6.3 相交线（第2课时 垂直）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

苏科版（2024）七年级数学上册 第六章 平面图形的初步认识 6.3 相交线 第二课时 垂直 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 经历实际问题数学化——建立数学模型——解决问题的过程． 使学生理解垂线的意义、垂线的性质、会用三角尺或量角器过一点画一条已知直线的垂线． 培养“从一般到特殊”的认识规律，提高观察能力、理解能力、几何语言能力、画图能力、抽象思维能力和运用知识解决实际问题的能力，发展空间观念． 情景导入 如图，转动细木条b，∠1和∠2的大小关系如何变化? 新知探究 在图中，当∠1= ∠2时，因为 ∠1+∠2=180°，所以∠1= ∠2=90° 新知探究 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 在右图中，两条直线互相垂直，记作 “a⊥b”或 “AB⊥CD”，垂足是O A B C D a b O 新知探究 如图，如果∠1=90°，那么a⊥b。 a b O 1 如果a⊥b，那么∠1=90°。 1. 已知直线 a 与直线 a 外的一点 P .根据下图提供的方法，过点 P 画直线a的垂线.这样的垂线能画几条? 有且只有1条 2. 如图，过直线 a上的一点Q，画直线 a 的垂线.这样的垂线能画几条? 有且只有1条 概念归纳 通过实践，人们总结出如下基本事实： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 . 1. 在下图中，用三角板检验图中AB与BC是否互相垂直. 2. 观察下图，你能发现在方格纸中画垂线的方法吗? 运用你 发现的方法，在图中过点Q画PQ的垂线，并用三角板检验 . 活 动 垂直 课本例题 例2 如图，O是直线AB上的一点，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC.OD和OE有怎样的位置关系？请说明理由. 解：OD⊥OE.理由如下： 因为 OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC, 所以 ∠1=∠2，∠3=∠4. 所以 ∠1+∠2+∠3+∠4=180° 所以 ∠2+∠3=∠DOE=90° 所以 OD⊥OE 1 2 3 4 A O B E C D 讨 论 在例2中，当OC⊥AB时，可以得到哪些结论？ 解：结论不唯一，OD⊥OE， ∠AOD= ∠COD= ∠COE= ∠BOE= 45° 课堂练习 1. 画一条直线或射线的垂线就是画它们所在直线的垂线.请在图中过点A，B画BC的垂线，并标出垂足. A B C D E F 2. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠AOC=60°.求∠DOE的大小. 解：因为OE⊥AB， 所以∠AOE=90°， 因为∠AOC=60°， 所以∠DOE=180°-90°-60°=30° A B C D E O 分层练习-基础 1. [2024 扬州一模]如图，过点 A 作直线 l 的垂线，可作垂线 的条数有(　B　) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 B 2. [2024 泰州海陵区期末]如图， OA ⊥ OB ， OC ⊥ OD ，若 ∠1＝50°，则∠2的度数是(　C　) A. 20° B. 40° C. 50° D. 60° C 3. [2024 宿迁期末]如图，已知直线 AB 与直线 CD 相交于点 O ， EO ⊥ CD ，垂足为 O . 若∠ AOC ＝35°24'，则 ∠ BOE 的度数为 ⁠. 54.6°　 4. 如图，点 O 在直线 AB 上， OC ⊥ OD ，若∠ COB ＝ 60°，则∠ AOD 的大小为 ⁠. 150°　 5. 【母题 教材P117例2】如图， O 为直线 AB 上一点， OD 平 分∠ AOC ， OE ⊥ OD 于点 O . (1)若∠ AOC ＝58°，求∠ BOD 的度数； 解：(1)因为∠ AOC ＝58°， OD 平分 ∠ AOC ， 所以∠ DOC ＝ ∠ AOC ＝29°， ∠ BOC ＝180°－∠ AOC ＝122°. 所以∠ BOD ＝∠ DOC ＋∠ BOC ＝151°. (2)试判断 OE 是否平分∠ BOC ，并说明理由. 解：(2) OE 平分∠ BO C. 理由如下： 因为 OD 平分∠ AOC ， 所以∠ DOA ＝∠ DOC . 因为 OE ⊥ OD 于点 O ， 所以∠ DOE ＝90°. 所以∠ DOC ＋∠ COE ＝90°，∠ DOA ＋∠ BOE ＝90°. 所以∠ COE ＝∠ BOE ，即 OE 平分∠ BOC . 6. [2024 泰兴期末]利用网格仅用无刻度直尺按照要求完 成作图. (1)过点 A 作射线 OB 的垂线，垂足为 C ； 解：(1)如图，直线 AC 即为所求. (2)过点 A 作射线 OA 的垂线，交射线 OB 于点 D . 解：(2)如图，直线 AD 即为所求. 分层练习-巩固 7. [2024 东台校级期中]甲、乙、丙共同完成这样一道题目： “直线 AB ， CD 相交于点 O ， OD 平分∠ BOF ， OE ⊥ CD ，垂足为 O (如图所示).若∠ EOF ＝α，请用含α的代 数式表示∠ AOC ，∠ BOE ，∠ AOF 中任意两个角的度 数.”甲的结果是∠ AOC ＝α－90°，∠ BOE ＝ α；乙的 结果是∠ BOE ＝180°－α，∠ AOF ＝360°－2α；丙的 结果是∠ AOC ＝α－90°，∠ AOF ＝360°－α.下列判断 正确的是(　D　) A. 甲对，乙错 B. 甲和乙都错 C. 乙和丙都对 D. 乙对，丙错 D 8. [2024南京鼓楼区期末]如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ， OE 平分∠ BOD ， F 为平面上一点，且 OF ⊥ OE ，若 ∠ AOC ＝50°，则∠ BOF ＝ ⁠. 115°或65°　 所以∠ BOD ＝∠ AOC ＝50°. 因为 OE 平分∠ BOD ， 所以∠ BOE ＝ ∠ BOD ＝25°. 因为 OF ⊥ OE ，所以∠ EOF ＝90°. 分两种情况： 点拨：因为∠ AOC ＝50°， 所以∠ BOF ＝∠ EOF ＋∠ BOE ＝115°； 当射线 OF 在 OE 的下方时，如图②. 因为∠ EOF ＝90°，∠ BOE ＝25°， 所以∠ BOF ＝∠ EOF －∠ BOE ＝65°. 综上所述，∠ BOF 的度数为115°或65°. 当射线 OF 在 OE 的上方时，如图①. 因为∠ EOF ＝90°，∠ BOE ＝25°， 9. 【新趋势·跨学科】如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路，此时∠ ABE ＝∠ FBG ，当太阳光线 AB 与地面 CD 所成夹角∠ ABC ＝52°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 EF 与地面的夹角∠ EBC ＝ ⁠. 71°　 10. [2024 宿迁宿豫区期末]如图，已知直线 AB ， CD 相交于 点 O ， OE 平分∠ BOD ， OF ⊥ OE . (1)如果∠ AOC ＝66°，则∠ AOD ＝ ，∠ BOE ＝ ⁠； 点拨：因为直线 AB 、 CD 相交于点 O ，∠ AOC ＝66°， 所以∠ BOD ＝∠ AOC ＝66°，∠ AOB ＝180°－ ∠ AOC ＝114°. 因为 OE 平分∠ BOD ， 所以∠ BOE ＝∠ DOE ＝ ∠ BOD ＝33°. 114°　 33°　 (2)如果∠ AOC ＝ n °( n ＜180)，则∠ FOD ＝ ⁠ (用含 n 的代数式表示)； 点拨：因为直线 AB ， CD 相交于点 O ，∠ AOC ＝ n °， 所以∠ BOD ＝∠ AOC ＝ n °. 因为 OE 平分∠ BOD ， 所以∠ DOE ＝ ∠ BOD ＝ °. 因为 OF ⊥ OE ，所以∠ EOF ＝90°， 所以∠ FOD ＝∠ EOF －∠ DOE ＝ °. ° (3)图中与∠ DOE 互余的角有 ⁠. 点拨：因为 OF ⊥ OE ， 所以∠ EOF ＝90°.所以∠ FOD ＋∠ DOE ＝90°. 所以∠ FOD 与∠ DOE 互余. 因为∠ AOF ＋∠ EOF ＋∠ BOE ＝180°， ∠ EOF ＝90°， 所以∠ AOF ＋∠ BOE ＝90°. ∠ FOD ，∠ AOF 　 因为 OE 平分∠ BOD ，所以∠ BOE ＝∠ DOE . 所以∠ AOF ＋∠ DOE ＝90°. 所以∠ AOF 与∠ DOE 互余. 所以图中与∠ DOE 互余的角有：∠ FOD ，∠ AOF . 分层练习-拓展 11. [2024无锡梁溪区期末]如图，点 O 在直线 EF 上，点 A ， B 与点 C ， D 分别在直线 EF 两侧，且∠ AOB ＝120°， ∠ COD ＝70°. (1)如图①，若 OC 平分∠ BOD ，则∠ AOD 的度数 为 ⁠； 100°　 点拨：因为 OC 平分∠ BOD ， 所以∠ BOD ＝2∠ COD ＝2×70°＝140°. 又因为∠ AOB ＝120°， 所以∠ AOD ＝360°－∠ AOB －∠ BOD ＝360°－ 120°－140°＝100°. (2)如图②，在(1)的条件下， OE 平分∠ AOD ，过点 O 作射 线 OG ⊥ OB ，求∠ EOG 的度数； 解：(2)当 OG 在 EF 下方时，如图①. 易得∠ AOE ＝ ∠ AOD ＝50°， 因为∠ BOG ＝90°， 所以∠ AOG ＝∠ AOB －∠ BOG ＝120°－90°＝30°. 所以∠ EOG ＝∠ AOG ＋∠ AOE ＝80°. 当 OG 在 EF 上方时，如图②.易知∠ AOE ＝50°， ∠ BOG ＝90°.因为∠ AOE ＋∠ AOB ＋∠ BOG ＋∠ EOG ＝360°，∠ AOB ＝120°，所以∠ EOG ＝360°－50° －120°－90°＝100°.综上所述， ∠ EOG 的度数为80°或100°. (3)如图③，若在∠ BOC 内部作一条射线 OH ，若∠ COH ∶ ∠ BOH ＝2∶3，∠ DOE ＝5∠ FOH ，试判断∠ AOE 与 ∠ DOE 的数量关系. (3)如图③，设∠ FOH ＝α，则∠ DOE ＝5α. 所以∠ COH ＝180°－∠ DOE －∠ COD －∠ FOH ＝110°－6α. 因为∠ COH ∶∠ BOH ＝2∶3， 所以∠ BOC ＝ ∠ COH . 所以∠ BOC ＝275°－15α. 所以∠ AOD ＝360°－∠ COD －∠ BOC －∠ AOB ＝360°－70°－(275°－15α)－120°＝15α－105°. 所以∠ AOE ＝10α－105°. 所以∠ AOE ＝2∠ DOE －105°. 课堂小结 垂直 相关概念 画法 基本事实 如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角是直角，那么这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 一贴、二靠、三画 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 $$