图象可知，A点的液体压强即为甲液体底部的压强，据此可得答案； （2）利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，A点的液体压强即为甲液体底部的压强， ∴甲液体底部的压强有， 故答案为：4； （2）解：设直线的解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴直线的解析式为． 👉题型15 新考法：中考预测题 54．（2024·湖南娄底·模拟预测）2023年1月8日电，我国首次散船进口巴西玉米，标志着巴西玉米输华走廊正式打通，对加强中巴农业合作、维护全球农业供应链安全稳定等产生积极深远影响． (1)今年8月，我国从巴西和美国进口玉米共100万吨，用去227500万元，若从巴西进口玉米2500元/吨，从美国进口玉米2000元/吨，则8月份从两国各进口玉米多少万吨？ (2)若我国计划11月份需从巴西和美国进口玉米共160万吨，从巴西进口玉米总量不少于从美国进口玉米总量，且总费用不超过380000万元，再以2830元／吨的价格全部售出，问从巴西进口多少玉米才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)从巴西进口玉米55万吨，从美国进口玉米45万吨 (2)从巴西进口80万吨玉米才能获得最大利润，最大利润是92800万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是： （1）设从巴西进口玉米x万吨，从美国进口玉米y万吨，根据“从巴西和美国进口玉米共100万吨，用去227500万元”列方程组求解即可； （2）设从巴西进口玉米m万吨，从美国进口玉米万吨，根据“从巴西进口玉米总量不少于从美国进口玉米总量，且总费用不超过380000万元”列不等式组求出m的取值范围，设利润为w万元，根据利润=（售价-进价）×销售量列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设从巴西进口玉米x万吨，从美国进口玉米y万吨， 根据题意，得 ， 解得， 答：从巴西进口玉米55万吨，从美国进口玉米45万吨； （2）解：设从巴西进口玉米m万吨，从美国进口玉米万吨， 根据题意，得， 解得， 设利润为w万元， 则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴从巴西进口80万吨玉米才能获得最大利润，最大利润是92800万元． 55．（2024·河北沧州·模拟预测）某校科技小组借助小型飞行器探究气温与海拔高度的关系．一天，甲飞行器所在海拔高度（单位：）与上升时间（单位：）满足一次函数关系，部分数值如表： 上升时间(单位：） … 5 15 … 海拔高度（单位：） … 10 20 … 乙飞行器从海拔的高度，以的速度上升，两个飞行器同时起飞并始终保持上升状态． (1)分别求出甲、乙两个飞行器所在位置的海拔高度（单位：）与上升时间(单位：）之间的函数关系式； (2)①求甲飞行器的初始高度； ②在某时刻甲、乙两个飞行器能否位于同一高度？如果能，求此时两个飞行器的高度；如果不能，请说明理由； (3)若甲飞行器因为电量不足，上升后，减速为继续匀速上升，乙飞行器的速度保持不变，设两个飞行器的高度差为（单位：）．请直接写出：当，h最多为多少米？ 【答案】(1)甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为，乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为 (2) ；能， (3)h最多为 【分析】（1）利用待定系数法求出甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式，根据”路程速度时间“求出乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式； ①将代入甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式，求出对应y的值即可； ②令两函数值相等并解方程求出x的值，再将x的值代入任一函数求出y的值即可； 求出当时，甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式，用绝对值将h表示出来，利用一次函数的增减性和x的取值范围求出h的最大值即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的关系及待定系数法求函数表达式、一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为 将和分别代入，得 解得， ∴； 根据题意，得乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为； ∴甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为，乙飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为 （2）解：①在中，当时，， ∴甲飞行器的初始高度是； ②在某时刻甲、乙两个飞行器能位于同一高度． 当甲、乙两个飞行器位于同一高度时，得，解得， ， ∴此时两个飞行器的高度为； （3）解：当时，甲飞行器所在位置的海拔高度， ∴当时，甲飞行器所在位置的海拔高度y与上升时间x之间的函数关系式为， ∴ ∵当时，， ∴， ∵， ∴h随x的减小而增大， ∵， ∴当时，h最大，h最大， ∴h最多为． 56．（2024·四川成都·模拟预测）某学校为让学生养成“终身体育”的良好习惯，举办了校园运动会．运动会上的参赛选手努力拼搏、团结进取，展现了新时代学生蓬勃向上的良好精神风貌．为表彰取得优异成绩的参赛选手，学校计划购入甲、乙两种体育文创产品，已知每件乙种文创产品的价格比每件甲种文创产品的价格多10元，且用300元购进甲种文创产品的数量与用400元购进乙种文创产品的数量相同． (1)求甲、乙两种文创产品的单价； (2)若学校一次性购进甲、乙两种文创产品共200件，且要求购进甲种文创产品的件数不超过乙种文创产品件数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？求出购买文创产品的最少费用及相应的购买方案． 【答案】(1)30元，40元 (2)购进甲种文创产品133件、乙种文创产品67件，6670元 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握分式方程的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设甲种文创产品的单价是元，则乙种文创产品的单价是元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购进甲种文创产品件，则购进乙种文创产品件，根据题意列不等式方程并求出的解集；设购买这些文创产品的费用为元，根据“总费用购买甲种文创产品的费用购买乙种文创产品的费用”，写出关于的函数表达式，根据该函数的增减性，确定当取何值时值最小，求出的最小值，并求出此时购进乙种文创产品的数量即可． 【详解】（1）解：设甲种文创产品的单价是元，则乙种文创产品的单价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元， 甲、乙两种文创产品的单价分别是30元和40元． （2）解：设购进甲种文创产品件，则购进乙种文创产品件， 根据题意，得， 解得（m为整数）． 设购买这些文创产品的费用为元，则． ， 随的增大而减小， 当时，取最小值，， 此时购进乙种文创产品（件， 购进甲种文创产品133件、乙种文创产品67件才能使费用最少，最少费用为6670元． 57．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，梯形的下底在x轴的正半轴上，线段，的长是方程的两个根，且，，边长为3的正方形在梯形右侧，边也在x轴的正半轴上，点N与点C重合． (1)求线段所在直线的解析式 (2)点N从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿折线段向终点O运动，正方形也随之运动．设运动时间为t秒，连结、，求的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围 (3)在（2）的条件下，是否存在使的面积等于的面积的情况？若存在，直接写出运动时间t的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)存在；9或或 【分析】（1）解方程求出进而求出点P坐标即可求直线的解析式； （2）分点N在上、点N在上、点N在上时三种情况分别求出对应的函数解析式； （3）分点N在边上运动时，点N在边上运动时，点N在边上运动时三种情况依次求解. 【详解】（1）解：解方程得，， ， ， 梯形是等腰梯形， ， 作轴于E，作轴于F， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设直线为， 得， ， ； （2）解：①点N在边上运动时， 如图，延长交于D， 于D， ， ， ， 此时的面积 ； ②点N在边上运动时， 如图，延长交于D， 于D， ，， 此时的面积 ； ③点N在边上运动时， 如图，延长交于D， 于D， ， ，， 此时的面积 ； 综上所述，的面积S与运动时间t的函数关系式为： ； （3）解：存在； ①点N在边上运动时，当两点重合时，的面积最小，， 此时面积最大，，此时没有符合题意的； ②点N在边上运动时， ，解得，符合题意； ③点N在边上运动时， Ⅰ点Q在上方时， 的高为，， 解得， ，符合题意； Ⅱ点Q在下方时， 的高为，， 解得， ，符合题意； 综上所述，存在使的面积等于的面积的情况， t的值为9或或． 【点睛】本题考查了一次函数与四边形的综合题：熟练掌握矩形的性质，解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形性质，学会运用分类讨论、数形结合的思想解决数学问题． 1．（2024·山东济南·中考真题）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 ． 【答案】12 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，并计算当时对应函数值是解题的关键． 根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，将分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可． 【详解】解：款新能源电动汽车每千米的耗电量为， 款新能源电动汽车每千米的耗电量为， ∴图象的函数关系式为， 图象的函数关系式为， 当时，， ， ∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多． 故答案为：12． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 令， 则：， ∴点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， ∴点E所经过的路径长为； 故答案为：． 3．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 4．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ （3）解：将代入得： ∴估计这个人身高 5（2024·吉林·中考真题）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． (2)当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为： (2) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，解方程即可． 【详解】（1）， 解：设函数解析式为：， ∵当，， ∴， 解得：， ∴函数解析式为：， 经检验其余点均在直线上， ∴函数解析式为，这些点在同一条直线上； （2）解：把代入得： ， 解得：， ∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． 6．（2023·江苏苏州·中考真题）某动力科学研究院实验基地内装有一段笔直的轨道，长度为的金属滑块在上面做往返滑动．如图，滑块首先沿方向从左向右匀速滑动，滑动速度为，滑动开始前滑块左端与点重合，当滑块右端到达点时，滑块停顿，然后再以小于的速度匀速返回，直到滑块的左端与点重合，滑动停止．设时间为时，滑块左端离点的距离为，右端离点的距离为，记与具有函数关系．已知滑块在从左向右滑动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数；滑块从点出发到最后返回点，整个过程总用时（含停顿时间）．请你根据所给条件解决下列问题：    (1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”） (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式； (3)在整个往返过程中，若，求的值． 【答案】(1)由负到正 (2) (3)当或时， 【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解； （2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则 ，根据当和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解； （3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，进而即可求解． 【详解】（1）∵， 当滑块在点时，， ， 当滑块在点时，， ， ∴的值由负到正． 故答案为：由负到正． （2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时， ∵， ∴， ∴ ∴是的一次函数， ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数； ∴当时，， ∴， ∴， ∴滑块从点到点所用的时间为 ， ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿， ∴滑块从点到点的滑动时间为 ， ∴滑块返回的速度为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴与的函数表达式为； （3）当时，有两种情况， 由（2）可得， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：， 综上所述，当或时，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键． 1．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）． (1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度； (2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围． 【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键． （1）根据题意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可； （2）将（1）中代入，可得出与的关系式，然后利用一次函数的性质，即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题意得： 整理得， 当时，则， 解得：． ， 不符合题意，舍去， 该商场建造的隔热层厚度为6． （2）由（1）得， ， ． ， 随的增大而增大， 当时，，解得； 当时，，解得； 的取值范围为． 2．（2024·四川广安·中考真题）某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元． (1)求，两种花卉的单价． (2)该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株 (2)当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键． （1）设种花卉的单价为元/株，种花卉的单价为元/株，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设采购种花卉株，则种花卉株，总费用为元，根据题意列出不等式，得出，进而根据题意，得到，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设种花卉的单价为元/株，种花卉的单价为元/株， 由题意得：， 解得：， 答：种花卉的单价为3元/株，种花卉的单价为5元/株． （2）解：设采购种花卉株，则种花卉株，总费用为元， 由题意得：， ， 解得：， 在中， ， 随的增大而减小， 当时的值最小， ， 此时． 答：当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元． 3．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元． 信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系． 任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式． 任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 4．（2024·四川德阳·中考真题）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B两种组合的进价和售价如下表： 价格 A B 进价（元/件） 94 146 售价（元/件） 120 188 (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ (2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？ 【答案】(1)16元， 6元 (2)25件， 3590元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、不等式的应用和一次函数的性质，根据题意列出式子是本题的关键． （1）根据表格与“A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽”即可列方程求解； （2）设A种组合的数量，表示出B种组合数量，根据“两种组合的总件数不超过95件”列不等式求出A种组合的数量的最大值，再根据题意表示出利润的表达式，根据一次函数的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价元，每个肉粽的进价元． 根据题意可得： ， 解得： ， 答：每枚糯米咸鹅蛋的进价16元，每个肉粽的进价6元． （2）解：设该超市应准备件A种组合，则B种组合数量是件，利润为W元， 根据题意得：， 解得：， 则利润， 可以看出利润是的一次函数，随着的增大而增大， ∴当最大时，最大， 即当时，， 答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润3590元． 5．（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】(1)、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 (2)要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； （2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得： 设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 6．（2023·湖北黄石·中考真题）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，． (1)求，的值； (2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式． 当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元? 当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) ，； ． 【分析】（）用待定系数法求出，的值即可； （）当，根据利润(售价成本)设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值； 当时，关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论． 【详解】（1）把时，；时，代入得： ，解得：，； （2）设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，， ∴， ， ， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元； 当时，， ∴， ∴， 则与的函数图象如图所示：      由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元， ∴当，时，， 当，时，， ∴的取值范围． 【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键． 7．（2023·山东潍坊·中考真题）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．    (1)从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式； (2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 【答案】(1)场景A中随变化的函数关系为，场景B中随变化的函数关系为 (2)场景B 【分析】（1）由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，将，代入，进而可得；场景B中随变化的函数关系为，将代入，进而可得； （2）场景A中当时，；场景B中，将代入，解得，,判断作答即可． 【详解】（1）解：由图象可知，场景A中随变化的函数关系为， 将，代入，得， 解得， ∴； 场景B中随变化的函数关系为， 将，代入，得，解得， ∴； （2）解：场景A中当时，； 场景B中，将代入，得，解得， ∵， ∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长． 【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 8．（2023·陕西·中考真题）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高是其胸径的一次函数．已知这种树的胸径为时，树高为；这种树的胸径为时，树高为． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当这种树的胸径为时，其树高是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用待定系数法解答即可； （2）把代入（1）的结论解答即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解之，得， ∴； （2）当时，． ∴当这种树的胸径为时，其树高为． 【点睛】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键． 9．（2023·四川·中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式． 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A 免费 B 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式； (2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； (3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． 【答案】(1)见解析； (2)选方式B计费，理由见解析； (3)见解析． 【分析】（1）根据题意，设两种计费金额分别为、，分别计算 三个不同范围内的A、B两种方式的计费金额即可； （2）令，根据（1）中范围求出对应两种计费金额，选择费用低的方案即可； （3）令，求出此时的值，当主叫时间时，方式A省钱；当主叫时间时，方式A和B一样；当主叫时间时，方式B省钱； 【详解】（1）解：根据题意，设两种计费金额分别为、 当时，方式A的计费金额为元，方式B的计费金额为108元； 方式A的计费金额，方式B的计费金额为108元； 当时，方式A的计费金额为，方式B的计费金额为 总结如下表： 主叫时间/分钟 方式A计费() 方式B计费() 78 108 108 （2）解：当时， ，故选方式B计费． （3）解：令，有解得 ∴当时，方式A更省钱； 当时，方式A和B金额一样； 当时，方式B更省钱． 【点睛】本题考查了一次函数在电话计费中的应用，根据题意分段讨论是求解的关键． 10．（2023·湖北随州·中考真题）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元 (1)___________， ___________； (2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式； (3)在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？ 【答案】(1)， (2)时，，当时， (3)7天 【分析】（1）利用待定系数法求待定系数； （2）根据“销售额=售价×销售量”列出函数关系式， （3）利用二次函数和一次函数的性质分析求解. 【详解】（1）解：∵第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克， ∴，解得， 故答案为：，； （2）解：由题意当时，， 当时，， （3）解：由题意当时，， ∵， ∴当时，最大为， 当时，， 由时，解得， 又∵x为整数，且， ∴当时，随的增大而增大， ∴第至天，销售额超过1000元，共7天． 【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，分段分析函数解析式，掌握一次函数和二次函数的性质是解题关键． 11．（2023·新疆·中考真题）随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满元返元 (1)当购物金额为元时，选择超市______（填“”或“”）更省钱； 当购物金额为元时，选择超市______（填“”或“”）更省钱； (2)若购物金额为（）元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ (3)对于超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为%（注：）．若在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明． 【答案】(1), (2)，，当或时选择超市更省钱，当时，选择超市更省钱 (3)不一定，理由见解析 【分析】（1）根据题意，分别计算购物金额为和元时，两家超市的费用，比较即可求解； （2）根据题意列出函数关系，根据当时，，得出时选择超市更省钱，结合题意，即可求解； （3）根据题意以及（2）的结论，举出反例即可求解． 【详解】（1）解：购物金额为元时，超市费用为（元） 超市费用为80元， ∵， ∴当购物金额为80元时，选择超市更省钱； 购物金额为元时，超市费用为（元） 超市费用为元 ∵， ∴当购物金额为130元时，选择超市更省钱； 故答案为：,． （2）解：依题意，， 当时，超市没有优惠，故选择超市更省钱， 当时， 解得： ∴当时，选择超市更省钱， 综上所述，或时选择超市更省钱， 当时，选择超市更省钱， 当时，两家一样， 综上所述，当或时选择超市更省钱，当时，选择超市更省钱； （3）在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大， 例如：当超市购物元，返元，相当于打折，即优惠率为 ， 当超市购物元，返元，则优惠率为， ∴在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大， 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． $$