专题02 整式、因式分解与分式（代数式）（6类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（陕西专用）

专题02 整式乘除与因式分解 课标要求 考点 考向 1.代数式：①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式。 ③会把具体数代入代数式进行计算。 2.整式：④理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)。 ⑤理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2, (a士b)2=a士2ab+b .了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。 3.因式分解：⑥能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)。 4.分式：⑦了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。 整式乘除 考向一 幂的运算 考向二 单项式乘单项式（多项式） 考向三 平方差公式与完全平方公式 因式分解 考向一 提公因式法的因式分解 考向二 公式法的因式分解 分式运算 分式的四则运算 （分式的化简） 考点一 整式乘除 ►考向一 幂的运算 易错易混 同底数幂相乘 ； 幂的乘方 积的乘方 ； 同底数幂相除 ； 其他变形： ； 1．（2021·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（2020·陕西·中考真题）计算：（﹣x2y）3＝（　　） A．﹣2x6y3 B．x6y3 C．﹣x6y3 D．﹣x5y4 ►考向二 单项式乘单项式（多项式） 易错易混 ·单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. ·单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 3．（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 4．（2022·陕西·中考真题）计算：（    ） A． B． C． D． ►考向三 完全平方公式和平方差公式 易混易错 多项式乘多项式：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 单项式除以单项式：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. ·两个重要的乘法公式 （1）平方差公式：.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. （2） 完全平方公式：， 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的倍. ※（3），. 5．（2020·陕西·中考真题）计算：（2+）（2﹣）＝ ． 6．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 考点二 因式分解 技巧方法 1.因式分解概念：把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解（或分解因式）。 2.因式分解方法 （1）提公因式法：多项式的各项都有的一个公共因式； （2）公式法 平方差公式：. 完全平方公式：，. （3）分组分解法 把多项式先分成多组，每组内部因式分解，再把多组作为一个整体进行因式分解. ※（4）十字相乘法 对二次三项式进行因式分解的一种方法， ★3.因式分解的步骤： ①多项式的首项为负，先提取“-”； ②看各项，若含有公因式，就提取公因式； ③余下的多项式，能用完全平方公式或平方差公式的就套公式进行因式分解。 7．（2021·陕西·中考真题）分解因式： ． 考点三 分式化简 ►考向一 分式的化简 易混易错 1.分式的基本性质： 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为： 其中、、为整式，且、。 ·约分的步骤： ①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。 ②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。 ·公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。 解题技巧 ★分式的混合运算： ①对分子、分母中的多项式进行因式分解； ②对括号里分式的加减进行通分，同时除法变乘法； ③运用乘法分配律； ④约分。 8．（2023·陕西·中考真题）化简：． 9．（2022·陕西·中考真题）化简：． 一、单选题 1．（2024·陕西·模拟预测）计算：（　　） A． B． C． D． 2．（2024·陕西汉中·二模）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西商洛·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024·陕西西安·模拟预测）若实数m，n满足，则 ． 8．（2024·陕西商洛·三模）计算： ． 9．（2024·陕西商洛·二模）计算： ． 10．因式分解： ． 11．因式分解： ． 12．（2024·陕西榆林·三模）分解因式： ． 13．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）分解因式： ． 14．（2024·陕西商洛·三模）分解因式： ． 三、解答题 15．（2024·陕西咸阳·模拟预测）化简：． 16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）化简：． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）化简：． 18．（2024·陕西西安·模拟预测）化简： 19．（2024·陕西榆林·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 20．化简：． 21．化简：． 22．化简： 23．先化简，再求值：，其中． 24．化简： 25．化简： 26．化简：． 27．化简： (1)； (2) 28．化简：． 29．（2024·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式乘除与因式分解 课标要求 考点 考向 1.代数式：①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。②能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式。 ③会把具体数代入代数式进行计算。 2.整式：④理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)。 ⑤理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2, (a士b)2=a士2ab+b .了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。 3.因式分解：⑥能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)。 4.分式：⑦了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。 整式乘除 考向一 幂的运算 考向二 单项式乘单项式（多项式） 考向三 平方差公式与完全平方公式 因式分解 考向一 提公因式法的因式分解 考向二 公式法的因式分解 分式运算 分式的四则运算 （分式的化简） 考点一 整式乘除 ►考向一 幂的运算 易错易混 同底数幂相乘 ； 幂的乘方 积的乘方 ； 同底数幂相除 ； 其他变形： ； 1．（2021·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方以及负整数指数幂等知识点，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键． 2．（2020·陕西·中考真题）计算：（﹣x2y）3＝（　　） A．﹣2x6y3 B．x6y3 C．﹣x6y3 D．﹣x5y4 【答案】C 【分析】先根据积的乘方运算法则计算，再根据幂的乘方运算法则进行计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积． 【详解】解：（﹣x2y）3＝＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． ►考向二 单项式乘单项式（多项式） 易错易混 ·单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. ·单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 3．（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 4．（2022·陕西·中考真题）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式的运算，正确地计算能力是解决问题的关键． ►考向三 完全平方公式和平方差公式 易混易错 多项式乘多项式：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 单项式除以单项式：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. ·两个重要的乘法公式 （1）平方差公式：.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. （2） 完全平方公式：， 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的倍. ※（3），. 5．（2020·陕西·中考真题）计算：（2+）（2﹣）＝ ． 【答案】1． 【分析】先利用平方差公式展开得到原式＝22﹣，再利用二次根式的性质化简，然后进行减法运算． 【详解】解：原式＝22﹣ ＝4﹣3 ＝1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及平方差公式．先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 6．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项，最后代入即可求解． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 考点二 因式分解 技巧方法 1.因式分解概念：把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解（或分解因式）。 2.因式分解方法 （1）提公因式法：多项式的各项都有的一个公共因式； （2）公式法 平方差公式：. 完全平方公式：，. （3）分组分解法 把多项式先分成多组，每组内部因式分解，再把多组作为一个整体进行因式分解. ※（4）十字相乘法 对二次三项式进行因式分解的一种方法， ★3.因式分解的步骤： ①多项式的首项为负，先提取“-”； ②看各项，若含有公因式，就提取公因式； ③余下的多项式，能用完全平方公式或平方差公式的就套公式进行因式分解。 7．（2021·陕西·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】题目中每项都含有x，提取公因式x；先提取公因式，再用完全平方公式即可得出答案． 【详解】 故答案为． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，提公因式法和公式法，熟练掌握提公因式法分解因式、完全平方公式法分解因式是解题关键． 考点三 分式化简 ►考向一 分式的化简 易混易错 1.分式的基本性质： 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为： 其中、、为整式，且、。 ·约分的步骤： ①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。 ②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。 ·公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。 解题技巧 ★分式的混合运算： ①对分子、分母中的多项式进行因式分解； ②对括号里分式的加减进行通分，同时除法变乘法； ③运用乘法分配律； ④约分。 8．（2023·陕西·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】先算括号里的运算，把除法转为乘法，最后约分即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 9．（2022·陕西·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】分式计算先通分，再计算乘除即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确地计算能力是解决问题的关键． 一、单选题 1．（2024·陕西·模拟预测）计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方等运算法则．直接运用积的乘方、幂的乘方的运算法则化简即可解答． 【详解】解：． 故选：D． 2．（2024·陕西汉中·二模）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算多项式乘多项式、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义运算下的计算，正确掌握运算公式是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【详解】根据新定义运算， 可得， 故原式 故选． 3．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得，即可求解． 【详解】解：∵单项式与的积为， ∴， 即， ∴． 故选：A 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，本题属于基础题型．根据相关幂的运算法则即可求出答案． 【详解】解：、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项正确； D、，故D选项错误． 故选：C． 5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘单项式的法则求解即可． 【详解】解：． 故选B． 6．（2024·陕西商洛·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】此题考查了单项式乘以单项式，先由积的乘方进行计算，再进行单项式乘以单项式即可. 【详解】解： 故选：C 二、填空题 7．（2024·陕西西安·模拟预测）若实数m，n满足，则 ． 【答案】81 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，逆用同底数幂的除法和幂的乘方进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：81． 8．（2024·陕西商洛·三模）计算： ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】此题考查了积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据积的乘方和单项式的乘法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（2024·陕西商洛·二模）计算： ． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式、负整数指数幂 【分析】本题考查了单项式的乘法．根据单项式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】， 故答案为：． 11．因式分解： ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，先提公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（2024·陕西榆林·三模）分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 13．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．完全平方公式是指两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的两倍．即，． 原式提取，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．（2024·陕西商洛·三模）分解因式： ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可得解．掌握因式分解的方法是关键． 【详解】解：． 故答案为：． 三、解答题 15．（2024·陕西咸阳·模拟预测）化简：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算．先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分进行分式的减法运算． 【详解】解： ． 16．（2024·陕西咸阳·模拟预测）化简：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】题目主要考查分式的化简求值，先计算括号内的加法运算，然后计算除法运算即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）化简：． 【答案】． 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的化简，先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简，掌握分式的通分和约分是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18．（2024·陕西西安·模拟预测）化简： 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查的是分式的混合运算，首先根据减法法则将括号里面的分式进行计算，然后将除法改成乘法进行约分即可． 【详解】解： ． 19．（2024·陕西榆林·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式加减混合运算 【分析】根据异分母分式相加减的法则进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握异分母分式相加减的法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20．化简：． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的混合运算，先运用平方差公式，完全平方公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 21．化简：． 【答案】 【详解】解： 22．化简： 【答案】 【知识点】多项式除以单项式 【分析】根据多项式与单项式的除法法则计算即可． 【详解】 ． 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的加减中的化简求值、实数的混合运算 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的化简求值，实数的计算；根据完全平方公式展开，然后合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：原式 当时，原式． 24．化简： 【答案】； 【分析】先根据单项式乘以单项式，积的乘方，最后计算单项式除以单项式即可； 【详解】原式 25．化简： 【答案】； 【分析】先根据多项式乘以多项式，完全平方公式，再合并同类项即可； 【详解】原式 26．化简：． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算、计算单项式乘多项式及求值 【分析】此题考查了整式的混合运算，利用完全平方公式和单项式乘以多项式展开后合并同类项即可． 【详解】解： 27．化简： (1)； (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先根据多项式乘以多项式、完全平方公式运算括号里的，再去括号、合并同类项即可； （2）根据多项式乘以多项式展开运算，再合并同类项即可． 【详解】 （1）解： ； （2）解： ． 28．化简：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算多项式乘多项式 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式和多项式乘多项式的法则是解题的关键． 【详解】解： ． 29．（2024·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序与运算法则化简原式，再将的值代入计算可得． 【详解】解： 原式 当时，原式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$